勾股定理的逆定理教案精编.docx

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1、勾股定理的逆定理教案勾股定理的逆定理教案1一、例题的意图分析例1（P83例2）让学生养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。例2（补充）培育学生利用方程思想解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。二、课堂引入创设情境：在军事和航海上常常要确定方向和位置，从而运用一些数学学问和数学方法。三、例习题分析例1（P83例2）分析：了解方位角，及方位名词；依题意画出图形；依题意可得PR=121.5=18，PQ=161.5=24，QR=30；因为242+182=302，PQ2+PR2=QR2，依据勾股定理的逆定理，知QPR=90；PRS=QPR-QPS=45。小结：让学生养成“已知

2、三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。例2（补充）一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试推断这个三角形的形态。分析：若推断三角形的形态，先求三角形的三边长；设未知数列方程，求出三角形的三边长5、12、13；依据勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形为直角三角形。解略。四、课堂练习1小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是。2如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长为4米，中午测得它的影长为1米，则A、B、C三点能否构成直角三角形？

3、为什么？3如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海疆，我海军甲、乙两艘巡逻艇马上从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40，问：甲巡逻艇的航向勾股定理的逆定理教案2教学目标1敏捷应用勾股定理及逆定理解决实际问题。2进一步加深性质定理与判定定理之间关系的相识。重难点1重点：敏捷应用勾股定理及逆定理解决实际问题。2难点：敏捷应用勾股定理及逆定理解决实际问题。一、自主学习1、若三角形的三边是 1、2； ； 32，42，529，40，41；（mn）21，2（mn），（mn）21；则构成的是直

4、角三角形的有（ ）A2个 B个?个?个2、已知：在ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，推断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？a=9，b=41，c=40； a=15，b=16，c=6； a=2，b=，c=4；二、沟通展示例1（P33例2）某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，并相距30海里. 假如知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？分析：了解方位角，及方位名词；依题意画出图形

5、；依题意可求PR，PQ，QR；依据勾股定理 的逆定理，求QPR；求RPN。小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。例2、一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试推断这个三角形的形态。分析：若推断三角形的形态，先求三角形的三边长；设未知数列方程，求出三角形的三边长；依据勾股定理的逆定理，推断三角形是否为直角三角形。三、合作探究例3如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知B=9

6、0。四、达标测试1一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为，此三角形的形态为。2小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是。3一根12米的电线杆AB，用铁丝AC、AD固定，现已知用去铁丝AC=15米，AD=13米，又测得地面上B、C两点之间距离是9米，B、D两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？4如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海疆，我海军甲、乙两艘巡逻艇马上从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航

7、行50海里，航向为北偏西40，问：甲巡逻艇的航向？五、教学反思勾股定理的逆定理教案3一、内容和内容解析1。内容应用勾股定理及勾股定理的逆定理解决实际问题。2。内容解析运用勾股定理的逆定理可以从三角形边的数量关系来识别三角形的形态，它是用代数方法来探讨几何图形，也是向学生渗透“数形结合”这一数学思想方法的很好素材。综合运用勾股定理及其逆定理能帮助我们解决实际问题。基于以上分析，可以确定本课的教学重点是敏捷运用勾股定理的逆定理解决实际问题。二、目标和目标解析1。目标（1）敏捷应用勾股定理及逆定理解决实际问题。（2）进一步加深性质定理与判定定理之间关系的相识。2。目标解析达成目标（1）的标记是学生通

8、过合作、探讨、动手实践等方式，在应用题中建立数学模型，精确画出几何图形，再娴熟运用勾股定理逆定理推断三角形态及求边长、面积、角度等；目标（2）能先用勾股定理的逆定理推断一个三角形是直角三角形，再用勾股定理及直角三角形的性质进行有关的计算和证明。三、教学问题诊断分析对于大部分学生将实际问题抽象成数学模型并进行解析与应用，有肯定的困难，所以在教学时应当留意启发引导学生从实际生活中所遇到的问题动身，激励学生以勾股定理及逆定理的学问为载体建立数学模型，利用数学模型去解决实际问题。本课的教学难点是敏捷运用勾股定理及逆定理解决实际问题。四、教学过程设计1。复习反思，引出课题问题1 通过前面的学习，我们对勾

9、股定理及其逆定理的学问有肯定的了解，请说出勾股定理及其逆定理的内容。师生活动：学生回答勾股定理的内容“假如直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么；勾股定理的逆定理“假如三角形的三边长满意，那么这个三角形是直角三角形。追问：你能用勾股定理及逆定理解决哪些问题？师生活动：学生通过思索举手回答，老师板书课题。通过复习勾股定理及其逆定理来引入本课时的学习任务应用勾股定理及逆定理解决有关实际问题。2。 点击范例，以练促思问题2 某港口位于东西方向的海岸线上。“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里。它们离开港口一个半

10、小时后相距30海里。假如知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？师生活动：学生读题，理解题意，弄清晰已知条件和需解决的问题，老师通过梯次性问题的展示，适时点拨，学生尝试画图、估测、沟通中分化难点完成解答。追问1：请同学们仔细审题，弄清已知是什么？解决的问题是什么？师生活动：学生通过思索举手回答，老师在黑板上列出：已知两种船的航速，它们的航行时间以及相距的路程， “远航”号的航向东北方向；解决的问题是“海天”号的航向。追问2：你能依据题意画出图形吗？师生活动：学生尝试画图，老师在黑板上或多媒体中画出示意图。追问3：在所画的图中哪个角可以表示“海天”号的航向？图中知道哪个角

11、的度数？师生活动：学生小组探讨沟通回答问题“海天”号的航向只要能确定QPR的大小即可。组内探讨解答，小组代表展示解答过程，老师适时点评，多媒体展示规范解答过程。解：依据题意，因为，即，所以由“远航”号沿东北方向航行可知。因此，即“海天”号沿西北方向航行。课堂练习1。 课本33页练习第3题。课堂练习2。 在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度前进，1小时后甲船到达岛，乙船到达岛，且岛与岛相距17海里，你能知道乙船沿哪个方向航行吗？学生在规范化的解答过程及练习中，提升对勾股定理逆定理的相识以及实际应用的实力。3。 补充训练，巩固新知问

12、题3 试验中学有一块四边形的空地若每平方米草皮须要200元，问学校须要投入多少资金购买草皮？师生活动：先由学生独立思索。若学生有想法，则由学生先说思路，然后老师追问：你是怎么想到的？对学生思路中的合理成分进行总结；若学生没有思路，老师可引导学生分析：从所要求的结果动身是要知道四边形的面积，而四边形被它的一条对角线分成两个三角形，求出两个三角形的面积和即可。启发学生形成思路，最终由学生演板完成。引导学生利用协助线解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。4。 反思小结，观点提炼老师引导学生参照下面两个方面，回顾本节课所学的主要内容，进行相互沟通：（1）学问总结：勾股定理以及逆定

13、理的实际应用；（2）方法归纳：数学建模的思想。通过小结，梳理本节课所学内容，总结方法，体会思想。5。布置作业教科书34页习题17。2第3题，第4题，第5题，第6题。五、目标检测设计1。小明在学校运动会上负责联络，他先从检录处走了75米到达起点，又从起点向东走了100米到达终点，最终从终点走了125米，回到检录处，则他起先走的方向是（假设小明走的每段都是直线） （ ）A。南北 B。东西 C。东北 D。西北考查运用勾股定理的逆定理解决实际生活问题。2。甲、乙两船同时从港动身，甲船沿北偏东的方向，以每小时9海里的速度向岛驶去，乙船沿另一个方向，以每小时12海里的速度向岛驶去，3小时后两船同时到达了目

14、的地。假如两船航行的速度不变，且两岛相距45海里，那么乙船航行的方向是南偏东多少度？考查建立数学模型，精确画出几何图形，运用勾股定理的逆定理解决实际生活问题。3。如图是一块四边形的菜地，已知求这块菜地的面积。考查利用勾股定理及逆定理将不规则图形转化为直角三角形，奇妙地求解。勾股定理的逆定理教案4一、教学目标1敏捷应用勾股定理及逆定理解决实际问题2进一步加深性质定理与判定定理之间关系的相识二、重点、难点1重点：敏捷应用勾股定理及逆定理解决实际问题2难点：敏捷应用勾股定理及逆定理解决实际问题3难点的突破方法：三、课堂引入创设情境：在军事和航海上常常要确定方向和位置，从而运用一些数学学问和数学方法四

15、、例习题分析例1（P83例2）分析：了解方位角，及方位名词；依题意画出图形；依题意可得PR=121。5=18，PQ=161。5=24，QR=30；因为242+182=302，PQ2+PR2=QR2，依据勾股定理的逆定理，知QPR=90；PRS=QPRQPS=45小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识例2（补充）一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试推断这个三角形的形态分析：若推断三角形的形态，先求三角形的三边长；设未知数列方程，求出三角形的三边长5、12、13；依据勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角

16、形为直角三角形解略本题帮助培育学生利用方程思想解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识勾股定理的逆定理教案5重点、难点分析本节内容的重点是勾股定理的逆定理及其应用它可用边的关系推断一个三角形是否为直角三角形为推断三角形的形态供应了一个有力的依据本节内容的难点是勾股定理的逆定理的应用在用勾股定理的逆定理时，分不清哪一条边作斜边，因此在用勾股定理的逆定理推断三角形的形态时而出错；另外，在解决有关综合问题时，要将给的边的数量关系经过代数改变，最终达到一个目标式，这种“转化”对学生来讲也是一个困难的地方教法建议：本节课教学模式主要采纳“互动式”教学模式及“类比”的教学方法通过前面所学

17、的垂直平分线定理及其逆定理，做类比对象，让学生自己提出问题并解决问题在课堂教学中营造轻松、活泼的课堂气氛通过师生互动、生生互动、学生与教材之间的互动，造成“情意共鸣，沟通信息，反馈流畅，思维活跃”，达到培育学生思维实力的目的详细说明如下：（1）让学生主动提出问题利用类比的学习方法，由学生将上节课所学习的勾股定理的逆命题书写出来这里分别找学生口述文字；用符号、图形的形式板书逆命题的内容全部这些都由学生自己完成，估计学生不会感到困难这样设计主要是培育学生擅长提出问题的习惯及实力（2）让学生自己解决问题推断上述逆命题是否为真命题？对这一问题的解决，学生会感到有些困难，这里老师可做适当的点拨，但要尽可

18、能的让学生的发觉和探究，找到解决问题的思路（3）通过实际问题的解决，培育学生的数学意识教学目标：1、学问目标：（1）理解并会证明勾股定理的逆定理；（2）会应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形；（3）知道什么叫勾股数，记住一些觉见的勾股数.2、实力目标：（1）通过勾股定理与其逆定理的比较，提高学生的辨析实力；（2）通过勾股定理及以前的学问联合起来综合运用，提高综合运用学问的实力.3、情感目标：（1）通过自主学习的发展体验获得数学学问的感受；（2）通过学问的纵横迁移感受数学的辩证特征教学重点：勾股定理的逆定理及其应用教学难点：勾股定理的逆定理及其应用教学用具：直尺，微机教学方法：以学

19、生为主体的探讨探究法教学过程：1、新课背景学问复习（投影）勾股定理的内容文字叙述（投影显示）符号表述图形（画在黑板上）2、逆定理的获得（1）让学生用文字语言将上述定理的逆命题表述出来（2）学生自己证明逆定理：假如三角形的三边长 有下面关系：那么这个三角形是直角三角形强调说明：（1）勾股定理及其逆定理的区分勾股定理是直角三角形的性质定理，逆定理是直角三角形的判定定理（2）判定直角三角形的方法：角为 、垂直、勾股定理的逆定理2、 定理的应用（投影显示题目上）例1 假如一个三角形的三边长分别为则这三角形是直角三角形例2 如图，已知：CDAB于D，且有求证：ACB为直角三角形。以上例题，分别由学生先思

20、索，然后回答师生共同补充完善（老师做总结）4、课堂小结：（1）逆定理应用时易出现的错误：分不清哪一条边作斜边（最大边）（2）判定是否为直角三角形的一种方法：结合勾股定理和代数式、方程综合运用。5、布置作业：a、书面作业P1319b、上交作业：已知：如图，DEF中，DE17，EF30，EF边上的中线DG8求证：DEF是等腰三角形勾股定理的逆定理教案6一、创设问属情境，引入新课活动1(1)总结直角三角形有哪些性质(2)一个三角形，满意什么条件是直角三角形?设计意图：通过对前面所学学问的归纳总结，联想到用三边的关系是否可以推断一个三角形为直角三角形，提高学生发觉反思问题的实力师生行为学生分组探讨，沟

21、通总结；老师引导学生回忆本活动，老师应重点关注学生：能否主动主动地回忆，总结前面学过的旧学问；能否“温故知新”生：直角三角形有如下性质：(1)有一个角是直角；(2)两个锐角互余，(3)两直角边的平方和等于斜边的平方：(4)在含30角的直角三角形中，30的角所对的直角边是斜边的一半师：那么，一个三角形满意什么条件，才能是直角三角形呢?生：有一个内角是90，那么这个三角形就为直角三角形生：假如一个三角形，有两个角的和是90，那么这个三角形也是直角三角形师：前面我们刚学习了勾股定理，知道一个直角三角形的两直角边a，b斜边c具有肯定的数量关系即a2b2c2，我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系来判

22、定它是否为直角三角形呢?我们来看一下古埃及人如何做?二、讲授新课活动2问题：据说古埃及人用下图的方法画直角：把一根长蝇打上等距离的13个结，然后以3个结，4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角这个问题意味着，假如围成的三角形的三边分别为3、4、5有下面的关系“324252”那么围成的三角形是直角三角形画画看，假如三角形的三边分别为2.5cm，6cm，6.5cm，有下面的关系，“2.52626.52，画出的三角形是直角三角形吗?换成三边分别为4cm、7.5cm、8.5cm再试一试设计意图：由特别到一般，归纳猜想出“假如三角形三边a，b，c满意a2b2c2，那么这个三

23、角形就为直免三角形的结论，培育学生动手操作实力和寻求解决数学问题的一般方法师生行为让学生在小组内共同合作，协手完成此活动老师参加此活动，并给学生以提示、启发在本活动中，老师应重点关注学生：能否主动动手参加能否从操作活动中，用数学语言归纳、猜想出结论学生是否有克服困难的志气生：我们不难发觉上图中，第(1)个结到第(4)个结是3个单位长度即AC3；同理BC4，AB5因为324252我们围成的三角形是直角三角形生：假如三角形的三边分别是2.5cm，6cm，6.5cm我们用尺规作图的方法作此三角形，经过测量后，发觉6.5cm的边所对的角是直角，并且2.52626.52再换成三边分别为4cm，7.5cm

24、，8.5cm的三角形，目标可以发觉8.5cm的边所对的角是直角，且也有427.528.52是不是三角形的三边只要有两边的平方和等于第三边的平方，就能得到一个直角三角形呢?活动3下面的三组数分别是一个三角形的三边长?勾股定理的逆定理教案7一、教学目标1体会勾股定理的逆定理得出过程，驾驭勾股定理的逆定理2探究勾股定理的逆定理的证明方法3理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系二、重点、难点1重点：驾驭勾股定理的逆定理及证明2难点：勾股定理的逆定理的证明3难点的突破方法：先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起视察能否重合，激发学生的爱好和求知欲，再探究理论证明方法充分利用这道题熬炼学生的动手操作实力

25、，由实践到理论学生更简单接受为学生搭好台阶，扫清障碍如何推断一个三角形是直角三角形，现在只知道若有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而将问题转化为如何推断一个角是直角利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解决先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边A1B1=c，则通过三边对应相等的两个三角形全等可证三、课堂引入创设情境：怎样判定一个三角形是等腰三角形？怎样判定一个三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定进行对比，从勾股定理的逆命题进行猜想四、例习题分析例1（补充）说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？同旁内角互补，两条直线平行假如两个实数的平方相等，那

26、么两个实数平方相等线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半分析：每个命题都有逆命题，说逆命题时留意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并留意语言的运用理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都假解略本题意图在于使学生了解命题，逆命题，逆定理的概念，及它们之间的关系例2（P82探究）证明：假如三角形的三边长a，b，c满意a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形分析：留意命题证明的格式，首先要依据题意画出图形，然后写已知求证如何推断一个三角形是直角三角形，现在只知道若有一个角是直角的三角形是直角三

27、角形，从而将问题转化为如何推断一个角是直角利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解决先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边A1B1=c，则通过三边对应相等的两个三角形全等可证先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起视察能否重合，激发学生的爱好和求知欲，再探究理论证明方法充分利用这道题熬炼学生的动手操作实力，由实践到理论学生更简单接受证明略通过让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起视察能否重合，激发学生的爱好和求知欲，熬炼学生的动手操作实力，再通过探究理论证明方法，使实践上升到理论，提高学生的理性思维例3（补充）已知：在ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、

28、c，a=n21，b=2n，c=n21（n1）求证：C=90分析：运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：先推断那条边最大分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值推断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形要证C=90，只要证ABC是直角三角形，并且c边最大依据勾股定理的逆定理只要证明a2+b2=c2即可由于a2+b2=（n21）2（2n）2=n42n21，c2=（n21）2= n42n21，从而a2+b2=c2，故命题获证本题目的在于使学生明确运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：先推断那条边最大分别用代数方法计

29、算出a2+b2和c2的值推断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形勾股定理的逆定理教案8教学目标：一学问技能1.理解勾股定理的逆定理的证明方法和证明过程;2.驾驭勾股定理的逆定理，并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形;二数学思索1.通过勾股定理的逆定理的探究，经验学问的发生发展与形成的过程;2.通过三角形三边的数量关系来推断三角形的形态，体验数形结合法的应用.三解决问题通过勾股定理的逆定理的证明及其应用，体会数形结合法在问题解决中的作用，并能运用勾股定理的逆定理解决相关问题.四情感看法1.通过三角形三边的数量关系来推断三角形的形态，体验数与形

30、的内在联系，感受定理与逆定理之间的和谐及辩证统一关系;2.在探究勾股定理的逆定理的证明及应用的活动中，通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人沟通合作的意识和探究精神.教学重难点：一重点：勾股定理的逆定理及其应用.二难点：勾股定理的逆定理的证明.教学方法启发引导分组探讨合作沟通等。教学媒体多媒体课件演示。教学过程：一复习孕新，引入课题问题：(1) 勾股定理的内容是什么?(2) 求以线段ab为直角边的直角三角形的斜边c的长： a=3，b=4 a=2.5，b=6 a=4，b=7.5(3) 分别以上述abc为边的三角形的形态会是什么样的呢?二动手实践，检验推想1.把打算好的一根打了13个等距离结的绳子

31、，按3个结4个结5个结的长度为边摆放成一个三角形，请视察并说出此三角形的形态?学生分组活动，动手操作，并在组内进行沟通探讨的基础上，作出实践性预料.老师深化小组参加活动，并帮助指导部分学生完成任务，得出勾股定理的逆命题.在此基础上，介绍：古埃及和我国古代大禹治水都是用这种方法来确定直角的.2.分别以2.5cm6cm6.5cm和4cm7.5cm8.5cm为三边画出两个三角形，请视察并说出此三角形的形态?3.结合三角形三边长度的平方关系，你能猜一猜三角形的三边长度与三角形的形态之间有怎样的关系吗?三探究归纳，证明猜想问题1.三边长度分别为3 cm4 cm5 cm的三角形与以3 cm4 cm为直角边

32、的直角三角形之间有什么关系?你是怎样得到的?2.你能证明以2.5cm6cm6.5cm和4cm7.5cm8.5cm为三边长的三角形是直角三角形吗?3.如图18.2-2，若ABC的三边长满意，试证明ABC是直角三角形，请简要地写出证明过程.老师提出问题，并适时诱导，指导学生完成问题3的证明.之后，归纳得出勾股定理的逆定理.四尝试运用，熟识定理问题1例1：推断由线段组成的三角形是不是直角三角形：(1)(2)2三角形的两边长分别为3和4，要使这个三角形是直角三角形，则第三条边长是多少?老师巡察，了解学生对学问的驾驭状况.特殊关注学生在练习中反映出的问题，有针对性地讲解，学生能否娴熟地应用勾股定理的逆定理去分析和解决问题五类比仿照，巩固新知1.练习：练习题13.2.思索：习题18.2第5题.部分学生演板，剩余学生在课堂练习本上独立完成.小结梳理，内化新知六1.小结：老师引导学生回忆本节课所学的学问.2.作业：(1)必做题：习题18.2第1题(2)(4)和第3题;(2)选做题：习题18.2第46题.