(理科数学解答题)2021年泉州市普通高中毕业班质量检查(3月)试题及答案解析.docx

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1、准考证号 姓名 （在此卷上答题无效）保密启用前泉州市 2019 届普通高中毕业班第一次质量检查理 科 数 学本试卷共 23 题，满分 150 分，共 5 页考试用时 120 分钟三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考Th都必须作答第 22、23 题为选考题，考Th根据要求作答（一）必考题：共 60 分17（12 分）已知数列an 的前n 项和 Sn 满足 Sn = 2a1 - an ，且 a1 ， S2 ， 2 成等差数列（1）求an 的通项公式；（2）若bn = 2 - log2 an ，数列bn 的前n 项和为Tn ，比较 Sn

2、与Tn 的大小【命题意图】本小题主要考查数列的递推关系、等比数列的定义、等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和等基础知识，考查运算求解、逻辑推理能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等， 体现基础性和综合性，导向对发展逻辑推理、数学运算等核心素养的关注【试题简析】（1）法一：因为 Sn = 2a1 - an所以 Sn+1 = 2a1 - an+1 1 分a1由-，可得a= -a+ a 即 n+1 =， 2 分n+1n+1nan2所以a 是公比为 1 的等比数列， 2 分（这步跳过不扣分）n2又 a1 ， S2 ， 2 成等差数列，所以2S2 = a1 + 2 ，（概念分）3 分即2 a +

3、 1 a = a + 2 ，解得a = 1， 4 分 12 1 11故数列a 的通项公式a =1 6 分nn2n-1法二： a1 ， S2 ， 2 成等差数列，所以2S2 = a1 + 2 ， 1 分即2 a + 1 a = a + 2 ，解得a = 1， 2 分 12 1 11由 Sn = 2a1 - an ，得2Sn = 2 - Sn-1(n 2) ， 3 分进而求得 S = 2(1- 1 n5 分( ) )n2,再由 S = 2(1- ( 1 )n ) （或由 S = 2a - a ），求得a = 1 . 6 分n2n1nn2n-1法三（参考给分意见）：求得 a1 = 1， 2 分再求a

4、 = 1 ，22a = 1 ， 3 分34所以数列a 的通项公式a =1 （归纳猜想分）4 分nn再进行证明，可再得 2 分.2n-1（2）因为bn= 2 - log2 an= 2 - log12 2n-1= 2 - (1- n) = n +1，（对数运算分）7 分所以Tn =n (2 + n +1) =2n (n + 3)2， （求和公式分）9 分又 Sn= 2a1- an= 2 -12n-1，10 分因为n N* ，所以T 2 ， S Sn 12 分18（12 分）如图，四棱锥 A - BCDE 中，BE 平面 ABC ，BECD ，AB = AC = BC = CD = 2BE ，F 为

5、 AD的中点（1）证明： EF 平面 ACD ；（2）求二面角 A - DE - C 的余弦值【命题意图】本题考查线面垂直的定义及判定、二面角的求解及空间向量的坐标运算等基础知识；考查空间想象能力、推理论证及运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想等；体现基础性、综合性与应用性，导向对发展数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养的关注【试题简析】解法一：（1）如图，取 AB 的中点为O ，连结CO ，因为ABC 为正三角形，所以CO AB ， 1 分取 AE 中点G ，连结OG ，则OGBE ，已知 BE 平面 ABC ，所以OG 平面 ABC ， 2 分 CO,

6、 AB 平面 ABC ，所以OG CO, OG AB ，3 分以O 为坐标原点， OA,OG,OC 的方向分别为 x, y, z 轴的正方向建系，设 AB = AC = BC = CD = 2BE = 2 ，则 A(1, 0, 0), B(-1, 0, 0), C(0, 0, 3), D(0, 2, 3), E(-1,1, 0),由 AF = 1 AD 得 F (1 ,1,3 ) ，所以 EF =33 ) ， 4 分222( , 0,22AD = (-1, 2, 3) ， CD = (0, 2, 0) ，AD = DEF AD = 0, EF CD = 0 ，又CD（相交未写暂不扣分）， 5

7、分所以 EF 平面 ACD 6 分（2）（用（1）的方法的，此处补给建系分 1 分） 7 分在（1）的基础上，计算可得CF AD = 0,CF EF = 0 ，所以CF 为平面 ADE 的一个法向量， 9 分m CD = 02 y = 0设平面CDE 的法向量为m=(x, y, z) ，则，令 x = 1，m ED = 0x + y +3z = 0得m=(1, 0, -3 ) 为平面CDE 的一个法向量， 11 分361 + 0 + 143cos = 22 =，2 46所以二面角 A - DE - C 的余弦值为4解法二： 12 分（1）取 AC 的中点为 H ，连结 BH , FH ，在Rt

8、ACD 中，中位线 HFCD ，且 HF = 1 CD ，2由已知 BECD ，且 BE = 1 CD ，2所以， HF / /BE ，且 HF = BE ，即 EFHB 为平行四边形，故 EFBH . 1 分因为ABC 为正三角形，所以 BH AC ,故 EF AC . 2 分由 BE 平面 ABC ，得 BE AB ， BE BC ， 3 分所以DABE 为直角三角形，且四边形 EBCD 为直角梯形，设 AB = AC = BC = CD = 2BE = 2 ，5计算得 AE = ED = ，所以 EF AD ， 4 分又由于 AC AD = A ， 5 分所以 EF 平面 ACD 6 分

9、（2）如图，取 AB 的中点为O ，连结CO ，因为ABC 为正三角形，所以CO AB ，已知 BE 平面 ABC ， CO 平面 ABC ，所以 BE CO ，ABBE = B ，所以CO 平面 ABE ，取 AE 中点G ，连结OG ，则OGBE ，所以OG CO ，以O 为坐标原点， OA,OG,OC 的方向分别为 x, y, z 轴的正方向建系，7 分则 A(1, 0, 0), B(-1, 0, 0), C(0, 0, 3), D(0, 2, 3), E(-1,1, 0),由 AF = 1 AD ，得 F (1 ,1,3 ) ， CF AD = 0,CF EF = 0 ，222所以CF

10、 为平面 ADE 的一个法向量（也可用几何法证CF AD ， CF EF ）， 9 分m 设平面CDE 的法向量为m=(x, y, z) ，则m 2 y = 0CD = 0ED = 0， x + y +3z = 0，令 x = 1，得m=(1, 0, -3 ) 为平面CDE 的一个法向量， 11 分361 + 0 + 143cos = 22 =，2 4所以二面角 A - DE - C 的余弦值为 12 分64解法三：（1）设 AB = AC = BC = CD = 2BE = 2 ，由 BE 平面 ABC ，得 BE AB ， BE BC ， 1 分所以DABE 为直角三角形，且四边形 EBC

11、D 为直角梯形，计算得 AE = ED =5 ，所以 EF AD ，2 分在 AED 中， AE = ED =5 ，所以 EF =3 ，在直角梯形 EBCD 中计算得CE =5 ，在 ACD 中，计算得CF =2 ，根据勾股定理证得 EF CF ，又由于CFAD = F ， 4 分5 分所以 EF 平面 ACD 6 分（2）同解法一、二19（12 分）2平面直角坐标系 xOy 中， A, F 分别是椭圆 E : xa2y2+=1(ab0) 的顶点和焦点，OAF 为等腰b2三角形， P(2,1) 在 E 上（1）求 E 的方程；（2）若直线l : y = x + m 与 E 交于 A, B 两点

12、，直线 PA, PB 分别与 x 轴交于C, D 两点，证明：PCD是等腰三角形【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识；考查运算求解、逻辑推理能力；考查数形结合思想、转化化归思想；导向对数学运算、直观想象、逻辑推理素养的关注【试题简析】解法 1：（1）由题意，可知点 A 为椭圆的短轴端点，故OAF 为等腰直角三角形且AOF = 90， 1 分所以b = c ， 2 分因为 P(2,1) 在 E 上，所以 4 + 1a2b2= 1， 3 分又 a2 = b2 + c2 ， 4 分由，可得a = 6, b = 3 ，x2故所求椭圆的方程为y2+=1 5 分633（

13、2）不妨设 A(0, 3) .因为 A 在直线 y = x + m 上，所以m =， 6 分 y = x +3,2 63+=由 x2y21,消去 y ，得3x+ 4 3x = 0 ， 7 分4 3解得 x = 0 或 x =-，3故 A(0, 3), B(-, -) ， 8 分4 3333直线 PA, PB 的斜率k= y1 -1 =， 9 分1- 31x1 - 2233 +14 + 2 33 -1-14 32k = 3=- 23， 10 分2故 k1 + k2 = 0 ，11 分所以PCD = PDC ，故PCD 是等腰三角形 12 分解法 2：（1）同解法 1； 5 分3（2）不妨设 A(

14、0, 3) .因为 A 在直线 y = x + m 上，所以m =， 6 分 y = x +3,2 63+=由 x2y21,消去 y ，得3x+ 4 3x = 0 ， 7 分4 3从而 x1 + x2 = - 3 , x1x2 = 0 ， 8 分直线 PA, PB 的斜率k= y1 -1 ， k= y2 -1 ， 9 分12x1 - 2x2 - 2则 k + k= y1 -1 + y2 -1 = (x2 - 2)( y1 -1) + (x1 - 2)( y2 -1) ，12x - 2x - 2(x - 2)(x - 2)1212(x2 - 2)(x1 + 3 -1) + (x1 - 2)(x2

15、 + 3 -1)=，(x1 - 2)(x2 - 2)2x1 x2 + ( 3 - 3)(x1 + x2 ) - 4( 3 -1)=，(x1 - 2)(x2 - 2)( 3 - 3)(- 4 3 ) - 4( 3 -1)= 3，(x1 - 2)(x2 - 2)(4 - 4)( 3 -1)= 0 ， 11 分(x1 - 2)(x2 - 2)所以PCD = PCD ，故PCD 是等腰三角形 12 分解法 3：（1）同解法 1； 5 分3（2）不妨设 A(0, 3) .因为 A 在直线 y = x + m 上，所以m =， 6 分 y = x +3,2 63+=由 x2y21,消去 y ，得3x+ 4

16、 3x = 0 ， 7 分4 3解得 x = 0 或 x =-，3故 A(0, 3), B(-, -) ， 8 分4 3333直线 PA, PB 的斜率k= y1 -1 =，9 分1- 31x1 - 2233 +14 + 2 33 -1-14 32k = 3=- 2333， 10 分2直线 PA 的方程为 y = 1-23 x +，令 y = 0 ，得 x = 3 +，即C(3 +3, 0) ，直线直线 PB 的方程为 y -1 =(x - 2) ，3 -12令 y = 0 ，得 x = 1-3 ，即 D(1-3, 0) ， 11 分(3 + 3 - 2)2 +12故 PC =(1+3)2 +

17、1 ，(2 -1+ 3)2 +1(1+ 3)2 +1PC =，所以 PC= PD ，故PCD 是等腰三角形 12 分解法 4：（1）同解法 1； 5 分3（2）不妨设 A(0, 3) .因为 A 在直线 y = x + m 上，所以m =， 6 分 y = x +3,2 63+=由 x2y21,消去 y ，得3x+ 4 3x = 0 ， 7 分4 3解得 x = 0 或 x =-，3故 A(0, 3), B(-, -) ， 8 分4 3333直线 PA, PB 的斜率k= y1 -1 =，9 分1- 31x1 - 2233 +14 + 2 33 -1-14 32k = 3=- 23， 10 分

18、2直线 PA 的方程为 y =x +，令 y = 0 ，得 x = 3 +，即C(3 +1- 33323, 0) ，直线直线 PB 的方程为 y -1 =(x - 2) ，3 -12令 y = 0 ，得 x = 1-3 ，即 D(1-3, 0) ， 11 分x + x故 CD2= 2 = xP，即 P 在线段CD 的垂直平分线上，所以 PC= PD ，故PCD 是等腰三角形 12 分20（12 分）法国数学家亨利庞加莱(JulesHenri Poincar) 是个每天都会吃面包的人，他经常光顾同一家面包店，面包师声称卖给庞加莱的面包平均重量是 1000g，上下浮动 50g在庞加莱眼中，这用数学

19、语言来表达就是： 面包的重量服从期望为 1000g，标准差为 50g 的正态分布（1）假如面包师没有撒谎，现庞加莱从该面包店任意买 2 个面包，求其质量均不少于 1000g 的概率；（2）出于兴趣或一个偶然的念头，庞加莱每天将买来的面包称重，前 25 个数据纪录如下： 庞加莱 25 个面包质量( X ) 的统计数据（单位：g）983972966992101010089549529699689981001100695795096997197595295998710111000997961设从这 25 个面包中任取 2 个，其质量不少于1000g 的面包数记为h ，求 E(h) ；（3）庞加莱计算

20、出这 25 个面包质量( X ) 的平均值 X = 978.72 g，标准差是20.16g ，认定面包师在制作过程中偷工减料，并果断举报给质检部门，质检员对面包师做了处罚，面包师也承认自己的错误，并同意做出改正庞加莱在接下来的一段时间里每天都去这家面包店买面包，他又认真记录了 25 个面包的质量，并算得它们的平均值为1002.6g ，标准差是5.08g ，于是庞加莱又一次将面包师举报了请你根据两次平均值和标准差的计算结果及其统计学意义，说说庞加莱又一次举报的理由【命题意图】本小题主要考查古典概型、分布列、期望、方差等基础知识，考查数据处理能力、应用意识和创新意识等，考查统计与概率思想，导向对发

21、展逻辑推理、数学运算、数学建模、数据分析等核心素养的关注【试题简析】（1）由已知可得庞加莱从该面包店购买任意一个面包，其质量不少于1000g 的概率为 1 ， . 1 分2设庞加莱从该面包店购买 2 个面包，其质量不少于1000g 的面包数为x ，由已知可得x B(2, 1) ，（模型识别，符号表达与文字表达均可） . 2 分2 1 22 2 故 P(x = 2) = C 2 = 1 （公式与计算，各 1 分）. 4 分4（2）25 个面包中，质量不少于1000g 的有 6 个，h 的可能取值为0,1, 2 ，. 5 分C217157P(h = 0) = 19 =；. 6 分C225C1 C130010011419P(h = 1) = 619 =； . 7 分C25230050C2151P(h = 2) = 6 =，. 8 分C25230020所以 E(h) = 0 57 +1 19 + 2 1 = 24 = 0.48 . 10 分100502050