一般周期函数的傅里叶级数ppt课件.ppt

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1、第七节第七节一般周期函数 的傅里叶级数 第十一章第十一章 傅里叶级数傅里叶级数一、周期为一、周期为2l 的函数展开成的函数展开成二、定义在二、定义在-l, l 和和0, l 区间上区间上 的函数展开成傅里叶级数的函数展开成傅里叶级数一一、周期周期 T = 2l 的函数展开成傅里叶级数的函数展开成傅里叶级数思路：思路：)(xflT 2 )()(ttfl ,llx 2 T, t展开展开 10sincos2)(nnnntbntaat natnttbndsin)(1 1tnttdcos)( ),2,1,0( n),2,1( ntxl )(xf)(lxt lxnlxnxllxnxflldcos)(1 x

2、lxnxfllldcos)(1 ),2,1( ntnttbndsin)(1 xlxnxfllldsin)(1 xllxnxflldsin)(1 lxt 定理定理11.16 (展开定理展开定理)满满足足收收敛敛的的周周期期函函数数设设周周期期为为)(2xfl)sincos(210lxnblxnaannn 的的间间断断点点时时，为为当当的的连连续续点点时时；为为当当)(,2)()()(),(xfxxfxfxfxxf为为其中系数其中系数nnba ,里里叶叶级级数数处处处处收收敛敛，且且定定理理的的条条件件，则则它它的的傅傅 naxlxnxflbllndsin)(1 l1xlxnxflldcos)(

3、),2,1,0( n),2,1( n结论结论 1)(nnbxf(连续点处连续点处)lxnsin(1)若以若以2l 为周期的周期函数为周期的周期函数 f (x) 在在(-l , l ) 上为上为奇函数奇函数，则，则 ),2,1(dsin)( nxlxnxfbn其中其中l20l(2) 若以若以2l 为周期的周期函数为周期的周期函数 f (x) 在在(-l , l ) 上为上为偶函数偶函数，则，则(连续点处连续点处) 2)(0axf),2,1,0(dcos)( nxlxnxfan其中其中 1nnalxncos注注 ).()(21 xfxf傅里叶级数总傅里叶级数总收敛于收敛于l20l(在在 f (x)

4、 的间断点的间断点 x 处处)例例1-1 将将)11(2)( xxxf的傅立叶级数的傅立叶级数, 并求级数并求级数 121nn(91 考研考研) 解解y1ox12f(x)为偶函数为偶函数,0 nb 100d)2(2xxa5 xxnxand)cos()2(210 1)1(222 nn因因 f (x) 偶延拓后在偶延拓后在,),(上上连连续续 x225,)12cos()12(14122kkk 展成周期为展成周期为21,1 x的和的和.故故 得得令令, 0)1( x 122)12(14252kk故故8)12(1212kk 121)2(nn 12)12(1nn 12)2(1nn 121nn故故 12)

5、12(134nn62 注注 12141nn x225kkk)12cos()12(14122 1,1 x解解 上上表表达达式式为为周周期期设设2 ,2,4)( Txf例例2 ),0(20,02,0为为常常数数ExExxf .展展成成傅傅里里叶叶级级数数试试将将xf.)(1满满足足收收敛敛定定理理条条件件xf), 2, 1, 0(2)( mmxxfm的间断点：的间断点：2)()()( mmmxfxfxS傅里叶级数之和函数：傅里叶级数之和函数：oyxE2 2.2E 连连续续时时，当当)(xfxxm 10)sincos(2)()(nnnlxnblxnaaxSxf ,2 l22), 2, 1, 0,2(

6、 mmxnnba ,2 确定傅里叶系数：确定傅里叶系数：xxfad)(21220 20,02, 0 xExxfExEx dd0212002xxnxfand2cos)(2122 2002d2cosd021xxnEx022sin20 nxn),2,1( n 20,02, 0 xExxfxxnxfbnd2sin)(2122 xxnEd2sin2120 )1(1nnE ,4 ,2,0nxkkEEk 12)12(sin12122 ,3,1,2 nnExxnEd2sin2120 oyxE2 2), 2 , 1(0,0 naEannb)2sin2cos(2)(10 xnbxnaaxfnnn 3 所求函数的傅

7、里叶展开式为：所求函数的傅里叶展开式为：), 2, 1, 0,2( mmxRx，思思想想,)(llxxf 二、定义在二、定义在 -l , l 和和 0, l 区间上的区间上的函数函数周期延拓周期延拓lTxF2)( 傅傅里里叶展开叶展开展成傅里叶级数展成傅里叶级数1. 将将l , l 上的函数展成傅里叶级数上的函数展成傅里叶级数xyOl l)(xfy xOyll 3l l 3 )(xFy :)(1进进行行周周期期延延拓拓对对xf)(xFy 考虑考虑)2(lT ,(),()(llxxfxF 满足：满足：)()2(xFlxF 且且xyOl l)(xfy xOyll 3l l 3 )(xFy 的的傅傅

8、里里叶叶级级数数展展开开成成周周期期为为将将lxF2)(2 10)sincos(2)(nnnlxnblxnaaxF )(),(的连续点的连续点为为，xFxx ,3llx 限限制制,(),()(llxxfxF 的的连连续续点点时时，为为，且且当当)(),(xfxllx )()(xSxF )(xf 10)sincos(2nnnlxnblxnaa 的的间间断断点点时时，为为，且且当当)(),(00 xfxllx )(0 xS2)()(00 xfxf2)()(00 xFxF时时，当当lx 0)(0 xS2)()( lflf2)()( lFlF llllnllllnxlxnxflnxlxnxFlbxlx

9、nxflnxlxnxFla.dsin)(1), 2 , 1(,dsin)(1,dcos)(1), 2 , 1 , 0(,dcos)(1 其中傅里叶系数其中傅里叶系数例例3里里周期延拓后的函数的傅周期延拓后的函数的傅解解 上上展展成成傅傅里里叶叶级级数数在在将将 ,)( xexf,)(上上连连续续），（在在xf xxead10 xnxnxeadcos1 ,)1(12neen , 1|1xeee xnxnxnne cossin112(周期延拓周期延拓傅傅里里叶展开叶展开限制限制)xyo )(xf）内收敛到）内收敛到，叶级数在（叶级数在（ xnxnxebdsin1傅傅里里叶叶展展式式 1eexf .

10、)1(121neenn 处处，在在x xnxnnxne cossin112 x )()(21 ff.21ee 注注傅傅立立叶叶级级数数收收敛敛到到 12sincos1121nnnxnnxn2. 将将0,l 上的函数展成正弦级数与余弦级数上的函数展成正弦级数与余弦级数,0)(lxxf f (x)展成展成正正弦级数弦级数奇奇延拓延拓偶偶延拓延拓l xoly周期延拓周期延拓F (x)限制限制, 0lx (余余)(展开展开)oxyll )(xfy 1xyo例例4 将函数将函数)0(1)(xxxf 分别展成分别展成正弦级数与余弦级数正弦级数与余弦级数 . 解解 将将 f (x) 作作奇延拓奇延拓及及周期

11、延拓周期延拓. xnxxf0dsin)(bn2 xnxx0dsin)1(2 02cossincos2nnxnnxnnxx nnncoscos12 12 knkn2 ),2,1( k,1222 k,1k (1)展成展成正弦级数正弦级数. nb12,1222 knkknk2,1 ),2,1( k x21xsin)2( x2sin2 x3sin32 x4sin4)0(x 注注在端点在端点 x = 0, , 级数的和为级数的和为0 .1xyo故故 （与（与f (x) = x + 1 的对应值不同）的对应值不同） (2)展成展成余弦级数余弦级数.x1y将将)(xfo 0a xx0d)1(2 na xnx

12、x0dcos)1(20222xx 2 02sincossin2nnxnnxnnxx 1cos22 nn12,)12(42 knkkn2,0 ),2,1( k作作偶周期延拓偶周期延拓.121 x xcos x3cos312)0(x x5cos512注注 令令 x = 0 可得可得851311222 8)12(1212kn 即即 412 12)12(14kkxk)12cos( 1yox为正弦为正弦 级数级数) 内容小结内容小结1. f(x)(周期周期:2l )的傅里叶展开式的傅里叶展开式 )(xf20a lxnblxnannnsincos1 (x :连续连续点点)其中其中 naxlxnxfllldcos)(1 nbxlxnxfllldsin)(1 ),1,0( n),2,1( n( f (x)为奇为奇 函数时函数时,(偶偶)(余弦余弦)2. -l, l或或0, l上函数的傅里叶展开上函数的傅里叶展开延拓延拓展开展开 限制限制几点注记几点注记1. 注意画图形注意画图形.(便于发现奇偶性及间断点便于发现奇偶性及间断点,写收敛域写收敛域) 2. 计算傅里叶系数时计算傅里叶系数时, a0 要单独算要单独算;3. 0 , l 上函数的傅里叶展式不唯一上函数的傅里叶展式不唯一.( 延拓方式不同级数也不同延拓方式不同级数也不同)关于函数的傅里叶级数展开关于函数的傅里叶级数展开