现代控制理论-第十七章-模型参考自适应控制ppt课件.ppt

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1、第十七章 模型参考自适应控制模型参考自适应控制在原理及结构上与自校正控制有很大差别，这类系统的性能要求不是用一个指标函数来表达，而是用一个参考模型的输出或状态响应来表达，例如导弹的稳定控制系统。参考模型的输出或状态相当于给定一个动态性能指标，通过比较受控对象及参考模型的输出或状态响应取得误差信息，按照一定的规律（自适应律）来修正实际系统的参数（参数自适应）或产生一个辅助输入信号（信号综合自适应），从而使实际系统的输出或状态尽量跟随参考模型的输出或状态。参数修正的规律或辅助输入信号的产生是由自适应机构来完成的。由于在一般情况下，被控对象的参数是不便直接调整的，为了实现参数可调，必须设置一个包含可

2、调参数的控制器。这些可调参数可以位于反馈通道、前馈通道或前置通道中，分别对应地称为反馈补偿器、前馈补偿器、前馈补偿器及前置滤波器，例如航天飞机的姿态控制系统。为了引入辅助输入信号，则需要构成单独的自适应环路。它们与受控对象组成可调系统。模型参考自适应控制系统的基本结构如图171所示。图（17-1）模型参考自适应系统基本结构图模型参考自适应控制问题的提法可归纳：根据获得的有关受控对象及参考模型的信息（状态、输出、误差、输入等）设计一个自适应控制律，按照该控制律自动地调整控制器的可调参数（参数自适应）或形成辅助输入信号（信号综合自适应），使可调系统的动态特性尽量接近理想的参考模型的动态特性。由图1

3、7-1可见，参考模型与可调系统的相互位置是并联的，因此称为并联模型参考自适应系统。这是最普遍的一种结构方案。除此之外，还有串并联方案及串联方案，其基本结构如图17-2所示。模型参考自适应系统的基本设计方法有以三种： 参数最优化方法： 基于李雅诺夫稳定性理论的设计方法： 基于波波夫超稳定性及正性概念的设计方法。下面，我们将对各种设计方法分别进行介绍。第一节 按局部参数最优化设计自适应控制的方法这是以参数最优化理论为基础的设计方法。它的基本思想是：假设可调系统中包含若干个可调参数，取系统性能指标为理想模型与可调系统之间误差的函数，显然它亦是可调参数的函数，因此可以将性能指标看作参数空间的一个超曲面

4、。当外界条件发生变动或出现干扰时，受控对象特性会发生相应变化，由自适应机构检测理想模型与实际系统之间的误差，例如水箱液面控制系统。对系统的可调参数进行调整，且寻求最优的参数，使性能指标处于超曲面的最小值或其邻域内。最常用的参数最优化方法有梯度法、共轭梯度法等。这种设计方法最早是由M.I.T.在五十年代末提出来的，故M.I.T.法。M.I.T.提出的自适应方案假定受控对象传递函数为：式中，只有 受环境影响而变化，是未知的； 及 则为已知的常系数多项式。所选择的参考模型传递函数为：sK N s D s SsN sWsKD s(17-1) MMN sWsKD s(17-2)式中， 根据希望的动态响应

5、来确定。 MK在可调系统中仅设置了一个可调的前置增益 ，由自适应机构来进行调节。选取性能指标为MK 210tJed(17-3)式中， 为输出广义误差。要求设计调节 的自适应律，使以上性能指标达到最小。下面，用梯度法来求它的自适应律。1Mseyy0K为使J达最小，首先要求出J对 的梯度；0K110002tJeedKK(17-4)按梯度法， 的调整值应为0K010JKBK (17-5)式中， 为步长，是经适当选定的正常数。经一步调整后 值为1B01oooJKKBK0K(17-6)oJK可以通过如下运算来求梯度 。对式(17-6)求导可得11112ooodJeKBBedtKK (17-7)为了计算

6、先求传递函数1/oeK 1eMosesN sWsKK Kr sD s(17-8)故有 1MosD s esKK KN s r s(17-9)上式对 求导：oK soe sD sK N s r sK (17-10)由参考模型传递函数可得 MMN sysKD sr s 1MMN sr sysD sK 1oMoMe tKytKK (17-11)(17-12)(17-13)代入式(17-7)，则得 112ooMMKKBe tytK (17-14)令 ，则得12sMKBBK 1oMKBe t yt(17-15) 这就是可调整参数 的自适应律。于是M.I.T.自适应控制系统的数学模型可归结为oK 输出误差

7、： 模型输出： 自适应律： 1MosD s esKK KN s r s MMD s ysK N s r s 1oMKBe t yt(17-15)(17-15)(17-15)其结构图如图17-3所示。由图可见，自适应机构包括了一个乘法器及一个积分器。M.I.T.自适应控制方案的优点是结构比较简单，并且自适应律所需信号只是参考模型的输出 以及参考模型输出与可调系统输出之误差 ，它不需要状态信息，因此这些都是容易获得的。但是M.I.T.方案不能保证自适应系统总是稳定的，因此，最后必须对整个系统的稳定性进行检验，这可以通过以下例子来说明。 Myt 1e t 例17-1 设对象为一阶系统，其传递函数为

8、1sssKWsT s式中， 为已知常数， 受环境影响而改变。设参考模型传递函数为sTsK 1MMMKWsT s式中 。试根据M.I.T.自适应控制方案，设计自适应控制系统。其结构如图17-4所示。MsoTTT解: 本例自适应控制系统的数学模型可表示成输出误差： 模型输出： 自适应律： 11MosTeeKK KrMMMTyyK T1oMKBe y现在来检查系统的稳定性。设 ，对式(17-19)进行求导得 or tr11osoTeeK K T (17-19) (17-20) (17-21) (17-22) 考虑式(17-21)有1110s oMTeeBK r y e(17-23)由式(17-20)

9、得 /1t TMs oytK re(17-24)代入式(17-23)2/11110t Ts oMTeeBK r Kee由于 的系数 ，可见系统是稳定的。1e2/10t Ts oMBK r Ke(17-25)例17-2 设对象为二阶系统，其传递函数为 2211ssKWsa sa s 已知： 为已知常值， 受环境影响而改变。选取参考模型传递函数为12aa、sKsK 2211MMKWsa sa s试按M.I.T.自适应方案设计自适应系统。解: 系统数学模型为输出误差： 模型输出： 自适应律： 2 11 11Mosa ea eeKK Kr21MMMMa ya yyK r1oMKBe y(17-26)(

10、17-27)(17-28)设 ，对式(17-26)求导得 or tr2 11 11os oa ea eeK K r(17-29) 假设 动态响应比 的自适应调整过程要快得多，因此可认为在研究 调节过程时， 已达到稳态，即 ，则式(17-30)可表示成 Myt 1e t 1e t MytMM oyK r22 11 1110sMoa ea eeK K Br e(17-31) 根据劳斯稳定性判据可知，当满足以下不等式时：212MsoaK K Bra系统将不稳定。(17-32) 局部参数优化法除了前面介绍的M.I.T.可调增益方案外，还有反馈补偿器，前置反馈补偿器等多个参数同时可调的方案，这里就不一一

11、介绍了。这类方案有共同的缺点，即不能保证自适应系统的稳定性，最后均必须对整个的稳定性检验。另外，由于各种参数优化方法都要求对参数进行搜索，这就需要一定的搜索时间，所以自适应速度比较低。还要求参考模型应相当精确地反映受控系统的动态特性，以使参数的误差不致过大以免造成系统过度扰动。第二节 基于李雅诺夫稳定性理论按对象 状态信息设计自适应控制的方法 由于模型参考自适应系统的时变及非线性特性，因此稳定性问题是设计中必须考虑的固有问题。基于李雅普诺夫稳定性理论的设计方法设计出来的系统变不必耽心系统是否稳定的问题。为了说明该设计方法首先对李雅普诺夫线性时不变系统的稳定性定理（其证明详见第一篇）作一回顾，并

12、介绍函数的正实性概念及判断函数正实性的卡尔曼-雅库波维奇定理。线性时不变系统的稳定性定理 线性时不变自治系统 在平衡点 是渐近稳定的，当且仅当对任意给定的正定对称矩阵 ，都存在一个正定对称矩阵 ，并满足如下李雅普诺夫方程：xAx0 xQPT A PPAQ则标量函数 即为该系统的李雅谱诺夫函数。 TVxx Px(17-33)函数的正实性凡满足以下两个条件的实有理函数 ，称为正实函数： W s 只能含有 左半平面的极点及虚轴上的其留数为正的一阶极点： W ss 对任意 。Re0Wj，如果 ，则称为严正实函数。Re0Wj卡尔曼-雅库波维奇定理 设系统传递函数为 ，满足 为 的一个最小实现，即系统状态

13、空间表示为 W sWja Abcd， ， ， ， W sxAxbuycxdu(17-34)(17-35)则 为正实函数的充要条件是存在正定矩阵 及向量 ，满足 W sPlTTA PPAll2dlPbc(17-36)(17-37) 一般情况下，对于输入输出间存在惯性的系统有 ，则系统状态空间表示为0d .xAxbuycx(17-38)(17-39)则式(17-36)、式(17-37)可化简为TTA PPAllQ Pbc以上卡尔曼-雅库波维奇定理又可叙述为：传递函数 为正实函数的充要条件是存在正定矩阵 ，并满足式(17-36)、式(17-37)。 W sP、Q(17-40)(17-41) 下面来讨

14、论受控对象全部状态可直接获取的情况下，基于李雅普诺夫稳定性理论进行自适应控制系统设计的方法。设可调系统数学模型为 ssttxAxBr(17-42)给定参考模型为MMMMxA xB r(17-43)设状态广义误差为Msexx(17-44)可得状态广义误差的状态方程为 MMsMtteA eAAxBBr(17-45) 选取包含状态广义误差及参数误差的如下李雅普诺夫函数预备式： 11TTMAMTMBMVtttte PetrAAFAAtrBBFBB(17-46)式中， 为待选的加权阵，并均设为正定矩阵，对式(17-46)求导，经整理可得11ABPFF， 1122TTTTMMMsATTMBVtttt eA

15、 PPAetrAAPexF AtrBBPerF B(17-47)如果 为一个稳定阵，则根据线性系统稳定性定理有MATMM A PPAQ 如 为正定阵，则 为一任意的正定矩阵。由此可知式(17-47)的第一项将为负定的。PQ(17-48)如果选取自适应律满足： TAst AF Pex TAt BF Per 则式(17-47)右边后两项等于零，于是 为负定，这就保证了状态广义误差系统的渐近稳定。V(17-49)(17-50)以上恒等式成立说明有三种可能情况： 和 线性相关，并有 ；sxr MMttAABB及 和 恒等于零；sxr 和 线性独立，并有 。sxr MMttAABB及显然，只有第三种情况

16、能导致参数收敛到参考模型，即参数误差为渐近稳定。 再进一步探讨当 时，在什么条件下能同时达到参数误差的渐近稳定，即同时能满足 ， 的问题。由状态广义误差方程(17-45)可得，当 时 0e t Mt AA Mt BB 0t e 0MsMttAAxBBr(17-51)下面以一阶自适应控制系统的设计为例。设受控对象状态方程为 ssssxat xb t u选取模型为 MMMMxa xbt r 式中， ， 。 及 分别表示对象的放大系数及时间常数，一般不便于直接调整。这里采用分别设置可调的前置及反馈增益 及 ，则可调系数结构如图17-5所示。 0Ma0Mb sat sb t g t f t(17-52

17、)(17-53)可调系统的状态方程为 ssssssxat xb tf t xg t ra t xb t r式中 sssa tatb t f tb tb t g t(17-55)(17-56)我们可以直接应用前面求出的自适应律，即： AsAsa ttb ttF PexF Per(17-57)(17-58)考虑式(17-55)、式(17-56)有 ssAsMsBatb t f tt NsP sb tg ttF PexF Per(17-60)(17-59)假设 及 受环境影响的变化过程比起参考模型及受控对象的时间响应要缓慢得多，同时也比 自适应调整过程缓慢得多，因此可以近似地认为在 的调整过程中 及

18、 为常数，则可得 sat sb t f tg t、 f tg t、 sat sb t sssssatb t f tb t f tb t g tb t g t(17-61)(17-62)考虑式(17-59)、式(17-60)，可得 11AssBsf ttb tg ttb tF PexF Per(17-63)(17-64)设11AasBbsbbFF(17-65)(17-66) 这个系统当输入信号 保证与 线性无关时，则可达到状态广义误差及参数误差均为渐近稳定，即当 时， ， ， 。也就是说，可调系统与参考模型之间既状态无偏差，又参数无偏差。关于参数无偏差这点对自适应控制来讲不一定是必要的，但对自适

19、应参数辨识来讲是完全必要的。 r t sxtt 0t e 0Mata t 0Mbtb t最后得 及 的自适应律为 f t g t asbf te t xtg te t r t自适应控制的结构图如图17-6所示。(17-68)(17-67) 由图17-6可见，这里所采用的自适应律实质上是一种积分型自适应律，它相当于一个积分调节器。由于积分控制作用是随时间积累的过程，一般响应较慢。为了加快自适应调整过程，可以在积分控制的基础上再加上一路直接与状态偏差成比例的控制项，于是构成了比例-积分型自适应律。 以上自适应控制同样可以采用辅助输入信号修正方案来代替参数调整方案。设 及 为给定的基本前置及反馈回路

20、，它的取值是在正常工作条件下使参考模型状态与可调系统状态基本达到一致，即 ，当出现状态偏差时，自适应控制回路将产生辅助输入信号来消除状态偏差。 *g*f0e 由参数调整方案可得自适应控制律为 *sutf t xtg t r t已知自适应律为 asbf te t xtg te t r t(17-69)(17-70)(17-71)对上式进行积分，可得 *0*0tastbf texdfg terdg(17-72)(17-73)代入式(17-69)得 *0*0tsasstbutf xtexdxg r terdr t 因此，可得与参数自适应完全等价的信号综合自适应结构，如图17-7所示。这种结构在具体实

21、现上比参数调整方案要简单。(17-74)第三节 基于李雅普诺夫稳定性理论按对象输入 输出信息设计自适应控制的方法 对许多实际对象来说，往往不能获取对象的全部状态，信息而对象的输入、输出信息总是可以直接获取的，这时只能利用对象的输入输出信息来设计自适应律。下面我们来讨论这种自适应控制方案的原理及设计方法。设受控对象为单输入单输出线性时不变系统，其动态方程为sssssssuxA xByc x(17-76)(17-77)式中， 分别为 的 次及 次多项式，且 。 及多项式的系数是未知的。 ssDsNs，snm1mnsK由此可得其传递函数为 1sssssssssysK NsWssusDscIAb(17

22、-78) 现在可以把自适应控制的设计归结为：已知 的结构（但参数未知），选定参考模型的传递函数 （其结构与 相同） ，而 可以直接获取，要求设计一个自适应控制器，使 sWs MWs sWs sMu tytr tyt、及 limlim0ssMttetytyt选择参考模型的传递函数为 MMMsMysK NsWsr sDs式中， 及 分别为参考模型的输出及输入， 分别为的 次及 次稳定多项式。并定义 。Myr MMDsNs及snm ssMetytyt(17-78) 对于自适应控制器的基本要求是：其传递函数的分子阶次不能大于分母阶次，这个限制条件是物理实现所必需的；控制器应包含足够的可调参数，以便使参

23、考模型与可调系统的传递函数相匹配，即 。如设 sMWsWs ssssK NsWsDs 式中， 分别为 的 及 次多项式，则分母有 个系数，分子有 个系数，加上 ，则 最多可有 个未知参数，因此，要求控制器应有个可调参数与之对应。 ssDsNs、sn1n n1n sK sWs2n 设自适应控制系统结构图如图17-8所示，控制器内包括两个辅助信号发生器（又称状态滤叔器），分别与可调参数组成两条辅助信号回路 ，它们的输入分别为被控对象的输入 及输出 ，其输出与经放大后的参考输入 综合形成 。显然，这里的输入采用了信号综合自适应方案。图中 均为可调参数，回路 均为 阶动态系统，它们的数学模型可分别表示

24、为12,F F n t y t oK r t u trroocddK，及12FF及1n 1111116801681ruFw VVbc V：2222216821683srosyFwd y VVbd V：其中各系数阵分别为 为 维稳定阵1101nll 11nn 为 维向量0 001rb， ， ， ，1 m 为 维可调参数向量 11rnc tct c， ，11n 为 维可调参数向量 11rndtdt d， ，11n 为可调参数标量0d 由此可知，辅助信号回路 都是标准可控型结构，其结构图如图17-9所示。12,F F当 为常向量时， 的传递函数 及 分别为设 个可调参数用向量 表示：2n t rrr

25、ootKttdttcd，(17-84) t12,F F 1W s 2Ws 111200rrQ sW ssIP sR sWsdsIdP scbdb式中， 为 的 次多项式， 为 次多项式。这样，可调系统的结构图见图17-10。 P ss1n Q sR s，2n (17-85)(17-86)可调系统的传递函数为 121210011111sososssosssssosssssWsW sK WsW sKW WsW sWs WsW sNsK KDsQ sNsR sKdP sDsP sK K Ns P sP sQ sDsK NsR sd P s(17-87)为了实现可调系统与参考模型的完全匹配，即令 ，应

26、选择： sMW sWsWs MP sNs MP sNs、均为稳定多项式。 MosKKK 0sssMsP sQ sDsK NsR sd P sDs Ns 应为稳定多项式，以保证参考模型的稳定，同时要求 也为稳定多项式，以便保证式(17-87)中分子分母的正常对消。 MDs sNs 显然，条件及是容易满足的，但条件能否得到满足，要用到下面的定理： 设 及 为两个互质的多项式，其中 为 次， 为小于或等于 次，则只要适当选择另外两个 次多项式 及 ，总可以使和式 为任意的 次多项式。（证明从略） A s B s A sn B s1n1n a s b s a s A sb s B s21n 利用此定理

27、，对照条件的等式左边， 相当于 ， 相当于 ，它们都是 次； 相当于 ，为 次； 相当于 ，为 次。由此可知，等式左边为任意 次多项。条件的等式右边正好亦为 次多项，因此，条件是完全能够实现的，从而通过调整以上可调参数能够保证可调系统与参考模型传递函数的完全匹配，亦就是说，控制器是存在的。 P sQ s a s 0R sd P s b s1n sDs A sn sNs B s1n 21n21n一、推导参考模型与可调系统的输出偏差模型令 为可调系统的信号向量，即 t 12Tstr ttytt VV，(17-88)由图17-8可知，受控对象 的输入控制作用 可写成 sWs u t 12rroosT

28、u tKt r tttdt ytttttcVdV(17-89)令增广状态向量：12sx xVV整个可调系统状态方程组为1122ssssssssy xA xb uVVbuVVbyc x(17-89)(17-90)(17-91)(17-92)则得增广状态方程为 1122000000ssssTsttxxbAVVbbcVV(17-94)令 *tt 式中， 表示可调系统与参考模型完全匹配时的一组参数，即为参考模型参数， 表示与参考模型参数失配的部分。 * t(17-95)代入式(17-89)，则得 *12TTTTTTToossu ttttttKrdttc Vcxd V(17-96)式(17-94)可整理

29、为 *0*1012200TTssssssssTTTTssosddKrtt xAb cb cb dxbVbcb cbdVbVbcV(17-97)简化为 *TTssoKrttxA xb(17-98)式中1200MMcMMMcs xxVVcc 式中， 为 维矩阵， 为 维向量。 即 时，表示可调系统 参考模型完全匹配，这时，参考模型的状态方程可表示为sA 3232nnsb32n *t 0t*TMcsMccoMMcMcsMKryxA xbcxc x(17-99)(17-100)令Mcexx(17-101)由此可导出状态偏差数学模型为 TcctteA eb(17-102)令1cMyye则得1sssMMs

30、ec xc xce(17-103)(17-104) 以状态偏差 作为状态向量，输出偏差 作为输出， 作为输入，则可调系统与参考模型的输出偏差模型由下列状态方程、输出方程及传递函数描述：e1e Ttt 11TccMcsMcccttWssIeA ebececAb(17-105)(17-106)(17-107)二、 按渐近稳定要求设计可调参数的自适应调整律 要注意的是， 不能直接获取，但可以直接获取信号 及输出误差 。因此，我们设计的自适应调整律 应避免使用信息。为此，我们不作证明地引入一个由李雅普诺夫稳定性定理导出的如下定理： te t 1te te如果误差模型传递函数 1eMcccWssIcAb

31、 为严正实函数，且模型输入信号 为有界并分段连续的向量函数，则方程组 t(17-108)11TccMc eA ebecee是稳定的，即当 时， ，当由不同频率分量组成时，则是渐近稳定宾，即当 时，不仅 ，并且 ，这里参数误差亦将消失。式中 为适当选取的正定对称阵。t 10tet 10te 0t(17-109)(17-110)(17-111) 根据以上定理，对照前面导出的偏差模型，可以得出结论，只要偏差模型的传递函数 是严正实函数，我们就可选择自适应律为 eWs 1ttt e由于 *ttt 自适应律也可采用下列形式 1ttt e(17-112)即 112ooor tKttte tytdttt V

32、cVd(17-113) 为此，关键的问题是检验 是否为严正实的。由于参考模型的传递函数为 sWs 1*MMcccoeoWssIKWsKcAb(17-114) 及 均为实数，因此， 是否严正实，又取决于 是否严正实。sKMK eWs MWs又知*MosKKK可得 seMMKWsWsK(17-115) 经以上研究可得如下结论：假设受控对象传递函数分母比分子高一阶的情况下，选择参考模型时，其传递函数 应满足： MWs 分子分母都是 的稳定多项式（因此是最小相位的）；s 分子的阶次比分母低一阶（满足 ，而 阶）； MNsP s 1P sn 为 为严正实的。 实际上经常会遇到分母比分子的阶次高二阶以上的

33、情况，这时，上述结论应作相应修改，下面就来研究这个问题。 式中， 及 为 的 次多项式， 及 为 的 次多项式。 sDs MDssn sNs MNss2n为简单起见，先假设受控对象传递函数为 ssssK NsWsDs(17-116)选取参考模型的结构与受控对象相同为 MMMMK NsWsDs(17-117)最见的二阶振荡环节 22002ssKWsss就属于这种情况。显然，此时 及 都不满足严正实的条件。因此，不能直接应用以上的自适应律。解决这个问题的办法是在可调系统的前置位置引入一个前置滤波器 （其中 ），使加到可调系统入口的参考输入 先经过 滤波，其结构图见图17-11。且可等效变换为图17

34、-12。 sWs MWs1/ s0 r t1/ s 如果这时把 当作等效系统的输入，则等效参考模型传递函数变成 1/r tr ts 1MMMMMKsNsWssWsDs(17-118) 这时分母比分子高一阶，因此只要适当选择 ，总可以保证 为严正实函数，前面所求得的自适应律仍可应用，只是这时应由 来代替 ，即s MWs 1r t r t 1102osr tKtstte ttyttt cVddV(17-119) 可以检难一下这时原参考模型与新的可调系统之间的匹配条件是否满足。这时，新的可调系统的传递函数为 0osssssK K Ns P sW sP sQ sDsK NsR sd P ss为使其与

35、完全匹配，同样可以选择： /MMMMWsK NsDs 0MMossssMsP sNssKKsKP sQ sDsK NsR sd P sDsNs(1)(2)(3)可见这里条件、未变，代入 ，得 W s MsMMsK Ns NssW sDs Nss(17-121)由于 及 都是稳定多项式，因此进行零极点相消，最后得s sNs MMMMK NsW sWsDs 由此可见，只要适当调整 等参数，仍可使可调系统与参考模型完全匹配。0TTodKcd、 ，(17-122) 同理，当 的分母比分子高二阶以上时（设分母为 阶，分子为 阶 ），是可用同样的方法将原输入可调系统的参考输入 先经一个 阶前置滤波器 sW

36、snm2nm r t111n mss1nm进行滤波，然后作同样的变换处理，并选择条件满足： 11Mn mP sNsss(17-123) 条件、不变，就可保证等效的参考模型传递函数 为严正实的，相应的自适应律应取为 1MWs 1n mMssWs 111102on msr tKtsste tttyttt cVddV(17-124)第四节 用超稳定性及正性概念设计自适应控制的方法 基于李雅普诺夫稳定性理论设计自适应控制存在着这样一个问题，就是一般不知道如何来扩大李雅普诺夫函数类，从而也就不能做到最大可能地扩大导致整体渐近稳定的自适应律数目，以便在完成一个完整的设计时，能根据具体的应用来选择其中最适宜

37、的一个自适应律。这也是节雅普诺夫第二法本身没有很好解决的一个问题，因而使该法的应用受到某种限制。本节要介绍的应用超稳定性及正性概念设计自适应系统的方法，可以得到一大族导致稳定的模型参考自适应律，从而在一定程度上解决了以上问题。 超稳定性理论是由波波夫在五十年代末提出的。在介绍这种设计方法前，为了便于说明，我们首先引入关于将模型参考自适应系统等价表示成非线性时变反馈系统的概念。 由于模型参考自适应系统主要的信息来源是参考模型及可调系统的状态（或输出）误差 ，因此，我们总是要先建立起描述 的动态特性的微分方程。设参考模型状态方程为1()ee或1()ee或MMMMxA xB u(17-125)受控对

38、象状态方程为,sssse te txAxBu(17-126)当采用并联自适应方案时，可得误差动态方程为,MsMMMssMMMssMse te te te texxA xBBuAxA eAAxBBu这里，可调参数 及 不仅依赖于误差 ，而且还依赖于它的过去值 。,se tA,se tB e t et 然后用它来构成自适应律。这里 可以按照保证系统稳定性所需要满足的特殊要求来选定，因此， 是自适应机构的第一个组成部分。同时，当 时，应该保证 为某一确定值，即 。因此，在自适应机构中可以采用一个积分器来获得这种记忆。 GG 0e t ,se tA,sMe t AA 在进行稳定性分析时，由于 是预先确

39、定的，故不能调整，因此，更合适的是采用将 通过一个线性增补器处理后得到另一向量 ，即MAeVVGe(17-128)上两式中等式右边第一项构成了自适应机构的记忆功能， 及 表示 ， 与 在 区间的某个非线性关系。这样，在并联方案时，误差模型方程可表示成11,se tA,se tBV0t1MeA ewVDe(17-131)(17-133)这样， 及 的自适应律可写成如下形式：sAsB 120120, ,0, ,0tssstssse tttdte tttdtAAVVVABBVVVB(17-130)(17-129) 其等价结构图见图17-13。这样，我们就把原来的模型参考自适应系统表示成一个等价的非线

40、性时变反馈系统，其前馈通道为线性时不变部分（前馈方框），其反馈通道为非线性时变部分（反馈方框），其简化方块图如图17-14所示。超稳定性概念就是针对这样一类反馈系统的稳定性提出来的。 1120120, ,0, ,0tsMstsMtdttdt wwVVAAxVVBBu(17-133)式中 为反馈方框的输入， 反馈方框的输出， 为一个有限正常数（不依赖于 ）。式（17-134）称为波波夫积分不等式。从以下讨论可以看到，这样一个反馈系统的稳定性仅取决于线性部分的特性。Vw20r1t分析超稳定性时，反馈方框应满足：1210100,0tTtdrt V w，对所有(17-134)下面，我们来介绍波波夫超稳

41、定性理论的要点。 设有非线性时变反馈系统如图17-14所示，在讨论系统的稳定性时，可设外部输入 ，其线性部分状态方程为 0r t xAxBuAxBwVCxBuCxDwm(17-135)(17-136)且完全可控、可测， 为 维向量， 均为 维向量。其非线性部分为xnuVw、 、m ,0tt wf Vuw，(17-137)(17-138)设非线性时变部分满足波波夫积分不等式200200,000tTtdrtrt w V，(17-139) 该式表示非线性时变部分的输出及输入是有界的。如果前馈方框与满足波波夫积分不等式的非线性时变反馈方框所构成的闭环系统为全局稳定的，则称闭环系统是超稳定的。如果为全局

42、渐近稳定的，则称闭环系统为渐近超稳定的；并称这前馈方框为超稳定方框。闭环系统的线性时不变前馈方框的传递函数矩阵为 1ssWCIABD由于 与 均为 维向量，故 为 维方阵。wVm sWmm(17-140)波波夫超稳定性定理 闭环系统为超稳定的充要条件是：等价反馈系统的前馈方框的传递函数矩阵为正实的，渐近超稳定的充要条件为严实的。 这里，不再重复正实性的定义，我们仅用奈魁斯特曲线来作一简单解释。由于严正实函数要求对任何 值，其实部 ，可见其奈魁斯特曲线的矢端当 时完全位于第四象限内，这意味着其相位滞后总小于90，因此严正实函数与一个一阶传递函数相似。Re0Wj0应用超稳定性理论设计自适应控制系统

43、的基本步骤如下： 将模型参考自适应系统变换成一个由前馈方框及反馈方框组成的等价反馈系统形式； 找出能使反馈方框满足波波夫积分不等式的一大族自适应律的解； 求出如何使前馈方框的传递函数矩阵满足严正实的条件，以保证整个系统的超稳定性； 最后把满足以上条件的等价反馈系统回复到原来的模型参考自适应系统，并以显式方式确定自适应机构的结构。下面，通过一个简单的例子来说明以上的设计步骤。例17-3 设某二阶系统，其并联可调系统方程为212011,sa pa pybe t u给出参考模型为21201Ma pa pyb u(17-141)(17-142)两式相减可得输出误差 的方程为1e21200111,sa

44、pa pebbe tu(17-143)按式(17-143)有 00011200, ,0tbe tV tdV tb式中 1VG pe(17-144)(17-145)令001,wbbe tu(17-146)可看作等效输入，式(17-143)可表示为1w212111a pa pew(17-147) 该式构成了非线性时变的反馈方框，这样，我们就把原来的模型参考自适应系统分离成了一个等价的反馈系统，其结构图如图17-15。至此，我们完成了系统设计的第一步即系统的等价变换。 于是式(17-147)、式(17-145)组成了线性定常的前馈方框，将式(17-144)代入式(17-146)，则得 0011200

45、, ,0tstdtbb wwVVu(17-148) 如果两个不等式均满足，则式(17-149)一定满足，这是一个充分条件。第二步：在反馈方框满足波波夫积分不等式的条件下，确定一大族自适应律的解，亦即找出一大族 及 。于是需求解下列方程：01, , tV02,tV 1100201200000, ,0tttVudtVutdtbb dtr VV(17-149)为此，可将上式分解成两个不等式 及 ：1I2I 11021100100022220, ,0,tttIVutdbb dtrIVut dr VV(17-150)(17-151)先来讨论式(17-151)。如果 ，只要不等式左边被积函数为正，不等式就

46、会得到满足，由此可得第一个解为220r 0222,00tKt V uKttV，对所有(17-152)再来讨论式(17-150)。由于以下关系成立： 1222111110100022tKf t K f t dtftfK fK ，ufV(17-153)(17-154)及 011000, ,0tK f tV tdtbb(17-155)则式(17-150)就变成式(17-153)的形式，式(17-150)便得到满足，由此解出 族来，对式(17-155)求导有01, , tV 011, ,K f tV t(17-156)以 代入，即得 的第一个解为 f tVu010111, ,0V tKVuK，(17-

47、157) 至此，我们找出了反馈方框满足波波夫积分不等式的参数自适应律 ， 的一大族解。要说明的是，这里只是求出了它们的第一个解，我们还能找出其他更为普遍的解，这里不作进一步讨论了。01, ,tV02,tV第三步：使前馈方框的传递函数满足严正实条件。前馈方框的传递函数为 2121G sW sa sa s(17-158)这里只有 可以调整，选取 G s 01G sgg s(17-159)则 01212201 1022222211Re1gg sW sa sa sgg ag aWjaa(17-160)(17-161)这样，我们就找到了自适应机构的第一部分 的自适应律。 G s 为使 为严正实函数，要求

48、对所有 ， ，由此可知，应取： W sRe0Wj01 1020gg ag a，(17-162)最后一步：根据求得的自适应律，把系统回复到原来的框图上来，这时只需将已求得的 及 构成自适应机构，引入到原系统中去即可。 G s,b e t 整个自适应控制系统的结构图如图17-16所示。由图17-16可见，这里的 包含 的导数，当参考模型及可调系统全部状态可以直接获取时，这是能够实现的。但当状态不能全部直接获取时，这就是一个很大的困难。 G s1e 用超稳定性及正性概念设计自适应控制的方法，与用李雅普诺夫稳定性理论的设计方法相比，可获得更为一般的自适应律，它把寻求一个合适的李雅普诺夫函数的问题变成求

49、解一个等价反馈系统的两个方框的正性问题，因此能够获得更为一般的结果，取得一大族导致稳定的模型参考自适应系统的自适应律，一般认为这是较为成功的方法。 例17-4 下面我们来讨论飞机的纵向控制问题。设飞机的纵向运动方程描述为pppppXA XBU式中,TpppppTpeptpzpqavXU 这里 为俯仰角， 为俯仰角速度， 为攻角， 为飞行空速， 为升降舵指令， 为油门控制指令， 为阻尼板介指令。ppqpapveptpzp0.01.00.00.01.40141.95130.01332.50541.01.32390.02380.5610.00.3580.02790.00.00.05.33076.44

50、730.26690.161.15520.25110.00.1060.0862qappEMMEEEAB 矩阵 中的元 为飞机动态参数，其额定值为-2.033，并假设其变化范围为在额定值上下变化75，即它在-0.558到-3.558。pA22qaaMM设参考模型动态方程表示为MMMMMXA XB U式中,TMMMMMTMeMtMqavXU 假设参考模型是渐近稳定的。这里各符号表示的变量与对象运动方程中的变量对应。要求设计自适应模型跟随控制系统以实现完全模型跟随。设Mpe XX 则为实现完全跟随要求，必须保证对任何分段连续的 和 将有MU 00e00MpMpeeXXXX 我们使用超稳定性及正性方法来