2019-2020学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.1.2.2分段函数.docx

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1、第2课时分段函数1会用解析法及图象法表示分段函数2给出分段函数，能研究有关性质3对生活中的一些实例，会用分段函数表示1分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数2分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集温馨提示：(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数(2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的如y其“段”是不等长的(3)分段函数的图象要分段来画1某市空调公共汽车的标价按下列规则判定：5千米以内，票价2元；5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足5千米的按5千米计算

2、)已知两个相邻的公共汽车站间相距1千米，沿途(包括起点站和终点站)有11个汽车站(1)从起点站出发，公共汽车的行程x(千米)与票价y(元)有函数关系吗？(2)函数的表达式是什么？(3)x与y之间有何特点？答案(1)有函数关系(2)y(3)x在不同区间内取值时，与y所对应的关系不同2判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)分段函数由几个函数构成()(2)函数f(x)是分段函数()(3)分段函数的图象不一定是连续的()(4)y|x1|与y是同一函数()答案(1)(2)(3)(4)题型一分段函数求值【典例1】已知函数f(x)(1)求f(f(f(2)的值；(2)若f(a)，求a.思路导引根据自变量

3、取值范围代入对应解析式求值解(1)21时，f(a)1，a21；当1a1时，f(a)a21，a1,1；当a1(舍去)综上，a2或a.(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解对于含有多层“f”的问题，要按照“由内到外”的顺序，逐层处理(2)已知函数值，求自变量的值时，要先将“f”脱掉，转化为关于自变量的方程求解针对训练1设函数f(x)则ff(3)()A. B3 C. D.解析f(3)1，由1x23得x24，解得x2或x2(舍去)综上可得，所求x的值为4或2.答案4或2题型二分段函数的图象【典例2】(1)作出下列分段函数的图象：yy|x1|.(2)如图所示，在边长

4、为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿着折线BCDA由B(起点)向点A(终点)运动设点P运动路程为x，ABP的面积为y，求：y与x之间的函数关系式；画出yf(x)的图象思路导引(1)利用描点法分段作图；(2)先依据x的变化范围求出关系式解(1)函数图象如图1所示y|x1|，其图象如图2所示(2)y分段函数图象的画法(1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可(2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象 针对训练3.已知函数f(x)的图象如图

5、所示，求f(x)的解析式并写出f(x)的值域解由于f(x)的图象由两条线段组成，因此可设f(x)将点(1,0)，(0,1)代入f(x)axb，点(1，1)代入f(x)cx可得f(x)由图象可得f(x)的值域为(1,1).题型三分段函数的综合问题【典例3】已知函数f(x)|x3|x1|.(1)求f(x)的值域；(2)解不等式：f(x)0；(3)若直线ya与f(x)的图象无交点，求实数a的取值范围思路导引去掉绝对值符号，化简f(x)，再分段求解解若x1，则x30，x10，f(x)(x3)(x1)4；若10，f(x)(x3)(x1)2x2；若x3，则x30，x10，f(x)(x3)(x1)4.f(x

6、)(1)1x3时，42x20，即或或解得x1，解得1x0的解集为(，1(1,1)(，1)(3)f(x)的图象如图：由图可知，当a(，4)(4，)时，直线ya与f(x)的图象无交点变式若aR，试探究方程f(x)a解的个数解由例3(3)知yf(x)的图象，作出直线ya，可以看出：当a4时，ya与yf(x)有无数个交点；当4a4时，ya与yf(x)有且仅有一个交点；当a4时，ya与yf(x)没有交点综上可知：当a4时，方程f(x)a有无数个解当4a4时，方程f(x)a有一个解当a4时，方程f(x)a无解研究分段函数要牢牢抓住的2个要点(1)分段研究在每一段上研究函数(2)合并表达因为分段函数无论分成

7、多少段，仍是一个函数，对外是一个整体针对训练4已知f(x)(1)画出f(x)的图象；(2)若f(x)，求x的取值范围；(3)求f(x)的值域解(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示(2)由于f，结合此函数图象可知，使f(x)的x的取值范围是.(3)由图象知，当1x1时，f(x)x2的值域为0,1，当x1或x1时，f(x)1.所以f(x)的值域为0,1.题型四分段函数在实际问题中的应用【典例4】某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为1520的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度y()随时间x(h)变化的函数图象，其中AB段是恒温阶段，BC段是双曲线

8、y的一部分，请根据图中信息解答下列问题：(1)求y与x的函数关系式；(2)大棚内的温度为18时是否适宜该品种蔬菜的生长？(3)恒温系统在一天内保持大棚里的适宜新品种蔬菜的生长温度有多少小时？思路导引利用待定系数法求出x在每一段上的解析式，再分段研究解(1)设线段AD的解析式为ymxn(m0)，将点A(2,20)，D(0,10)代入，得，解得，线段AD的解析式为y5x10(0x2)双曲线y经过B(12,20)，20，解得k240，BC段的解析式为y(12x24)综上所述，y与x的函数解析式为：y.(2)当x18时，y，由于15，大棚内的温度为18时不适宜该品种蔬菜的生长(3)令y15，当0x2时

9、，解5x1015，得x1，当12x24时，解15，得x16.由于16115(小时)，恒温系统在一天内保持大棚里的适宜新品种蔬菜的生长温度有15小时对于应用题，要在分析题意基础上，弄清变量之间的关系，然后选择适当形式加以表示；若根据图象求解析式，则要分段用待定系数法求出，最后用分段函数表示，分段函数要特别地把握准定义域的各个“分点”针对训练5A，B两地相距150公里，某汽车以每小时50公里的速度从A地到B地，在B地停留2小时之后，又以每小时60公里的速度返回A地写出该车离A地的距离s(公里)关于时间t(小时)的函数关系，并画出函数图象解(1)汽车从A地到B地，速度为50公里/小时，则有s50t，

10、到达B地所需时间为3(小时)(2)汽车在B地停留2小时，则有s150.(3)汽车从B地返回A地，速度为60公里/小时，则有s15060(t5)45060t，从B地到A地用时2.5(小时)综上可得，该汽车离A地的距离s关于时间t的函数关系式为s函数图象如图所示课堂归纳小结1分段函数(1)分段是针对定义域而言的，将定义域分成几段，各段的对应关系不一样(2)一般而言，分段函数的定义域部分是各不相交的，这是由函数定义中的唯一性决定的(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象2与分段函数有关的实际问题要理解题意，合理引进变

11、量，确定自变量分段的“段点”，注意在自变量分段的端点处要不重不漏.1已知f(x)则ff(7)的值为()A100 B10 C10 D100解析f(7)10，ff(7)f(10)1010100.答案A2下列图形是函数yx|x|的图象的是()解析f(x)分别画出yx2(取x0部分)及yx2(取x0部分)即可答案D3函数f(x)的值域是()ARB0,23C0，) D0,3解析当0x1时，0f(x)2，当1x0，ff(a)0时，f(a)a2，ff(a)a42a222，则a或a0，故a.答案课后作业(十八)复习巩固一、选择题1已知f(x)则f(2)()A2 B4 C2 D2或4解析f(2)(2)2，选A.

12、答案A2函数f(x)|x1|的图象是()解析f(x)|x1|选B.答案B3已知函数y使函数值为5的x的值是()A2 B2或C2或2 D2或2或解析当x0时，令x215，解得x2；当x0时，令2x5，得x，不合题意，舍去答案A4.已知函数f(x)的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则f等于()A B.C D.解析由图可知，函数f(x)的解析式为f(x)f1，ff1.答案B5某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为()A13立方米

13、B14立方米C18立方米 D26立方米解析该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y由y16m，可知x10，令2mx10m16m，解得x13.答案A二、填空题6已知函数f(x)，则不等式xf(x1)1的解集为_解析原不等式转化为或解得1x1.答案1,17函数f(x)的值域是_解析当0x1时，0f(x)1；当1x2时，0f(x)1，则，得x，符合|x|1.所以若f(x)，x的值为.10已知函数f(x)1(2x2)(1)用分段函数的形式表示函数f(x)；(2)画出函数f(x)的图象；(3)写出函数f(x)的值域解(1)当0x2时，f(x)11，当2x1，则实数a的取值范围是_解析当a0时，f(a)a11，解得a4，符合a0；当a1，无解答案(4，)15若定义运算ab则函数f(x)x(2x)的值域为_解析由题意得f(x)画出函数f(x)的图象得值域是(，1答案(，116成都市出租车的现行计价标准是：路程在2 km以内(含2 km)按起步价8元收取，超过2 km后的路程按1.9元/km收取，但超过10 km后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9(150%)2.85(元/km)(1)将某乘客搭乘一次出租车的费用f(x)(单位：元)表示为行程x(038.8，该乘客换乘比只乘一辆车更省钱