第七节(2)二阶常系数非齐次线性微分方程ppt课件.ppt

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1、)(xfyqypy ),(为常数qp根据解的结构定理根据解的结构定理 , 其通解为其通解为Yy *y非齐次方程特解非齐次方程特解齐次方程通解齐次方程通解求特解的方法求特解的方法根据根据 f (x) 的特殊形式的特殊形式 ,*y给出特解的待定形式的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法待定系数法第七节第七节 (2) 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程)(exQx )()2(xQp )()(2xQqp)(exPmxI. 型)(e)(xPxfmx 为实数为实数 ,)(xPm设特解为设特解为, )(e*xQyx其中其

2、中 为待定多项式为待定多项式 , )(xQ )()(e*xQxQyx )()(2)(e*2xQxQxQyx 代入原方程代入原方程 , 得得 )(xQ )()2(xQp)()(2xQqp)(xPm为为 m 次多项式次多项式 .)(xfyqypy (1) 若若 不是特征方程的根不是特征方程的根, , 02qp即则取则取),(xQm从而得到特解从而得到特解形式为形式为. )(e*xQymxQ (x) 为为 m 次待定系数多项式次待定系数多项式(2) 若若 是特征方程的是特征方程的单根单根 , , 02qp,02 p)(xQ则为为m 次多项式次多项式,故特解形式为故特解形式为(3) 若若 是特征方程的

3、是特征方程的重根重根 , , 02qp,02 p)(xQ 则是是 m 次多项式次多项式,故特解形式为故特解形式为xmxQxy e)(*2 小结小结对方程对方程,)2, 1, 0(e)(* kxQxyxmk 此结论可推广到高阶常系数线性微分方程此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .)(xQ )()2(xQp)(xPm)()(2xQqp即即即即当当 是特征方程的是特征方程的 k 重根重根 时时,可设可设特解特解xmxxQy e)(* .232的通解的通解求方程求方程xxeyyy 解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程, 0232 rr特征根特征根，2121 rr,221xxeCeC

4、Y 是单根，是单根，2 ,)()(22xxexQeBAxxy 设设代入方程代入方程, 得得, 1,21 BAxexxy2)121( 于是于是原方程通解为原方程通解为.)121(2221xxxexxeCeCy 例例1 1,)2(12xBAxA , )()()2()(xPxQpxQm .)1(442的通解的通解求方程求方程xexyyy 解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程, 0442 rr特征根特征根，221 rr,)(221xexCCY 是是重重根根，2 ,)()(222xxexQeBAxxy 设设126 xBAxxexxy22)2161( 于是于是原方程通解为原方程通解为.)2

5、161()(22221xxexxexCCy 例例2 2),()(xPxQm .21,61 BA代入方程代入方程, 得得,)1(442xexyyy 原方程通解为原方程通解为.)2161()(22221xxexxeCxCy 法二法二,)1()2(2)2(2xexyyyy , 1)2(2)2(22 xyyeyyexx, 1 )2(2 xyyex,21)2(122Cxxyyex ,21)(122Cxxyex 212322161CxCxxyex 间间链条滑过钉子需多少时链条滑过钉子需多少时下垂米，试问整个下垂米，试问整个边边的一边下垂米，另一的一边下垂米，另一上，运动开始时，链条上，运动开始时，链条一无

6、摩擦的钉子一无摩擦的钉子一质量均匀的链条挂在一质量均匀的链条挂在解解例例3 3oxm8m10,米米链条下滑了链条下滑了经过时间经过时间设链条的线密度为设链条的线密度为xt 则由牛顿第二定律得则由牛顿第二定律得,)8()10(1822gxgxdtxd . 0)0(, 0)0(,99 xxgxgx即即解此方程得解此方程得, 1)(21)(3131 tgtgeetx, 8, x即即整整个个链链条条滑滑过过钉钉子子代入上式得代入上式得)().809ln(3秒秒 gt型型sin)(cos)()(.xxPxxPexfnlx sincos)(xPxPexfnlx 22ieePeePexixinxixilx

7、xinlxinleiPPeiPP)()()22()22( ,)()()()(xixiexPexP ,)()(xiexPqyypy 设设,)()(1ximkexQxy 利用欧拉公式利用欧拉公式,)()(xiexPqyypy 设设,)()(2ximkexQxy ximximxkeQeQexy ,sin)(cos)()2()1(xxRxxRexmmxk 次次多多项项式式，是是其其中中mxRxRmm)(),()2()1( nlm,max ,10 是单根是单根不是根不是根 iik注意注意上述结论可推广到高阶常系数非齐次线性微分方上述结论可推广到高阶常系数非齐次线性微分方程程.sin4的通解的通解求方程求

8、方程xyy 解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解,sincos21xCxCY ,是是单单根根i ),sincos(*xBxAxy 故故代入原方程代入原方程,得得0, 2 BA所求非齐次方程特解为所求非齐次方程特解为,cos2xxy 原方程通解为原方程通解为.cos2sincos21xxxCxCy 例例4 4,012 r特特征征方方程程ir 2,1特特征征根根法二法二对应齐次方程通解对应齐次方程通解,sincos21xCxCY 作辅助方程作辅助方程,4ixeyy ,是单根是单根i ,)(*ixixexQAxey 故故, 42 Ai,2iA ,)cos2(sin22*ixxxxixeyix 所求非

9、齐次方程特解为所求非齐次方程特解为,cos2xxy 原方程通解为原方程通解为.cos2sincos21xxxCxCy （取虚部）（取虚部）)()()2()(xPxQpxQm 代入辅助方程代入辅助方程,得得.2cos的通解的通解求方程求方程xxyy 解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解,sincos21xCxCY 作辅助方程作辅助方程,2ixxeyy ,2 不不是是特特征征方方程程的的根根i ,)(2*ixeBAxy 设设代入辅助方程代入辅助方程 13034ABAi,9431iBA ，,)9431(2*ixeixy 例例5 5)2sin2)(cos9431(xixix 所求非齐方程特解为所求非齐

10、方程特解为,2sin942cos31xxxy 原方程通解为原方程通解为.2sin942cos31sincos21xxxxCxCy ,)2sin312cos94(2sin942cos31ixxxxxx （取实部）（取实部）注意注意xAexAexx sin,cos.)(的实部和虚部的实部和虚部分别是分别是xiAe ).2cos(214xxyy 求解方程求解方程例例6 6解解特征方程特征方程, 042 r特征根特征根,22,1ir 对应的齐方的通解为对应的齐方的通解为.2sin2cos21xCxCY 设原方程的特解为设原方程的特解为.*2*1*yyy ,)1(*1baxy 设设,)(*1ay 则则,

11、 0)(*1 y，得，得代入代入xyy214 ，xbax2144 由由，04 b，214 a解得解得，0 b，81 a;81*1xy ),2sin2cos()2(*2xdxcxy 设设,2sin)2(2cos)2()(*2xcxdxdxcy 则则,2sin)44(2cos)44()(*2xdxcxcxdy ，得，得代入代入xyy2cos214 故原方程的通解为故原方程的通解为.2sin81812sin2cos21xxxxCxCy ,2cos212sin42cos4xxcxd 由由，04 c，214 d即即，81 d，0 c;2sin81*2xxy 小结小结可可以以是是复复数数） (),()()

12、1(xPexfmx );(xQexymxk ,sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx ;sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxk (待定系数法待定系数法)只含上式一项解法只含上式一项解法：作辅助方程作辅助方程,求特解求特解, 取取特解的实部或虚部特解的实部或虚部, 得原非齐方程特解得原非齐方程特解.补充题补充题:1. 写出微分方程写出微分方程xexyyy228644 的待定特解的形式的待定特解的形式. 解解:设设 的特解为的特解为2644xyyy *1yxeyyy2844 设设 的特解为的特解为*2y*2y *1*yy 则所求特解为则所求特解为0442 rr特

13、征根特征根22, 1 rCBxAxy 2*1xeDxy22*2 （重根）（重根）*2y *1*yy CBxAx 2.22xeDx 2.xyyysin2) 1 ()4( 解解: (1) 特征方程, 01224rr, 0)1(22r即有二重根i,r所以设非齐次方程特解为(*2xy )sincosxbxa(2) 特征方程, 024 rr0)1(22rr即有根i, 04, 32, 1rrxxyyxsin3e)2()4( 利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为)(*2baxxyxce)sincos(xkxdx写出下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:3. 求微分方程求微分方程xyyye44 的通解 (

14、其中为实数 ) .解解: 特征方程,0442rr特征根:221 rr对应齐次方程通解:xxCCY221e)(2时,exAy令代入原方程得,2)2(1A故原方程通解为xxCCy221e)(xe2)2(12时,e2xxBy令代入原方程得,21B故原方程通解为xxCCy221e)(xxe2214. 已知二阶常微分方程已知二阶常微分方程xcybyaye 有特解2(1e ),exxyx求微分方程的通解 .解解: 将特解代入方程得恒等式xxxxcxbaabaee)1 (e)2(e)1 (比较系数得01baca 201ba0a1b2c故原方程为xyye2 对应齐次方程通解:xxCCYee21xxxyee原方

15、程通解为xxCCyee21xxe5. )()(xfyxy 有特解有特解,1xy 而对应齐次方程有解而对应齐次方程有解,2xy 及及求求)(, )(xfx 微分方程的通解微分方程的通解 . 解解:, 0)(2 yxyxy代入将xx1)(得代入再将xy1)(1xfyxy 33)(xxf得故所给二阶非齐次方程为故所给二阶非齐次方程为331xyxy ),(xpy 令方程化为方程化为331xpxp 设二阶非齐次方程设二阶非齐次方程一阶线性非齐次方程一阶线性非齐次方程331xpxp故故py xxd1exCx121再积分得通解再积分得通解2211CxCxy)(1211CC1d13de3Cxxxx的解. 6.

16、设函数),()(在xyy,)()(, 0的反函数是xyyyxxy内具有连续二阶导数,(1) 试将 xx( y) 所满足的微分方程 变换为 yy(x) 所满足的微分方程 ;(2) 求变换后的微分方程满足初始条件 0)dd)(sin(dd322yxxyyx, 0)0(y且23)0( y解解: ,1ddyyx, 1ddyxy即上式两端对 x 求导, 得 (1) 由反函数的导数公式知0)(dddd222 yyxyxy222)(ddddyyxyyx 3)(yy 代入原微分方程得 xyysin (2) 方程的对应齐次方程的通解为 xxCCYee21设的特解为 ,sincosxBxAy代入得 A0,21B,

17、sin21xy故从而得的通解: xCCyxxsin21ee21由初始条件 ,23)0(, 0)0(yy得1, 121CC故所求初值问题的解为 xyxxsin21ee7.,)(二阶导数连续设xf且满足方程xttftxxxf0d)()(sin)(. )(xf求解解: ,d)(d)(sin)(00 xxttftttfxxxf则xxfcos)()(sin)(xfxxf xttf0d)()(xfx)(xfx问题化为解初值问题:xxfxfsin)()( ,0)0(f1)0( f最后求得xxxxfcos2sin21)(8: 设0( )e()d ,(0)0,xxxxxuu?)(x如何求解解: ,uxt 令则有

18、xxttx0d)(e)()(e)(xxx 解初值问题: xxxe)()( ,0)0(1)0(得:xxxxe41) 12(e41)(一、一、 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解: :1 1、xeyay 2；2 2、xxeyyy 323；3 3、xxyycos4 ；4 4、xyy2sin . .二、二、 求下列各微分方程满足已给初始条件的特解求下列各微分方程满足已给初始条件的特解: :1 1、0,1,5400 xxyyyy；2 2、xxexeyyy 2, , 1,111 xxyy；3 3、)2cos(214xxyy , , 0,000 xxyy. .练练 习习 题题三、三、 含源含源在在CL

19、R,串联电路中串联电路中, ,电动电动E势为势为的电源对的电源对电电充电充电容器容器 C. .已已20 E知知伏伏, ,微法微法2 . 0 C, ,亨亨1 . 0 L, ,欧欧1000 R, ,试求合上开试求合上开后后关关 K的电的电及及流流)(ti)(tuc电电压压 . .四、四、 设设)(x 函数函数连续连续, ,且满足且满足 xxxdttxdtttex00)()()( , , )(x 求求. .练习题答案练习题答案一、一、1 1、2211sincosaeaxCaxCyx ； 2 2、)323(2221xxeeCeCyxxx ； 3 3、xxxxCxCysin92cos312sin2cos21 ； 4 4、212cos10121 xeCeCyxx. .二、二、1 1、xeyx45)511(1614 ； 2 2、xxxexexexeey26)121(61223 ； 3 3、)2sin1(812sin161xxxy . .三、三、)105sin(104)(310523tetit ( (安安) ), , 105sin()105cos(2020)(331053ttetutc ( (伏伏) ). .四、四、)sin(cos21)(xexxx . .