2022高考数学一轮复习 第四章 第1讲 任意角 弧度制及任意角的三角函数知识点 新人教A版 .doc
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1、第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数最新考纲1.了解任意角的概念;2.了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义知 识 梳 理1角的概念的推广(1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(2)分类(3)终边相同的角:所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合S|k360,kZ2弧度制的定义和公式(1)定义:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度记作rad.(2)公式角的弧度数公式|(弧长用l表示)角度与弧度的换算1 rad;1 rad弧长公式弧长l|r扇形面积公式Slr|r23.任意
2、角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么y叫做的正弦,记作sin x叫做的余弦,记作cos 叫做的正切,记作tan 各象限符号三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)小于90的角是锐角()(2)锐角是第一象限角,反之亦然()(3)将表的分针拨快5分钟,则分针转过的角度是30.()(4)若,则tan sin .()(5)相等的角终边一定相同,终边相同的角也一定相等()2下列与的终边相同的角的表达式中正确的是()A2k45(kZ) Bk360(kZ)
3、Ck360315(kZ) Dk(kZ)解析与的终边相同的角可以写成2k(kZ),但是角度制与弧度制不能混用,所以只有答案C正确答案C3(2014新课标全国卷)若tan 0,则()Asin 20 Bcos 0 Csin 0 Dcos 20 解析由tan 0可得的终边在第一象限或第三象限,此时sin 与cos 同号,故sin 22sin cos 0,故选A.答案A4(2014大纲全国卷)已知角的终边经过点(4,3),则cos ()A. B. C D 解析由三角函数的定义知cos .故选D.答案D5(人教A必修4P10A6改编)一条弦的长等于半径,这条弦所对的圆心角大小为_弧度答案考点一象限角与三角
4、函数值的符号判断【例1】 (1)若角是第二象限角,则是()A第一象限角 B第二象限角C第一或第三象限角 D第二或第四象限角(2)若sin tan 0,且0,则角是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角解析(1)是第二象限角,2k2k,kZ,kk,kZ.深度思考象限角的判定有两种方法,请你阅读规律方法,其中角的判断结论为:当k为偶数时,是第一象限角;当k为奇数时,是第三象限角(2)由sin tan 0可知sin ,tan 异号,从而为第二或第三象限的角,由0,可知cos ,tan 异号从而为第三或第四象限角综上,为第三象限角答案(1)C(2)C规律方法(1)已知所在的象限,求或
5、n(nN*)所在的象限的方法是:将的范围用不等式(含有k)表示,然后两边同除以n或乘以n,再对k进行讨论,得到或n(nN*)所在的象限(2)象限角的判定有两种方法:一是根据图象,其依据是终边相同的角的思想;二是先将此角化为k360(0360,kZ)的形式,即找出与此角终边相同的角,再由角终边所在的象限来判断此角是第几象限角(3)由角的终边所在的象限判断三角函数式的符号,需确定各三角函数的符号,然后依据“同号得正,异号得负”求解【训练1】 (1)设是第三象限角,且cos ,则是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角(2)sin 2cos 3tan 4的值()A小于0 B大于0C
6、等于0 D不存在解析(1)由是第三象限角,知为第二或第四象限角,cos ,cos 0,综上知为第二象限角(2)sin 20,cos 30,tan 40,sin 2cos 3tan 40.答案(1)B(2)A考点二三角函数的定义【例2】 已知角的终边经过点P(,m)(m0)且sin m,试判断角所在的象限,并求cos 和tan 的值解由题意得,r,sin m.m0,m.故角是第二或第三象限角当m时,r2,点P的坐标为(,),cos ,tan .当m时,r2,点P的坐标为(,)cos ,tan .综上可知,cos ,tan 或cos ,tan .规律方法利用三角函数的定义,求一个角的三角函数值,需
7、确定三个量:角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x,纵坐标y,该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上,此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)【训练2】 已知角的终边在直线3x4y0上,求sin ,cos ,tan 的值解角的终边在直线3x4y0上,在角的终边上任取一点P(4t,3t)(t0),则x4t,y3t,r5|t|,当t0时,r5t,sin ,cos ,tan ;当t0),所在圆的半径为R.(1)若60,R10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积;(2)若扇形的周长是一定值C(C0),当为多少弧度时,该扇形有最大面积?解(1)设弧长为l,弓形面积为S弓
8、,则60,R10,l10(cm),S弓S扇S10102sin 50(cm2)(2)扇形周长C2Rl2RR,R,S扇R2.当且仅当24,即2时,扇形面积有最大值.规律方法涉及弧长和扇形面积的计算时,可用的公式有角度表示和弧度表示两种,其中弧度表示的公式结构简单,易记好用,在使用前,应将圆心角用弧度表示弧长和扇形面积公式:l|R,S|R2lR.【训练3】 已知扇形的周长为4 cm,当它的半径为_ cm和圆心角为_弧度时,扇形面积最大,这个最大面积是_ cm2.解析设扇形圆心角为,半径为r,则2r|r4,|2.S扇形|r22rr2(r1)21,当r1时,(S扇形)max1,此时|2.答案121 微型
9、专题三角函数线的应用三角函数线是三角函数的几何特征,具有重要的意义,考生在平时的备考中总认为它是概念性内容,事实并不然,其应用十分广泛,除了用来比较三角函数值的大小,解三角不等式外,还是数形结合的有效工具,借助它不但可以准确画出三角函数图象,还可以讨论三角函数的性质【例4】 函数ylg(2sin x1)的定义域为_点拨依据题意列出不等式组,通过画图作出三角函数线,找到边界角,从而求出各不等式的取值范围,最后求交集即可解析要使原函数有意义,必须有:即如图,在单位圆中作出相应三角函数线,由图可知,原函数的定义域为(kZ)答案(kZ)点评利用单位圆求解函数定义域问题时,应熟练掌握0到2范围内的特殊角
10、的三角函数值,注意边界角的取舍,一定要与相应三角函数的周期结合起来,这也是本题的难点所在思想方法1任意角的三角函数值仅与角的终边位置有关,而与角终边上点P的位置无关若角已经给出,则无论点P选择在终边上的什么位置,角的三角函数值都是确定的如有可能则取终边与单位圆的交点其中|OP|r一定是正值2三角函数符号是重点,也是难点,在理解的基础上可借助口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦3在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是一个小技巧易错防范1注意易混概念的区别:象限角、锐角、小于90的角是概念不同的三类角第一类是象限角,第二、第三类是区间角2角度制与弧度制可利用180 rad进行互化,在同一
11、个式子中,采用的度量制度必须一致,不可混用3已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、选择题1若sin 0且tan 0,则是() A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 解析sin 0,则的终边落在第三、四象限或y轴的负半轴;又tan 0,在第一象限或第三象限,故在第三象限 答案C2若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角(0,)的弧度数为() A. B. C. D2 解析设圆半径为r,则其内接正三角形的边长为r,所以rr,. 答案C3若是第三象限角,则下列各式中不成立的是() Asin cos 0 Bt
12、an sin 0 Ccos tan 0 Dtan sin 0 解析是第三象限角,sin 0,cos 0,tan 0,则可排除A,C,D,故选B. 答案B4(2014南阳一模)已知锐角的终边上一点P(sin 40,1cos 40),则锐角()A80 B70 C20 D10解析根据三角函数定义知,tan tan 70,故锐角70.答案B5给出下列命题:第二象限角大于第一象限角;三角形的内角是第一象限角或第二象限角;不论是用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形的半径的大小无关;若sin sin ,则与的终边相同;若cos 0,则是第二或第三象限的角其中正确命题的个数是()A1 B2C3 D4解析
13、由于第一象限角370不小于第二象限角100,故错;当三角形的内角为90时,其既不是第一象限角,也不是第二象限角,故错;正确;由于sin sin ,但与的终边不相同,故错;当cos 1,时既不是第二象限角,又不是第三象限角,故错综上可知只有正确答案A二、填空题6已知是第二象限的角,则180是第_象限的角解析由是第二象限的角可得90k360180k360(kZ),则180(180k360)180180(90k360),即k36018090k360(kZ),所以180是第一象限的角答案一7已知角的顶点为坐标原点,始边为x轴的非负半轴,若P(4,y)是角终边上一点,且sin ,则y_解析因为sin ,
14、所以y0,且y264,所以y8.答案88函数y的定义域为_解析2cos x10,cos x.由三角函数线画出x满足条件的终边的范围(如图阴影所示)x(kZ)答案(kZ)三、解答题9已知角的终边上有一点的坐标是P(3a,4a),其中a0,求sin ,cos ,tan .解r5|a|.当a0时,r5a,sin ,cos ,tan ;当a0时,r5a,sin ,cos ,tan .综上可知,sin ,cos ,tan 或sin ,cos ,tan .10(1)已知扇形周长为10,面积是4,求扇形的圆心角;(2)一个扇形OAB的面积是1 cm2,它的周长是4 cm,求圆心角的弧度数和弦长AB.解(1)
15、设圆心角是,半径是r,则解得或(舍去)扇形的圆心角为.(2)设圆的半径为r cm,弧长为l cm,则解得圆心角2.如图,过O作OHAB于H,则AOH1 rad.AH1sin 1sin 1 (cm),AB2sin 1 (cm)能力提升题组(建议用时:25分钟)11已知角的终边经过点(3a9,a2),且cos 0,sin 0,则实数a的取值范围是()A(2,3 B(2,3)C2,3) D2,3解析由cos 0,sin 0可知,角的终边落在第二象限或y轴的正半轴上,所以有解得2a3.答案A12已知圆O:x2y24与y轴正半轴的交点为M,点M沿圆O顺时针运动弧长到达点N,以ON为终边的角记为,则tan
16、 ()A1 B1C2 D2解析圆的半径为2,的弧长对应的圆心角为,故以ON为终边的角为,故tan 1.答案B13如图,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动,当圆滚动到圆心位于(2,1)时,的坐标为_解析如图,作CQx轴,PQCQ,Q为垂足根据题意得劣弧2,故DCP2,则在PCQ中,PCQ2,|CQ|cossin 2,|PQ|sincos 2,所以P点的横坐标为2|CQ|2sin 2,P点的纵坐标为1|PQ|1cos 2,所以P点的坐标为(2sin 2,1cos 2),故(2sin 2,1cos 2)答案(2sin
17、 2,1cos 2)14已知sin 0,tan 0.(1)求角的集合;(2)求终边所在的象限;(3)试判断tan sin cos的符号解(1)由sin 0,知的终边在第三、四象限或y轴的负半轴上;由tan 0,知在第一、三象限,故角在第三象限,其集合为.(2)由(2k1)2k,得kk,kZ,故终边在第二、四象限(3)当在第二象限时,tan 0,sin 0,cos 0,所以tan sin cos 取正号;当在第四象限时,tan 0,sin 0,cos 0,所以tan sin cos 也取正号 因此,tan sin cos 取正号.第2讲 同角三角函数基本关系式与诱导公式最新考纲1.理解同角三角函
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