极坐标与直角坐标的互化ppt课件.ppt

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1、极坐标和直角坐标的互化【自主预习自主预习】极坐标与直角坐标的互化公式极坐标与直角坐标的互化公式如图所示如图所示, ,把直角坐标系的原点作为把直角坐标系的原点作为极点极点,x,x轴的正半轴作为极轴轴的正半轴作为极轴, ,且长度单位且长度单位相同相同, ,设任意一点设任意一点M M的直角坐标与极坐标分别为的直角坐标与极坐标分别为(x,y),(x,y),(,).(,).coscossinsinx x2 2+y+y2 2yx【即时小测即时小测】1.1.极坐标系中极坐标系中, ,点点(1,)(1,)的直角坐标为的直角坐标为( () )A.(1,0)A.(1,0)B.(-1,0)B.(-1,0)C.(0,

2、1)C.(0,1)D.(0,-1)D.(0,-1)【解析解析】选选B.B.由公式由公式 得得 所以点所以点(1,(1,) )对应的点的直角坐标为对应的点的直角坐标为(-1,0).(-1,0).xcos ,ysin , x1,y0 ，2.2.在直角坐标系中在直角坐标系中, ,点点(2016,-2016)(2016,-2016)的极坐标为的极坐标为_(0,00,02).【解析解析】在直角坐标系中在直角坐标系中, ,点点(2016,-2016)(2016,-2016)到原点到原点( (极极点点) )的距离为的距离为2016 ,2016 ,极角极角= +2k,kZ,= +2k,kZ,因为因为02,02

3、,所以所以= .= .所以点所以点(2016,-2016)(2016,-2016)的极坐标为的极坐标为 . .答案答案: :274747(2 016 2)4，7(2 016 2)4，【知识探究知识探究】探究点探究点极坐标和直角坐标的互化极坐标和直角坐标的互化1.1.点与极坐标是一一对应的吗点与极坐标是一一对应的吗? ?提示提示: :在直角坐标系和极坐标系中在直角坐标系和极坐标系中, ,点点M M与直角坐标与直角坐标(x,y)(x,y)是一一对应的是一一对应的, ,点点M M与极坐标与极坐标( (, ,) )不是一一对应的不是一一对应的, ,即点即点M M的极坐标不唯一的极坐标不唯一. .2.2

4、.将点的直角坐标化为极坐标的关键是什么将点的直角坐标化为极坐标的关键是什么? ?提示提示: :将点的直角坐标化为极坐标的关键是运用公式将点的直角坐标化为极坐标的关键是运用公式 分别计算极径和极角分别计算极径和极角, ,求极角时先计算求极角时先计算0,20,2) )内的角内的角0 0, ,再表示为再表示为0 0+2k+2k,k,kZ.Z.222xyytan(x0)x ，类型一类型一点的极坐标与直角坐标的转化点的极坐标与直角坐标的转化【典例典例】在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, ,以原点为极点以原点为极点,x,x轴的非轴的非负半轴为极轴负半轴为极轴,0,R,0,R完成下列各题完成下列各题:

5、:(1)(1)将极坐标将极坐标M M 化为直角坐标化为直角坐标. .(2)(2)将直角坐标将直角坐标N(-2016,2016)N(-2016,2016)化为极坐标化为极坐标. .7(6)6，【解析解析】(1)(1)将点将点M M的极坐标的极坐标 代入公式代入公式 所以点的直角坐标为所以点的直角坐标为(-3 ,-3).(-3 ,-3).7(6)6，7x6cos 3 3,xcos ,6ysin ,7y6sin 3,6 得3(2)(2)由点的直角坐标由点的直角坐标N(-2016,2016)N(-2016,2016)与公式与公式 且且的终边经过点的终边经过点N(-2016,2016),N(-2016,

6、2016),所以所以= ,= ,所以点所以点N N的极坐标为的极坐标为 ,kZ.,kZ.22222xy ,yxy2 016 2tan1xtanyx(x0), 得，343(2 016 22k )4，【方法技巧方法技巧】极坐标与直角坐标互化的策略极坐标与直角坐标互化的策略(1)(1)点的直角坐标化为极坐标的注意事项点的直角坐标化为极坐标的注意事项. .化点的直角坐标为极坐标时化点的直角坐标为极坐标时, ,一般取一般取0,0,0,0,2),2),即即取最小正角取最小正角, ,由由tan= (x0)tan= (x0)求求时时, ,必须必须根据角根据角的终边经过点的终边经过点(x,y)(x,y)所在的象

7、限来确定所在的象限来确定的值的值. .yx(2)(2)掌握特殊角的三角函数值掌握特殊角的三角函数值, ,还需要掌握一些常用的还需要掌握一些常用的三角变换公式三角变换公式, ,如半角公式如半角公式 1 coscos22 ，1cossin.22 等【变式训练变式训练】1.(20161.(2016绵阳高二检测绵阳高二检测) )将点将点M M的极坐标的极坐标 化成直角坐标是化成直角坐标是( () )A.(-1,-1)A.(-1,-1)B.(1,1)B.(1,1)C.(1, )C.(1, )D.( ,1)D.( ,1)(2,)333【解析解析】选选C.C.由公式由公式 所以所以(1, )(1, )即为所

8、求即为所求. .x1,xcos ,ysiny3, 得32.2.若已知极坐标平面内的点若已知极坐标平面内的点P ,P ,求点求点P P关于极点关于极点对称的点的极坐标及直角坐标对称的点的极坐标及直角坐标. .5(2)3，【解析解析】点点P P关于极点的对称点关于极点的对称点PP到极点的距离仍为到极点的距离仍为2,2,即即=2.=2.又又P P与与PP的极角间相差的极角间相差+2k,kZ,+2k,kZ,故故=- +2k,kZ,=- +2k,kZ,故故PP的极坐标可以为的极坐标可以为 , ,532(2)3，由由x=2cos =-1,y=2sin =- ,x=2cos =-1,y=2sin =- ,故

9、点故点PP的直角坐标为的直角坐标为(-1,- ).(-1,- ).2()32()333类型二类型二极坐标与直角坐标转化的应用极坐标与直角坐标转化的应用【典例典例】已知已知A,BA,B两点的极坐标为两点的极坐标为 求线段求线段ABAB中点的直角坐标中点的直角坐标. .4(6,)(8,)33和，【解析解析】因为因为A A点的极坐标为点的极坐标为 所以所以 所以所以A(3, ),A(3, ),同理可得同理可得B(-4, ).B(-4, ).设线段设线段ABAB的中点为的中点为M(m,n),M(m,n),由线段的中点坐标公式可得由线段的中点坐标公式可得6,3（），AAx6 cos3y6 sin3 33

10、3，3 34 3所以线段所以线段ABAB中点的直角坐标为中点的直角坐标为 431m224 33 33n22 ，13(,).22【解析解析】方法一方法一: :因为因为A,BA,B两点的极坐标为两点的极坐标为 故故A,BA,B两点在一条直线上两点在一条直线上, ,且到极点的距离分别为且到极点的距离分别为6,8,6,8,故故ABAB中点到极点的距离为中点到极点的距离为1,1,且在线段且在线段OBOB上上, ,故故ABAB中点的中点的极坐标为极坐标为 4(1,).34(6,)(8,)33和，方法二方法二: :因为线段因为线段ABAB中点的直角坐标为中点的直角坐标为 故故 因为因为ABAB中点在第三象限

11、中点在第三象限, ,故故 故中点的极坐标为故中点的极坐标为 13,22（），2213()1 tan 322 （），43 ，41,.3（）2.2.试求直线试求直线ABAB的方程的方程. .【解析解析】因为因为A A点的极坐标为点的极坐标为 所以所以 所以所以A(3, ),A(3, ),又因为直线又因为直线ABAB的倾斜角为的倾斜角为 故斜率故斜率 故直线故直线ABAB的方程为的方程为 即即 6,3（），AAx6 cos3y6 sin3 333，3 33，y3 33 x3，3xy0.k3，【方法技巧方法技巧】应用点的极坐标与直角坐标互化的策略应用点的极坐标与直角坐标互化的策略在解决极坐标平面内较为

12、复杂的图形问题时在解决极坐标平面内较为复杂的图形问题时, ,若不若不方便利用极坐标直接解决方便利用极坐标直接解决, ,可先将极坐标化为直角坐标可先将极坐标化为直角坐标, ,利用直角坐标系中的公式、性质解决利用直角坐标系中的公式、性质解决, ,再转化成极坐标再转化成极坐标系中的问题即可系中的问题即可. .【变式训练变式训练】1.1.若点若点M M的极坐标为的极坐标为 则点则点M M关于关于y y轴轴对称点的极坐标为对称点的极坐标为_._.11(6)6，【解析解析】点点M M的极坐标为的极坐标为 所以点所以点M M的直角坐标为的直角坐标为 所以点所以点M M关于关于y y轴对称点的直角坐标为轴对称

13、点的直角坐标为 由由 又点又点(-3 ,-3)(-3 ,-3)位于第三象限位于第三象限. .11(6)6，(3 33)，( 3 33)，22( 3 3)36 ，33tan 33 3 ，3故故 则所求点的极坐标为则所求点的极坐标为 答案答案: :76 ，7(6).6，7(6)6，2.2.在极坐标系中在极坐标系中, ,已知已知 求求|AB|.|AB|.A(3)B(4),36， ，和，【解析解析】由点由点A A的极坐标为的极坐标为 可得点可得点A A的直角坐标为的直角坐标为 同理点同理点B B的直角坐标为的直角坐标为(2 ,-2),(2 ,-2),则则|AB|=|AB|=(3)3， ，3 3 3()

14、,22，2233 3(2 3)(2)5.223【归纳总结归纳总结】1.1.直角坐标与极坐标的关系直角坐标与极坐标的关系三角函数是点的直角坐标与极坐标的联系纽带三角函数是点的直角坐标与极坐标的联系纽带, ,根据三根据三角函数定义角函数定义, ,角角的顶点在原点的顶点在原点O(O(极点极点),),始边为横轴的始边为横轴的正半轴正半轴,M(x,y),M(x,y)为角为角终边上的一点终边上的一点,|OM|= ,|OM|= 则则sin= ,cos= ,sin= ,cos= ,所以所以y=sin,x=cos.y=sin,x=cos.22xy , yx2.2.特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值 sinsin 1 1coscos 0 0tantan 1 1 不存在不存在64 321222323222123333.3.由点的直角坐标确定极角由点的直角坐标确定极角当点不在当点不在y y轴上时轴上时, ,由由tan= tan= 求出求出0,2)0,2)上的上的;当点在当点在y y轴正半轴上时轴正半轴上时,= ;,= ;当点在当点在y y轴负半轴上时轴负半轴上时,= .,= .yx232