非齐次线性方程组ppt课件.ppt

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1、数数=线线性性代代11 11221121 1222221 12211112212:,(),:,(,nnnnmmmnnmijm nnmnnjjja xa xa xba xa xa xba xaxaxbxbAxbAaxbxbxxxbaa设非齐次线性方程组 (4.8)矩阵形式其中向量形式 (4.9)其中12) ,1,2, TmjnajnA即4.4 4.4 非齐次线性方程组非齐次线性方程组数数=线线性性代代11 1122121 122221 122,000nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xa xaxax为了叙述上的方便 我们称 (4.10)为(4.8)对应的也称(4.10)为(4.

2、8)的.齐次线性方程组,导出组齐次线性方程组,导出组 我们知道齐次线性方程组必定有解，因为它至少有零解；我们知道齐次线性方程组必定有解，因为它至少有零解；然而非齐次线性方程组就未必有解。例如非齐次线性方程组然而非齐次线性方程组就未必有解。例如非齐次线性方程组123123312264xxxxxx就是无解的，那么，非齐次线性方程组在什么条件下由解呢？就是无解的，那么，非齐次线性方程组在什么条件下由解呢？12121212(4.9) ,(4.8),( , )( | )( )nnnnbAbrrbr A br A 由知方程组有解能由 的列向量线性表示向量组与向量组等价)=(数数=线线性性代代定理定理 3

3、3对于非齐次线性方程组对于非齐次线性方程组Ax=b,下列四个条件等价：下列四个条件等价：121212(1)();(2),;(4)nnnAxbbAb 有解 或相容 可以由 的列向量组线性表示;(3) 向量组与向量组等价 增广矩阵(A|b)的秩等于系数矩阵A的秩.例如,对于方程组123123312264xxxxxx,(| )2,( )1,r A br A1131由于增广矩阵(A|b)=且2264而所以,该方程组无解.数数=线线性性代代12121212,.,:,0:()0,0,.:()0AxbAxbAxbAxbAxAAAbbAxbAxAxbAAAbbAxb 当非齐次线性方程组有解时 如何求解呢?这就

4、需要搞清楚解的结构为此 先讨论的解的性质若都是的解 则是对应的齐次线方程组的解若 是的一个解是对应的齐次线性方程组的一个解 则是的一个解的性性质质3 3性性质质4 4: :性性质质5 5: :证证证证000000,0.:(),0,AxbAxAx 任一个解 都可表示成 =+其中是某个解是对应齐次线性方程组的某个解由于记由性质3可知是导出组的解 则证证数数=线线性性代代*121*12,( )( ), 0:, ,.:,0.n riin rin rr Ar ArnAxbAxbAxAxbxcc ccAxbAx 由解的结构定理可见 当时 有的通解的一个特解的通解即的通解为为任意常数其中为的一个特解为的基础

5、解系* ()(), 0.AxbAxbxxAx设非齐次线性方程为的一个特解即不含任意常数的确定解 则的任一解 可以表示为其组解的结构定中 为一理的 个解定定理理4 4 数数=线线性性代代123413:111232103120210411123:2103120210411123101520127501275024141000000:25xxxxAA bxx 求方程组的通解用自由未知量表示的通解例1例1解解434234 (,) (1)527xx xxxx任意数数=线线性性代代*3413412234*1 1221225(1)0, 00155270:,2710021215527:010001xxxxxA

6、xxxxxcccc 在通解中令得特解的基础解系结方法构式通解:以下求结构式通解有两种方法112212123142252155 27527: 0100011xccxccxccxcxc 把上述通解写成向量形式方法两种解法结果一样两种解法结果一样此即结构式通解数数=线线性性代代例例2 解方程组解方程组2233235332321321xxxxxxxx解221033235113A221022105113400022105113,)()(32ARAR无解无解数数=线线性性代代:,1111101121232433518511111111110112101121:012100100225200010(1)1,

7、 ( )( )4(),AxbAA babaAababaaar Ar AA 求解方程组其中方程组的增广矩阵为当未知量个数 有解唯一解 为求解将 进一步化为简化行阶例3例3:梯型数数=线线性性代代方程组无解时且当唯一解为, 3)(, 2)(,0, 1)2(0,1,11,120100010100110010120001010001010011001011001101000101001011010111010001010012110111114321ArArbaxabxabaxabxababababababababA数数=线线性性代代为任意常数其中结构解为化为简化行阶梯型进一步将为求解方程组有无穷多解

8、时且当21214321432431,10210112001021200000000001211001201:, 42)()(,0, 1)3(ccccxxxxxxxxxxxAAArArba数数=线线性性代代例例4 判断方程组有无解判断方程组有无解 2221221211cxbxacbxaxxx(a, b , c互不等互不等)解222111detcbacbaA )()(bcacab 0 , 3)( AR, 2)( AR( (为什么为什么？) )所以，方程组无解所以，方程组无解数数=线线性性代代例例5 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa2211222221211121211

9、1系数矩阵系数矩阵A的秩等于的秩等于 02121111211nnnnnnnbbbbaaabaaaB的秩，证明上述方程组有解的秩，证明上述方程组有解. 证nnnnnnnbaaabaaabaaaA21222221111211数数=线线性性代代A的行向量组是的行向量组是B 的行向量组的部分组，的行向量组的部分组，A所以所以的行向量组可由的行向量组可由B 的行向量组线性表出的行向量组线性表出,A的行向量组的秩的行向量组的秩 B 的行向量组的秩的行向量组的秩),()()(ARBRAR又又),()(ARAR故故),()(ARAR方程组有解方程组有解已已 知知数数=线线性性代代1.).()(ARAART证明

10、证明证证.,维列向量维列向量为为矩阵矩阵为为设设nxnmA ;)(,)(, 000TTxAAAxAAxx即即则有则有满足满足若若.,)()(,)(,)( T0000TTTAxAxAxxAAxxAAx从而推知从而推知即即则则满足满足若若,)(同解同解与与综上可知方程组综上可知方程组00TxAAAx思考题思考题( )()TnR AnR A A).()( ARAART因此因此数数=线线性性代代已知四元齐次方程组已知四元齐次方程组 及另一及另一 00:4221xxxxI四元齐次方程组四元齐次方程组 的通解为的通解为 II.,R1221011021T2T1kkkk .,;,?说明理由有若没求出来若有是否

11、有非零公共解与问III2. 数数=线线性性代代解解 得得的通解代入的通解代入将将III 0202221212kkkkkk.21kk 的的公公共共解解为为与与故故IIIT2T2T1111112210110,kkk所所有有非非零零公公共共解解为为 .,01111Tkk数数=线线性性代代 满满足足的的三三个个解解向向量量方方程程组组如如果果非非齐齐次次线线性性且且矩矩阵阵是是设设321,. 1,3 bAxARmA ,32121 ,11032 10113 .的通解的通解求求bAx 3. 数数=线线性性代代, 1)(,3 ARmA矩阵矩阵是是.2130 无关的解向量无关的解向量个线性个线性的基础解系中含

12、有的基础解系中含有 Ax则则令令,133221cba ,21231)(211 bca ,23230)(213 acb ,25210)(212 cba 解解方法方法1数数=线线性性代代 ,21121 23131 .0的基础解系中的解向量的基础解系中的解向量为为 Ax的通解为的通解为故故bAx ,2123123121121321 kkxxx.,21为任意实数为任意实数其中其中kk数数=线线性性代代方法方法2（更简单）：（更简单）：,231)()(3221 2/12/10)(2132,420)()(1321 线性无关，所以为线性无关，所以为AX = 0的基础解系的基础解系.为为AX = b 的解的解.,)(21)(21(32bbbA 的通解为的通解为故故bAx ,4202312/12/1021 kkX数数=线线性性代代第第4章基本要求章基本要求:(1)掌握齐次线性方程组是否有零解及非齐次线性方程组是否有解的判别方法.(2)理解齐次线性方程组基础解系的概念,掌握求齐次方程组的基础解系及其结构式通解的方法.(3)理解非齐次线性方程组通解的结构,掌握求其结构式通解的方法.