高一数学函数知识点优质.docx

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1、高一数学函数知识点高一数学函数学问点1高一数学函数学问点归纳1、函数：设A、B为非空集合，假如根据某个特定的对应关系f，使对于集合A中的随意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，写作y=f(x)，xA，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合B=f(x)xA 叫做函数的值域。2、函数定义域的解题思路：若x处于分母位置，则分母x不能为0。偶次方根的被开方数不小于0。对数式的真数必需大于0。指数对数式的底，不得为1，且必需大于0。指数为0时，底数不得为0。假如函数是由一些基本函数通过

2、四则运算结合而成的，那么，它的定义域是各个部分都有意义的x值组成的集合。实际问题中的函数的定义域还要保证明际问题有意义。3、相同函数表达式相同：与表示自变量和函数值的字母无关。定义域一样，对应法则一样。4、函数值域的求法视察法：适用于初等函数及一些简洁的由初等函数通过四则运算得到的函数。图像法：适用于易于画出函数图像的函数已经分段函数。配方法：主要用于二次函数，配方成y=(x-a)2+b的形式。代换法：主要用于由已知值域的函数推想未知函数的值域。5、函数图像的变换平移变换：在x轴上的变换在x上就行加减，在y轴上的变换在y上进行加减。伸缩变换：在x前加上系数。对称变换：中学阶段不作要求。6、映射

3、：设A、B是两个非空集合，假如按某一个确定的对应法则f，使对于A中的随意仪的元素x，在集合B中都有唯一的确定的y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的映射。集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的。集合A中的不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个。不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。7、分段函数在定义域的不同部分上有不同的解析式表达式。各部分自变量和函数值的取值范围不同。分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集。8、复合函数：假如(uM)，u=g(x) (xA),则，y=fg(x)=F(x) (xA)，称为f、g的复合函数。高一数学必修五学

4、问点总结空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：(1)共面：平行、相交(2)异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。两异面直线所成的角：范围为(0，90)esp.空间向量法两异面直线间距离:公垂线段(有且只有一条)esp.空间向量法2、若从有无公共点的角度看可分为两类：(1)有且仅有一个公共点相交直线;(2)没有公共点平行或异面高一数学直线和平面的位置关系直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行直线在平面内有多数个公共点直线和

5、平面相交有且只有一个公共点直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。空间向量法(找平面的法向量)规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0角由此得直线和平面所成角的取值范围为0，90最小角定理:斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角三垂线定理及逆定理:假如平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直直线和平面垂直直线和平面垂直的定义：假如一条直线a和一个平面内的随意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面相互垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。直线与平面垂直的判定定

6、理：假如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。直线与平面垂直的性质定理：假如两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。直线和平面平行没有公共点直线和平面平行的定义：假如一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。直线和平面平行的判定定理：假如平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。直线和平面平行的性质定理：假如一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。(1)有且仅有一个公共点相交直线;(2)没有公共点平行或异面高一数学函数学问点2一、增函数和减函数一般地，设函数f(x

7、)的定义域为I：假如对于属于I内某个区间上的随意两个自变量的值x1、x2,当x1x2时都有f(x1)f(x2).那么就说f(x)在 这个区间上是增函数。假如对于属于I内某个区间上的随意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时都有f(x1)f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数。二、单调区间单调区间是指函数在某一区间内的函数值Y，随自变量X增大而增大（或减小）恒成立。假如函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y= f(x)的单调区间。一、指数函数的定义指数函数的一般形式为y=ax(a0且1) (xR).二、指数函数

8、的性质1.曲线沿x轴方向向左无限延展=函数的定义域为（-，+）2.曲线在x轴上方，而且向左或向右随着x值的减小或增大无限靠近X轴（x轴是曲线的渐近线）=函数的值域为（0，+）一、对数与对数函数定义1.对数：一般地，假如a（a大于0，且a不等于1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log aN=b,读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。2.对数函数：一般地，函数y=log(a)X，（其中a是常数，a0且a不等于1）叫做对数函数，它事实上就是指数函数的反函数，因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。二、方法点拨在解决函数的综合性问题时，要依据题目的详细状况

9、把问题分解为若干小问题一次解决，然后再整合解决的结果，这也是分类与整合思想的一个重要方面。一、幂函数定义形如y=xa(a为常数)的函数，即以底数为自变量 幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。二、性质幂函数不经过第三象限,假如该函数的指数的分子n是偶数,而分母m是随意整数,则y0,图像在第一;二象限.这时(-1)p的指数p的奇偶性无关.假如函数的指数的分母m是偶数,而分子n是随意整数,则x0(或xy0(或y=0),图像在第一象限.与p的奇偶性关系不大,高一数学函数学问点31. 函数的奇偶性(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x) ;(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则 f(

10、0)=0(可用于求参数);(3)推断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)f(-x)=0或 (f(x)0);(4)若所给函数的解析式较为困难，应先化简，再推断其奇偶性;(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;2. 复合函数的有关问题(1)复合函数定义域求法：若已知 的定义域为a，b,其复合函数fg(x)的定义域由不等式ag(x)b解出即可;若已知fg(x)的定义域为a,b,求 f(x)的定义域，相当于xa,b时，求g(x)的值域(即 f(x)的定义域);探讨函数的问题肯定要留意定义域优先的原则。(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;3.函数图像

11、（或方程曲线的对称性）(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上随意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;(2)证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上随意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然;(3)曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2b-y)=0;(5)若函数y=f(x)对xR时，f(a+x)=f(a-x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称;(6)函数y=f(x-a)与y=f

12、(b-x)的图像关于直线x= 对称;4.函数的周期性(1)y=f(x)对xR时，f(x +a)=f(x-a) 或f(x-2a )=f(x) (a0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;(2)若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2a的周期函数;(3)若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4a的周期函数;(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2 的周期函数;(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(ab)对称，则函数y=f(x)是周期为2 的周期函数;(6)y=f(x)对xR时，f(x

13、+a)=-f(x)(或f(x+a)= ，则y=f(x)是周期为2 的周期函数;5.方程k=f(x)有解 kD(D为f(x)的值域)；af(x) 恒成立 af(x)max,; af(x) 恒成立 af(x)min;(1) (a0,a1,b0,nR+);(2) l og a N= ( a0,a1,b0,b1);(3) l og a b的符号由口诀“同正异负”记忆;(4) a log a N= N ( a0,a1,N0 );6. 推断对应是否为映射时，抓住两点：(1)A中元素必需都有象且唯一;(2)B中元素不肯定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;7. 能娴熟地用定义证明函数的单调性，求

14、反函数，推断函数的奇偶性。8.对于反函数，应驾驭以下一些结论：(1)定义域上的单调函数必有反函数;(2)奇函数的反函数也是奇函数;(3)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;(4)周期函数不存在反函数;(5)互为反函数的两个函数具有相同的单调性;(6) y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数，设f(x)的定义域为A，值域为B，则有ff-1(x)=x(xB),f-1f(x)=x(xA);9.处理二次函数的问题勿忘数形结合二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系;10 依据单调性利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题;

15、11 恒成立问题的处理方法：(1)分别参数法;(2)转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解;练习题：1 （3,4）关于x轴对称的点的坐标为_,关于y轴对称的点的坐标为_,关于原点对称的坐标为_.2 点B（5,2）到x轴的距离是_,到y轴的距离是_,到原点的距离是_3 以点（3,0）为圆心,半径为5的圆与x轴交点坐标为_,与y轴交点坐标为_4 点P（a3,5a）在第一象限内,则a的取值范围是_5 小华用500元去购买单价为3元的一种商品,剩余的钱y（元）与购买这种商品的件数x（件）之间的函数关系是_,x的取值范围是_6 函数y= 的自变量x的取值范围是_7 当a=_时,函数y=x 是正比

16、例函数8 函数y=2x4的图象经过_象限,它与两坐标轴围成的三角形面积为_,周长为_9 一次函数y=kxb的图象经过点（1,5）,交y轴于3,则k=_,b=_10若点（m,m3）在函数y= x2的图象上,则m=_11 y与3x成正比例,当x=8时,y=12,则y与x的函数解析式为_12函数y= x的图象是一条过原点及（2,_ ）的直线,这条直线经过第_象限,当x增大时,y随之_13.函数y=2x4,当x_,y0,b0,b0; C、k高一数学函数学问点4一、函数的概念与表示1、映射(1)映射：设A、B是两个集合，假如根据某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，

17、则这样的对应(包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作f：AB。留意点：(1)对映射定义的理解。(2)推断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射2、函数构成函数概念的三要素定义域对应法则值域两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同二、函数的解析式与定义域1、求函数定义域的主要依据：(1)分式的分母不为零;(2)偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义;(3)对数函数的真数必需大于零;(4)指数函数和对数函数的底数必需大于零且不等于1;三、函数的值域1求函数值域的方法干脆法：从自变量x的范围动身，推出y=f(x)的取值范围，适合于简洁的复合函数;

18、换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式;判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围;适合分母为二次且R的分式;分别常数：适合分子分母皆为一次式(x有范围限制时要画图);单调性法：利用函数的单调性求值域;图象法：二次函数必画草图求其值域;利用对号函数几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含肯定值函数四.函数的奇偶性1.定义:设y=f(x)，xA，假如对于随意A，都有，则称y=f(x)为偶函数。假如对于随意A，都有，则称y=f(x)为奇函数。2.性质：y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称,y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于

19、原点对称,若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0奇奇=奇偶偶=偶奇奇=偶偶偶=偶奇偶=奇两函数的定义域D1，D2，D1D2要关于原点对称3.奇偶性的推断看定义域是否关于原点对称看f(x)与f(-x)的关系五、函数的单调性1、函数单调性的定义：2设是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则在M上是减函数;若f(x)与g(x)的单调性相同，则在M上是增函数。高一数学函数学问点5学问点总结本节学问包括函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的最值、函数的对称性和函数的图象等学问点。函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的最值、函数的对称性是学习函数的图象的基础

20、，函数的图象是它们的综合。所以理解了前面的几个学问点，函数的图象就迎刃而解了。一、函数的单调性1、函数单调性的定义2、函数单调性的推断和证明：(1)定义法 (2)复合函数分析法 (3)导数证明法 (4)图象法二、函数的奇偶性和周期性1、函数的奇偶性和周期性的定义2、函数的奇偶性的判定和证明方法3、函数的周期性的判定方法三、函数的图象1、函数图象的作法 (1)描点法 (2)图象变换法2、图象变换包括图象：平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换。常见考法本节是段考和高考必不行少的考查内容，是段考和高考考查的重点和难点。选择题、填空题和解答题都有，并且题目难度较大。在解答题中，它可以和中学数学的每一

21、章联合考查，多属于拔高题。多考查函数的单调性、最值和图象等。误区提示1、求函数的单调区间，必需先求函数的定义域，即遵循“函数问题定义域优先的原则”。2、单调区间必需用区间来表示，不能用集合或不等式，单调区间一般写成开区间，不必考虑端点问题。3、在多个单调区间之间不能用“或”和“ ”连接，只能用逗号隔开。4、推断函数的奇偶性，首先必需考虑函数的定义域，假如函数的定义域不关于原点对称，则函数肯定是非奇非偶函数。5、作函数的图象，一般是首先化简解析式，然后确定用描点法或图象变换法作函数的图象。高一数学函数学问点6一：函数及其表示学问点详解文档包含函数的概念、映射、函数关系的推断原则、函数区间、函数的

22、三要素、函数的定义域、求详细或抽象数值的函数值、求函数值域、函数的表示方法等1. 函数与映射的区分：2. 求函数定义域常见的用解析式表示的函数f(x)的定义域可以归纳如下：当f(x)为整式时，函数的定义域为R.当f(x)为分式时，函数的定义域为使分式分母不为零的实数集合。当f(x)为偶次根式时，函数的定义域是使被开方数不小于0的实数集合。当f(x)为对数式时，函数的定义域是使真数为正、底数为正且不为1的实数集合。假如f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合，即求各部分有意义的实数集合的交集。复合函数的定义域是复合的各基本的函数定义域的交集。对于由实际

23、问题的背景确定的函数，其定义域除上述外，还要受实际问题的制约。3. 求函数值域(1)、视察法：通过对函数定义域、性质的视察，结合函数的解析式，求得函数的值域;(2)、配方法;假如一个函数是二次函数或者经过换元可以写成二次函数的形式，那么将这个函数的右边配方，通过自变量的范围可以求出该函数的值域;(3)、判别式法：(4)、数形结合法;通过视察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域;(5)、换元法;以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域;(6)、利用函数的单调性;假如函数在给出的定义域区间上是严格单调的，那么就可以利用端点的函数值来求出值域;(7)

24、、利用基本不等式：对于一些特别的分式函数、高于二次的函数可以利用重要不等式求出函数的值域;(8)、最值法：对于闭区间a,b上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间a,b内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域;(9)、反函数法：假如函数在其定义域内存在反函数，那么求函数的值域可以转化为求反函数的定义域。高一数学函数学问点7I、定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a0，且a确定函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a0时，抛物线向上开口;当a0)，对称轴在y轴左;当a与b异号时(即a

25、b0时，抛物线与x轴有2个交点。=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。=b2-4ac0时，顶点为最小值，a0时的最大值或a0时，函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响.3、函数的最值在实际问题中的应用函数的最值的应用主要体现在用函数学问求解实际问题上，从文字表述上经常表现为“工程造价最低”，“利润”或“面积(体积)(最小)”等诸多现实问题上，求解时要特殊关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值.1、函数的奇偶性的定义：对于函数f(x)，假如对于函数定义域内的随意一个x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数(或偶函数).正确

26、理解奇函数和偶函数的定义，要留意两点：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.(奇偶性是函数定义域上的整体性质).2、奇偶函数的定义是推断函数奇偶性的主要依据。为了便于推断函数的奇偶性，有时须要将函数化简或应用定义的等价形式：留意如下结论的运用：(1)不论f(x)是奇函数还是偶函数，f(|x|)总是偶函数;(2)f(x)、g(x)分别是定义域D1、D2上的奇函数，那么在D1D2上，f(x)+g(x)是奇函数，f(x)g(x)是偶函数，类似地有“奇奇=奇”“奇奇=偶”，“偶偶=偶”“偶偶=

27、偶”“奇偶=奇”;(3)奇偶函数的复合函数的奇偶性通常是偶函数;(4)奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数。3、有关奇偶性的几特性质及结论(1)一个函数为奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数为偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称.(2)如要函数的定义域关于原点对称且函数值恒为零，那么它既是奇函数又是偶函数.(3)若奇函数f(x)在x=0处有意义，则f(0)=0成立.(4)若f(x)是具有奇偶性的区间单调函数，则奇(偶)函数在正负对称区间上的单调性是相同(反)的。(5)若f(x)的定义域关于原点对称，则F(x)=f(x)+f(-x)是偶函数，G(x)=f(x)-f(-x)

28、是奇函数.(6)奇偶性的推广函数y=f(x)对定义域内的任一x都有f(a+x)=f(a-x)，则y=f(x)的图象关于直线x=a对称，即y=f(a+x)为偶函数.函数y=f(x)对定义域内的任-x都有f(a+x)=-f(a-x)，则y=f(x)的图象关于点(a，0)成中心对称图形，即y=f(a+x)为奇函数。1、单调函数对于函数f(x)定义在某区间a，b上随意两点x1，x2，当x1x2时，都有不等式f(x1)(或x2)，这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”.5、复合函数y=fg(x)的单调性若u=g(x)在区间a，b上的单调性，与y=f(u)在g(a)，g(

29、b)(或g(b)，g(a)上的单调性相同，则复合函数y=fg(x)在a，b上单调递增;否则，单调递减.简称“同增、异减”.在探讨函数的单调性时，常须要先将函数化简，转化为探讨一些熟知函数的单调性。因此，驾驭并熟记一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，将大大缩短我们的推断过程.6、证明函数的单调性的方法(1)依定义进行证明.其步骤为：任取x1、x2M且x1(或0，则f(x)为增函数;假如f(x)0)沿y轴向平移b个单位y=f(xa)(a0)沿x轴向平移a个单位y=-f(x)作关于x轴的对称图形y=f(|x|)右不动、左右关于y轴对称y=|f(x)|上不动、下沿x轴翻折y=f-1(x)作

30、关于直线y=x的对称图形y=f(ax)(a0)横坐标缩短到原来的，纵坐标不变y=af(x)纵坐标伸长到原来的|a|倍，横坐标不变y=f(-x)作关于y轴对称的图形定义在实数集上的函数f(x)，对随意x，yR，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，且f(0)0.求证：f(0)=1;求证：y=f(x)是偶函数;若存在常数c，使求证对随意xR，有f(x+c)=-f(x)成立;试问函数f(x)是不是周期函数，假如是，找出它的一个周期;假如不是，请说明理由.思路分析：我们把没有给出解析式的函数称之为抽象函数，解决这类问题一般采纳赋值法.解答：令x=y=0，则有2f(0)=2f2(0)，因为f(0)0，所以f(0)=1.令x=0，则有f(x)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y)，所以f(-y)=f(y)，这说明f(x)为偶函数.分别用(c0)替换x、y，有f(x+c)+f(x)=所以，所以f(x+c)=-f(x).两边应用中的结论，得f(x+2c)=-f(x+c)=-f(x)=f(x)，所以f(x)是周期函数，2c就是它的一个周期.