双曲线的几何性质ppt课件.ppt

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1、 由椭圆的第一个性质出发，首先来由椭圆的第一个性质出发，首先来学习双曲线的第一个性质学习双曲线的第一个性质范围范围. 1.1.范围：范围：观察双曲线，可以看出它在观察双曲线，可以看出它在不等式不等式 x-a，x a的区域里的区域里下面利用双曲线的标准方程：下面利用双曲线的标准方程：求出它的范围：将方程求出它的范围：将方程化为化为 即即x-a，x a.2 22 22 22 2x xy y- -= = 1 1( (a a 0 0, , b b 0 0) )a ab b2 22 2x x1 1a aMOF1F2xy(-c,0)(c,0)MOF1F2xy(-c,0)(c,0) 2.2.对称性：对称性：

2、类比研究椭圆类比研究椭圆 对称性的方法，容易得到，对称性的方法，容易得到，双曲线关于双曲线关于x，y轴和原点都轴和原点都是对称的，这时，是对称的，这时，坐标轴坐标轴是是双曲线的对称轴，双曲线的对称轴，原点原点是双是双曲线的对称中心，双曲线的曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫对称中心叫双曲线的中心双曲线的中心.12222xy+=ab（ab0） 3. 3.顶点：顶点：在方程里，令在方程里，令y=0，得，得 x=a，因此双曲线和，因此双曲线和x轴有轴有两个交点两个交点A1(-a,0)，A2(a,0).因为因为x轴是双曲线的对称轴，轴是双曲线的对称轴，所以双曲线和它的对称轴有所以双曲线和它的对称轴有令

3、令x=0，得，得y2=-b2，这个方程没有实数根说，这个方程没有实数根说明双曲线和明双曲线和y轴没有交点，但我们也把轴没有交点，但我们也把B1(0,-b),B2(0,b)画在画在y轴上轴上.（图（图2.3-6）两个交点，它们叫做两个交点，它们叫做双曲线的顶点双曲线的顶点.A1A2F1F2OB1B2ba2.3-6 线段线段A1A2叫做双曲线的叫做双曲线的实轴实轴，它的长等于，它的长等于2a，a叫叫做双曲线的做双曲线的半长实轴半长实轴； 线段线段B1B2叫做双曲线的叫做双曲线的虚轴虚轴，它的长等于，它的长等于2b，b叫叫做双曲线的做双曲线的半虚轴长半虚轴长.A1A2F1F2OB1B2ba2.3-6

4、 4. 4.渐近线渐近线 可以发现，点可以发现，点M的横的横坐标坐标xM越来越大，越来越大，d =MQ越来越小，但永远越来越小，但永远不等于不等于0.A1A2F1F2B1B2ObaMQ 若将双曲线的各支向外延伸，与这两若将双曲线的各支向外延伸，与这两条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做 双曲线的渐近线双曲线的渐近线. 如图作虚线辅助线，围成一如图作虚线辅助线，围成一个虚线矩形，矩形的对角线所在个虚线矩形，矩形的对角线所在的直线的方程：的直线的方程： .xyxy=0=0ababA1A2F1F2B1B2ObaMQ 在方程在方程 中，中，如果如果a=b，那么双曲线

5、的方，那么双曲线的方程为程为x2-y2=a2，它的实轴和虚，它的实轴和虚轴的长都等于轴的长都等于2a.这时，四条这时，四条直线直线x =a，y =b围成正围成正2222xy-=1ab方形，渐近线方程为方形，渐近线方程为 y=x ，它们互相垂直，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角.实轴和实轴和虚轴等长的双曲线叫做虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线等轴双曲线.A1A2F1F2OB1B2ba2.3-6 5.5.离心率离心率 与椭圆类似，双曲线的与椭圆类似，双曲线的焦距与实轴长的比焦距与实轴长的比 ，叫做，叫做双曲线的离心率双曲线的离心率.因为因为ca0 ,ca

6、所以双曲线的离心率所以双曲线的离心率 e = 1.ca 离心率可以刻画椭圆的扁离心率可以刻画椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？双曲线的什么几何特征？例例1：已知：已知：F1，F2是双曲线的两个焦点是双曲线的两个焦点P为双曲线上一点，为双曲线上一点，若若PF1PF2且且PF1F2=则双曲线的离心率为多少？则双曲线的离心率为多少？30解：解：由题设由题设|F1F2|=2c，|PF2|=2c，|PF1|= ，根据双曲线的定义，根据双曲线的定义| PF2 |- |PF1|=2a，即，即所以，离心率等于所以，离心率等于3c( 3 -1)c =2a( 3 -

7、1)c =2ac ce =3 +1e =3 +1a a例例2：点点M (x，y)到定点到定点F(5，0)的距离和它到定的距离和它到定直线直线l： 的距离的比是常数的距离的比是常数 ，求，求点点M的轨迹的轨迹.16x =554解：解：设设 d 是点是点 M 到直线到直线 l 的距离，根据的距离，根据题意，所求轨迹就是集合题意，所求轨迹就是集合由此得由此得|MF|5P = M|=,d422(x-5) +y5=.164|-x|5将上式两边平方，并简化，将上式两边平方，并简化，得得 9x2-16y2 =144即即所以，点所以，点M的轨迹是实轴、的轨迹是实轴、虚轴长分别为虚轴长分别为8，6的双曲线的双曲

8、线（如图（如图2.3-9）2222xyxy-=1-=11691692.3-9xFOHyM本例与书上本例与书上2.2的例的例6比较，比较，你有什么发现？你有什么发现？ 双曲线的中心为原点双曲线的中心为原点O,焦点焦点在在x轴上轴上,两条渐近线分别为两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点经过右焦点F,垂垂直于直于l1的直线分别交的直线分别交l1，l2于于A,B两点两点. 成等差数列成等差数列,且且 与与 同向同向()求双曲线的离心率；求双曲线的离心率；()设设AB被双曲线所截得的线段的长为被双曲线所截得的线段的长为4, 求双曲线的方程求双曲线的方程.OAABOB 、BF FA 例例3：， 解：（解

9、：（1）设设OA=m-d，AB=m，OB=m+d由勾股定理可得由勾股定理可得： (m-d)2+m2=(m+d)2得：得： ,由倍角公式由倍角公式 ，解得，解得 , 则离心率则离心率 .14dmtanbAOFa4tantan23ABAOBAOFOA22431baba12ba52e （2）过过F的直线方程为的直线方程为 , 与双曲线方程与双曲线方程 联立，将联立，将a=2b， 代入，化简有代入，化简有将数值代入，有将数值代入，有 , 解得，解得，b=3最后求得双曲线方程为：最后求得双曲线方程为：2232 528454155bb()ayxcb 22221xyab5cb22158 52104xxbb2

10、22121212411()4aaxxxxx xbb221369xy课堂小结课堂小结 1.1.范围：范围：x-a，x aMOF1F2xy(-c,0)(c,0) 2.2.对称性：对称性：双曲线关于双曲线关于x，y轴和原点都是对称的，这时，轴和原点都是对称的，这时，坐坐标轴标轴是双曲线的对称轴，是双曲线的对称轴，原点原点是是双曲线的对称中心，双曲线的对双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫称中心叫双曲线的中心双曲线的中心. 3. 3.顶点：顶点： 双曲线和双曲线和x轴的两个轴的两个交点交点A1(-a,0)，A2(a,0)叫做叫做双曲线的顶点双曲线的顶点.A1A2F1F2OB1B2ba2.3-6 线段线

11、段A1A2叫做双曲线的叫做双曲线的实轴实轴，它的长，它的长等于等于2a，a叫做双曲线的叫做双曲线的半长实轴半长实轴； 线段线段B1B2叫做双曲线的叫做双曲线的虚轴虚轴，它的长，它的长等于等于2b，b叫做双曲线的叫做双曲线的半虚轴长半虚轴长. 4. 4.渐近线渐近线A1A2F1F2B1B2ObaMQ 若将双曲线的各支向外延伸，与这两若将双曲线的各支向外延伸，与这两条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做 双曲线的渐近线双曲线的渐近线. 如图作虚线辅助线，如图作虚线辅助线，围成一个虚线矩形，矩形围成一个虚线矩形，矩形的对角线所在的直线的方的对角线所在的直线的方程：程

12、： .0 xyabA1A2F1F2OB1B2ba2.3-6 5.5.离心率离心率 双曲线的焦距与实轴长双曲线的焦距与实轴长的比的比 ，叫做双曲线的离心，叫做双曲线的离心率率.因为因为ca0 ,ca所以双曲线的离心率所以双曲线的离心率 e = 1.ca实轴和虚轴等长的双曲线叫做实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线等轴双曲线.椭圆、双曲线的标准方程以及它们之间的区别椭圆、双曲线的标准方程以及它们之间的区别椭圆椭圆双曲线双曲线|MF1|+|MF2|=2a|MF1|-|MF2|=2a ac0 a2-c2=b2(b0)ca0c2 - a2=b2(b0)12222xy+=ab12222yx+=ab（ab0

13、）22221xyab22221yxab（a0, b0）高考链接高考链接(2008重庆文重庆文) 如图，如图，M（-2，0）和）和N（2，0）是平面上的两点，动点是平面上的两点，动点P满足：满足： ()求点求点P的轨迹方程的轨迹方程;()设设d为点为点P到直线到直线 l： 的的距离距离,若若 ,求求 的值的值2.PMPN12x 22PMPNPMd12x M(-2,0)N(2,0)PxyO12x M(-2,0)N(2,0)PxyO解：（解：（I）由双曲线的定义，点由双曲线的定义，点P的轨迹是以的轨迹是以M、N为焦点，实为焦点，实轴长轴长2a = 2的双曲线的双曲线.因此半焦因此半焦距距 c = 2

14、，实半轴，实半轴a=1，从而虚，从而虚半轴半轴 b = ，所以双曲线的方，所以双曲线的方程为程为31322yx(II) 设设P（x,y），因，因|PN|1知知|PM|=2|PN|22|PN|PN|,故故P在双曲线右支上，所以在双曲线右支上，所以x1又双曲线方程有又双曲线方程有y2=3x2-3. 因此，因此，从而由从而由|PM|=2|PN|2得得2x+1=2(4x2-4x+1)，22222|(2)(2)33441.PNxyxxxx即即8x2-10 x+1=0.所以所以x= （舍去（舍去x= ). 有有 |PM|=2x+1= d=x- =故故9174121178|9178117.4117PMd 5

15、1785178(2008天津文、理天津文、理)已知中心在原点的双曲线已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是的一个焦点是F1(-3,0)，一条渐近线的方程是，一条渐近线的方程是（）求双曲线）求双曲线C的方程的方程.（）若以）若以k(k0)为斜率的直线为斜率的直线l与双曲线与双曲线C相相交于两个不同的点交于两个不同的点M，N，且线段，且线段MN的垂直的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ，求求k的取值范围的取值范围.520 xy812（）解：）解：设双曲线设双曲线C的方程为的方程为 由题设得由题设得 解得解得 所以双曲线所以双曲线C的方程为的方程为22221

16、(00)xyabab，2295.2abba，2245.ab，22145xy（）解：）解：设直线设直线l的方程为的方程为y=kx+m(k0)，点，点M(x1,y1),N(x2,y2)的坐标满足方程组的坐标满足方程组 ,将将式代入式代入式，式，得得整理整理,得得(5-4k2)x2-8kmx-4m2-20=0此方程有两个不等实根，于是此方程有两个不等实根，于是5-4k2 0 ，且，且=(-8km)2+4(5-4k2)整理得整理得m2+5-4k20221.45ykxmxy， 22()145xkxm 由根与系数的关系可知由根与系数的关系可知线段线段MN的中点坐标的中点坐标(x0,y0)满足满足从而线段从

17、而线段MN的垂直平分线的方程为的垂直平分线的方程为此直线与此直线与x轴，轴，y轴的交点坐标分别为轴的交点坐标分别为12024254xxkmxk225145454mkmyxkkk 29054kmk，29054mk，002554mykxmk， 由题设可得由题设可得整理得整理得将上式代入将上式代入式得式得整理得整理得解得解得 或或所以所以k的取值范围是的取值范围是22199812 54542kmmkk222(54)kmk0k 222(54)540kkk22(45)(45)0kkk0k 502k54k 5555004224，一、选择题一、选择题1.设设F1,F2分别是双曲线分别是双曲线的左、右焦点若点

18、的左、右焦点若点P在双曲线上，在双曲线上，且且 ，则，则 （ ）课堂练习课堂练习2219yx 120PF PF 12PFPF A B C D102 1052 5B2.以双曲线以双曲线 的右焦点为圆心，的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（且与其渐近线相切的圆的方程是（ ）221916xyABCD221090 xyx2210160 xyx2210160 xyx221090 xyxA二、填空题二、填空题1.已知双曲线已知双曲线 （a0,b0），），以以C的右焦点为圆心且与的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的渐近线相切的圆的半径是的圆的半径是_b2222:1xyCab2. 已知双曲线已知双曲线

19、 的的左、右焦点分别为左、右焦点分别为F1,F2,P是准线上一点，是准线上一点，且且 ，则双曲线的离，则双曲线的离心率是心率是_22221(00)xyabab，12PFPF124PFPFab3 三、解答题三、解答题.设动点设动点P到点到点A(-1,0)和和B(1,0)的距离分别为的距离分别为d1和和d2，APB=2，且存在常数，且存在常数(01)，使得，使得d1d2sin2=证明：证明：动点动点P的轨迹的轨迹C为双曲线，并求出为双曲线，并求出C的方程的方程.PABd1d2O点点P的轨迹的轨迹C是以是以A,B为焦点，实轴长为焦点，实轴长 的双曲线方程为：的双曲线方程为： .解：解：在在PAB中中

20、,|AB|=2即即 22=d12+d22-2d1d2cos2， 4=(d1-d2)2+4d1d2sin2，即即 2a = 2 1-22xy-=11-PABd1d2O21212|d -d |=4-4d d sin = 2 1- 2教材习题答案教材习题答案1（1）实轴长实轴长2a = ，虚轴长，虚轴长2b=4；顶点坐标为顶点坐标为( ,0)，( ,0)；焦点；焦点坐标为坐标为(6,0)，(-6,0)；离心率；离心率 （2）实轴长实轴长2a = 6，虚轴长，虚轴长2b=18 ； 顶点坐标为顶点坐标为(3,0)，(-3,0)；焦点坐标为；焦点坐标为 ( ,0)，( ,0) ；离心率；离心率-3 10-

21、3 103 108 24 24 23e =24e e= = 1 10 0（3）实轴长实轴长2a=4 ，虚轴长，虚轴长2b=4 ；顶点；顶点坐标为坐标为(0 ， 2)， (0，-2)；焦点坐标为；焦点坐标为(0 ， )，(0 ， )；离心率；离心率（4）实轴长实轴长2a= 10，虚轴长，虚轴长2b=14 ；顶；顶点坐标为点坐标为(0，5)，(0，-5)；焦点坐标为；焦点坐标为(0， )，(0， )；离心率；离心率2 2-2 2e =274e =574- 74- 742.（1） （2）3.4. ，渐近线方程为，渐近线方程为y=x5.（1）（6，2），（），（ ， ） （2）（ ，3）22xy-=116922xy-=136 2822xy-=13522xy-=118 181432-3254