数学期望和方差ppt课件.ppt

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1、第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差分布函数能够完整地描述随机变量的统计特分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性，但在实际问题中，随机变量的分布函数较性，但在实际问题中，随机变量的分布函数较难确定，而它的一些数字特征较易确定并且难确定，而它的一些数字特征较易确定并且在很多实际问题中，只需知道随机变量的某些在很多实际问题中，只需知道随机变量的某些数字特征也就够了数字特征也就够了. 另一方面，对于一些常用的重要分布，如二另一方面，对于一些常用的重要分布，如二项分布、泊松分布、指数分布、正态分布等，项分布、泊松分布、指数分布、正态分布等，只要知道了它们的某些数字特征，就能完全确只要知道了它们

2、的某些数字特征，就能完全确定其具体的分布定其具体的分布.第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差q 随机变量的平均取值随机变量的平均取值 数学数学期望期望q 随机变量取值平均偏离平均值的随机变量取值平均偏离平均值的情况情况 方差方差q 描述两个随机变量之间的某种关描述两个随机变量之间的某种关系的数系的数 协方差协方差与与相关系数相关系数本本章章内内容容第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差引例引例: :测量测量 50 50 个圆柱形零件直径个圆柱形零件直径( (见下表见下表) ) 则这则这 50 50 个零件的平均直径个零件的平均直径为为cm14

3、.10501012101115107988尺寸尺寸（cm）8 9 10 11 12数量数量（个）（个）8 7 15 10 10 504.1 数学期望数学期望第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差换个角度看换个角度看, ,从这从这5050个零件中任取一个个零件中任取一个, ,它它的尺寸为随机变量的尺寸为随机变量X , , 则则X 的概率分布为的概率分布为X P 8 9 10 11 12508507501550105010则这则这 50 50 个零件的平均直径个零件的平均直径为为14.10)(128128kkkkpkXPkD称之为这称之为这 5 5 个数字的个数字的加权平均加权平均, ,数学期

4、望的数学期望的概念源于此概念源于此. .第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差数学期望的定义数学期望的定义定义定义1.1设离散型设离散型随机变量随机变量X 的概率分布为的概率分布为, 2 , 1,)(kpxXPkk若无穷级数若无穷级数1kkkpx绝对收敛，则称其和为随机变量绝对收敛，则称其和为随机变量 X 的的数学数学期望期望或或均值，均值，记作记作 E( X ).1)(kkkpxXE第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差常见离散型随机变量的数学期望常见离散型随机变量的数学期望 01分布分布 这时这时 P(X=1)=p, P(X=0)=1-p. 故故 E(X)=0P(X=0)+1P(X

5、=1)= p.第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差(2) 二项分布二项分布X的取值为的取值为0,1,n. 且且 P(X=k)= Cnk pk (1-p)n-k, k= 0, 1, , n. nkknkknppkCXE0)1 ()(nkknkppknknk1)1 ()!( !10)1(1)1 (nkknkknppCnpnkknkppknknnp1)1()1(1)1 ()!()!1()!1(np第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差(3)泊松分布泊松分布 X的可能取值为的可能取值为0,1,2,，且，且, 2, 1, 0,!)(kekkXPk10!)(kkkkekkkpXEekekkkkk

6、011!)!1(第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差(4)几何分布几何分布X的可能取值为的可能取值为1,2, 且且 P(X=k)= qk-1 p, k= 1,2,. p+q=1.第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差11111)(kkkkkkqkppqkkpXE注注: :在第三个等号中利用了等式在第三个等号中利用了等式.11)1(122pppqp,1,)1(1211xxkxkk,1,110 xxxkk这可以由等式这可以由等式两边同时对两边同时对x求导数得到求导数得到. .第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差例例1对产品进行抽样，只要发现废品就认为对产品进行抽样，只要发现废品就认

7、为这批产品不合格，并结束抽样。若抽样到第这批产品不合格，并结束抽样。若抽样到第 n 件仍未发现废品则认为这批产品合格件仍未发现废品则认为这批产品合格. 假设产假设产品数量很大，抽查到废品的概率是品数量很大，抽查到废品的概率是p，试求平，试求平均需抽查的件数均需抽查的件数.第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差解：解：设设X为停止检查时，抽样的件数，则为停止检查时，抽样的件数，则X的可能取值为的可能取值为1,2,n，且，且.,; 1, 2 , 1,11nkqnkpqkXPnk，于是其中pq11111)(nnkknqpkqXE第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差111111nnkknkk

8、nqkqkq112222) 1()2(2() 1(321 (nnnnnqqnqnqqqnqq121nqqqppqqnn)1 (1111111)1 ()(nnkknqqkqXE第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差定义定义1.2设设 X 为连续型随机变量为连续型随机变量, 其密度函数为其密度函数为f(x) ，若积分若积分dxxxf)(绝对收敛，则称此积分为随机变量绝对收敛，则称此积分为随机变量 X 的的数学数学期望期望或或均值，均值，记作记作 E( X ).dxxxfXE)()(注意注意：随机变量的数学期望的本质就是随机变量的数学期望的本质就是加权加权平均数平均数，它是一个数，不再是随机变量

9、。，它是一个数，不再是随机变量。第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差常见连续型分布的数学期望常见连续型分布的数学期望(5)指数分布指数分布E( ).0,0;0,)(xxexfx随机变量随机变量X的密度为：的密度为：第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差dxexdxxfxXEx0)()(xdex0.110000 xxxedxexe第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差 设设X的数学期望有限的数学期望有限, 概率密度概率密度f (x) 关于关于.)(),()( XExfxf则则对对称称，定理定理1证明证明).()(xfxxg 令令)()()(xfxxg )(xfx ).(xg g(x

10、)是奇函数是奇函数. dxxfxXE)()( dxxfx)()( dxxfdxxfx)()()( dxxfx)()()( xt令令 dttft)( dttg )(. 第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差推论推论.2)(),()1(baXEbaUX 则则若若.)(),()2(2 XENX则则若若第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差例例2设设X 的概率密度为：的概率密度为： 其他, 010,101,1)(xxxxxf求求E(X).0)1 ()1 ()()(0110dxxxdxxxdxxxfXE解解:注注:由于由于f(x)是偶函数，由定理是偶函数，由定理1.1也知也知 E(X)=0.第四

11、章第四章 数学期望和方差数学期望和方差注意：不是所有的随机变量都有数学期望注意：不是所有的随机变量都有数学期望.例如：例如：Cauchy分布分布的密度函数的密度函数为为xxxf,)1 (1)(2dxxxdxxfx)1 (|)(|2但但发散发散.它的数学期望不存在它的数学期望不存在.注：虽然注：虽然f(x)f(x)是偶函数，但不能用定理是偶函数，但不能用定理1.1.1.1.第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差 设已知随机变量设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不的分布，我们需要计算的不是是X的数学期望，的数学期望， 而是而是X的某个函数的数学期望，的某个函数的数学期望，比如说比如说g(X

12、)的数学期望的数学期望. 那么应该如何计算呢？那么应该如何计算呢？ 更一般的，已知更一般的，已知随机随机向向量量(X1 , X2 ,Xn )的联合分布的联合分布， Y= g(X1, X2 ,Xn ) 是是 (X1 , X2 ,Xn ) 的函数的函数, 需要计算需要计算Y 的的数学期数学期望，应该望，应该如何计算呢？如何计算呢？ 我们下面就来处理这个我们下面就来处理这个问题问题.4.2 数学期望的性质数学期望的性质第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差A. 随机向量函数的数学期望随机向量函数的数学期望q 设设X=(X1 , Xn)为离散型随机向量，概为离散型随机向量，概率分布为率分布为. 1

13、,),(111njjjjjjpxxXPnnZ = g(X1 , Xn),若级数若级数绝对收敛，则绝对收敛，则.),(111nnnjjjjjjpxxgnnnjjjjjjnpxxgXXgEZE111),(),()(1第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差随机向量函数的数学期望（续）随机向量函数的数学期望（续）q 设设X=(X1 , Xn)为连续型随机向量，联合为连续型随机向量，联合密度函数为密度函数为 ),(1nxxfZ = g(X1 , Xn), 若积分若积分绝对收敛，则绝对收敛，则nnnxddxxxfxxg111),(),(),()(1nXXgEZEnnnxddxxxfxxg111),()

14、,(第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差例例3设离散型随机向量设离散型随机向量X的概率分布如下表的概率分布如下表所示，求所示，求Z=X2的期望的期望. X 0 1 1 P214141E(Z)= g(0) 0.5 + g(-1) 0.25 + g(1) 0.25解解:= 0.5注注:这里的这里的.)(2xxg 第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差例例4设二维离散型随机向量设二维离散型随机向量(X,Y)的概率分的概率分布如下表所示布如下表所示,求求:Z=X2+Y的期望的期望. E(Z)= g(1,1) 0.125 + g(1,2) 0.25 + g(2,1) 0.5 + g(2,2)

15、0.125解解: Y X 1 2 1 1/8 1/4 2 1/2 1/8 =4.25注注:这里的这里的.),(2yxyxg第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差例例5设随机变量设随机变量X 服从服从 二项分布二项分布B(n , p), Y = eaX, 求求 E(Y).解解:.1)1()1 ()1 ()()1 (000nanankknkaknnkknkknaknkakaXepppeppeCppCekXPeeEEY第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差例例6设设X U0, , Y =sinX, , 求求 E(Y). .解解: : X 的概率密度为的概率密度为所以所以.2|cos11sin

16、)(sinsin00 xdxxdxxfxXEEY其他。其他。,0;0,1)(xxf第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差例例7解：解：(1) 设整机寿命为设整机寿命为 N ,min5, 2, 1kkXN,)(1 (1)(51kkNxFxF其它，, 0, 0,15xex 五个独立元件五个独立元件,寿命分别为寿命分别为,521XXX都服从参数为都服从参数为 的指数分布，若将它们的指数分布，若将它们 (1)串联；串联； (2)并联并联 成整机，求整机寿命的均值成整机，求整机寿命的均值. 第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差其它，, 0, 0,5)(5xexfxN即即 N E( 5), 51

17、)(NE51)()(kkMxFxF其它，, 0, 0,)1 (5xex其它，, 0, 0,)1 (5)(4xeexfxxM (2) (2) 设整机寿命为设整机寿命为 M ,max5 , 2, 1kkXM第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差dxxxfMEM)()(04)1 (5dxexexx6013711)()(5160137NEME 可见，并联组成整机的平均寿命比串联可见，并联组成整机的平均寿命比串联组成整机的平均寿命长组成整机的平均寿命长1111倍之多倍之多. .注：注： 128128页的页的4.204.20与此例为同一模型。与此例为同一模型。第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差

18、B. 数学期望的性质数学期望的性质q E (C ) = Cq E (aX ) = a E (X ) q E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ) CXEaCXaEniiiniii11)(q 当当X ,Y 相互独立时相互独立时，E (X Y ) = E (X )E (Y ) .第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差注：注：性质性质 4 的逆命题不成立，的逆命题不成立，即即若若E (X Y) = E(X)E(Y)，X ,Y 不一定不一定相互独立相互独立.第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差反例反例X Y pij-1 0 1-1 0 181818181818181810p

19、j838382pi838382第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差X Y P -1 0 1828284; 0)()(YEXE; 0)(XYE)()()(YEXEXYE但但0)0, 0(YXP282)0()0(YPXP第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差q 若若X 00，且，且EX 存在，则存在，则EX 00. .推论推论: : 若若 X Y，则，则 EX EY.证明：设证明：设 X 为连续型，密度函数为为连续型，密度函数为f (x), 则则由由X 0 得：得：,0, 0)(xxf所以所以.0)()(0dxxfxdxxfxEX证明证明：由已知由已知 Y-X0，则则 E(Y-X) 0.

20、而而E(Y-X)=E(Y)-E(X), 所以所以，E(X) E(Y).第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差例例19253310230)5()()(2)(3)523(EYEXYEXEYXYXE性质2和353)()(2103YEXE性质4设设 XN(10,4)，YU1,5，且，且X与与Y相互独立，求相互独立，求 E(3X2XYY5). 解：解：由已知，由已知， 有有 E(X)10, E(Y)3.第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差例例2二项分布二项分布 B(n,p), 设单次实验成功的概率设单次实验成功的概率是是 p，问，问n次独立重复试验中，期望几次成功？次独立重复试验中，期望几次成

21、功？解解: 引入引入.)()()(21npXEXEXEEXn次试验不成功。第次试验成功，第iiXi, 0, 1则则 X 是是n次试验中的成功次数次试验中的成功次数. nXXX21因此因此，这里，这里， XB(n,p).第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差例例3将将 4 个可区分的球随机地放入个可区分的球随机地放入 4 个盒子个盒子中，每盒容纳的球数无限，求空着的盒子数中，每盒容纳的球数无限，求空着的盒子数的数学期望的数学期望. . 解一解一: :设设 X 为空着的盒子数为空着的盒子数, ,则则 X 的概率分布为的概率分布为X P0 1 2 344! 442413144PCC4341224

22、244)(CCCC4144C6481)(XE第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差解二解二: : 再引入再引入 X i , i = 1,2,3,4.其它，盒空，第, 0, 1iXi4321XXXXXXi P 1 04434431443)(iXE6481434)(4XE第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差例例4将将n个球放入个球放入M个盒子中个盒子中,设每个球落入各设每个球落入各个盒子是等可能的个盒子是等可能的,求有球的盒子数求有球的盒子数X 的期望的期望.解解:引入随机变量引入随机变量:M,2,1ii0i1Xi个盒子中无球若第个盒子中有球若第则则 X=X1+X2+XM ,于是于是E(

23、X)=E(X1)+E(X2)+ +E(XM). 每个随机变量每个随机变量Xi都服从两点分布都服从两点分布,i=1,2,M.第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差因为因为每个球落入每个盒子是等可能的均为每个球落入每个盒子是等可能的均为1/M，所以，所以，对第对第i个盒子个盒子,没有一个球落入这个没有一个球落入这个盒子内的概率为盒子内的概率为(1-1/M). 故，故，n个球都不落入这个盒子内的概率为个球都不落入这个盒子内的概率为(1-1/M)n ，即，即第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差.)11 (1)()()()()(.,2,1,)11 (1)(.)11 (11,)11 (02121

24、nMMnininiMMXEXEXEXXXEXEMiMXEMXPMXP注：注：129页页4.27以此题为模型以此题为模型.第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差4.2 随机变量的方差随机变量的方差前面我们介绍了随机变量的数学期望前面我们介绍了随机变量的数学期望,它体现了随机变量取值的平均它体现了随机变量取值的平均,是随机变量是随机变量的一个重要的数字特征的一个重要的数字特征.但是在一些场合，仅仅知道随机变量但是在一些场合，仅仅知道随机变量取值的平均是不够的取值的平均是不够的.第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差例如，甲、乙两门炮同时向一目标射击例如，甲、乙两门炮同时向一目标射击10发发

25、炮弹，其落点距目标的位置如图：炮弹，其落点距目标的位置如图：你认为哪门炮射击效果好一些呢你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮射击结果乙炮乙炮因为乙炮的弹着点较集中在中心附近，因为乙炮的弹着点较集中在中心附近，所以乙炮的射击效果好所以乙炮的射击效果好. 中心中心中心中心第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差 为此需要引进另一个数字特征为此需要引进另一个数字特征, ,用它来度用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度量随机变量取值在其中心附近的离散程度. .这个数字特征就是我们下面要介绍的这个数字特征就是我们下面要介绍的方差方差第四章第四章 数学期望和方差数

26、学期望和方差A. 方差的概念方差的概念设随机变量设随机变量X的数学期望为的数学期望为E(X), 若若E(X-E(X)2存在存在, 则称它为则称它为X 的方差（此时，也称的方差（此时，也称X的方差的方差存在存在)，记为，记为Var(X) 或或D(X) , 即即定义定义称称Var(X) 的算术平方根的算术平方根 为为X的的标准差或均方差标准差或均方差，记为，记为 (X). Var (X)=E(X-E(X)2)ar(XV第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差若若X的取值比较分散，则方差较大的取值比较分散，则方差较大. .刻划了随机变量的取值相对于其数学期望刻划了随机变量的取值相对于其数学期望的离

27、散程度的离散程度. .若若X的取值比较集中，则方差较小；的取值比较集中，则方差较小；Var(X)=EX-E(X)2 方差方差第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差注意：注意：1) Var(X) 0，即方差是一个非负实数，即方差是一个非负实数.2）当）当X 服从某分布时，我们也称某分布服从某分布时，我们也称某分布的方差为的方差为Var(X).3) 方差是刻划随机变量取值的分散程度的方差是刻划随机变量取值的分散程度的一个一个 特征特征.第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差方差的计算公式方差的计算公式(1)若若 X 为离散型，概率分布为为离散型，概率分布为, 2 , 1,)(kpxXPkk

28、12)()(kkkpXExXVar(2)若若 X 为连续型，概率密度为为连续型，概率密度为 f (x), 则则dxxfXExXVar)()()(2则则第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差计算方差常用的公式计算方差常用的公式)()()(22XEXEXVar证明证明: :)()()()(2)()()(2()()(22222222XEXEXEXEXEXEXXEXEXEXEXVar第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差常见随机变量的方差常见随机变量的方差(1) 参数为参数为p 的的 01分布分布 概率分布为：概率分布为：前面已经计算过：前面已经计算过：E(X)=p，又，又.1)0(,) 1(

29、pXPpXP所以所以.) 0(0) 1(1)(222pXPXPXE.)()(222pqppEXXEXVar第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差 (2)二项分布二项分布B(n, p) 概率分布为：概率分布为： 已计算过：已计算过：E(X)=np，又，又., 1, 0,)(nkqpCkXPknkkn 所以所以.) 1() 1()!()!2()!2)(1() 1()1()(2202)2(222222)2(22202nppnnnpqpCpnnnpqpknknnnnpqpCkkEXXXEXEnkknkknnkknknkknkkn.)()(22npqEXXEXVar第四章第四章 数学期望和方差数学期

30、望和方差 (3)泊松分布泊松分布P() 概率分布为：概率分布为： 已计算过：已计算过：E(X)=，又，又., 2, 1, 0,!)(kekkXPk 所以所以.!)!2(!)1()1()(20222202ekekekkkEXXXEXEkkkkkk.)()(22EXXEXVar第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差 (4)区间区间a,b上的均匀分布上的均匀分布Ua,b 概率密度为：概率密度为： 已计算过：已计算过：E(X)=(a+b)/2，又，又.,0,1)(其其它它bxaabxf 所以所以bababadxabxdxxfxXE31)()(22222.12)()()(222abEXXEXVar第

31、四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差 (5) 指数分布指数分布E() 概率密度为：概率密度为： 已计算过：已计算过：E(X)=1/，又，又. 0,0; 0,)(xxexfx 所以所以.222)(2| )()()(2000020222dxexdxxedxexexdxexdxxfxXExxxxx.1)()(222EXXEXVar第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差(6) 正态分布正态分布N( , 2) 概率密度为：概率密度为： 已计算过：已计算过：E(X)= ，所以，所以222)(21)(xexf22222222222)(222222222121| )21)(2121)()()(dyed

32、yeeydyeydxexEXXEXVaryyyyxyx第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差B. 方差的性质方差的性质性质性质1若若X=C，C为常数，则为常数，则 Var(X)=0 .性质性质2 若若b为常数为常数,随机变量随机变量X的方差存在，的方差存在， 则则bX的方差存在的方差存在, 且且 Var(bX) = b2Var(X)Var (aX + b ) = a2 Var(X)结合性质结合性质1与性质与性质2就有就有第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差性质性质3若随机变量若随机变量X1, X2, , Xn 的方差都的方差都存在，则存在，则X1+X2+.+Xn的方差存在，且的方差存

33、在，且 ninjjijiniiEXEXXXEXVar111)()(第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差性质性质4若随机变量若随机变量X1, X2, , Xn相互独立，则相互独立，则n2时就有时就有)()()(11nnXVarXVarXXVarVar(X Y)= Var(X) +Var(Y) 2E(X-EX)(Y-EY)若若X, Y 独立，独立， Var(X Y)= Var(X) +Var(Y)第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差性质性质5对任意常数对任意常数C, Var(X ) E(X C)2 ,等号成立当且仅当等号成立当且仅当C = E(X ). .第四章第四章 数学期望和方差数

34、学期望和方差性质性质6注注: 以后若无特殊说明以后若无特殊说明, 都认为随机变量都认为随机变量的方差大于的方差大于0.Var(X ) = 0 P (X = E(X)=1称称X 以概率以概率 1 等于常数等于常数E(X).第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差例例1设设X B( n , p)，求，求Var(X ).解：解： 引入随机变量引入随机变量次试验失败。第次试验成功，第iiXi, 0, 1故故)1 ()()(1pnpXVarXVarniiniiXX1则则., 2, 1),1 ()(nippXVari由于由于相互独立相互独立，nXXX,21且且第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差例

35、例2 （标准化随机变量）（标准化随机变量）设随机变量设随机变量 X 的期望的期望E(X )、方差方差D(X )都都存在存在, 且且D(X ) 0, 则称则称)()(XDXEXX为为 X 的标准化随机变量的标准化随机变量. 显然显然，1)(, 0)(XDXE第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差例例3则则:.1)(1)(1)1(,)(1)(1)1(212121111nXVarnXVarnXnVarXEnXEnXnEniiniiniiniiniinii设设X1, X2, , Xn相互独立，有共同的期相互独立，有共同的期望望 和方差和方差 ，2.1)1(,)1(211nXnVarXnEniini

36、i证明证明:第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差例例4已知随机变量已知随机变量X1,X2,Xn相互独立，相互独立，且每个且每个Xi的期望都是的期望都是0，方差都是，方差都是1，令，令Y= X1+X2+Xn .求求 E(Y2).解：由已知，则有解：由已知，则有nYDYDYDYDYEYEYEYEnn)()()()(0)()()()(2121.)()()(22nYEYDYE因此，因此，第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差例例5设随机变量设随机变量X和和Y相互独立，且相互独立，且 XN(1,2), YN(0,1), 试求试求 Z=2X-Y+3 的期的期望和方差望和方差. 由已知，有由已知，

37、有E(X)=1, D(X)=2, E(Y)=0, D(Y)=1, 且且X和和Y独立独立. 因此，因此，解解:第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差D(Z)= 4D(X)+D(Y) = 8+1=9.E(Z)= 2E(X) E(Y)+3 = 2+3=5, 注：由此可知注：由此可知 ZN（5,9）.第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差一般地，一般地，则且相互独立，若, 2 , 1),(2niNXiii.,12212211niiiniiinnCCCNCXCXCXC的常数。是不全为这里，0C,C,Cn21第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差C. 两个不等式两个不等式定理定理3.2 (马尔

38、可夫马尔可夫(Markov)不等式不等式)对随机变量对随机变量X 和任意的和任意的 0，有，有.0,|1|XEXP第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差证明证明: 设为连续型设为连续型, 密度函数为密度函数为f(x), 则则)|(|)()()()()(|)(|)(|XPXPXPdxxfdxxfdxxfxdxxfxdxxfxXE第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差上式常称为上式常称为切比雪夫（切比雪夫（Chebyshev）不等式）不等式 222)(| )(|1| )(|XVarXEXEXEXP在马尔可夫不等式中取在马尔可夫不等式中取 =2, X为为X-EX 得得是概率论中的一个基本不等

39、式是概率论中的一个基本不等式. 第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差例例6已知某种股票每股价格已知某种股票每股价格X的平均值的平均值为为1元，标准差为元，标准差为0.1元，求元，求a，使股价超，使股价超过过1+a元或低于元或低于1-a元的概率小于元的概率小于10%。解：解：由由切比雪夫不等式切比雪夫不等式201. 0)| 1(|aaXP令令1 . 001. 02a1 . 02 a32. 0 a第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差定理定理3.3 (内积不等式或内积不等式或Cauchy-Schwarz不等式不等式)设设EX2 ， EY2 0, Var (Y ) 0 ,称称)()(),c

40、ov()()()()(YVarXVarYXYVarXVarYEYXEXE为为X ,Y 的的 相关系数相关系数，记为，记为)()(),cov(YVarXVarYXXY事实上事实上，),cov(YXXY 若若, 0XY 称称 X ,Y 不相关不相关.无量纲无量纲 的量的量第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差利用函数的期望或方差计算协方差利用函数的期望或方差计算协方差q 若若 ( X ,Y ) 为离散型为离散型，ijijjipYEyXExYX11)()(),cov(q 若若 ( ( X ,Y X ,Y ) ) 为连续型为连续型， dxdyyxfYEyXExYX),()()(),cov(q )(

41、)()(),cov(YEXEXYEYX)()()(21YDXDYXD第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差例例1求求 Cov (X ,Y ), XY 1 0 p qX P 1 0 p qY P 已知已知 X ,Y 的联合分布为的联合分布为XYpij 1 010 p 0 0 q0 p 1p + q = 1解解: 1 0 p qX Y P 第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差,)(,)(,)(,)(pqYVarpqXVarpYEpXE,)(pXYE. 1)()(),cov(,)()()(),cov(YVarXVarYXpqYEXEXYEYXXY第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差例

42、例2. . 设设 ( X ,Y ) N ( 1, 12, 2, 22, ), 求求 XY 解解:dxdyyxfyxYX),()(),cov(21 dsdtestttstysx222221121)()1 (2122112 令dudteutttuuts22221)1 (2221)(12 令第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差dtetduetu222212)1 (222112 21 XY定理定理：若：若 ( X ,Y ) N ( 1, 12, 2, 22, ),则则X ,Y 相互独立相互独立X ,Y 不相关不相关因此，因此，第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差协方差和相关系数的性质协方差

43、和相关系数的性质协方差的性质协方差的性质q )()()(),cov(),cov(YEXEXYEXYYXq q q ),cov(),cov(YXabbYaX),cov(),cov(),cov(ZYZXZYX)(),cov(XVarXX第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差q )()(| ),cov(|2YVarXVarYX当且仅当当且仅当1)()(0XEXtYEYP时，等式成立时，等式成立 Cauchy-Schwarz不等式不等式第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差相关系数的性质相关系数的性质q q 1|XY1|XYCauchy-Schwarz不等式不等式的等号成立的等号成立即即Y 与

44、与X 有线性关系的概率等于有线性关系的概率等于1，这种线性关系为这种线性关系为1)()()()(XDXEXYDYEYP第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差q 0XYX , Y 不相关不相关0),cov(YX)()()(YEXEXYE)()()(YVarXVarYXVar注：注：X与与Y不相关仅仅是不不相关仅仅是不线性线性相关，可相关，可以非线性相关以非线性相关.第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差q X,Y 相互独立相互独立X,Y 不相关不相关若若 X , Y 服从二维正态分布，服从二维正态分布，X,Y 相互独立相互独立X,Y 不相关不相关第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差

45、例：最小二乘法的思想例：最小二乘法的思想若若X , Y 是两个随机变量，用是两个随机变量，用X 的线性函数的线性函数去逼近去逼近 Y 所产生的均方误差为所产生的均方误差为2)(baXYE当取当取)()()()()()(,)()()(),cov(XEXDYDYEXEaYEbXDYDXDYXaXYXY使得均方误差最小使得均方误差最小.若若 则线性逼近无意义则线性逼近无意义., 0XY第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差6),cov(),cov(),cov(YXXXZX12),cov(2)()()()(YXYVarXVarYXVarZVar231226XZ第四章第四章 数学期望和方差数学期望和

46、方差例例3设设 ( X ,Y ) N ( 1,4; 1,4; 0.5 ), Z = X + Y , 求求 XZ 解解:, 4)()(, 1)()(YVarXVarYEXE2),cov(,21YXXY第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差例例4设设X N(0,4), Y P(2), XY =1/2, 求求 E(X+Y)2 .解解: :E(X+Y)2 =E(X+Y)2+Var(X+Y)=EX+EY)2+Var(X)+Var(Y)+2cov(X, Y)由题设知由题设知: EX=0, Var(X)=4, EY=2, Var(Y)=2, XY =1/2, 而而第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方

47、差注意到注意到把条件代入即得把条件代入即得 E(X+Y)2 =)()(),(YVarXVarYXCovXY 2210 第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差矩矩 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y), k , l 为非负整数。为非负整数。 mk = E(Xk ) 称为称为X的的k阶原点矩，阶原点矩， k = E(X-E(X)k 称为称为X的的k阶中心矩，阶中心矩， mkl = E(X k Y l ) 称为称为X和和Y的的(k , l )阶混合原点阶混合原点矩，矩， kl = E(X-E(X)k(Y-E(Y)l 称为称为X和和Y的的(k,l)阶阶 混合中心矩混合中心矩. 显然数学期望为显然数学期望为1阶原点矩阶原点矩, 方差为方差为2阶中心阶中心矩矩, 而协方差为而协方差为(1,1 )阶混合中心矩阶混合中心矩.