常数项级数的概念和性质ppt课件.ppt

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1、眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观第十二章第十二章 无穷级数无穷级数无穷级数是无穷级数是逼近理论逼近理论中的重要内容之一，是在中的重要内容之一，是在表示函数表示函数、研究函数的性质研究函数的性质，进行进行数值计算数值计算的的有力工具。有力工具。常数项级数，泰勒常数项级数，泰勒(Taylor)级数（幂级数），傅立级数（幂级数），傅立叶叶(Fourier)级数级数。眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具无穷级数是

2、研究函数的工具表示函数表示函数研究性质研究性质数值计算数值计算数项级数数项级数幂级数幂级数(Taylor)傅氏级数傅氏级数(Fourier)第十二章第十二章 无穷级数无穷级数眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观v常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质v正项级数及其收敛法正项级数及其收敛法v绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛v幂级数幂级数v函数的函数的TaylorTaylor级数级数v傅立叶傅立叶(Fourier)(Fourier)级数级数眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。

3、在每学期的视力测查中情况都不容乐观1 1 常数项级数的概念与性质常数项级数的概念与性质v基本概念基本概念v级数的简单性质级数的简单性质vCauchyCauchy收敛原理收敛原理眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观1. 1. 计算圆的面积计算圆的面积R正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积1a21aa :23形的面积形的面积正正n naaa 21naaaA 21即即 n10310003100310331. 2实例实例眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的

4、视力测查中情况都不容乐观一一 级数的概念级数的概念 nnnuuuuu3211( (常数项常数项) )无穷级数无穷级数一般项一般项部分和数列部分和数列 niinnuuuus121级数的部分和级数的部分和,11us ,212uus ,3213uuus ,21nnuuus 定义定义1：眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观定义定义2 2：眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观余项余项nnssr 21nnuu 1iinu)0lim( nnr无穷级数收敛性举例：

5、无穷级数收敛性举例：KochKoch雪花雪花. .做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的称的产生边长为原边长的1/31/3的小正三角形如此的小正三角形如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形了面积有限而周长无限的图形“Koch“Koch雪花雪花”眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面面积积为

6、为周周长长为为依次类推依次类推;43, 311 AP面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面面积积为为周周长长为为依次类推依次类推;43, 311 AP面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面

7、面积积为为周周长长为为依次类推依次类推;43, 311 AP面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面面积积为为周周长长为为依次类推依次类推;43, 311 AP面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAA

8、PP 面面积积为为周周长长为为依次类推依次类推;43, 311 AP面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面面积积为为周周长长为为依次类推依次类推;43, 311 AP面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观, 2 , 1)34(11 nPPnn)91(431121AAAnnnn 11

9、21211)91(43)91(43913AAAAnn , 3 , 2 n周长为周长为面积为面积为)94(31)94(31)94(31311221 nA次次分分叉叉第第 n眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观于是有于是有 nnPlim)941311(lim1 AAnn.532)531(1 A结论：雪花的周长是无界的，而面积有界结论：雪花的周长是无界的，而面积有界雪花的面积存在极限（收敛）雪花的面积存在极限（收敛）眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观解

10、解项和项和前前n1011)1011(1013 n)1011(31n )(31 n nkknS1103眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观解解)12)(12(1 nnun),121121(21 nn)12()12(1531311 nnsn)121121(21)5131(21)311(21 nn眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观)1211(21limlim nsnnn),1211(21 n,21 .21, 和为和为级数收敛级数收敛眼睛是心灵的窗户，是

11、人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观证明：证明：)0)(1ln( xxx)11ln(1nn 知知 nknknkks11)11ln(1nn1ln23ln2ln )134232ln(nn )1ln( n级数发散级数发散。眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观解解时时如如果果1 q12 nnaqaqaqasqaqan 1,11qaqqan 眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观,1时时当当 q0lim n

12、nqqasnn 1lim,1时时当当 q nnqlim nnslim 收敛收敛 发散发散时时如如果果1 q,1时时当当 q,1时时当当 q nasn 发散发散 aaaa级级数数变变为为不不存存在在nns lim 发散发散 综上综上 发发散散时时当当收收敛敛时时当当,1,10qqaqnn眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观例例5. 5. 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性: : .)1(1)2( ;1ln)1(11 nnnnnn解解: (1) 12ln nS nnln)1ln()2ln3(ln)1ln2(ln )1l

13、n( n） n(所以级数所以级数 (1) 发散发散 ;技巧技巧:利用利用 “拆项相消拆项相消” 求求和和23ln 34ln nn1ln 眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观(2) )1(1431321211 nnSn 211111 n） n(1所以级数所以级数 (2) 收敛收敛, 其和为其和为 1 . 3121 4131 111nn技巧技巧:利用利用 “拆项相消拆项相消” 求求和和眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观例例 6 6 判判别别无无穷穷级

14、级数数 11232nnn的的收收敛敛性性. . 解解nnnu 1232,3441 n已知级数为等比级数，已知级数为等比级数，,34 q公比公比, 1| q.原级数发散原级数发散眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观例例 7 7 试试把把循循环环小小数数3171717. 2173 . 2 表表示示成成分分数数的的形形式式. . 解解 173 . 2 7531017101710173 . 2 03100110173 . 2nn等比级数等比级数1001 q公比公比10011110173 . 23 .4951147 眼睛是心灵的窗

15、户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观Wed. May 18 Review1.1.数项级数的概念数项级数的概念 nnnuuuu211nnkknuuuusn 211. 2项和序列项和序列级数的前级数的前称称为为发发散散。否否则则收收敛敛，则则称称级级数数收收敛敛，部部分分和和序序列列数数项项级级数数收收敛敛的的概概念念：. 3ns眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观4. 4. 常用数项级数：常用数项级数：.1|,11|).21).1111时发散时发散时，收敛于时，收

16、敛于在在几何级数几何级数发散；发散；调和级数调和级数 qqaqaqnnnn眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观二二 级数的简单性质级数的简单性质结论结论: : 级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数, ,敛散性不变敛散性不变. .结论结论: : 收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减. .亦亦收收敛敛。收收敛敛，则则如如果果级级数数性性质质 111nnnnkuu 111.,)(,2nnnnnnnsvuvus 其和为其和为收敛收敛则级数则级数设两收敛级数设两收敛级数性质性质眼

17、睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观解解 121)1(5nnnn 1)1(5nnn 121nn 111115)1(5nnnnnn nknkkg11115令令),111(5 n的的和和；级级数数求求例例 121)1(58nnnnn眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观, 5)111(lim5lim ngnnn,211是是等等比比级级数数 nn，首首项项是是公公比比21, 121 qnnnnh lim211. 61521)1(51 nnnn故故, 1211

18、21 眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观证明证明 nkkkuuu21nkkknuuu 21,kknss knknnnnss limlimlim 则则.kss 类似地可以证明在级数前面类似地可以证明在级数前面加上有限项加上有限项不影响不影响级数的敛散性级数的敛散性. .),1(311且其逆也真且其逆也真也收敛，也收敛，收敛，则收敛，则若级数若级数性质性质 kuuknnnn眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观证明证明 )()(54321uuuuu,2

19、1s .limlimssnnmm 则则,52s ,93s ,nms 性质性质4 4 收敛级数加括号后所成的级数仍然收敛收敛级数加括号后所成的级数仍然收敛 与原来的和与原来的和. .眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观注意注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. . )11()11(例例如如 1111 收敛收敛 发散发散推论推论 如果加括号后所成的级数发散，则原来级如果加括号后所成的级数发散，则原来级 数也发散数也发散. .眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的

20、重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观例例.判断级数的敛散性判断级数的敛散性: 141141131131121121解解: 考虑加括号后的级数考虑加括号后的级数 )()()(1411411311311211211111 nnan12 nnna 2发散发散 ,从而原级数发散从而原级数发散 .nn121 眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观级级数数收收敛敛. 0lim nnu证明证明 1nnus,1 nnnssu则则1limlimlim nnnnnnssuss . 0 即即趋趋于于零零它它的的一一般般项项无无限限增

21、增大大时时当当,nun性质性质5 5 级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件: :眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观注意注意1.1.如果级数的一般项不趋于零如果级数的一般项不趋于零, ,则级数发散则级数发散; ; 1)1(4332211nnn例例如如 发散发散2.2.必要条件不充分必要条件不充分. .但但级级数数不不收收敛敛。有有, 0lim nnu n131211例例如如调调和和级级数数眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观讨论讨论nnnssnn2

22、121112 ,212 nn.,s其和为其和为假设调和级数收敛假设调和级数收敛)lim(2nnnss 于是于是ss , 0 .级级数数发发散散)(210 n便便有有.这这是是不不可可能能的的眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观 )21221121()16110191()81716151()4131()211(1mmm8项项4项项2项项2项项 项项m221每每项项均均大大于于21)1(1 mm项项大大于于即即前前.级级数数发发散散由性质由性质4 4推论推论, ,调和级数发散调和级数发散. .眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵

23、的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观三三 CauchyCauchy收敛原理收敛原理定理：定理：.|, 2 , 1, 0, 01211 npnpnnkkpnnnnnssuuuupNnNu或或即即都成立都成立时，对任意自然数时，对任意自然数当当使得使得的充分必要条件是：的充分必要条件是：级数收敛级数收敛眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观证明：证明：, p对任何自然数对任何自然数222)(1)2(1)1(1pnnnssnpn )(1(1)2)(1(1)1(1pnpnnnnn )111

24、()2111()111(pnpnnnnn npnn111 眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观成成立立。，总总有有时时当当 nspNnN-s, 2 , 1,1, 0pn眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观小结小结1 1. .由由定定义义, ,若若ssn, ,则则级级数数收收敛敛; ;2 2. .当当0lim nnu, ,则则级级数数发发散散; ;3.3.按基本性质按基本性质. .常数项级数的基本概念常数项级数的基本概念基本审敛法基本审敛法Hw：p1

25、92 3(2),4(3,5).眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观一、一、 填空题填空题: :1 1、 若若nnan242)12(31 , ,则则 51nna= =_；2 2、 若若nnnna! , ,则则 51nna= =_；3 3、 若级数为若级数为 642422xxxx则则 na_；4 4、 若级数为若级数为 97535432aaaa则则 na_；5 5、 若级数为若级数为 615413211 则当则当 n_时时 na_；当；当 n_时时 na_；6 6、 等比级数等比级数 0nnaq, ,当当_时收敛；当时收敛；

26、当_时发散时发散 . .练习题练习题眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观三、由定义判别级数三、由定义判别级数 )12)(12(1751531311nn的收敛性的收敛性. .四、判别下列级数的收敛性四、判别下列级数的收敛性: :1 1、 n31916131；2 2、 )3121()3121()3121()3121(3322nn；3 3、 nn101212014110121 . .五、利用柯西收敛原理判别级数五、利用柯西收敛原理判别级数 61514131211的敛散性的敛散性 . .眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观练习题答案练习题答案一、一、1 1、1086429753186427531642531422121 ； 2 2、543215! 54! 43! 32! 21! 1 ； 3 3、)2(6422nxn ； 4 4、12)1(11 nann； 5 5、kkkk21,2 , 12 . 12 ； 6 6、1, 1 qq. .三、收敛三、收敛. . 四、四、1 1、发散；、发散； 2 2、收敛；、收敛； 3 3、发散、发散、 nkknks12)10121( . .五、发散五、发散. . 取取np2