2020年中考数学基础题型提分讲练专题20以相似三角形为背景的证明与计算含.doc
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1、专题20 以相似三角形为背景的证明与计算考点分析【例1】(2019辽宁中考真题)已知,在RtABC中,ACB90,D是BC边上一点,连接AD,分别以CD和AD为直角边作RtCDE和RtADF,使DCEADF90,点E,F在BC下方,连接EF(1)如图1,当BCAC,CECD,DFAD时,求证:CADCDF,BDEF;(2)如图2,当BC2AC,CE2CD,DF2AD时,猜想BD和EF之间的数量关系?并说明理由【答案】(1)见解析;见解析;(2)BDEF,理由见解析.【解析】(1)证明:ACB90,CAD+ADC90,CDF+ADC90,CADCDF;作FHBC交BC的延长线于H,则四边形FEC
2、H为矩形,CHEF,在ACD和DHF中,即,;(2),理由如下:作交的延长线于,则四边形为矩形,即,GF2CD,BC2AC,CE2CD,BCDG,GFCE,BDCG,GFCE,GFCE,G90,四边形FECG为矩形,CGEF,BDEF【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,矩形的判定与性质,解题关键在于作辅助线和掌握各判定定理.【例2】 (2019辽宁中考真题)如图,中,DE垂直平分AB,交线段BC于点E(点E与点C不重合),点F为AC上一点,点G为AB上一点(点G与点A不重合),且(1)如图1,当时,线段AG和CF的数量关系是 (2)如图2,当时,猜想线段AG和CF的
3、数量关系,并加以证明(3)若,请直接写出CF的长【答案】(1);(2),理由见解析;(3)2.5或5【解析】解:(1)相等,理由:如图1,连接AE,DE垂直平分AB,;故答案为:;(2),理由:如图2,连接AE,DE垂直平分AB,在中,;(3)当G在DA上时,如图3,连接AE,DE垂直平分AB,过A作于点H,;当点G在BD上,如图4,同(1)可得,综上所述,CF的长为2.5或5【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,线段垂直平分线的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键考点集训1(2019山东中考真题)如图1,在RtABC中,B=90,BC=2AB=8,
4、点D,E分别是边BC,AC的中点,连接DE,将EDC绕点C按顺时针方向旋转,记旋转角为.(1)问题发现 当时, ; 当时, (2)拓展探究试判断:当0360时,的大小有无变化?请仅就图2的情况给出证明.(3)问题解决当EDC旋转至A、D、E三点共线时,直接写出线段BD的长.【答案】(1),.(2)无变化;理由参见解析.(3),.【解析】(1)当=0时,RtABC中,B=90,AC=,点D、E分别是边BC、AC的中点,,BD=82=4,如图1,当=180时,可得ABDE,(2)如图2,当0360时,的大小没有变化,ECD=ACB,ECA=DCB,又,ECADCB,(3)如图3,AC=4,CD=4
5、,CDAD,AD=AD=BC,AB=DC,B=90,四边形ABCD是矩形,BD=AC=如图4,连接BD,过点D作AC的垂线交AC于点Q,过点B作AC的垂线交AC于点P,AC=,CD=4,CDAD,AD=,点D、E分别是边BC、AC的中点,DE=2,AE=AD-DE=8-2=6,由(2),可得,BD=综上所述,BD的长为或2(2019江苏初三期末)如图,四边形ABCD中,AC平分DAB,ADC=ACB=90,E为AB的中点,(1)求证:AC2=ABAD;(2)求证:CEAD;(3)若AD=4,AB=6,求的值【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【解析】解:(1)证明:AC平分DABDAC=CA
6、BADC=ACB=90ADCACB即AC2=ABAD(2)证明:E为AB的中点CE=AB=AEEAC=ECADAC=CABDAC=ECACEAD(3)CEADAFDCFECE=ABCE=6=3AD=43(2019四川中考真题)如图,DB平分ADC,过点B作交AD于M连接CM交DB于N(1)求证:;(2)若,求MN的长【答案】(1)见解析;(2).【解析】证明:(1)DB平分,且,(2),且,且,且【点睛】考查了相似三角形的判定和性质,勾股定理,直角三角形的性质,求MC的长度是本题的关键4(2019江苏泰州中学附属初中初三月考)如图,RtABC中,ACB=90,AC=6cm,BC=8cm动点M从
7、点B出发,在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动,同时动点N从点C出发,在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动,运动时间为t秒(0t),连接MN(1)若BMN与ABC相似,求t的值;(2)连接AN,CM,若ANCM,求t的值【答案】(1)BMN与ABC相似时,t的值为或;(2)t=【解析】(1)由题意知,BM=3tcm,CN=2tcm,BN=(82t)cm,BA=10(cm),当BMNBAC时,解得:t=;当BMNBCA时,解得:t=,BMN与ABC相似时,t的值为或;(2)过点M作MDCB于点D,由题意得:DM=BMsinB=(cm),BD=BMcosB=(cm),BM=3tcm,CN=2
8、tcm,CD=()cm,ANCM,ACB=90,CAN+ACM=90,MCD+ACM=90,CAN=MCD,MDCB,MDC=ACB=90,CANDCM,解得t=考点:1相似三角形的判定与性质;2解直角三角形;3动点型;4分类讨论;5综合题;6压轴题5(2019湖北中考真题)在中,是上一点,连接(1)如图1,若,是延长线上一点,与垂直,求证:(2)过点作,为垂足,连接并延长交于点.如图2,若,求证:如图3,若是的中点,直接写出的值(用含的式子表示)【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;【解析】 (1)延长交于点,与垂直,;(2)过点作交的延长线于点,与垂直,由(1),得,即; 过点C作C
9、D/BP交AB的延长线于点D,延长AM交CD于点H,PCH=BPQ,BPM=CHM=90,又BMP=CMH,BM=CM,BPMCHM,BP=CH,PM=HM,PH=2PM,PMB=BMA,ABM=BPM=90,ABMBPM,在RtPCH中,tanPCH=,tanBPQ=,又BC=2BM,tanBPQ=.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,三角函数,正确添加辅助线,熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的运用.6(2019辽宁初三期中)如图,在ABC中,AB=AC,点P、D分别是BC、AC边上的点,且APD=B,(1)求证:ACCD=CPBP;(2
10、)若AB=10,BC=12,当PDAB时,求BP的长【答案】(1)证明见解析;(2). 【解析】解:(1)AB=AC,B=CAPD=B,APD=B=CAPC=BAP+B,APC=APD+DPC,BAP=DPC,ABPPCD,ABCD=CPBPAB=AC,ACCD=CPBP;(2)PDAB,APD=BAPAPD=C,BAP=CB=B,BAPBCA,AB=10,BC=12,BP=“点睛”本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等知识,把证明ACCD=CPBP转化为证明ABCD=CPBP是解决第(1)小题的关键,证到BAP=C进而得到BAPBCA是解决第
11、(2)小题的关键7(2019山西初三期末)如图,ABC和ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,BAC=DAE=90,点P为射线BD,CE的交点(1)求证:BD=CE;(2)若AB=2,AD=1,把ADE绕点A旋转,当EAC=90时,求PB的长;【答案】(1)证明见解析;(2)PB的长为或【解析】解:(1)ABC和ADE是等腰直角三角形,BAC=DAE=90,AB=AC,AD=AE,DAB=CAE,ADBAEC,BD=CE(2)解:当点E在AB上时,BE=ABAE=1EAC=90,CE=同(1)可证ADBAEC,DBA=ECAPEB=AEC,PEBAEC,PB=当点E在BA延长线上时,BE=3EA
12、C=90,CE=同(1)可证ADBAEC,DBA=ECABEP=CEA,PEBAEC,PB=综上所述,PB的长为或【点睛】本题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定,证明得PEBAEC是解题的关键8(2019山东初三)如图,在四边形ABCD中,ACBD于点E,AB=AC=BD,点M为BC中点,N为线段AM上的点,且MB=MN.(1)求证:BN平分ABE; (2)若BD=1,连结DN,当四边形DNBC为平行四边形时,求线段BC的长; (3)如图,若点F为AB的中点,连结FN、FM,求证:MFNBDC【答案】(1)证明见解析;(2);(3)证明见解
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