哈工大理论力学课件第十三章ppt.ppt

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1、第十三章第十三章 动动 能能 定定 理理功是代数量功是代数量13-1 13-1 力的功力的功 一、一、常力在直线运动中的功常力在直线运动中的功单位单位 J J（焦耳）（焦耳） 1 J = 1 Nm 1 J = 1 Nm sFsFWcoscosWFds元功元功dWFr二、变力在曲线运动中的功二、变力在曲线运动中的功ddddxyzFF iF jF krxiyjzk记记dddxyzWFxFyF z21 MM力力 在在 路程上的功为路程上的功为F221112dMMMMWWF r 1212()iiiWm g zz 1 1、重力的功、重力的功质点系质点系iiCzmmz由由重力的功只与始、末位置有关，与路径

2、无关。重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。)(2112CCzzmgW得得)(d211221zzmgzmgWzz0 xyzFFFmg 三、几种常见力的功三、几种常见力的功质点质点2 2、弹性力的功、弹性力的功弹簧刚度系数弹簧刚度系数k( (N/m) )0()rFk rl e 弹性力弹性力弹性力的功为弹性力的功为2112dAAWFr210()dArAk rl er211ddd()d()d22rrerrr rrrrrr 因因022011,lrlr式中式中rlrkWrrd)(01221得得)(2222112kW即即弹性力的功也与路径无关弹性力的功也与路径无关2112dzWM3. 3. 定轴转动刚物

3、体上作用力的功定轴转动刚物体上作用力的功)(1212zMW则则zM若若 常量常量dddttWFrF sFR由由RFMtzdzWM从角从角 转动到角转动到角 过程中力过程中力 的功的功为为12FiMiF作用在作用在 点的力点的力 的元功的元功为为力系全部力的元功之和为力系全部力的元功之和为d()diiCCiWWFrMF4. 4. 平面运动刚体上力系的功平面运动刚体上力系的功dddiiiiCiiCWFrFrFr其中其中dcosd()diiCiCiFrFMCMFdddiCiCrrriCiCvvv由由两端乘两端乘dt, ,有有ddRCCFrM其中其中: 为力系主失为力系主失, 为力系对质心的主矩为力系

4、对质心的主矩. RFCM当质心由当质心由 , ,转角由转角由 时时, ,力系的功力系的功为为21 CC21即即:平面运动刚体上力系的功平面运动刚体上力系的功,等于刚体上所受各力作功的代数和等于刚体上所受各力作功的代数和,也等于力系向质心简化所得的力和力偶作功之和也等于力系向质心简化所得的力和力偶作功之和.221112ddCRCCCWFrM说明说明:1:1、对任何运动的刚体、对任何运动的刚体, ,上述结论都适用上述结论都适用; ; 2 2、C点不是质心点不是质心, ,而是刚体上任意一点时而是刚体上任意一点时, ,上述结论也成立上述结论也成立; ; 3 3、计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功

5、的力。、计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。 1WF S 20W 112WWWF S 1WF R 20W 112WWWF R 已知已知:均质圆盘均质圆盘R,m,F=常量常量,且很大且很大,使使O向右运动向右运动, f, 初静止。初静止。求求:O走过走过S路程时力的功。路程时力的功。,SFWd1 1、摩擦力、摩擦力Fd d 的功的功 S是力在空间的位移，不是是力在空间的位移，不是 受力作用点的位移受力作用点的位移. .解：解：ddd()2SWFF SF RFSF SR不作功的力可不考虑不作功的力可不考虑,因此亦可如下计算因此亦可如下计算:RSRFRFSFFFWTT)()(ddfsmgF

6、SSFFS22d 2 2、可将力系向点、可将力系向点O 简化，即简化，即22WFSF SFSmgfsd13-2 13-2 质点和质点系的动能质点和质点系的动能221iimT2 2、质点系的动能、质点系的动能1 1、质点的动能、质点的动能221mT 单位：单位：J J（焦耳）（焦耳）iCimvvmTi22212122222212121iiiiiirmrmvmT（1 1）平移刚体的动能）平移刚体的动能（2 2）定轴转动刚体的动能）定轴转动刚体的动能221zJT 即即 221CmvT 即即 222)(2121mdJJTCp即即:平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能平面运动刚体的动能等于随质心平移的

7、动能与绕质心转动的动能之和与绕质心转动的动能之和.222121CCJmvT得得速度瞬心为速度瞬心为P（3 3）平面运动刚体的动能）平面运动刚体的动能上面结论也适用于刚体的任意运动上面结论也适用于刚体的任意运动.ddtrddmFt将将 两端点乘两端点乘 , ,21dd(),d2mmFrW由于由于13-3 13-3 动能定理动能定理1 1、质点的动能定理、质点的动能定理21()2mWd因此因此ddmFr得得 质点质点动能定理动能定理的微分形式，即质点动能的增量等于作的微分形式，即质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。用在质点上力的元功。1221222121Wmm 质点动能定理的积分形式质点动能定

8、理的积分形式: :在质点运动的某个过程中在质点运动的某个过程中, ,质质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功点动能的改变量等于作用于质点的力作的功. .积分之积分之,有有2 2、质点系的动能定理、质点系的动能定理 质点系动能定理的微分形式质点系动能定理的微分形式: :质点系动能的增量，等于作质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的元功的和用于质点系全部力所作的元功的和. . 由由21()2iiimWd21()2iiimWd求和求和iTWd得得 质点系动能定理的积分形式质点系动能定理的积分形式: :质点系在某一段运动过程质点系在某一段运动过程中中, ,起点和终点的动能改变量起点和终点的动

9、能改变量, ,等于作用于质点系的全部力等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和在这段过程中所作功的和. .积分之积分之,有有21iTTW3 3、理想约束、理想约束 光滑固定面、固定铰支座、光滑铰链、不可伸长的柔光滑固定面、固定铰支座、光滑铰链、不可伸长的柔索等约束的约束力作功等于零索等约束的约束力作功等于零.称约束力作功等于零的约束为理想约束称约束力作功等于零的约束为理想约束. 对理想约束对理想约束,在动能定理中只计入主动力的功即可在动能定理中只计入主动力的功即可.内力作功之和不一定等于零内力作功之和不一定等于零.当轮子在固定面只滚不滑时，接触处是否为理想约束？当轮子在固定面只滚不滑时，

10、接触处是否为理想约束？思考：已知已知:m, h, k, 其它质量不计其它质量不计.max求求: 例例13-1 解解:120,0TTmax2max2)(00khmgkmghgmkkmg2122max已知：轮已知：轮O ：R1 ，m1 1 , ,质量分布在轮缘上质量分布在轮缘上; ; 均质轮均质轮C ：R2 2 ， m2 2 ，纯滚动纯滚动, , 初始静止初始静止 ; ; , ,M 为常力偶。为常力偶。求求: :轮心轮心C 走过路程走过路程S时的速度和加速度时的速度和加速度例例13-2122sinWMm gS01T22222222212112)21(2121)(21RmmRmT轮轮C与轮与轮O共同

11、作为一个质点系共同作为一个质点系解解:2211,RRCC1212TTW1RS)32()(221112mmRSSingRmMC2212sin(23)4CMm gSmm)(a式式(a)(a)是函数关系式，两端对是函数关系式，两端对t求导求导, ,得得12211(23)sin2CCCCmmaMm gR211212 (sin )(23)CMm gRamm R求求:冲断试件需用的能量。冲断试件需用的能量。 701 292已知：冲击试验机已知：冲击试验机m=18kg, =18kg, l=840=840mm, , 杆重不计，在杆重不计，在 时静止释放，冲断试件后摆至时静止释放，冲断试件后摆至例例13-3JW

12、k92.78得冲断试件需要的能量为得冲断试件需要的能量为)cos1 (001mgl0, 021TTkWmgl)cos1 (2解解:已知已知:均质圆盘均质圆盘R,m,F=常量常量,且很大且很大,使使O向右运动向右运动, f, 初静止。初静止。例例13-4求求:O走过走过S路程时路程时， 。R001T圆盘速度瞬心为圆盘速度瞬心为C , ,202220243)2(2121mmRmT 解解: :12TTW20432mmgfsFS)(a)2(320mgfFmsmgfsFSW2将式将式(a)(a)两端对两端对t求导求导, ,并利用并利用,00rar)2(320mgfFma得得21,OO已知已知: : ,

13、, 均质均质; ;杆杆m均质均质, =, =l , , M= =常量常量, ,纯滚动纯滚动, ,处于水处于水平面内平面内, ,初始静止初始静止. . 21OO1r1m例例13-513-5求求: : 转过转过角的角的21OO, , 01T221)233(21lmm研究整个系统研究整个系统),(1101101rlrl22112011222)2(2121)3(21rmmmlT解解:MW WTT12221)233(21lmmM)(a21)92(12lmmM21)92(6lmmM式式(a)(a)对任何对任何均成立均成立, ,是函数关系是函数关系, ,求导得求导得注意注意: :轮轮、接触点接触点C是理想约

14、束是理想约束, ,其摩擦力其摩擦力Fs尽管在空间是移动的尽管在空间是移动的, ,但但作用于速度瞬心作用于速度瞬心, ,故不作功故不作功. .已知已知: :均质杆均质杆OB= =AB= =l, , m在铅垂面内在铅垂面内; ;M= =常量常量, ,初始静止初始静止, ,不不 计摩擦计摩擦. . 求求: :当当A A运动到运动到O点时点时, ,？A例例13-613-601TABABClCC23llBOBBAB,OBAB2)cos1 (2lmgMW解解: :lABA2 2221COBABmTTT12TTW)cos1 (321mglMmlAB2234ABml2022121OBABCJJdWPt13-4

15、 13-4 功率、功率方程、机械效率功率、功率方程、机械效率ddtrPFF vFvt1 1、功率功率：单位时间力所作的功单位时间力所作的功. .即即:功率等于切向力与力作用点速度的乘积功率等于切向力与力作用点速度的乘积. 由由 , ,得得dWFr作用在转动刚体上的力的功率为作用在转动刚体上的力的功率为zzMtMtWPddd单位单位W（瓦特）（瓦特）, ,1 1W=1=1J/S2 2、功率方程功率方程11nniiiiWTPttddd功率方程功率方程:即质点系动能对时间的一阶导数即质点系动能对时间的一阶导数,等于作用于质点等于作用于质点 系的所有力的功率的代数和系的所有力的功率的代数和.无用有用输

16、入PPPtTdd或或ddTPPPt无用输入有用机床3 3、机械效率机械效率机械效率机械效率输入有效PP有效功率有效功率tTPPdd有用有效多级传动系统多级传动系统12n例例13-713-7求求: :切削力切削力F的最大值。的最大值。5.4,Pkw输入%30输入无用PP100,42 /min, 112 /mindnnmmrr已知已知: :解解: :kw78. 3无用输入有用PPP2 30dnPFF有用6060 3.7817.190.1 42FPdnkN有用当当min/r112 n时时60 3.786.450.1 112FkN已知已知 :m ，l0 ，k ， R ， J。求求:系统的运动微分方程。

17、系统的运动微分方程。例例13-8:sR解解:2dd21tsmT22dd21tsRJmdd,ddssPmgPkstt 重力弹性力2dd21tJddTPPt重力弹性力tskstsmgtstsRJmdddddddd222ksmgtsRJm222dd令令 为弹簧静伸长，即为弹簧静伸长，即mg= =k , ,以平衡位置为原点以平衡位置为原点000sx2022JxmmgkkxRtkx dd0dd222kxtxRJm13-5 13-5 势力场势力场. .势能势能. .机械能守恒定律机械能守恒定律1.1.势力场势力场势力场势力场( (保守力场保守力场) ): :力的功只与力作用点的始、末位置有关力的功只与力作

18、用点的始、末位置有关, ,与与路径无关路径无关. ., ,FF x y z 力场力场 :一物体在空间任一位置都受到一个大小和方向完全一物体在空间任一位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力的作用由所在位置确定的力的作用.势力场中势力场中,物体所受的力为有势力物体所受的力为有势力.2.2.势能势能 在势力场中在势力场中,质点从点质点从点M运动到任意位置运动到任意位置M0,有势力所有势力所作的功为质点在点作的功为质点在点M相对于相对于M0的势能的势能.（1 1）重力场中的势能）重力场中的势能00dZZVmg zmg zz0220d2rrkVFr（2 2）弹性力场的势能）弹性力场的势能0,0为

19、零势能点 则22kV 00ddddMMxyzMMVFrFxFyFz0M 称势能零点称势能零点（3 3）万有引力场中的势能）万有引力场中的势能00122ddAArAAfm mVFrerrddrr由于有re112122111drrfm mVrfm mrrr取零势能点在无穷远取零势能点在无穷远1rrmfmV210diiMiiMVFr质点系质点系00CCiiizzmgzzgmV重力场重力场（4 4）质点系受到多个有势力作用）质点系受到多个有势力作用质点系的零势能位置质点系的零势能位置:各质点都处于其零势能点的一组位置各质点都处于其零势能点的一组位置.质点系的势能质点系的势能:质点系从某位置到其零势能位

20、置的运动过程质点系从某位置到其零势能位置的运动过程中中,各有势力做功的代数和为此质点系在该位置的势能各有势力做功的代数和为此质点系在该位置的势能.已知已知: :均质杆均质杆l,m , ,弹簧刚度系数弹簧刚度系数 k, , AB水平时平衡，弹水平时平衡，弹 簧变簧变形为形为 .0举例举例: :求求:杆有微小摆角时系统势能杆有微小摆角时系统势能. 重力以杆的水平位置为零势能位置重力以杆的水平位置为零势能位置, ,弹簧以自然位置弹簧以自然位置O为为零势能位置零势能位置: :kgmlklmglkV821221222220kmg200( )02AlMFklmg2221212022020202lmgllk

21、mghkV取杆平衡位置为零势能点取杆平衡位置为零势能点: :2221lkV即即质点系在势力场中运动质点系在势力场中运动, ,有势力功为有势力功为2112VVW对于不同的零势能位置对于不同的零势能位置,系统的势能是不同的系统的势能是不同的.3. 3. 机械能守恒定律机械能守恒定律由由1212WTT 质点系仅在有势力作用下运动时质点系仅在有势力作用下运动时,机械能守恒机械能守恒.此类系此类系统称统称保守系统保守系统.2112VVW2211VTVT得得机械能机械能:质点系在某瞬时动能和势能的代数和质点系在某瞬时动能和势能的代数和.质点系仅在有势力作用下质点系仅在有势力作用下,有有非保守系统的机械能是

22、不守恒的非保守系统的机械能是不守恒的.已知：重物已知：重物m=250kg, 以以v=0.5m/s匀速下降，钢索匀速下降，钢索 k=3.35 N/m . 610求求: : 轮轮D突然卡住时，钢索的最大张力突然卡住时，钢索的最大张力. .例例13-9stmgk10V 222maxmax2ststkVmg卡住前卡住前 卡住后卡住后0,21221TmTkN45. 2mgkFst解解:得得ststg2max1kN9.16112maxmkgmggkkFststst0222max2maxstststg即即由由 有有2211VTVTstmgmax22mxa220021stkm20022021221JbkJ取水

23、平位置为零势能位置取水平位置为零势能位置02220/ Jkb已知：已知：m, , k，水平位置平衡水平位置平衡 ，OD=CD=b。初角速初角速 度为度为 。O OJ0求：角速度与求：角速度与 角的关系。角的关系。解解:例例13-104. 4. 势力场的其他性质：势力场的其他性质：zVFyVFxVFzyx,(1)(1)有势力在直角坐标轴上的投影等于势能对于该坐标有势力在直角坐标轴上的投影等于势能对于该坐标 的偏导数冠以负号。的偏导数冠以负号。 （2 2）势能相等的点构成等势面）势能相等的点构成等势面 。 （3 3）有势力方向垂直于等势能面，指向势能减小的方向。）有势力方向垂直于等势能面，指向势能

24、减小的方向。系统有多个有势力作用系统有多个有势力作用,xiyiziiiiVVVFFFxyz 等势能面不能相交。势能等于零的等势能面为零势能面。等势能面不能相交。势能等于零的等势能面为零势能面。13-6 13-6 普遍定理的综合应用普遍定理的综合应用动量、动量矩动量、动量矩 动能动能矢量，有大小方向矢量，有大小方向内力不能使之改变内力不能使之改变只有外力能使之改变只有外力能使之改变约束力是外力时对之有影响。不与约束力是外力时对之有影响。不与能量相互转化，应用时不考虑能量能量相互转化，应用时不考虑能量的转化与损失。的转化与损失。当外力主矢为零时，系统动量当外力主矢为零时，系统动量 守守恒恒当外力对

25、定点当外力对定点O或质心的主矩为零或质心的主矩为零时系统对定点或者质心的动量矩守时系统对定点或者质心的动量矩守恒。恒。动量定理描述质心的运动变化动量定理描述质心的运动变化动量矩定理描述绕质心或绕定点的动量矩定理描述绕质心或绕定点的运动变化。运动变化。非负的标量，与方向无关非负的标量，与方向无关内力作功时可以改变动能内力作功时可以改变动能理想约束不影响动能理想约束不影响动能在保守系统中，机械能守恒在保守系统中，机械能守恒动能定理描述质心运动及相对质动能定理描述质心运动及相对质心运动中动能的变化。心运动中动能的变化。已知已知: :均质园轮均质园轮 m, , r, , R , ,纯滚动纯滚动. .求

26、求: :轮心轮心的运动微分方程的运动微分方程. .例例1 1ddsPmgmgtddsmgt dsindsmgt 222113224CCCTmJm解解: :重力的功率重力的功率dsindsmgtTPtdd（ 很小）很小）22ddd,sindddCCssstttRr032dd22rRgstsd3d2sin4ddCCsmmgtt 本题也可用机械能守恒定律求解本题也可用机械能守恒定律求解.243,cos1CmTrRmgV0sin32dd22gts得得0ddTVt已知已知: :两均质轮两均质轮m , ,R ; ; 物块物块m ,纯滚动纯滚动, ,于弹簧原长处无于弹簧原长处无 初速释放初速释放. .求：重

27、物下降求：重物下降h时时 , ,v，a及滚轮与地面的摩擦力及滚轮与地面的摩擦力.例例2 201T解解:2222222211 111322 2222TmmRmmRm222221khmghhkmghW将式（将式（a a）对）对t t 求导求导dd34ddhmmgkhtt12TTW（a）22232mkhmghmhkhmg322得得mkhga343RFFRmRts221ddkhF2其中其中khmgmaFFS34621已知: l, m，地面光滑地面光滑.求求:杆由铅直倒下杆由铅直倒下,刚到达地面时的角速度和地面约束力刚到达地面时的角速度和地面约束力.例例3cos2lCPCC解解:成成 角时角时, 01T

28、22222cos311212121CCCmJmT22cos31121sin12CmlmglgglC3,321(a)CNmaFmg(b)1222mlJlFCN时时0tnCACACAaaaa由由tCCAaa、nACAaa、其中其中: : 铅直铅直 水平水平2laatCAC(c)由由(a), (b), (c) 得得4mgFNAanCAatCAa已知已知: 轮轮I :r, m1; 轮轮III :r,m3; 轮轮II :R=2r, m2;压力角（即齿轮间压力角（即齿轮间 作用力与图中两圆切线间的夹角）为作用力与图中两圆切线间的夹角）为20度度,物块物块:mA;在轮在轮I 上作用有力偶上作用有力偶M，摩擦

29、力不计，摩擦力不计.求求:O1 , O2处的约束力处的约束力.例例4其中其中122,21,221112rmJrrOA22232211212121AAOOOmJJJT解解: :23322221,21rmJRmJOOMAWMmhdd利用利用2,2121raA其中其中d21drh TWtddrmmmmgrmMaAAA32144222M研究研究 I 轮轮rramMrrmMPAt112121ttnPPP364. 020tan 压力角为压力角为20rPMJtO11110O ytFPm g110.364AO xMm raFr10O xnFP111AO yMm raFm gr研究物块研究物块A1TAAATAA

30、Fm gm aFm am g 研究研究IIII轮轮02nxOPF210.364AO xMm raFr0322TtyOFgmmPF2231O yAAAMFmmmgrmm a已知：已知：m，R， k， CA=2R为弹簧原长，为弹簧原长，M为常力偶为常力偶.求求: :圆心圆心C无初速度由最低点到达最高点时，无初速度由最低点到达最高点时，O处约束力处约束力.例例52222022RkRmgMW21TTW222343. 0234kRRmgMmR2343. 02kRRmgM01T解解:22222243212121mRmRmRJTO45cosFRMJ21222232RRRkMmR2,CxCyaRaR22358

31、6. 02mRkRM 得OxOxmakRF586. 0cos45CyOymaFmgFCyOymakRmgF586. 0RMkRmg189. 4043. 1667. 3kRMR196. 032cos45CxOxmaFF已知：均质杆已知：均质杆AB，l， m，初始铅直静止，无摩擦初始铅直静止，无摩擦.求：求：1.1.B B端未脱离墙时端未脱离墙时, ,摆至摆至角位角位 置时的置时的 , , ,FBx , ,FBy 2. B端脱离瞬间的端脱离瞬间的3.杆着地时的杆着地时的vC及及 2例例6 6cos13lgsin23lg2latC22lanC2211 cos223lmlmg解解:(1)2cos2sin343cossin2mgmgaammgFnCtCByCyBymamgF)2cos3(sin43)sincos(mgaammaFnCtCCxBx (2) 脱离瞬间时脱离瞬间时0BxF12arccos3lglgcos131(3) 脱离后脱离后,水平动量守恒水平动量守恒,脱离瞬时脱离瞬时glvvCCx31cos1gllvC2121ABCCv杆着地时杆着地时, AC水平水平CBCBvvv22CyCBlvv