中考数学圆知识点精品.docx

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1、中考数学圆知识点中考数学圆学问点1我们学习的圆是轴对称图形，其对称轴是随意一条通过圆心的直线，所以是多数条对称轴。圆及有关概念1 到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆(circle).这个定点叫做圆的圆心。2 连接圆心和圆上的随意一点的线段叫做半径(radius)。3 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径(diameter)。4 连接圆上随意两点的线段叫做弦(chord). 最长的弦是直径。5 圆上随意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(arc).大于半圆的弧称为优弧，优弧是用三个字母表示。小于半圆的弧称为劣弧，劣弧用两个字母表示。半圆既不是优弧，也不是劣弧。优弧是大于180度的弧，劣弧是小于18

2、0度的弧6 由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形(sector)。7 由弦和它所对的一段弧围成的图形叫做弓形。8 顶点在圆心上的角叫做圆心角(central angle)。9 顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。10 圆周长度与圆的直径长度的比值叫做圆周率。它是一个超越数，通常用表示，=3.1415926535。在实际应用中，一般取3.14。11 圆周角等于弧所对的圆心角的一半。字母表示圆 ; 半径r或R(在环形圆中外环半径表示的字母); 弧 ; 直径d ;扇形弧长L ; 周长C ; 面积S。圆的表示方法要求很严格，须要用到相应的学问要求。中考数学圆学问点2初三数学学问

3、点圆重点圆的重要性质;直线与圆、圆与圆的位置关系;与圆有关的角的定理;与圆有关的比例线段定理。内容提要一、圆的基本性质1.圆的定义(两种)2.有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。3.三点定圆定理4.垂径定理及其推论5.等对等定理及其推论5.与圆有关的角：圆心角定义(等对等定理)圆周角定义(圆周角定理，与圆心角的关系)弦切角定义(弦切角定理)二、直线和圆的位置关系1.三种位置及判定与性质：2.切线的性质(重点)3.切线的判定定理(重点)。圆的切线的判定有4.切线长定理三、圆换圆的位置关系1.五种位置关系及判定与性质：(重点：相切)2.相切(交)两圆连心线的

4、性质定理3.两圆的公切线：定义性质四、与圆有关的比例线段1.相交弦定理2.切割线定理五、与和正多边形1.圆的内接、外切多边形(三角形、四边形)2.三角形的外接圆、内切圆及性质3.圆的外切四边形、内接四边形的性质4.正多边形及计算中心角：内角的一半：(右图)(解rtoam可求出相关元素等)六、一组计算公式1.圆周长公式2.圆面积公式3.扇形面积公式4.弧长公式5.弓形面积的计算方法6.圆柱、圆锥的侧面绽开图及相关计算七、点的轨迹六条基本轨迹八、有关作图1.作三角形的外接圆、内切圆2.平分已知弧3.作已知两线段的比例中项4.等分圆周：4、8;6、3等分九、重要协助线1.作半径2.见弦往往作弦心距3

5、.见直径往往作直径上的圆周角4.切点圆心莫忘连5.两圆相切公切线(连心线)6.两圆相交公共弦中考数学圆学问点3易错点1：对弧、弦、圆周角等概念理解不深刻，特殊是弦所对的圆周角有两种状况要特殊留意，两条弦之间的距离也要考虑两种状况。(选题最终一题考)易错点2：对垂径定理的理解不够，不会正确添加协助线运用直角三角形进行解题。易错点3：对切线的定义及性质理解不深，不能精确的利用切线的性质进行解题以及对切线的判定方法两种方法运用不娴熟。易错点4：考查圆与圆的位置关系时，相切有内切和外切两种状况，包括相交也存在两圆圆心在公共弦同侧和异侧两种状况，学生很简单忽视其中的一种状况。(25题分类探讨)易错点5：

6、与圆有关的位置关系把握好d与R和R+r，R-r之间的关系以及应用上述的方法求解。易错点6：圆周角定理是重点，同弧(等弧)所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角。直角的圆周角所对的弦是直径，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。易错点7：几个公式肯定要牢记：三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆的面积公式，圆周长公式，弧长，扇形面积，圆锥的侧面积以及全面积以及弧长与底面周长，母线长与扇形的半径之间的转化关系。中考数学圆学问点4圆的学问：平面上一条线段，绕它的一端旋转360，留下的轨迹叫圆。圆心：(1)如定义(1)中，该定点为圆心(2)如定义(2)中，绕的那一端的端点为圆心。(3

7、)圆随意两条对称轴的交点为圆心。(4) 垂直于圆内随意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。注：圆心一般用字母O表示直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母d表示。半径：连接圆心和圆上随意一点的线段，叫做圆的半径。半径一般用字母r表示。圆的直径和半径都有多数条。圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=d/2。圆的半径或直径确定圆的大小，圆心确定圆的位置。圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。圆的周长与直径的比值叫做圆周率。圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆

8、周率，它是一个无限不循环小数(无理数)，用字母表示。计算时，通常取它的近似值，3.14。直径所对的圆周角是直角。90的圆周角所对的弦是直径。圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。r，用字母S表示。一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。在同圆或等圆中，假如两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。中考数学圆学问点5垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。有关圆周角和圆心角的性质和定理 在同圆或等圆中，

9、假如两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。圆心角计算公式: =(L/2r)360=180L/r=L/r(弧度)即圆心角的度数等于它所对的弧的度数;圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 假如一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。有关外接圆和内切圆的性质和定理一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等;内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点

10、，到三角形三边距离相等。R=2SL(R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长)两相切圆的连心线过切点(连心线：两个圆心相连的直线)圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。(4)假如两圆相交，那么连接两圆圆心的线段(直线也可)垂直平分公共弦。(5)弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。(6)圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。(7)圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。(8)周长相等，圆面积比长方形、正方形、三角形的面积大。中考数学圆学问点6圆的初步相识一、圆及圆的相关量的定义1.平面上到定点的距离等于定

11、长的全部点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。2.圆上随意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上随意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。3.顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。4.过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。5.直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离;有2个公共点为相交;圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。6.两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一

12、圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含;有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切;有2个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。7.在圆上，由2条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面绽开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。二、有关圆的字母表示方法圆- 半径r 弧- 直径d扇形弧长/圆锥母线l 周长C 面积S三、有关圆的基本性质与定理(27个)1.点P与圆O的位置关系(设P是一点，则PO是点到圆心的距离)：P在O外，POr;P在O上，PO=r;P在O内，PO2.圆是轴对称图形，其对称轴是随意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。3.垂径定理：垂直于弦的

13、直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。4.在同圆或等圆中，假如2个圆心角，2个圆周角，2条弧，2条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。5.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。6.直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。7.不在同始终线上的3个点确定一个圆。8.一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形3个顶点距离相等;内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形3边距离相等。9.直线AB与圆O的位置关系(设OPAB于P，则PO是AB到圆心的距离)

14、：AB与O相离，POr;AB与O相切，PO=r;AB与O相交，PO10.圆的切线垂直于过切点的直径;经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线，是这个圆的切线。11.圆与圆的位置关系(设两圆的半径分别为R和r，且Rr，圆心距为P)：外离PR+r;外切P=R+r;相交R-r三、有关圆的计算公式1.圆的周长C=2r=d 2.圆的面积S=s=r? 3.扇形弧长l=nr/1804.扇形面积S=nr? /360=rl/2 5.圆锥侧面积S=rl四、圆的方程1.圆的标准方程在平面直角坐标系中,以点O(a,b)为圆心,以r为半径的圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r22.圆的一般方程把圆的标准方程绽开

15、,移项,合并同类项后,可得圆的一般方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0和标准方程对比,其实D=-2a,E=-2b,F=a2+b2相关学问:圆的离心率e=0.在圆上随意一点的曲率半径都是r.五、圆与直线的位置关系推断链接:圆与直线的位置关系(一.5)平面内,直线Ax+By+C=O与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系推断一般方法是探讨如下2种状况:(1)由Ax+By+C=O可得y=(-C-Ax)/B,其中B不等于0,代入x2+y2+Dx+Ey+F=0,即成为一个关于x的一元二次方程f(x)=0.利用判别式b2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下:假如b2-4ac0,则圆与直线有2交点

16、,即圆与直线相交假如b2-4ac=0,则圆与直线有1交点,即圆与直线相切假如b2-4acr13切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线14切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径15推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点16推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心17切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角18圆的外切四边形的两组对边的和相等 外角等于内对角19假如两个圆相切，那么切点肯定在连心线上20两圆外离 dR+r 两圆外切 d=R+r两圆相交 R-rr)两圆内切 d=R-r(Rr) 两圆内含dr

17、)21定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦22定理 把圆分成n(n3):依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形23定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆24正n边形的每个内角都等于(n-2)180/n25定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形26正n边形的面积Sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长27正三角形面积3a/4 a表示边长28假如在一个顶点四周有k个正n边形的角，由于这些角的和应为 360，因此k(n-2)180/n=360化为(n-2)(k-

18、2)=429弧长计算公式：L=n兀R/18030扇形面积公式：S扇形=n兀R2/360=LR/231内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)32定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半33推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等34推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90的圆周角所 对的弦是直径35弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r 0 扇形面积公式 s=1/2*l*r小编导语：每一门功课都有它自身的规律，有它自身的特点，数学当然也不例外。下面是有关中考数学考试学问点分析:三角函数的内容，供你学习参考!锐角三角函数定义

19、锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec)，余割(csc)都叫做角A的锐角三角函数。正弦(sin)等于对边比斜边;sinA=a/c余弦(cos)等于邻边比斜边;cosA=b/c正切(tan)等于对边比邻边;tanA=a/b余切(cot)等于邻边比对边;cotA=b/a正割(sec)等于斜边比邻边;secA=c/b余割(csc)等于斜边比对边。cscA=c/a互余角的三角函数间的关系sin(90-)=cos, cos(90-)=sin,tan(90-)=cot, cot(90-)=tan.平方关系：sin2()+cos2()=1tan2()+1=s

20、ec2()cot2()+1=csc2()积的关系：sin=tancoscos=cotsintan=sinseccot=coscscsec=tancsccsc=seccot倒数关系：tancot=1sincsc=1cossec=1锐角三角函数公式两角和与差的三角函数：sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB ?cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B) = (tanA-t

21、anB)/(1+tanAtanB)cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)三角和的三角函数：sin(+)=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsincos(+)=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincostan(+)=(tan+tan+tan-tantantan)/(1-tantan-tantan-tantan)协助角公式：Asin+Bcos=(A2+B2)(1/2)sin(+t)，其中sint=B/(A2+B2)(1/2)

22、cost=A/(A2+B2)(1/2)tant=B/AAsin+Bcos=(A2+B2)(1/2)cos(-t)，tant=A/B倍角公式：sin(2)=2sincos=2/(tan+cot)cos(2)=cos2()-sin2()=2cos2()-1=1-2sin2()tan(2)=2tan/1-tan2()三倍角公式：sin(3)=3sin-4sin3()cos(3)=4cos3()-3cos半角公式：sin(/2)=(1-cos)/2)cos(/2)=(1+cos)/2)tan(/2)=(1-cos)/(1+cos)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin降幂公式sin2()=(

23、1-cos(2)/2=versin(2)/2cos2()=(1+cos(2)/2=covers(2)/2tan2()=(1-cos(2)/(1+cos(2)万能公式：sin=2tan(/2)/1+tan2(/2)cos=1-tan2(/2)/1+tan2(/2)tan=2tan(/2)/1-tan2(/2)积化和差公式：sincos=(1/2)sin(+)+sin(-)cossin=(1/2)sin(+)-sin(-)coscos=(1/2)cos(+)+cos(-)sinsin=-(1/2)cos(+)-cos(-)和差化积公式：sin+sin=2sin(+)/2cos(-)/2sin-si

24、n=2cos(+)/2sin(-)/2cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2cos-cos=-2sin(+)/2sin(-)/2推导公式：tan+cot=2/sin2tan-cot=-2cot21+cos2=2cos21-cos2=2sin21+sin=(sin/2+cos/2)2其他：sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+sin+2*(n-1)/n=0cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)+cos+2*(n-1)/n=0 以及sin2()+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2tanAtanBt

25、an(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0函数名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为，设OP=r，P点的坐标为(x，y)有正弦函数 sin=y/r余弦函数 cos=x/r正切函数 tan=y/x余切函数 cot=x/y正割函数 sec=r/x余割函数 csc=r/y正弦(sin):角的对边比上斜边余弦(cos):角的邻边比上斜边正切(tan):角的对边比上邻边余切(cot):角的邻边比上对边正割(sec):角的斜边比上邻边余割(csc):角的斜边比上对边三角函数万能公式万能公式(1)(sin)2+(cos)2=1(2)1

26、+(tan)2=(sec)2(3)1+(cot)2=(csc)2证明下面两式,只需将一式,左右同除(sin)2,其次个除(cos)2即可(4)对于随意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证:A+B=-Ctan(A+B)=tan(-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan-tanC)/(1+tantanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证,当x+y+z=n(nZ)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+c

27、otBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA)2+(cosB)2+(cosC)2=1-2cosAcosBcosC(8)(sinA)2+(sinB)2+(sinC)2=2+2cosAcosBcosC万能公式为：设tan(A/2)=tsinA=2t/(1+t2) (A2k+，kZ)tanA=2t/(1-t2) (A2k+，kZ)cosA=(1-t2)/(1+t2) (A2k+，且Ak+(/2) kZ)就是说sinA.tanA.cosA都可以用tan(A/2)来表示,当要求一串函数式最值的时候,就可以用

28、万能公式,推导成只含有一个变量的函数,最值就很好求了.三角函数关系倒数关系tan cot=1sin csc=1cos sec=1商的关系sin/cos=tan=sec/csccos/sin=cot=csc/sec平方关系sin2()+cos2()=11+tan2()=sec2()1+cot2()=csc2()同角三角函数关系六角形记忆法构造以上弦、中切、下割;左正、右余、中间1的正六边形为模型。倒数关系对角线上两个函数互为倒数;商数关系六边形随意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。(主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4个也存在这种关系。)。由此，可得商数关系式。平方关

29、系在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。两角和差公式sin(+)=sincos+cossinsin(-)=sincos-cossincos(+)=coscos-sinsincos(-)=coscos+sinsintan(+)=(tan+tan )/(1-tan tan)tan(-)=(tan-tan)/(1+tan tan)二倍角的正弦、余弦和正切公式sin2=2sincoscos2=cos2()-sin2()=2cos2()-1=1-2sin2()tan2=2tan/(1-tan2()tan(1/2*)=(sin )/(1+cos )=(

30、1-cos )/sin 半角的正弦、余弦和正切公式sin2(/2)=(1-cos)/2cos2(/2)=(1+cos)/2tan2(/2)=(1-cos)/(1+cos)tan(/2)=(1cos)/sin=sin/1+cos万能公式sin=2tan(/2)/(1+tan2(/2)cos=(1-tan2(/2)/(1+tan2(/2)tan=(2tan(/2)/(1-tan2(/2)三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3=3sin-4sin3()cos3=4cos3()-3costan3=(3tan-tan3()/(1-3tan2()诱导公式诱导公式的本质所谓三角函数诱导公式，就是将角n(/2)

31、的三角函数转化为角的三角函数。常用的诱导公式公式一： 设为随意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2k+)=sin kzcos(2k+)=cos kztan(2k+)=tan kzcot(2k+)=cot kz公式二： 设为随意角，+的三角函数值与的三角函数值之间的关系：sin(+)=-sincos(+)=-costan(+)=tancot(+)=cot每一门功课都有它自身的规律，有它自身的特点，数学当然也不例外。下面是有关中考数学考试学问点分析:一次函数的内容，供你学习参考!一次函数的定义一次函数，也作线性函数，在x，y坐标轴中可以用一条直线表示，当一次函数中的一个变量的值确定时

32、，可以用一元一次方程确定另一个变量的值。函数的表示方法列表法：一目了然，运用起来便利，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。解析式法：简洁明白，能够精确地反映整个改变过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。一次函数的性质一般地，形如y=kx+b(k,b是常数，且k0)，那么y叫做x的一次函数，当b=0时，y=kx+b即y=kx，所以说正比例函数是一种特别的一次函数注：一次函数一般形式y=kx+b(k不为0)a).k不为0b).x的指数是1c).b取随意实数一次函数y=kx+b

33、的图像是经过(0，b)和(-b/k,0)两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看做直线y=kx平移|b|个单位长度得到。(当b0时，向上平移;br13.切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线14.切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径15.推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点16.推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心17.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角18.圆的外切四边形的两组对边的和相等 外角等于内对角19.假如两个圆相切，那么切点肯定在连心线上20.两圆外离 dR+r 两圆外切 d=R+r.两圆相交 R-rr).两圆内切 d=R-r(Rr) 两圆内含dr)