线性系统的根轨迹法ppt课件.ppt

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1、4-1 4-1 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念4-2 4-2 常规根轨迹的绘制法则常规根轨迹的绘制法则4-3 4-3 广义根轨迹广义根轨迹4-4 4-4 系统性能的分析系统性能的分析4-5 4-5 根轨迹分析的根轨迹分析的MATLAB方法方法4-1 根轨迹的基本概念由上一章的分析可知，系统的稳定性由闭由上一章的分析可知，系统的稳定性由闭环极点唯一确定，而系统的稳态性能和动态环极点唯一确定，而系统的稳态性能和动态性能又由闭环零、极点的分布确定。性能又由闭环零、极点的分布确定。闭环零点一般较容易确定，而闭环极点较闭环零点一般较容易确定，而闭环极点较难确定。根轨迹法为我们提供了一种确定闭难确定。根

2、轨迹法为我们提供了一种确定闭环极点简便的图解方法。环极点简便的图解方法。根轨迹法是根据开环零、极点的分布，用根轨迹法是根据开环零、极点的分布，用作图的方法来确定闭环极点的一种图解方法。作图的方法来确定闭环极点的一种图解方法。由于它简便、直观，在工程实践中得到了广由于它简便、直观，在工程实践中得到了广泛的应用。泛的应用。当某一参数从当某一参数从0 0 变化变化时，系统闭环特征时，系统闭环特征方程的根在方程的根在s s 平面上的变化轨迹，称为平面上的变化轨迹，称为。当闭环系统没有零、极点相消时，闭环特当闭环系统没有零、极点相消时，闭环特征根就是闭环传递函数的极点，即闭环极点。征根就是闭环传递函数的

3、极点，即闭环极点。1.根轨迹的定义闭环传递函数：闭环传递函数：ggKssKs 2)(2 )2s( sK)2s( sK2)1s5 . 0( sKsGgk 解：系统的开环传递函数为解：系统的开环传递函数为一定要写一定要写成零极点成零极点的形式的形式 Ks(0.5s+1)R(s)C(s)引例：已知系统的结构图所示，分已知系统的结构图所示，分析析 时，闭环特征根在时，闭环特征根在s s平面上变化的轨迹。平面上变化的轨迹。 K0K系统的开环增益，系统的开环增益，Kg = 2K为系统的开环为系统的开环(1) Kg= 0时，时，s1 = 0、s2 = 2（对应两个（对应两个开环极点开环极点，称为称为根根轨迹

4、的起点轨迹的起点，用用表示）。表示）。 2 j 0 1(2) 0 Kg1时，时，112, 1 gKjsKg= 0Kg= 0Kg=1KgKg为一对实部为为一对实部为-1的共轭复数根。的共轭复数根。闭环特征方程闭环特征方程： 闭环特征根：闭环特征根：gKs 112, 1 0sG1k 0Ks2sg2 （1 1）n阶系统有阶系统有n个根，有个根，有n n条条根轨迹分支根轨迹分支；（2 2）每条）每条根轨迹的起点根轨迹的起点( (K Kg g= 0)= 0)位于开环极点处；位于开环极点处； )2s( sKsGgk （3 3）每条根轨迹的终点）每条根轨迹的终点( (Kg Kg ) ) 或为开环零点处或为无

5、穷远或为开环零点处或为无穷远 处。处。（4 4）重根点，称为）重根点，称为分离点分离点 或或汇合点汇合点。 2 j 0 1Kg= 0Kg= 0Kg=1KgKg 结 论：（1） 稳定性当当Kg从从0 变化时，如系变化时，如系统的根轨迹不会越过虚轴进统的根轨迹不会越过虚轴进入右半入右半s平面，则该系统对所平面，则该系统对所有的有的Kg值都是稳定的。值都是稳定的。 2 j 0 1Kg= 0Kg= 0Kg=1KgKg如果系统的根轨迹有可能进如果系统的根轨迹有可能进入右半入右半s 平面，此时根迹与虚平面，此时根迹与虚轴交点处的轴交点处的Kg 值，称为值，称为。由原点处的开环极点数由原点处的开环极点数可确

6、定系统的可确定系统的型别，型别，如果如果给定系统对稳态误差的要给定系统对稳态误差的要求，则对求，则对K Kg g（K K）有要求，有要求，由根迹图可以确定闭环极由根迹图可以确定闭环极点位置的容许范围。点位置的容许范围。 2 j 0 1Kg= 0Kg= 0Kg=1KgKg（2）稳态性能，闭环极点均，闭环极点均位于负实轴上，系统为位于负实轴上，系统为系统，单位阶跃响应为非周期系统，单位阶跃响应为非周期过程。过程。 当当 时，闭环两个实极点重合，系统为时，闭环两个实极点重合，系统为系统，单位阶跃响应为非周期过程。系统，单位阶跃响应为非周期过程。当当 时，闭环极点为一对共轭复数极点，时，闭环极点为一对

7、共轭复数极点，系统为系统为系统，单位阶跃响应为阻尼振荡系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程。过程。（3） 动态性能 2 j 0 1Kg= 0Kg= 0Kg=1KgKg1k0g 1kg 1kg )s(H)s(G1)s(G)s(R)s(C)s( 闭环传函：闭环传函：闭环特征方程闭环特征方程: :3. 根轨迹的条件方程R(s)H(s)G(s)E(s)C(s)系统的结构如图所示：系统的结构如图所示：开环传函：开环传函： n1jjm1iig)ps()zs(K)s(H)s(G0)s(H)s(G1 1)ps()zs(Kn1jjm1iig 式中，式中，jipz、根轨迹增益根轨迹增益开环零、极点开环零、极点nm、开

8、环零、极点数开环零、极点数gK根轨迹的条件方程根轨迹上的点必满足根轨迹上的点必满足根轨迹条件方程，而满根轨迹条件方程，而满足根轨迹方程的点必然足根轨迹方程的点必然在根轨迹上。在根轨迹上。矢量运算复习矢量运算复习 izs jps )zs(i )ps(j 复平面上任意一点，都可用复平面上任意一点，都可用一个矢量表示，如图所示。一个矢量表示，如图所示。根据矢量的运算法则根据矢量的运算法则 s-ps-pj j表示从开环极点表示从开环极点p pj j 指向指向s s的矢量；的矢量； s-zs-zi i表示从开环零点表示从开环零点z zi i 指向指向s s的矢量；的矢量；矢量的模：矢量的模： 矢量的相角

9、：矢量的相角：（矢量与正实轴的夹角）（矢量与正实轴的夹角）+jzipjs-pjs-zis=+j图中，图中，s s复平面上任意一点复平面上任意一点p pj j 系统的开环极点系统的开环极点z zi i 系统的开环零点系统的开环零点1)ps()zs(Kn1jjm1iig 根轨迹的条件方程模值条件方程 根轨迹方程可看成一个矢量方程，因此可分根轨迹方程可看成一个矢量方程，因此可分解出以下的模值条件和相角条件方程：解出以下的模值条件和相角条件方程：1pszsKn1jjm1iig n1jjim1i)2, 1,0k()1k2()ps()zs( 相角条件方程是确定是确定s s平面上根轨迹的平面上根轨迹的，绘制

10、根轨迹时，只需要使用相角条件；而当需要绘制根轨迹时，只需要使用相角条件；而当需要确定根轨迹上各点的确定根轨迹上各点的K Kg g值时，才使用模值条件。值时，才使用模值条件。模值条件方程1pszsKn1jjm1iig n1jjim1i)2, 1,0k()1k2()ps()zs( 相角条件方程 )1k2()ps()ps()ps()zs(32113211 下面看看怎样按上式表示的幅值条件和相角条件绘制系统下面看看怎样按上式表示的幅值条件和相角条件绘制系统的根轨迹图。的根轨迹图。系统开环零极点分布如图。系统开环零极点分布如图。p2p3 j 0p1z1s1 1 1 2 3在在s s平面找一点平面找一点s

11、 s1 1，画出各开环，画出各开环零、极点到零、极点到s s1 1点的矢量。点的矢量。检验检验s s1 1是否满足幅角条件：是否满足幅角条件：寻找寻找在在s s 平面内满足相角条件的所有点，将这些点连成平面内满足相角条件的所有点，将这些点连成光滑曲线，即是闭环系统根轨迹图。光滑曲线，即是闭环系统根轨迹图。如果如果s s1 1点满足相角条件，则是点满足相角条件，则是根轨迹上的一点。根轨迹上的一点。4-2 常规根轨迹的绘制法则gnjjmiiKpszs111 )1k2()ps()zs(n1jjm1ii 定义： 除除K Kg g以外，由其它某个参量变化所绘制的根以外，由其它某个参量变化所绘制的根轨迹，

12、称为轨迹，称为参量根轨迹参量根轨迹。 根根轨迹增益轨迹增益K Kg g由由00时所绘制的根轨迹，称时所绘制的根轨迹，称为为常规根轨迹常规根轨迹。 1.1.根轨迹是连续的根轨迹是连续的闭环特征根若为实数根，则闭环特征根若为实数根，则位于位于实轴上；若为实轴上；若为复数根则成复数根则成对出现，是实部相等，虚部大对出现，是实部相等，虚部大小相等符号相反的共轭复数根。小相等符号相反的共轭复数根。根轨迹根轨迹必定对称于实轴必定对称于实轴j0S1 S2 S3 S4 S5 S6 常规根轨迹的绘制法则： 2.2.根轨迹对称于实轴根轨迹对称于实轴由于根轨迹增益是连续的，根也是连续的，根轨由于根轨迹增益是连续的，

13、根也是连续的，根轨迹当然也是连续的。迹当然也是连续的。j0S1 S2 当当Kg由由00连续变化时，连续变化时，每一个特征根由起始点连续地每一个特征根由起始点连续地向其终点移动，形成一条根轨向其终点移动，形成一条根轨迹分支。迹分支。 3 3. .根轨迹的分支数根轨迹的分支数根轨迹的分支数与特征方程的根轨迹的分支数与特征方程的根的数目相一致。所以根轨迹根的数目相一致。所以根轨迹的分支数必与开环有限零、极的分支数必与开环有限零、极点数中的大者相同。点数中的大者相同。起点起点: : k kg g=0=0时根轨迹上所对应的点称为根轨迹时根轨迹上所对应的点称为根轨迹 的起点，起点在复平面上用的起点，起点在

14、复平面上用“”表示。表示。 4.4.根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点 起点：对应起点：对应n个开环极点个开环极点 pj 终点：对应终点：对应m个开环零点个开环零点zi终点终点: : k kg g=时根轨迹上所对应的点称为根轨时根轨迹上所对应的点称为根轨迹迹 的终点。终点在复平面上用的终点。终点在复平面上用“”表示。表示。 1 1）当）当 时，时，要使方程成立，必有要使方程成立，必有即，根轨迹的起点对应即，根轨迹的起点对应n n个开环极点。个开环极点。证明证明: 根轨迹的模值条件：根轨迹的模值条件： 1pszskn1jjm1iig m1iin1jjg)z(s)p(sk jps 0kg 起点：

15、对应起点：对应n个开环极点个开环极点 pj；终点：对应终点：对应m个开环零点个开环零点ziizs 2 2）当）当 时，时，要使方程成立，必有要使方程成立，必有即，根轨迹的起点对应即，根轨迹的起点对应n n个开环极点。个开环极点。 gk另另(n-m)条？条？3 3）若）若nm, ,另另(n-m)条根轨迹的终点条根轨迹的终点？另另(n-m)条根轨迹终于无穷远处条根轨迹终于无穷远处 s当当 时，时， m1iin1jjg)z(s)p(sk 由由可知，可知， mnsmnsm1iin1jjsslimsslim)z(s)p(slim 时，左边时，左边= gk若把有限数值零点称为有限零点，而把无穷若把有限数值

16、零点称为有限零点，而把无穷远处的点称为无限零点，则可以说根轨迹必终远处的点称为无限零点，则可以说根轨迹必终于开环零点。于开环零点。方程成立，即方程成立，即同理，同理，若若mn, , 则有则有(m-n)条根轨迹起于无穷远处。条根轨迹起于无穷远处。例：已知系统的开环传递函数，试确定根轨迹的例：已知系统的开环传递函数，试确定根轨迹的起点和终点。起点和终点。 解：解： 1）m=2、n=3有有3条根轨迹分支。条根轨迹分支。z1= -1+j, z2 = -1-jj1-1-1-20p1 p2 p3z1 z2 p3= -2 p2= -1, p1= 0, 2）起点：起于三个开环极点：）起点：起于三个开环极点：

17、终点：终点：m=2有两条趋于有两条趋于两个有限开环零点：两个有限开环零点： 另一条趋于无穷远处。另一条趋于无穷远处。 2)1)(ss(s2)s2(sKH(s)G(s)2g j0p1p2p3p4z2 z1 s 1 2 1 2 3 4各开环零、极点到各开环零、极点到s点的矢量如图：点的矢量如图： 在实轴上任取一点在实轴上任取一点s，若该，若该点是根轨迹上的点，则必满足点是根轨迹上的点，则必满足相角条件，即相角条件，即5、根轨迹在实轴上的分布、根轨迹在实轴上的分布设系统开环零极点分布为：设系统开环零极点分布为： 共轭开环零、极点构成的相角正负抵消共轭开环零、极点构成的相角正负抵消)1k2(180)p

18、s()zs(n1jjim1i 43 1）由图可知：）由图可知： 21 2）位于）位于s点左侧点左侧的实数零极点对应的相角为的实数零极点对应的相角为0o 3）位于）位于s点右侧点右侧的的实数零极点对应的相角为实数零极点对应的相角为180o 因此，只有当因此，只有当s点右侧开环零极数之和为奇数时，点右侧开环零极数之和为奇数时，才才能满足相角条件能满足相角条件，也就是说，只有这样的也就是说，只有这样的s s点，才是根轨点，才是根轨迹上的点。迹上的点。结论：结论：“奇是偶不是奇是偶不是”实轴上的根轨迹是：实轴上的根轨迹是： 右侧的开环零、右侧的开环零、极点数之和为奇数极点数之和为奇数的区间。的区间。例

19、例: 已知系统的开环传递函数，已知系统的开环传递函数， 试确定系统的根轨迹图。试确定系统的根轨迹图。 1)开环零、极点分布开环零、极点分布 j0p1 右侧有一个开环极点右侧有一个开环极点 右侧有三个开环零极点右侧有三个开环零极点z1p22) 实轴上根轨迹区间实轴上根轨迹区间 3)系统的根轨迹图系统的根轨迹图解：解：（1）T 0p1 T1p2 1z1 和和 0 ,1 T1,( )T1s( s)1s(k)s(H)s(Gg -1?右侧有一个开环极点右侧有一个开环极点 -1T1)开环零、极点分布开环零、极点分布 右侧有一个开环极点右侧有一个开环极点 右侧有三个开环零极点右侧有三个开环零极点2) 实轴上

20、根轨迹区间实轴上根轨迹区间 3)系统的根轨迹图系统的根轨迹图)T1s( s)1s(k)s(H)s(Gg 解：解：（2）T 0p1 T1p2 1z1 和和 0 ,T1 1,( j0p1 z1p2-1T-1?已知已知 p1和和p2为根轨迹为根轨迹 的起点的起点 z1和和-为根轨迹为根轨迹 的终点的终点6、根轨迹的渐近线、根轨迹的渐近线当当nm时，有时，有(n-m)条根轨迹趋于无穷远处。条根轨迹趋于无穷远处。渐近线是渐近线是s很大时的根轨迹，因此渐近线对称于很大时的根轨迹，因此渐近线对称于实轴；实轴；根轨迹的渐近线可由下式确定：根轨迹的渐近线可由下式确定：1）渐近线与实轴的夹角：）渐近线与实轴的夹角

21、： 2）渐近线与实轴的交点：）渐近线与实轴的交点： )2 ,1 ,0k(mn)1k2(a mnzpn1im1jjia mn)1k2(a 显然，渐近线对称于实轴或与实轴重合。显然，渐近线对称于实轴或与实轴重合。 由由，1mn , 3mn 可知，渐近线与实轴的夹角只与可知，渐近线与实轴的夹角只与(n-m)的值有关的值有关180a 18060a, , , 2mn 90a , 4mn 135,45a 例例 已知系统的开环传递函数已知系统的开环传递函数 试确定系统的根轨迹图。试确定系统的根轨迹图。 )2s)(1s( sk)s(H)s(Gg 3mn 和和 0 ,1 2,( 解：解： 1）开环零、极点：）开

22、环零、极点： 2）实轴上的根轨迹区间）实轴上的根轨迹区间 p1=0p2=-2p3=-33）根轨迹的渐近线）根轨迹的渐近线： 600j0p1 p3p2-1-2180,60mn)1k2(a 10-30-2)-1-(0mnzpn1im1jjia 4）系统的根轨迹）系统的根轨迹 njjm1iigk)ps()zs(k)s(G 7、根轨迹的分离点、根轨迹的分离点由代数重根法则可知，重根点必须同时满足：由代数重根法则可知，重根点必须同时满足： 联立求解可得联立求解可得： 求重根点的方程求重根点的方程 闭环特征方程：闭环特征方程：即即0)s(G1k 两条或两条以上的根轨迹分支在两条或两条以上的根轨迹分支在s平

23、面上相平面上相遇又立即分开的点，称为根轨迹的分离点。遇又立即分开的点，称为根轨迹的分离点。 0)zs(k)ps()s(Dm1iign1jj 0)s(D m1iin1jjzd1pd10)s(D 注意：注意： 若求出的点不在根轨迹上若求出的点不在根轨迹上应该舍去。应该舍去。 将重根点坐标代入模值条件，可求得重根点将重根点坐标代入模值条件，可求得重根点处所对应的根轨迹增益。处所对应的根轨迹增益。则求重根点的方程为：则求重根点的方程为： 若开环传函若开环传函 1pszskn1jjm1iig njjm1iigk)ps()zs(k)s(G m1iin1jjzd1pd1例例 绘制根轨迹图。绘制根轨迹图。 解

24、：解： 渐近线和实轴上的根轨迹如前所述渐近线和实轴上的根轨迹如前所述 600j0p1 p3p2-1-2根轨迹的分离点：根轨迹的分离点：（舍去）（舍去）由由 ,423. 0d1 577. 1d2 将将d1代入模值条件代入模值条件12d1ddk423. 0d111g1 384. 0kg 根轨迹图根轨迹图0)2(d1)1(d10d1 m1iin1jjzd1pd1若无开环零若无开环零点，此项取点，此项取0 002d6d32 )2s)(1s( sk)s(H)s(Gg jp1 z1p20-1-2j0例例4-2 已知系统的开环传递函数已知系统的开环传递函数 试确定统的根轨迹图。试确定统的根轨迹图。 解：解：

25、 1）首先将开环传函化为标准形式）首先将开环传函化为标准形式 2）零极点分布及实轴上的根轨迹如图）零极点分布及实轴上的根轨迹如图 4）分离点）分离点1ss5 . 0)1s5 . 0(K)s(G2k )j1s)(j1s()2s(K)s(Gk 3）渐近线）渐近线，1mn 180a （舍去）（舍去）由求分离点的方程可得由求分离点的方程可得 ,414. 3d1 586. 0d2 )2(d1)j1(d1)j1(d1 02d4d2 5)5) 根轨迹根轨迹 结论：结论：由两个极点和一个有限零点组成的由两个极点和一个有限零点组成的开环系统，开环系统，当，当K Kg g从从0 0 时，时，根轨迹的复数部分，是以

26、有限零点为根轨迹的复数部分，是以有限零点为圆心，以有限零点到分离点为半径的圆心，以有限零点到分离点为半径的一个圆，或圆的一部分。一个圆，或圆的一部分。8、根轨迹与虚轴的交点、根轨迹与虚轴的交点设根轨迹与虚轴的交点为：设根轨迹与虚轴的交点为： 解方程可求得解方程可求得和和k kg g的值，的值， js 即可确定根轨迹与虚轴的交点坐标及对应的即可确定根轨迹与虚轴的交点坐标及对应的临界根轨迹增益临界根轨迹增益。0)s(G1k 代入闭环特征方程代入闭环特征方程令令 js 例例 确定根轨迹与虚轴的交点坐标。确定根轨迹与虚轴的交点坐标。 解：解： 600j0-p1 -p3-p2-1-2-2)2s)(1s(

27、 sk)s(H)s(Gg 0ks2s3s 0)2s)(1s( sk1g23g 0k)j(2)j(3)(j g23 0k302-g23 系统的特征方程为系统的特征方程为 令令s=s=jj，代入特征方程得，代入特征方程得 0k0g 0kj23j -g22 2 2 6k2g 或或方法二：应用劳斯判据方法二：应用劳斯判据例：绘制根轨迹图例：绘制根轨迹图 解：解： 将开环传函转换为零极点标准形式将开环传函转换为零极点标准形式 )1s2 . 0)(1s5 . 0( sK)s(H)s(G )5s)(2s( sk)5s)(2s( sK10)s(H)s(Gg 1）n=3、m=0有三条根轨迹分支有三条根轨迹分支

28、三条都趋于无穷远处三条都趋于无穷远处终点：终点：3 3）实轴上的根轨迹）实轴上的根轨迹0p1 p3p2-2-5-52）起点：对应三个开环极点）起点：对应三个开环极点5p 2,p 0,p321 3mn ,-5(- 和和-2,0K10kg )5s)(2s( sk)s(H)s(Gg 4）渐近线）渐近线0-2-5-5 10 10 5）分离点）分离点,18060mn1)k(2a -2.330-30-2)-5-(0mnzpn1jm1iija 010d14d32 （舍去）（舍去）78. 3d , .880-d 21 7k10g 或或 0k0g 7 7）根轨迹图）根轨迹图6000)5(d1)2(d10d1 令

29、令s=s=jj，代入特征方程得：，代入特征方程得：6 6）根轨迹与虚轴的交点）根轨迹与虚轴的交点 9、根轨迹的起始角和终止角、根轨迹的起始角和终止角起始角：起始角：根轨迹离开复数极点的出发角（切线方向与正实根轨迹离开复数极点的出发角（切线方向与正实轴的夹角）。轴的夹角）。 设开环零、极点分布如图所示：设开环零、极点分布如图所示： j0p1p2p3p4z1 11234由相角条件可得起绐角的计算公式：由相角条件可得起绐角的计算公式：)-(180 m1jnij1jpppzpiijij pi开环零点到被测点的矢量角开环零点到被测点的矢量角ijpz 根轨迹离开复数极点根轨迹离开复数极点pj的起始角的起始

30、角开环极点到被测点的矢量角开环极点到被测点的矢量角ijpp )(180343231313pppppppzp “加零去余极加零去余极” 终止角：终止角：根轨迹趋于开环复数零点的终根轨迹趋于开环复数零点的终止角（切线方向与正实轴方向的夹角）止角（切线方向与正实轴方向的夹角）入射角的计算公式：入射角的计算公式：式中：式中：iz 开环零点到被测点的矢量角开环零点到被测点的矢量角ijzz 根轨迹趋于复数零点根轨迹趋于复数零点zc的终止角的终止角ijzp开环极点到被测点的矢量角开环极点到被测点的矢量角“加极去余零加极去余零” j0-p1 -p2 -p3 -p4 -z1 -z2 z1 z2 p1 p2 p3

31、 p4 )(180 14131211121zpzpzpzpzzz 9、根轨迹的起始角和终止角、根轨迹的起始角和终止角)-(180mij1jn1jzpzzizijij 例例 已知系统的开环传递函数，已知系统的开环传递函数，试确定根轨迹的起始角。试确定根轨迹的起始角。 解：解： j0 1）开环零、极点分布）开环零、极点分布 P3.4=-1j,z1=-2p2=-3，p1=0，p1 p2 p3p4 z1 2）根轨迹离开）根轨迹离开p3的起始角的起始角13526.6 90 45 -26.62)s23)(ss(s2)(sk(s)G2gk )-(180 m1jnij1jpppzpiijij 6 .26)90

32、6 .2613545(180)(180343231313pppppppzp 同理：同理：6 .264p j 0K= 0K= 0KK 0j 0j Kg Kg Kg 0 j 0 j -1-2 j1 0 j -1-2 j1试绘制出系统的根轨迹。试绘制出系统的根轨迹。 解：解：)5 . 15 . 0)(5 . 15 . 0)(5 . 2()2)(2)(5 . 1()()(jsjsssjsjssKsHsG 起始角起始角 1 2 3 1 3 2 nxjjjxmiixpppzpx, 11)()(180 = 180 + 1 + 2 + 3 1 2 3=180 + 56.5 + 19 + 59 108.5 37

33、 90 = 79 0 j -1-2 j1 mx1,iiixn1jjxz)z(z)p(z180 x =18011790 +153 +63.5 +119 +121 =149.5 若若 ，则，则。 n1iim1jjg)ps()zs(K)s(H)s(GnnnnmmmmgasasasbsbsbsK 111111)(1n1iiap 式中式中( () )mmm1jjb)1(z 1n1iias 2mn 证明：证明：nnn1iia)1(p 1m1jjbz 0ss )s(s)ss()bsbsbs(K)asasas(n1ii1nn1i1nn1iim1m1m1mgn1n1n1n 闭环特征方程：闭环特征方程：2mn 当

34、当时，时， n1iin1iisp证毕证毕在开环极点确定的情况下，开环极点之和为一在开环极点确定的情况下，开环极点之和为一不变的常数。所以，当不变的常数。所以，当Kg变化时，若一些闭环极变化时，若一些闭环极点增大，则另一些必然减小；即若一些根轨迹右点增大，则另一些必然减小；即若一些根轨迹右移，则一些必然左移。移，则一些必然左移。 n1iin1iisp2mn 当当时，时，。 0 j -1 -4 -2 j1 解：解： 例：例：设负反馈系统的开环传函设负反馈系统的开环传函)20s4s)(4s( sK)s(G2gk 渐近线：渐近线： a = 2 a = 45 , 135 分离点：分离点： d = 2 d

35、 = 2 j2.453与虚轴交点：与虚轴交点：Kg=260 s = j3.16试绘制出系统的根轨迹。试绘制出系统的根轨迹。4-3 广义根轨迹 广义根轨迹广义根轨迹包括：包括：0 根轨迹（正反馈系统）、根轨迹（正反馈系统）、参数根轨迹等。参数根轨迹等。 负反馈系统负反馈系统中，根中，根轨迹增益轨迹增益Kg变化时的根轨变化时的根轨迹，称为迹，称为常规根轨迹常规根轨迹。除除Kg以外，其它参数变以外，其它参数变化时的根轨迹，称为化时的根轨迹，称为参数根轨迹参数根轨迹。 在控制系统中，除根轨迹增益在控制系统中，除根轨迹增益Kg作为可变作为可变参数外，其他情形下的根轨迹，统称为参数外，其他情形下的根轨迹，

36、统称为广义根广义根轨迹轨迹。设系统的特征方程为：设系统的特征方程为：所谓等效，是指所谓等效，是指 和和 的的闭环极点相同；闭环极点相同；根据等效开环传函，根据等效开环传函，绘制参数根轨迹的法则绘制参数根轨迹的法则与绘制常规根轨迹的法则完全相同。与绘制常规根轨迹的法则完全相同。0)A, s(G1k 可变参数可变参数将特征方程转换为将特征方程转换为根轨迹方程的标准形式根轨迹方程的标准形式：0)s(Q)s(PA1 令令 )s(Q)s(PA)s(Gk 等效开环传函等效开环传函A1. 参数根轨迹 n1iim1jjgk)ps()zs(K)s(G0)s(G1k 0)s(G1k 解：系统的特征方程为解：系统的

37、特征方程为例：例：已知系统的开环传递函数，已知系统的开环传递函数， 试绘制系统的参数根轨迹。试绘制系统的参数根轨迹。0)s(G1k 将特征方程转换为根轨迹方程的标准形式为：将特征方程转换为根轨迹方程的标准形式为：)2s( s)bs(2)s(G k 0)2s( s)bs(21 即即 0b2s4s2 0b2)s4s(2 0)4s( sb21 )4s( sb2)s(Gk 根据常规根轨迹的法则，可绘制出开环零点根据常规根轨迹的法则，可绘制出开环零点b b由由00变化时的参数根轨迹如图变化时的参数根轨迹如图 。等效开环传函等效开环传函j0-4-2j0-4例：例：某负反馈系统的开环传函为某负反馈系统的开环

38、传函为 )1()(25. 0)()(2 ssassHsG试绘制参数试绘制参数a由由 变化时，系统的根轨迹。变化时，系统的根轨迹。等效开环传递函数为：等效开环传递函数为：0s25. 0ssa25. 0123 s25. 0ssa25. 0)s(G23k 按绘制常规根轨迹的法则，可绘制出按绘制常规根轨迹的法则，可绘制出a 变化时系变化时系统的参数根轨迹。统的参数根轨迹。解解: 系统的闭环特征方程为：系统的闭环特征方程为：0a25. 0)s25. 0ss(23 0 0 j 0.5 1渐近线：渐近线：a= 1/3 a= 600，-600，1800。根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点: a =1 s =

39、 j/2a j0.5 a = 1分离点：分离点： d1= 1/6 , d2= 1/2。a223k)5 . 0s( sa25. 0s25. 0ssa25. 0)s(G 解：取解：取k=1，由，由例：例：已知系统的开环传递函数，已知系统的开环传递函数， 试绘制系统的参数根轨迹。试绘制系统的参数根轨迹。化标准形式为：化标准形式为：等效开环传函等效开环传函0ass11 2 01ass2 0as)1s(2 01sas12 1sas)s(G2k 根据等效开环传函，根据等效开环传函，可绘制出参数可绘制出参数a a由由00变化时的参数根轨迹如变化时的参数根轨迹如图图 。assK)s(G2k k k取不同的值，

40、可绘取不同的值，可绘制出参数制出参数a a的参数根轨迹的参数根轨迹如图如图。2. 附加开环零点的作用已知已知)j1s)(j1s( s)zs(K)2s2s( s)zs(K)s(H)s(G1g21g 式中，式中，z1为符加的开环实数零点，当开环极点位为符加的开环实数零点，当开环极点位置不变时，试分析开环零点置不变时，试分析开环零点z1为不同的数值时，为不同的数值时，系统根轨迹的变化。系统根轨迹的变化。)2s2s( sK)s(H)s(G2g 1z)2s2s( s)3s(K)s(H)s(G2g 3z1 )2s2s( s)2s(K)s(H)s(G2g 2z1 )2s2s( s)zs(K)s(H)s(G2

41、1g 0z1 1z3z1 2z1 0z1 结论：当开环极点位置不变时，在系统中附加开环当开环极点位置不变时，在系统中附加开环负实数零点时，可使系统的根轨迹向负实数零点时，可使系统的根轨迹向s s左半平面左半平面方向变曲；方向变曲；在在s s左半平面内的适当位置上附加开环零点，左半平面内的适当位置上附加开环零点，可显著改善系统的稳定性。可显著改善系统的稳定性。4.4 4.4 系统性能的根轨迹法分析系统性能的根轨迹法分析一、稳定性分析一、稳定性分析 根轨迹反映了特征根随可变参数变化的规律，通根轨迹反映了特征根随可变参数变化的规律，通过过根轨迹分析系统的性能具有直观方便的特点。根轨迹分析系统的性能具

42、有直观方便的特点。闭环极点在闭环极点在s s左、右平面的分布反映了系统的稳定左、右平面的分布反映了系统的稳定性。性。根据根轨迹与虚轴的交点，可确定使系统稳定的参根据根轨迹与虚轴的交点，可确定使系统稳定的参数的取值范围。数的取值范围。 根轨迹在左平面且离虚轴越远，系统的稳定性越根轨迹在左平面且离虚轴越远，系统的稳定性越好，即稳定裕量越大。好，即稳定裕量越大。由由 表表3-53-5，可求出，可求出给定输入下，系统稳态给定输入下，系统稳态误差的形式及大小。误差的形式及大小。 二、稳态误差分析二、稳态误差分析 确定开环增益确定开环增益k k 确定系统的型别确定系统的型别 原点处的开环极点数即为系统的型

43、别，即原点处的开环极点数即为系统的型别，即开环传函中积分环节的个数。开环传函中积分环节的个数。）p（）z（kKjn1jim1ig 开环零、极点的负值开环零、极点的负值jipz、根轨迹增益根轨迹增益gk式中，式中， 确定稳态误差确定稳态误差 页页122P三、动态性能指标的分析三、动态性能指标的分析 阶跃响应无超调阶跃响应无超调 所有特征根都在负实轴上时，系统的瞬态响应所有特征根都在负实轴上时，系统的瞬态响应过程不产生超调，系统的动态性能指标仅有调节过程不产生超调，系统的动态性能指标仅有调节时间。时间。 调节时间的确定方法：调节时间的确定方法： 当参数取值一定时，所有特征根的位置随之当参数取值一定

44、时，所有特征根的位置随之确定，取离虚轴最近的特征根估算调节时间。确定，取离虚轴最近的特征根估算调节时间。 准确的调节时间还与其他零极点位置有关。准确的调节时间还与其他零极点位置有关。三、动态性能指标的分析三、动态性能指标的分析 阶跃响应有超调阶跃响应有超调所有特征根位于左半所有特征根位于左半s s平面，且至少有一对平面，且至少有一对根轨迹在复平面左半平面上，则系统的瞬态响根轨迹在复平面左半平面上，则系统的瞬态响应过程产生超调，系统的动态性能指标主要有应过程产生超调，系统的动态性能指标主要有调节时间、超调量、峰值时间等。调节时间、超调量、峰值时间等。近似的估算可以采用闭环主导极点的位置来近似的估

45、算可以采用闭环主导极点的位置来确定确定。若闭环主导极点为一对共轭复数极点，如图所示：若闭环主导极点为一对共轭复数极点，如图所示：d-nj0s1s2-dnn2nn2 ,11js 闭环极点的张角闭环极点的张角dnj n2d2n21)(ss nncos 特征根离虚轴越近，特征根离虚轴越近， 动态性能与复数极点的关系动态性能与复数极点的关系2nn2,11js 1 1）等超调量线）等超调量线%100e%21 j0s1%1 %1 %2 %2 阻尼比相同的复数极点位于阻尼比相同的复数极点位于同一对射线上。这样的射线称同一对射线上。这样的射线称为等为等线，或线，或等超调量线等超调量线。闭环极点与负实轴的夹角闭

46、环极点与负实轴的夹角反映了系统的超调量。反映了系统的超调量。 特征根离虚轴越近，特征根离虚轴越近， % 反之则反，所以有反之则反，所以有l l% %2 2% %。 cosn d n 2nn2 ,11js 2 2）等调节时间线）等调节时间线ns3t j0s1n d 若特征根的实部相同，则调节若特征根的实部相同，则调节时间相同。时间相同。 实部相同的特征根，位于同一实部相同的特征根，位于同一条垂线上，这样的垂线称为条垂线上，这样的垂线称为等调节等调节时间线时间线。 调节时间与特征根实部的绝对调节时间与特征根实部的绝对值成反比，所以有值成反比，所以有t ts1s1t ts2s2。1st2std s2

47、2nn2 ,11js 3 3）等峰值时间线）等峰值时间线2ndp1t 若特征根的虚部相同，则峰值若特征根的虚部相同，则峰值时间相同。时间相同。 虚部相同的特征根位于同一条虚部相同的特征根位于同一条水平线上，这样的水平线称为水平线上，这样的水平线称为等峰等峰值时间线值时间线。 特征根虚部的绝对值与峰值时特征根虚部的绝对值与峰值时间成反比，所以有间成反比，所以有t tp1p1t tp2p2。1pt1pt2pt2ptj0s1n d d s2例：画出满足性能指标要求的标例：画出满足性能指标要求的标准二阶系统特征根在准二阶系统特征根在s s平面的范围。平面的范围。要求：要求：%3 .16e%21 j0s

48、1n d n %3 .16% s6ts s28. 6tp 解解(1)(1)由由5 . 0 605 . 0cos,1 (2)(2)由由s63tns 5 . 0n (3)(3)由由s28. 6tdp 5 . 0d 5 .05 . 0 6060（1）闭环复数极点的实部）闭环复数极点的实部n反映了反映了 系统的调整时间；系统的调整时间； （2）闭环极点的虚部）闭环极点的虚部d表征了系统输表征了系统输 出响应的振荡频率；出响应的振荡频率； （3）闭环极点与坐标原点的距离）闭环极点与坐标原点的距离n表表 征了系统的无阻尼自然振荡频率；征了系统的无阻尼自然振荡频率； 当系统具有多个闭环极点时，可借助于当系统

49、具有多个闭环极点时，可借助于主主导极点的概念，将系统简化成低阶系统来导极点的概念，将系统简化成低阶系统来处理。处理。四、已知性能指标确定闭环极点和四、已知性能指标确定闭环极点和Kg 采用根轨迹法分析系统性能，有时需要采用根轨迹法分析系统性能，有时需要根据性能指标的要求，来确定根据性能指标的要求，来确定闭环极点的位闭环极点的位置和对应的置和对应的Kg值，使得系统满足性能指标的值，使得系统满足性能指标的要求。要求。要求要求=0.5，试确定闭环极点和对应的，试确定闭环极点和对应的Kg。例例 已知单位反馈系统的开环传递函数已知单位反馈系统的开环传递函数:系统的根轨迹图如图系统的根轨迹图如图: 解：解：

50、j0-p1-p2-p3-1-2-s1-s2作张角作张角 的射线的射线与根轨迹的交点为与根轨迹的交点为-s1和和-s2)2s)(1s( sk)s(Ggk 60cos1 60 要求要求5 . 0 j0-p1-p2-p3-1-2-s1-s2令令 将将s1代入相角条件得：代入相角条件得： 58. 0j33. 0s1 360tantan11 113 180)2j()1j()j(111111 58. 0,33. 011 111js 将将s1代入幅值条件得：代入幅值条件得： )2s)(1s( sk)s(Ggk 由由 066. 12s1ssk111g 同理可得：同理可得： 58. 0j33. 0s2 j0-p