二维随机变量及其分布ppt课件.ppt

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1、第第五五章章 二二维随机变量及其分布维随机变量及其分布二维随机变量及分布函数二维随机变量及分布函数二维离散型随机变量二维离散型随机变量二维连续型随机变量二维连续型随机变量边缘分布边缘分布随机变量的独立性随机变量的独立性条件分布条件分布1.1 1.1 二维随机变量及分布函数二维随机变量及分布函数 一般地，如果两个变量所组成的有序数组即一般地，如果两个变量所组成的有序数组即二维变量（二维变量（X X，Y Y），它的取值是随着实验结果），它的取值是随着实验结果而确定的，那么称这个二维变量（而确定的，那么称这个二维变量（X X，Y Y）为）为二二维随机变量维随机变量，相应地，称（，相应地，称（X X，

2、Y Y）的取值规律）的取值规律为为二维分布二维分布一、一、 二维随机变量二维随机变量1.1 1.1 二维随机变量及分布函数二维随机变量及分布函数 设设(X,Y)(X,Y)是二维随机变量，是二维随机变量， 则称则称 F(F(x,yx,y)=P)=PX X x,Yx,Y y y 为为(X,Y)(X,Y)的的分布函数分布函数，或，或X X与与Y Y的的联合分布函数联合分布函数, ,其中其中x,yx,y 是任意实数是任意实数.二、二、联合分布函数联合分布函数定义：定义：注：注：联合分布函数联合分布函数是事件是事件 X Xx x 与与 Y Yy y 同时发同时发生生( (交交) )的概率的概率1.1 1

3、.1 二维随机变量及分布函数二维随机变量及分布函数二、二、联合分布函数联合分布函数几何意义几何意义如果将二维随机变量如果将二维随机变量(X,Y)(X,Y)看成是平面随机点的坐标看成是平面随机点的坐标, ,那么联合分布函数那么联合分布函数 F(X,Y)F(X,Y)在在(X,Y)(X,Y)的函数值就是随机的函数值就是随机点点(X,Y)(X,Y)落在落在( , )(,)F x yP Xx Yy以为以为( (x,yx,y) )右上角拐点的无穷矩形内的概率右上角拐点的无穷矩形内的概率. . 1.1 1.1 二维随机变量及分布函数二维随机变量及分布函数二、二、联合分布函数联合分布函数性质性质 对任意的对任

4、意的x,yx,y, ,有有 0F(0F(x,yx,y)1;)1; F( F(x,yx,y) )关于关于x x、关于、关于y y 单调不减；单调不减； 12xx当时，有1( , )F x y2(, )F xy2(,)P Xx Yy1(,)P Xx Yy12yy当时，有1( ,)F x y2( ,)F x y2(,)P Xx Yy1(,)P Xx Yy1.1 1.1 二维随机变量及分布函数二维随机变量及分布函数二、二、联合分布函数联合分布函数性质性质 F( F(x,yx,y) )关于关于x x、关于、关于y y 右连续右连续0(, )F xy00lim( , )xxF x y0(0, )F xy0

5、( ,)F x y00lim( , )yyF x y0( ,0)F x y 1.1 1.1 二维随机变量及分布函数二维随机变量及分布函数二、二、联合分布函数联合分布函数性质性质0),(lim),( yxFFyx1),(lim),( yxFFyx0),(lim),( yxFyFx0),(lim),( yxFxFy1.1 1.1 二维随机变量及二维随机变量及分布函数分布函数二、二、联合分布函数联合分布函数性质性质121222211211(,)( , )( , )( , )( , )PxX x yY yF x yF x yF x yF x y 随机点随机点(X,Y)(X,Y)落在矩形区域落在矩形区域

6、1212( , )|,x y xXx yYy 的概率的概率0 x1 x2 xy1y2y1.1 1.1 二维随机变量及二维随机变量及分布函数分布函数二、二、联合分布函数联合分布函数性质性质注：任何一个二维联合分布函数注：任何一个二维联合分布函数F(F(x,yx,y) )必具有以必具有以上五条基本性质，还可证明具有以上五条性质的上五条基本性质，还可证明具有以上五条性质的二元函数二元函数F(F(x,yx,y) )一定是某个二维随机变量的分布一定是某个二维随机变量的分布函数函数. .即这五条性质是判定一个二元函数是否为即这五条性质是判定一个二元函数是否为某个随机变量的分布函数的充要条件某个随机变量的分

7、布函数的充要条件1.2 1.2 二维离散型随机变量二维离散型随机变量一、二维离散型随机变量及联合分布律一、二维离散型随机变量及联合分布律 若二维离散型随机变量若二维离散型随机变量(X,Y)(X,Y)取取( (x xi i,y,yj j) )的概率为的概率为p pijij, ,则则称称PXPXx xi i,Y,Yy yj j p pijij ，( (i,ji,j1, 2,1, 2,) )，为二维离，为二维离散型随机变量散型随机变量(X,Y)(X,Y)的的分布律分布律，或随机变量，或随机变量X X与与Y Y的的联合联合分布分布律律. .可记为可记为 (X,Y)(X,Y)PXPXx xi i, Y,

8、 Y y yj j,p pijij ,( ,(i,ji,j1,2,1,2,) )，二维离散型随机变量定义二维离散型随机变量定义若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)(X,Y)只取有限个或可列个数对只取有限个或可列个数对( (x xi i,y,yj j),),( (i,ji,j1,2,1,2, ) )，则称则称(X,Y)(X,Y)为为二维离散型随机变量二维离散型随机变量。联合分布律联合分布律1.2 1.2 二维离散型随机变量二维离散型随机变量一、二维离散型随机变量及联合分布律一、二维离散型随机变量及联合分布律 联合分布联合分布律律的的性质性质 (1) (2)111 ijijp二维离散型随机变量的

9、分布律二维离散型随机变量的分布律也可列表也可列表表示表示如下如下:YXy1 y2 yj x1 p11 p12 p1j x2 p21 p22 p2j xi pi1 pi2 pij 0p pijij1 1, , i, ji, j1, 2,1, 2, 1.2 1.2 二维离散型随机变量二维离散型随机变量一、二维离散型随机变量及联合分布律一、二维离散型随机变量及联合分布律 例例2 2 一口袋中有三个球，它们依次标有数字一口袋中有三个球，它们依次标有数字1,2,2.1,2,2.从从这这袋中任取一球后袋中任取一球后, ,不放回袋中不放回袋中, ,再从袋中任取一球再从袋中任取一球. .设每设每次取球时次取球

10、时, ,袋中各个球被取到的可能性相同袋中各个球被取到的可能性相同. .以以X,YX,Y分别分别记第一次、第二次取得的球上标有的数字记第一次、第二次取得的球上标有的数字. .求求: :(1) X,Y(1) X,Y的分布率的分布率; ; (2) P(X(2) P(XY).Y).解解: :P(X=1,Y=2)=(1/3)P(X=1,Y=2)=(1/3)1=1/31=1/3P(X=2,Y=1)=(2/3)P(X=2,Y=1)=(2/3)(1/2)=1/3(1/2)=1/3P(X=2,Y=2)=(2/3)P(X=2,Y=2)=(2/3)(1/2)=1/3(1/2)=1/3YX 1 21 0 1/3 2

11、1/3 1/31.2 1.2 二维离散型随机变量二维离散型随机变量一、二维离散型随机变量及联合分布律一、二维离散型随机变量及联合分布律 (2)(2)P(XY)=P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y=1)+P(X=2,Y=2)P(XY)=P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y=1)+P(X=2,Y=2)=0+(1/3)+(1/3)=2/3=0+(1/3)+(1/3)=2/3YX 1 21 1/9 2/9 2 2/9 4/9由于事件由于事件XXY=X=1,Y=1Y=X=1,Y=1X=2,Y=1X=2,Y=2X=2,Y=1X=2,Y=2且三个事件互不相容且三个事件互不相容, ,因此因此有放回抽取方式有

12、放回抽取方式P(X=1,Y=2)=2/9P(X=1,Y=2)=2/9P(X=2,Y=1)=2/9P(X=2,Y=1)=2/9P(X=2,Y=2)=4/9P(X=2,Y=2)=4/9P(X=1,Y=1)=1/9P(X=1,Y=1)=1/91.2 1.2 二维离散型随机变量二维离散型随机变量一、二维离散型随机变量及联合分布律一、二维离散型随机变量及联合分布律 若若(X,Y)(X,Y)的分布律为的分布律为PPX=X=x xi i,Y=,Y=y yj j =p=pijij, i,j=1,2, i,j=1,2,则则(X,Y)(X,Y)的分布函数为的分布函数为 yx,yxijjipy)F(x,其中和式是对

13、一切满足其中和式是对一切满足x xi ix x , , y yj jy y求和。求和。分布律与分布函数的关系分布律与分布函数的关系1.2 1.2 二维离散型随机变量二维离散型随机变量一、二维离散型随机变量及联合分布律一、二维离散型随机变量及联合分布律 例例 若若(X,Y)(X,Y)的分布律如下表，的分布律如下表，YX0 10 1/2 0 1 0 1/2求求(X,Y)(X,Y)的分布函数。的分布函数。解解 1, 1110 , 1210, 1021000),(yxyxyxyxyxF或yx11例：设随机变量例：设随机变量X在在1,2,3,4四个整数中等可能地取值，四个整数中等可能地取值，另一个随机变

14、量另一个随机变量Y在变量在变量1X中等可能地取一整数，试中等可能地取一整数，试求求（X,Y）分布规律。分布规律。解：解： 的取值情况是：的取值情况是：i=1,2,3,4 j 取个不大于取个不大于i的正整数且由乘法公式得的正整数且由乘法公式得 jYiX ,）的分布规律为于是（YXijiiiXjYPjYiXP, 4 , 3 , 2 , 1,411|,y x 123411/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/16如求：如求：Y=2概率概率4813483484486161121810例：从一个装有3支蓝色，2支红色，3支绿色圆珠笔的盒子里，随机抽取两支，

15、若X,Y分别表示抽出的蓝笔数和红笔数，求（X,Y)的分布规律。解(X,Y)所取的可能值是（0,0）（0,1）（1，0）（1,1）（0,2）（2,0）2832/2000,08323YXP1432/1101,08323YXP1431, 1YXP2812,0YXP2890, 1YXP2830,2YXP1.3 1.3 二维连续型随机变量二维连续型随机变量一、二维连续型随机变量及联合密度函数一、二维连续型随机变量及联合密度函数 1.1.定义定义：设：设( (X X, ,Y Y) )的分布函数为的分布函数为F F( (x x, ,y y),),若存在一非负函若存在一非负函数数f f( (x x, ,y y

16、),),使得对于任意的实数使得对于任意的实数x x, ,y y有有 dydxyxfyxFyx ),(),(则称则称( (X X, ,Y Y) )是连续型二维随机向量是连续型二维随机向量, ,函数函数 f f( (x x, ,y y) )称为称为二维向量二维向量( (X X, ,Y Y) )的的( (联合联合) )概率密度概率密度. . . 1),(),(2. 0),(1 Fdxdyyxfyxf）规范性（）非负性（2 2概率密度概率密度f f( (x x, ,y y) )的的性质性质1.3 1.3 二维连续型随机变量二维连续型随机变量一、二维连续型随机变量及联合密度函数一、二维连续型随机变量及联

17、合密度函数 (3).(3).若若f f( (x x, ,y y) )在点在点( (x,yx,y) )连续，则有连续，则有 .),(),(),(),( yxdudvvufyxFyxyxFyxf 因为因为(4).(4).设设G G是是xyxy平面上的一个区域平面上的一个区域, ,点点( (X X, ,Y Y) )落在落在G G内的概率内的概率 为为: : GdxdyyxfGYXP),(),( 在几何上在几何上z z= = f f( (x x, ,y y) )表示空间的一个曲面表示空间的一个曲面. .由性质由性质2 ,2 ,介于它和介于它和 xoyxoy平面的空间区域的体积为平面的空间区域的体积为1

18、 1，由性质，由性质4, 4, P(P(X X, ,Y Y) )GG 的值等于以的值等于以G G为底为底, ,以曲面以曲面z z= = f f( (x x, ,y y) )为顶为顶面的柱体体积。面的柱体体积。 1.3 1.3 二维连续型随机变量二维连续型随机变量一、二维连续型随机变量及联合密度函数一、二维连续型随机变量及联合密度函数 例例3: 3: 设二维随机变量设二维随机变量( (X X, ,Y Y) )具有概率密度具有概率密度 其他0, 0, 0,),()42(yxceyxfyx求：求： (1) (1) 常数常数c c；(2)P(X(2)P(XYY).).因此解得因此解得(1) (1) 由

19、性质由性质1),( dxdyyxf得到得到100)42( dxdyceyx4121004200)42( cdyedxecdxdyceyxyxc=8c=8解解: :1.3 1.3 二维连续型随机变量二维连续型随机变量一、二维连续型随机变量及联合密度函数一、二维连续型随机变量及联合密度函数 (2)P(X(2)P(XYY)=)= yxdxdyyxf),( 004200)42(| )(28dxeedyedxxyxxyx = = = = 006204222)1 (2dxedxedxeexxyx = = 06|311xe = =32311 1.3 1.3 二维连续型随机变量二维连续型随机变量二、两个常见二

20、维连续型随机变量的联合密度函数二、两个常见二维连续型随机变量的联合密度函数 ( (一一) )均匀分布均匀分布 定义定义: : 设设G G是平面上的有限区域是平面上的有限区域, ,面积为面积为A A, ,若二维若二维 随机向量随机向量(X,Y)(X,Y)具有概率密度具有概率密度. . 其其他他0),(1),(GyxAyxf则称则称(X,Y)(X,Y)在在G G上服从均匀分布。上服从均匀分布。1.3 1.3 二维连续型随机变量二维连续型随机变量二、两个常见二维连续型随机变量的联合密度函数二、两个常见二维连续型随机变量的联合密度函数例：设二维随机变量例：设二维随机变量(X,Y)(X,Y)服从区域服从

21、区域G G上的均匀分布上的均匀分布, ,其中其中G=0 x1,|y|x,G=0 x1,|y|x,求求(X,Y)(X,Y)的联合密度函数的联合密度函数. .解解： 其其他他0;| , 101),(xyxyxfyoy=x(1,1)xy=-x(1,-1)1.3 1.3 二维连续型随机变量二维连续型随机变量二、两个常见二维连续型随机变量的联合密度函数二、两个常见二维连续型随机变量的联合密度函数例：若例：若(X,Y)(X,Y)在在D D1 1上服从均匀分布，上服从均匀分布，D D1 1为为x x轴、轴、y y轴及直线轴及直线y y=2=2x x+1+1所围。求所围。求: : (X,Y)(X,Y)的概率密

22、度。的概率密度。y-1/2 0 xD1解解： 其其他他的的面面积积0),(41),(111DyxDyxf)(1.3 1.3 二维连续型随机变量二维连续型随机变量二、两个常见二维连续型随机变量的联合密度函数二、两个常见二维连续型随机变量的联合密度函数( (二二) )二维正态分布二维正态分布 定义定义: : 若若( (X X, ,Y Y) )具有概率密度具有概率密度 yxeyxfyyxx,121),()()(2)()1(212212222212121212其中其中 -1 1+, -+, -2 2+,0,0,2 20 ,|0 ,|1,则称则称(X,Y)(X,Y)服从参数为服从参数为1 1,2 2,2

23、 21 1,2 22 2,的二维正态的二维正态分布，分布，记为记为:(X,Y):(X,Y) N N(1 1,2 2, , 2 21 1,2 22 2,).,).求求：（1 1）PXPX 0,(2)PX0,(2)PX 1,(3)PY 1,(3)PY y y0 0 othersyxeyxfy00),(随机变量（随机变量（X X，Y Y）的概率密度为）的概率密度为xyD答答: PXPX 0=00=011011 edyedxXPxy 000000000yydyedxyYPyxyy1.4 1.4 边缘分布边缘分布一、边缘分布函数一、边缘分布函数1 1边缘分布边缘分布 设设F F( (x x, ,y y)

24、 )为二维随机变量为二维随机变量(X,Y)(X,Y)的联合分布函数，称的联合分布函数，称 P(P(X Xx x)=P()=P(X Xx,Yx,Y+) (-) (-x+x+) )为为X X的的边缘分布函数边缘分布函数, ,并记为并记为F Fx x( (x x).).2.2.公式公式. . 由于由于F Fx x( (x x)=P()=P(X Xx xY Y+)=P+)=PX Xx x, ,Y Y+ =F(x,+) =F(x,+) 同理有同理有 F FY Y( (y y)=)=F F(+,(+,y y).).1.4 1.4 边缘分布边缘分布一、边缘分布函数一、边缘分布函数例例: : 试从联合分布函数

25、试从联合分布函数F(F(x,yx,y) )求关于求关于X,X,关于关于Y Y的边缘分的边缘分布函数布函数F FX X(x),F(x),FY Y(y).(y).arctan2arctan21),(2yxyxF 解解: : 由边缘分布函数的定义我们有由边缘分布函数的定义我们有)(arctan21arctan2arctan21lim),(lim)(2 xxyxyxFxFyyX )(arctan21arctan2arctan21lim),(lim)(2 yyyxyxFxFxxY 1.4 1.4 边缘分布边缘分布一、边缘分布函数一、边缘分布函数例例: : 已知已知(X,Y)(X,Y)的分布函数为的分布函

26、数为 其它00101),(xyyeeyxxeeyxFyyyx求求F FX X(x)(x)与与F FY Y(y).(y).1.4 1.4 边缘分布边缘分布二、离散型二维随机向量的边缘分布律二、离散型二维随机向量的边缘分布律1. 1. 边缘分布律边缘分布律 设设(X,Y)(X,Y)为离散型二维随机变量为离散型二维随机变量, ,其联合分布律为其联合分布律为 PPX=xX=xi i,Y=y,Y=yj j =p=pijij, i,j=1,2, i,j=1,2, , 称称PPX=xX=xi i,Y,Y+(i=1,2,(i=1,2,) )为为X X的的边缘分布律边缘分布律。 2. 2. 计算计算)( , 2

27、 , 1),(),(),(,2121 ippppyYxXPyYxXPyYxXPYxXPjijijiijiiii以后将以后将 记为记为 p pi i. . jijp1.4 1.4 边缘分布边缘分布二、离散型二维随机向量的边缘分布律二、离散型二维随机向量的边缘分布律X X的边缘分布为的边缘分布为Y Y的边缘分布为的边缘分布为p2.p1.Px2x1Xpi.xip.2p.1Py2y1Yp.jyj1.4 1.4 边缘分布边缘分布二、离散型二维随机向量的边缘分布律二、离散型二维随机向量的边缘分布律1x1 xi 11pjp11 ipijppip1pip jp1p jyjy1XY 因此得离散型随机变量关于X和

28、Y的边缘分布函数分别为： xXijxPijXFXF1),()( yyiYjPijyFyF1),()(仅对离散而言仅对离散而言XY -1 0 4 1 0.17 0.05 0.213 0.04 0.28 0.25求求(X,Y)(X,Y)关于关于X X和和Y Y的边缘分布律。的边缘分布律。 解解: : X X的可能取值为的可能取值为1,31,3且且 PX=1=PX=1,Y=-1+PX=1,Y=0+PX=1,Y=4PX=1=PX=1,Y=-1+PX=1,Y=0+PX=1,Y=4 =0.17+0.05+0.21=0.43 =0.17+0.05+0.21=0.43 因此关于因此关于X X的边缘分布律为的边

29、缘分布律为 x 1 3p 0.43 0.57同样的方法求得关于同样的方法求得关于Y Y的边缘分布律为的边缘分布律为 y -1 0 4p 0.21 0.33 0.46例联合分布律的为：例联合分布律的为：例：已知下列分布规律，求其边缘分布律01016/49 12/49112/49 9/49Yx01016/4912/494/7112/499/493/74/73/71ixXPPijyYPPjYX解解:x=0的概率 1.4 1.4 边缘分布边缘分布dxdyyxfxFxFxX ),(),()(三、连续型随机变量三、连续型随机变量(X,Y)(X,Y)的边缘密度函数的边缘密度函数边缘密度函数边缘密度函数 设二

30、维连续型随机变量设二维连续型随机变量(X,Y)(X,Y)有联合密度函数有联合密度函数f(f(x,yx,y), ), 分别称分别称 )(),()( xdyyxfxfX )(),()( ydxyxfyfY 为为(X,Y)(X,Y)关于关于X X的的边缘密度函数边缘密度函数；为为(X,Y)(X,Y)关于关于Y Y的的边缘密度函数边缘密度函数. .dxxfxFxXX )()(说明说明例例:(X,Y):(X,Y)的联合密度函数为的联合密度函数为求边缘概率密度求边缘概率密度f fx x( (x x),),f fY Y( (y y) )。 , , , ,其他其他01020011),()(xxxdydyyxf

31、xfxxX 其其他他0;| , 101),(xyxyxf解解 X X 的边缘密度函数为的边缘密度函数为 Y Y 的边缘密度函数为的边缘密度函数为 . . 其他其他，, 0, 101, 011, 010,101,1),()(11yy,y-y,ydxy-dxdyyxfyfyyY例例: : 设设(X,Y)(X,Y)在单位圆在单位圆D D(x x, ,y y)|)|x x2 2+ +y y2 211上服从均匀分布上服从均匀分布, ,求边缘概率密度求边缘概率密度f fx x( (x x),),f fY Y( (y y) )。解解:(X,Y):(X,Y)的的p,dp,d为：为： 其其他他011),(22y

32、xyxf -1 0 x 1 xy 先求先求f fx x( (x x) : ) : 当当-1-1x x11时时211121),()(22xdydyyxfxfxxX 其其他他0112)(2xxxfX 211121)(1122ydxyfyyyY 同理同理时时当当 其他其他0112)(2yyyfY 例例 设设(X,Y)(X,Y) N N(1 1,2 2,1 12 2,2 22 2,),)，即，即(X,Y)(X,Y)具有概率密度具有概率密度 yxyyxxyxf,)()(2)()1 (21exp121),(2222212121212221求边缘概率密度求边缘概率密度f fx x(x),f(x),fY Y(

33、y)(y). 212122112221212222)()(2)( xxyyxy由由于于解解： dyeexfxyxxX211222221221212)1 (21)()(121221121)(所以所以 1122211 xyt令令：dydt2211: 则则 dteexftxX22)(1212121)(222 dtet 而而 xexfxX,21)(21212)(1 所以所以 yeyfyY,21)(22222)(2 同理同理即即X X N N(1 1,1 12 2) )，Y Y N N(2 2,2 22 2).).且不依赖参数且不依赖参数. . 例：设随机变量x和y具有联合概率密度求边缘概率密度解：当0

34、 x 1时，当x1时，因而得其它 0 6),(2xyxyxP。)(),(yPXPYxXXxXXdydyyXPXP2)(66),()(2(1,1)xy 2xy 0),()(dyyXPXPx其它， 01X 0 )(6)(2XXXPx1）当0y 1,2）当y1时，因而得：yyYyydxdxyXPyP)(66),()(0),()(dxyXPyPY其它 , 01y0 ),(6)(yyyPY例：设二维随机变量(X,Y)的概率密度为2222212121212221)()(2)(1 (21 exp121)YX,(yxxxeP11, 0, 0,212121且都是常数，其中yx试求二维正态随机变量的边缘概率密度。

35、解：，由于dyyXPXPx),()(21212112221212121)(2)(）（ xxyxxx 121)YX,(211222121)1(212)-(x221dyeePxye于是： 1111222xyt令 1 21)X(222221212)-(xdtedteePttx ,21)X(21212)-(x1xePx即 ,21)y(22222)-(y2yePY同理可得：二维正态分布的两个边缘分布到好似一维正态分布，并且都不依赖于参数 。 边缘分布均为正态分布的随机变量，其联合分布不一定是二维正态分布。令（X.Y)的联合密度函数为显然，（X,Y）不服从正态分布，但是因此边缘分布均是正态分布的随机变量，

36、其联合分布不一定是二维的状态分布。 )xsinysin1 (21) yx,(2x22yeP ,21)y(,21)x(2y2x22ePePYx例：设其它 , 0y x0 ,Y)P(X,Y)(X,ye1yxP 2) :(X)P 1 x）求解：当x0时， 当x0时,xxyxedyedyyxPXP),()(dyyxPXPx),()(其它故 , 00 x,)( xxeXP211210)1(2101121 ),( 1yxP (2)eedxeedyedxdxdyyxPxxxxyyx例:一整数N等可能地在1,2,310十个值中取一个，设D=(N)是能整除N的正整数的个数，F=F(N)是能整除N的素数的个数。试

37、写出D和F的联合分布律，并求边缘分布律。解：样本点12345678910D1223242434F0111121112由此可得D与F的联合分布律与边缘分布律：能整除1,2能整除1,3能整除1,2,4（1,0不为素数）F1234P(F=j)01/100001/10104/102/101/107/1020002/102/10P(D=i) 1/104/102/103/101D或将边缘百分率表示为D12341/104/102/103/10KPF0121/107/102/10KP例：设随机变量x与y相互独立，并且x服从N(a, ),在 上服从均匀分布，求（x,y)的联合概率密度。2bb, ,0byb- ,

38、21)(,21(X)P )y()(),(222)(x其它又所以相互独立，与解：由于byPxePxPyxPyxYaxYX0),(y ,- ,2121y)P(x, 222)(yxPbbybxebax时，当其中得例：设两个独立的随机变量x与y的分布规律为 28. 04 . 07 . 0434342. 06 . 07 . 0232312. 04 . 03 . 0414118. 06 . 03 . 02121,YPXPYXPYPXPYXPYPXPYXPYPXPYXPyYPxXPyYxXPYXjiji所以相互独立与解：因为x130.30.7y240.60.4PxYP于是：于是：因此（x,y）的联合分布规律

39、为 y2410.180.1230.420.28x1.5 1.5 随机变量的独立性随机变量的独立性 随机变量相互独立是概率论中非常重要的概念随机变量相互独立是概率论中非常重要的概念, ,它是随它是随机事件相互独立的推广机事件相互独立的推广. . 两个随机变量的相互独立性两个随机变量的相互独立性 设设X X，Y Y为随机变量为随机变量. .如果对于任意实数如果对于任意实数x,yx,y，事件，事件 X Xxx 、 Y Yyy 相互独立的，即相互独立的，即 PPXXx x,Y,Yy y=P=PXXx xPPYYy y 那么称那么称X X，Y Y相互独立相互独立1.5 1.5 随机变量的独立性随机变量的

40、独立性一、二维随机变量独立性的定义一、二维随机变量独立性的定义 定义定义：设：设F(F(x,yx,y) )及及F Fx x(x),F(x),FY Y(y)(y)分别是二维随机变量分别是二维随机变量(X(X，Y)Y)的分布函数及边缘分布函数。若对于所有的分布函数及边缘分布函数。若对于所有x,yx,y有有 F(xF(x，y)y)=F=Fx x(x)F(x)FY Y(y) (y) 则称随机变量则称随机变量X X和和Y Y是相互独立的。是相互独立的。 注释注释: : 由联合分布可以确定边缘分布，但反之，由边缘分布由联合分布可以确定边缘分布，但反之，由边缘分布不能确定联合分布。如果不能确定联合分布。如果

41、X X与与Y Y相互独立，则相互独立，则X X，Y Y的边的边缘分布就能确定联合分布。缘分布就能确定联合分布。 例例: : 试证明例试证明例1 1中的两个随机变量中的两个随机变量X X与与Y Y的独立性的独立性. .解解: (X: (X，Y)Y)的分布函数为的分布函数为 yxyxFarctan2arctan21),(2 边缘分布函数分别为边缘分布函数分别为 yyFxxFyxarctan21)(,arctan21)( 容易看出，对于任意实数容易看出，对于任意实数x x，y y都有都有 F(x，y)=Fx(x)FY(y),所以所以X X与与Y Y是相互独立的是相互独立的 1.5 1.5 随机变量的

42、独立性随机变量的独立性二、离散型随机变量独立的等价条件二、离散型随机变量独立的等价条件定理定理 设设(X(X，Y)Y)为离散型随机变量，其分布律为为离散型随机变量，其分布律为 PPX=xX=xi i,Y=y,Y=yj j =p=pijij (i,j=1 (i,j=1，2 2，) ) 其边缘分布分布律为其边缘分布分布律为 PPX=xX=xi i =p=pi i (i=1 (i=1，2 2，) ) P PY=yY=yj j=p=p j j (j=1 (j=1，2 2，) ) 则则X X与与Y Y相互独立的充要条件是对于任意相互独立的充要条件是对于任意i i，j j 有有: : p pijij= =

43、 p pi ip pj j 1.5 1.5 随机变量的独立性随机变量的独立性二、离散型随机变量独立的等价条件二、离散型随机变量独立的等价条件证明：证明：(1)(1)充分性。若对于任意充分性。若对于任意i i，j j有有: : p pijij=p=pi ip p j j 则对于任意实数则对于任意实数x,yx,y有有 )()(),(,yFxFpppppyxFYXyyjxxijyyxxiyyxxijjijiji 所以所以X X与与Y Y相互独立。相互独立。 (2)(2)必要性。若必要性。若X X与与Y Y相互独立，对于任意实数相互独立，对于任意实数 x x1 1 x x2 2，y y1 1 y y2

44、 2，有，有 PPx x1 1 X Xx x2 2，y y1 1 Y Yy y2 2=P=Px x1 1 X Xx x2 2PPy y1 1 0,p0,pj j00，考虑在事件，考虑在事件 Y=yY=yj j 已发生的条件下事件已发生的条件下事件 X=xX=xi i 发生的概率发生的概率, ,即即 X=xX=xi i|Y=y|Y=yj j, i=1,2, i=1,2,. .的概率的概率, ,由条件概率公式由条件概率公式, , ,|jjijiyYPyYxXPyYxXP ., 2 , 1, ippjij1.6 1.6 条件分布条件分布一、离散型随机变量的条件分布律一、离散型随机变量的条件分布律条件

45、概率具有分布律的特性条件概率具有分布律的特性(1).P(1).PX=X=x xi i|Y=|Y=y yj j00； 1|).2(11 jjijijijippppyYxXP1 1定义定义 设设(X,Y)(X,Y)是二维离散型随机变量是二维离散型随机变量, ,对于固定对于固定 的的j j，若，若PPY=Y=y yj j00，则称，则称 .2 , 1,| ippyYPyYxXPyYxXPjijjjiji为在为在Y=Y=y yj j条件下随机变量条件下随机变量X X的的条件分布律条件分布律。 1.6 1.6 条件分布条件分布一、离散型随机变量的条件分布律一、离散型随机变量的条件分布律 同理，对于固定的

46、同理，对于固定的i i，若，若PPX=X=x xi i00，则称，则称 ., 2 , 1,| jppxXPyYxXPxXyYPiijijiij为在为在X=X=x xi i条件下条件下随机变量随机变量Y Y的条件分布律的条件分布律。 2. 2. 条件分布函数条件分布函数 xxjijjYXiyYxXPyYxXPyxF|)|(|jxxijxxjijppppii iyyijiXYppxyFj)|(| 同理，同理，XY-1 1 2 0 1/12 0 3/12 3/2 2/12 1/12 1/12 2 3/12 1/12 0试分别求试分别求Y|X=0Y|X=0及及X|Y=-1X|Y=-1的条件分布律的条件

47、分布律例例 二维离散型随机变量二维离散型随机变量(X,Y)(X,Y)的分布律为的分布律为 解解X|Y=-1 0 3/2 2 P 1/6 2/6 3/6Y|X=0 1 1 2 P 1/4 0 3/4p. p. 1 1=p(Y=-1)=1/12+2/12+3/12=3/6=p(Y=-1)=1/12+2/12+3/12=3/6P P1 1.=p(Y=0)=1/12+0+3/12=2/6.=p(Y=0)=1/12+0+3/12=2/61.6 1.6 条件分布条件分布二、连续型随机变量条件分布的定义二、连续型随机变量条件分布的定义 设设(X,Y)(X,Y)是二维连续型随机变量是二维连续型随机变量, ,这

48、时由于对任意这时由于对任意x,yx,y有有PPX=xX=x=0 , P=0 , PY=yY=y=0 ,=0 ,因此不能直接用条件概率公式因此不能直接用条件概率公式引入条件分布函数引入条件分布函数PPXx|YXx|Yy.y.下面我们用极限的方法下面我们用极限的方法来处理来处理. . 给定给定y,y,设对于任意固定的正数设对于任意固定的正数,P,Py-y-Yy+Yy+0 ,0 ,于是对于任意于是对于任意x x有有,| yYyPyYyxXPyYyxXP 上式给出了在任意上式给出了在任意y y-YYy y+下下X X的条件分布的条件分布函数函数, ,现在我们引入以下的定义现在我们引入以下的定义. .

49、1.6 1.6 条件分布条件分布二、连续型随机变量条件分布的定义二、连续型随机变量条件分布的定义1.1.条件分布函数的定义：给定条件分布函数的定义：给定y y, ,设对于任意实数设对于任意实数x x, ,若极限若极限 ,lim|lim00 yYyPyYyxXPyYyxXP 存在存在, ,则称此极限为则称此极限为在条件在条件Y=yY=y下下X X的条件分布函数的条件分布函数, , 记为记为PPXx|Y=yXx|Y=y 或记为或记为F FX|YX|Y( (x|yx|y).). 2.2.公式：公式： 设设(X,Y)(X,Y)的分布函数为的分布函数为F(F(x,yx,y) )，概率密度为，概率密度为f

50、(f(x,yx,y).).若在点若在点( (x,yx,y) )处处f(f(x,yx,y) )连续连续, ,且且f fY Y(y)0,(y)0,则有则有 1.6 1.6 条件分布条件分布二、连续型随机变量条件分布的定义二、连续型随机变量条件分布的定义,lim)|(0| yYyPyYyxXPyxFYX xYYXYxYXduyfyufyxFyfduyufyxF)(),()|()(),()|(|或写成或写成，亦即亦即)()(),(),(lim0 yFyFyxFyxFYY 2/)()(2/),(),(lim0 yFyFyxFyxFYY)(),(yFdydyyxFY 1.6 1.6 条件分布条件分布二、连