考研数学三讲义微分方程ppt课件.ppt

《考研数学三讲义微分方程ppt课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《考研数学三讲义微分方程ppt课件.ppt（68页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1例例7.1.1 7.1.1 求过点求过点(1(1，2)2)，且切线斜率为，且切线斜率为2 2x x的曲线方程的曲线方程 . .7.1 7.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念2)1 (2yxy要求出满足上组关系式的函数要求出满足上组关系式的函数y=y(x)，只需求一次，只需求一次不定积分，显然，所要求函数的一般形式为：不定积分，显然，所要求函数的一般形式为： 解解 :设所求的曲线方程设所求的曲线方程y=y(x)，则据题意应满足，则据题意应满足(C为任意常数为任意常数)，2yxC先看一个具体例题先看一个具体例题.第十一讲第十一讲 常微分方程常微分方程2可将求解的问题和条件归结为以下方程：可

2、将求解的问题和条件归结为以下方程：. 2|,21xyxdxdy几何上表示一簇曲线，将几何上表示一簇曲线，将yx=1=2代入上式，可代入上式，可求出求出C=1, 则则 即为过点即为过点(1，2)，且切线斜，且切线斜率为率为2x的曲线方程的曲线方程 .21yx3含有未知函数导数或微分的方程叫做微分方程含有未知函数导数或微分的方程叫做微分方程. 如如 xeyyxdxdy ,2等都是微分方程等都是微分方程 . 微分方程中出现的未知函数的导数或微分的最高微分方程中出现的未知函数的导数或微分的最高阶数，叫阶数，叫微分方程的阶微分方程的阶. xdxdy2为一阶微分方程，为一阶微分方程， xeyy 为二阶微分

3、方程为二阶微分方程 . 如如 :4一阶微分方程的一般形式为一阶微分方程的一般形式为我们主要讨论形式如下的微分方程：我们主要讨论形式如下的微分方程：0),( yyxF),(yxfy 1. 1. 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程2. 2. 齐次微分方程齐次微分方程3. 3. 一阶线性微分方程一阶线性微分方程51.1.可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程这时方程两边分别只含这时方程两边分别只含x和和y，方程中的变量已被分，方程中的变量已被分离离 . 对对(7.2.1)两边积分，得两边积分，得Cdxxfygdy)()(这就是所求的微分方程的通解，其中这就是所求的微分方程的通解，其中c是任意

4、常数是任意常数.)()(ygxfdxdy我们把形如的方程我们把形如的方程 称为可分离变称为可分离变量的方程量的方程 .dxxfygdy)()(7.2.1) 当当g (y)0时方程改写为时方程改写为62.2.齐次微分方程齐次微分方程的微分方程称为齐次方程的微分方程称为齐次方程. 2)(yxxydxdy)(xydxdy(7.2.2) 形如形如如如7在在(7.2.2)中，令中，令 uxy, 则则 uxy ，有，有 dxduxudxdy于是于是(7.2.2)式化为式化为)(udxduxu再分离变量，得再分离变量，得xdxuudu)(两边积分得两边积分得1|ln)(Cxuudu求出积分后，再用求出积分后

5、，再用 代替代替u，便得所给齐次方程的，便得所给齐次方程的通解通解. xy83.3.一阶线性微分方程一阶线性微分方程形如形如)()(xQyxPdxdy的方程称为一阶线性微分方程，这类方程的特点的方程称为一阶线性微分方程，这类方程的特点是关于未知函数是关于未知函数y及其导数及其导数y都是一次的都是一次的. 当当Q(x)=0时，称为一阶线性齐次方程；时，称为一阶线性齐次方程；当当Q(x)0时，称为一阶线性非齐次方程时，称为一阶线性非齐次方程.22xyxy如如9先求一阶线性齐次微分方程的通解先求一阶线性齐次微分方程的通解. 0)(yxPy分离变量，即得分离变量，即得dxxPydy)(两边积分得两边积

6、分得CdxxPyln)(|ln即即dxxPCey)( (C为任意常数为任意常数)为一阶线性齐次微分方程的通解为一阶线性齐次微分方程的通解.对对10 现在我们用一阶线性齐次微分方程的通解，现在我们用一阶线性齐次微分方程的通解，利用利用“常数变易法常数变易法”求其相应的一阶线性非齐次求其相应的一阶线性非齐次微分方程的通解微分方程的通解. 将方程将方程 对应的齐次方程的通解对应的齐次方程的通解 )()(xQyxPydxxPCey)(中任意常数中任意常数C换为待定函数换为待定函数u=u(x)，即设即设 是方程是方程dxxPexuy)()()()(xQyxPy的解，因为的解，因为:( )( )( )(

7、)()P x dxP x dxyu x eu x e( )( )( )( ) ( )P x dxP x dxu x eu x P x e11将此代入方程将此代入方程 )()(xQyxPy得得:( )( )( )( ) ( )P x dxP x dxu x eu x P x e( )( ) ( )( )P x dxP x u x eQ x即即dxxPexQu)()(积分后得积分后得CdxexQxudxxP)()()(其中其中C是任意常数是任意常数代入所设得：代入所设得：12不难验证，这就是方程不难验证，这就是方程 )()(xQyxPy的通解的通解. (7.2.4)式应作为公式熟记式应作为公式熟记

8、 . )()()(CdxexQeydxxPdxxP(7.2.4)13例例7.2.1 求微分方程求微分方程 yxdxdy的通解的通解 . 解解 ： 将已知微分方程分离变量，得将已知微分方程分离变量，得xdxydy 两边积分，两边积分，1Cxdxydy由此得由此得12222Cxy所以有通解所以有通解Cxy22这里这里1CC14例例7.2.2 求初值问题求初值问题 0|,02xyxyey的特解的特解.解解 ：将已给方程分离变量：将已给方程分离变量dxedyexy2两边积分两边积分Cdxedyexy2通解为通解为Ceexy221将将x=0, y=0代入得代入得21C所求特解为所求特解为2)1 (2xy

9、ee15例例7.2.3 解方程解方程 dxdyxydxdyxy22解解 : 原方程可写成原方程可写成,1)(222xyxyxxyydxdy因此是齐次方程，令因此是齐次方程，令 uxy, 则则dxduxudxdyuxy,16于是原方程变成于是原方程变成12uudxduxu即即1uudxdux分离变量，有分离变量，有xdxduu)11 (两端积分，得两端积分，得CuuxxCuu|ln|,|ln|ln以以 xy代替上式中的代替上式中的u，便得原方程的通解为，便得原方程的通解为 Cxdxy |ln17例例7.2.4 求方程求方程 yxyxdxdy的通解的通解.解解 :方程右边分子分母同除方程右边分子分

10、母同除xxyxydxdy11令令 uxy，得，得xdxduuu21118两边积分得两边积分得Cxuu|ln)1ln(21arctan2通解为通解为.lnarctan22Cyxxy19例例7.2.5 解方程解方程 222xxexyy解法解法1 ：分离变量，得分离变量，得xdxydy2两边积分，得两边积分，得Cxylnln2即齐次方程的通解为即齐次方程的通解为2xCey用常数变易法，设用常数变易法，设 2)(xexCy，代入原方程，得，代入原方程，得222)(xxxeexCxxC2)(CxxC2)(02xyy先解对应的齐次方程先解对应的齐次方程20解法解法2 ：直接用一阶线性微分方程通解公式：直接

11、用一阶线性微分方程通解公式(7.2.4)：)()()(CdxexQeydxxPdxxP这里这里 22)(,2)(xxexQxxP，代入公式得，代入公式得222e( 2)xdxxdxxyxeedxC故原方程通解为故原方程通解为2)(2xeCxy222( 2)()xxexdxCxC e21例例7.2.6 求求 0)ln(lndyyxydxy的通解的通解. 解解 ：把：把y视为自变量，视为自变量，x视为因变量，方程化为视为因变量，方程化为yyyxdydx1ln这里这里,ln1)(yyyPyyQ1)(使用公式使用公式(7.2.4)得所给方程的通解得所给方程的通解:2211(ln)lnydyCyy11l

12、nln1()dydyyyyyxeedyCylnln1(ln)yeydyCy2111 (ln )lnln2ln2CyCyyy23例例7.2.7 求方程求方程 222yxyxy的通解的通解. 解解 ：方程本身不是线性方程，若两边同除以：方程本身不是线性方程，若两边同除以y2，原方程变为原方程变为:2212xyxyy，得，得 令令 uy122xuxdxdu该方程是一个线性方程，其通解为该方程是一个线性方程，其通解为222()dxdxxxuex edxC24352211()55xCxCxx 原方程的通解为：原方程的通解为：2351xcxy25形如形如 的方程称为的方程称为伯努利方程，伯努利方程，yxQ

13、yxPdxdy)()()()(1xQyxPdxdyy然后令然后令 , 就可将其化为新未知函数就可将其化为新未知函数u的一阶线性微分方程的一阶线性微分方程 .uy1如例如例7.2.7所示方程即为伯努利方程，其中所示方程即为伯努利方程，其中为为 任意常数任意常数. 当当=0时，该方程是一阶线性微分方时，该方程是一阶线性微分方程，当程，当=1时，它是一阶齐次线性微分方程时，它是一阶齐次线性微分方程.一一般地，原方程两边同除以般地，原方程两边同除以y ，得：，得：26 二阶及二阶以上的微分方程，称为高阶微分方二阶及二阶以上的微分方程，称为高阶微分方程程. . 高阶微分方程的一般形式为：高阶微分方程的一

14、般形式为：0),()(nyyyxF或者或者)1()(,(nnyyyxfy 本节我们主要讨论可降阶的高阶微分方程及本节我们主要讨论可降阶的高阶微分方程及常系数线性微分方程常系数线性微分方程. .27 对于有些高阶微分方程，我们可以通过适对于有些高阶微分方程，我们可以通过适当的变量代换，把它们化为较低阶微分方程当的变量代换，把它们化为较低阶微分方程来求解，这种类型的方程称为可降阶的方程来求解，这种类型的方程称为可降阶的方程 . . 这里我们将讨论三种容易降阶的高阶微分方这里我们将讨论三种容易降阶的高阶微分方程的求解法程的求解法. .（1 1） 型微分方程型微分方程（2 2） 型微分方程型微分方程（

15、3 3） 型微分方程型微分方程( )( )nyf x( ,)yf x y( ,)yf y y28(1) )()(xfyn型微分方程型微分方程这类方程的特点是右端仅含有自变量这类方程的特点是右端仅含有自变量x，只要把，只要把作为新的未知函数，将原来的作为新的未知函数，将原来的n阶方程化为新的未阶方程化为新的未知函数知函数 的一阶微分方程的一阶微分方程. 两端积分，两端积分，)1( ny)1( ny得到一个得到一个(n1)阶微分方程阶微分方程1)1()(Cdxxfyn上式两端再一次积分，得上式两端再一次积分，得 21)2()(CxCdxdxxfyn依此继续进行，接连积分依此继续进行，接连积分n次，

16、便得到原来的次，便得到原来的n阶微阶微分方程的含有分方程的含有n个任意常数的通解个任意常数的通解. 29(2) ),(yxfy 型微分方程型微分方程这类方程的特点是方程中不显含未知函数这类方程的特点是方程中不显含未知函数y .令令 py , 则则 py ,代入原方程，得代入原方程，得),(pxfp 这是关于未知函数这是关于未知函数p的一阶微分方程的一阶微分方程若求得通解为若求得通解为),(1Cxp则原微分方程的通解为则原微分方程的通解为21),(CCxy30(3) ),(yyfy 型微分方程型微分方程这类方程的特点是方程中不显含自变量这类方程的特点是方程中不显含自变量x .dydppdxdyd

17、ydpdxdpypy ,设设 , 方程化为方程化为),(pyfdydpp 这是一个关于变量这是一个关于变量y、p的一阶微分方程，再按的一阶微分方程，再按一阶方程的方法求解一阶方程的方法求解. 31例例7.3.1 解二阶微分方程解二阶微分方程 xxey 解解 :积分一次得积分一次得1) 1(Cexdxxeyxx再积分一次再积分一次1(1)xyxe dxC x即为所求的通解即为所求的通解.12(2)xxeC xC32例例7.3.2 求初值问题求初值问题 3|, 1|,2)1 (002xxyyyxyx的解的解 . 解解 :设设 py ,代入方程并分离变量后，有代入方程并分离变量后，有dxxxpdp2

18、12两端积分两端积分Cxp)1ln(|ln2)1 (21xCyp即即)1 (32xy3|0 xy由条件由条件 得得 , 所以所以13C 33133xxy两端再积分，得两端再积分，得233Cxxy又由条件又由条件 1|0 xy，得，得 =1，于是所求特解为，于是所求特解为2C34例例7.3.3 解方程解方程 2yyy 解解 :令令 dydppypy , 得得2pdydpyp当当p0, 有有pdydpy分离变量，得分离变量，得ydypdp两边积分，得两边积分，得yCpCyp11,ln|ln|ln35即即yCdxdy1分离变量，得分离变量，得21ln|lnCxCy故通解为故通解为xceCy12362

19、.2.二阶线性微分方程解的结构二阶线性微分方程解的结构)()()(xfyxQyxPy (7.3.1) 若若(7.3.1)式右端式右端f (x)0，那么称方程是齐次的，那么称方程是齐次的， 0)()( yxQyxPy(7.3.2) 否则称方程是非齐次的否则称方程是非齐次的. 当当P(x), Q(x)都是常数时，都是常数时，称为二阶常系数线性微分方程称为二阶常系数线性微分方程 在实际问题中应用得较多的一类高阶微分方在实际问题中应用得较多的一类高阶微分方程是二阶线性微分方程，其一般形式为程是二阶线性微分方程，其一般形式为37 下面我们讨论二阶线性微分方程解的结构，这些结下面我们讨论二阶线性微分方程解

20、的结构，这些结构可以推广到构可以推广到n阶线性微分方程阶线性微分方程.( )(1)1( )nnyp x y1( )( )( )nnpx ypx yf x38以下定理均略去证明以下定理均略去证明.定理定理7.3.1 若若y1, y2是方程是方程(7.3.2)的两个特解的两个特解, 且且 常数常数, 则则 就是方程就是方程(7.3.2)的的通解通解 . 21yy2211yCyCy例如易验证例如易验证 xy2cos1及及 xy2sin2都是方程都是方程y+4y=0的解，且的解，且xxxyy2tan2cos2sin21常数，常数， 因此因此xCxCy2cos2sin21是方程是方程y+4y=0的通解的

21、通解 .39定理定理7.3.2 设设y*是二阶非齐次线性微分方程是二阶非齐次线性微分方程(7.3.1)的一个特解的一个特解, 是方程是方程(7.3.1)所对应的所对应的齐次线性微分方程齐次线性微分方程(7.3.2)的通解的通解, 那么那么2211yCyCy*yyy是二阶非齐次线性微分方程是二阶非齐次线性微分方程(7.3.1)的通解的通解 .40定理定理7.3.3 设非齐次线性方程设非齐次线性方程(7.3.1)的右端的右端f (x)是几个函数之和是几个函数之和,如如)()()()(21xfxfyxQyxPy 而而 *1y与与 *2y分别是方程分别是方程 ),()()(1xfyxQyxPy )()

22、()(2xfyxQyxPy 的特解，那么的特解，那么 *2*1yy 就是原方程的特解就是原方程的特解 . 413.二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程我们先讨论二阶常系数齐次线性微分方程我们先讨论二阶常系数齐次线性微分方程0 qyypy(7.3.3) 的解法，其中的解法，其中p，q为常数为常数 .我们看到，当我们看到，当r为常数时，指数函数为常数时，指数函数 及其各阶及其各阶导数只相差一个常数因子导数只相差一个常数因子 .rxey 因此，我们用因此，我们用 来尝试来尝试. 使使 满足方程满足方程(7.3.3) .rxey rxey 把把 代入代入(7.3.3)，可得，可得rxe

23、y 0)(2rxeqprr42 就行就行. 代代数方程数方程(7.3.4)称为微分方程称为微分方程(7.3.3)的的特征方程特征方程 .02qprr(7.3.4)由于由于 ，所以要想，所以要想 是是(7.3.3)的解，的解，只要只要r满足满足0rxerxey 这样一来，求解二阶常系数齐次线性微分方程这样一来，求解二阶常系数齐次线性微分方程问题就能化为求解一个二次代数方程问题就能化为求解一个二次代数方程(7.3.4)的问题的问题. (7.3.4)的两个根的两个根r1 r2称为特征根，于是：称为特征根，于是：43(1)若特征方程有两个不同的实根若特征方程有两个不同的实根r1, r2, 方程方程(7

24、.3.3)有两个解有两个解22,r xye11,r xye且且 21yy常数，常数，221prr(2) 当特征方程当特征方程(7.3.4)有两个相等实根有两个相等实根 时，方程时，方程(7.3.3)有一个解有一个解 . 为求另一个解为求另一个解y2， xrey11且且 12yy常数，设常数，设 )(12xuyy(待定函数待定函数)，则，则 xrexuyxuy1)()(12，代入方程，代入方程(7.3.3)，xrxreCeCy2121方程方程(7.3.3)的通解为的通解为:0)( xu化简可得化简可得44为简便起见，不妨取为简便起见，不妨取u(x)=x, 则则xrxexyy112不难验证：不难验

25、证： 是方程是方程(7.3.3)的一个解的一个解.故方程故方程(7.3.3)的通解为的通解为 xrxey12xrexCCy1)(21ir1)sincos(21xCxCeyax如果要证明上述结论，只需将如果要证明上述结论，只需将y代入原微分方程代入原微分方程(7.3.3)，直接验证即可，直接验证即可 .(3)若若 为特征方程为特征方程(7.3.4)的一对共轭复的一对共轭复 根，则根，则(7.3.3)式的通解为式的通解为45特征方程特征方程的两个根的两个根 微分方程微分方程的通解的通解 两个不相等的实根两个不相等的实根r r11r r2 2两个相等的实根两个相等的实根r r1=1=r r2 2一对

26、共轭复根一对共轭复根02qprr0 qyypy1,2rixrxreCeCy2121xrexCCy1)(2112(cossin)xyeCxCx表表7.3.1综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程y+py+qy=0的通解可归纳如下：的通解可归纳如下：46例例7.3.4 求微分方程求微分方程 023 yyy的通解的通解.解解 :特征方程为特征方程为0232 rr解得解得11r22r则所求方程通解为则所求方程通解为xxeCeCy22147例例7.3.5 解方程解方程 096 yyy解解 :由特征方程由特征方程 0962 rr得相同实根得相同实根 321 rr于是所

27、求方程通解为于是所求方程通解为xexCCy321)(48例例7.3.6 解方程解方程 y+y=0 . 故故1, 0所求方程通解为：所求方程通解为：xCxCysincos21解解 :特征方程为特征方程为 +1=0，解得，解得ir2r494.二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程 在齐次方程在齐次方程(7.3.3)的求解问题解决之后，根据的求解问题解决之后，根据定理定理7.3.2，只要求出非齐次方程，只要求出非齐次方程(7.3.7)的一个特的一个特解解y*，即可得到，即可得到(7.3.7)的通解的通解 .下面我们讨论下面我们讨论f (x)具有如下形式时，如何用特定具有如下形式时，

28、如何用特定系数法求系数法求(7.3.7)的特解的特解 )(xfqyypy (7.3.7) 其中其中p, q是常数，是常数，f (x)不恒等于零不恒等于零 . 二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是：二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是：50 xexQy)(* 是方程是方程(7.3.7)的特解，的特解，Q(x)为待定多项式，将为待定多项式，将因为多项式与指数函数乘积的导数仍然是多项式与因为多项式与指数函数乘积的导数仍然是多项式与指数函数的乘积，不妨设指数函数的乘积，不妨设 xexQy)(*)()(*xQxQeyx)()(2)(2*xQxQxQeyx 代入代入(7.3.7)式，并消去式，并消

29、去 整理后，得整理后，得 xe)()()()()2(2xPxQqpxQpQm (7.3.8) (1) ，其中，其中是常数，是常数， 是是x的的一个一个m次多项式；次多项式； xmexPxf)()( )mP x51mmmmmbxbxbxbxQ1110)(代入代入(7.3.8)式，比较等式两端式，比较等式两端x同次幂系数，就可同次幂系数，就可确定确定 值，从而所求特解为值，从而所求特解为 mbbb,10 xmexQy)(*如果如果不是特征方程不是特征方程 的根，即的根，即 0，那么由，那么由(7.3.8)式可以看出式可以看出Q(x)必必须是须是m次多项式，令次多项式，令qp220rprq52如果如

30、果是特征方程是特征方程 单根，即单根，即 02qprr20,pq02 p由由(7.3.8)式可以看出式可以看出Q(x)必须是必须是m次多项式，次多项式，Q(x)是是m+1次多项式，令次多项式，令可用同样方法确定系数可用同样方法确定系数 mbbb,10从而所求特解为从而所求特解为xmexxQy)(*( )( )mQ xxQx1011()mmmmx b xb xbxb53如果如果是特征方程重根，即是特征方程重根，即 20,pq02 p分析分析(7.3.8)式两边可知，式两边可知，Q(x)应是应是m次多项式，次多项式，Q(x)是是m+2次多项式，即可设次多项式，即可设xmexQxy)(2*综上所述，

31、我们将结果列于下表综上所述，我们将结果列于下表:表表7.3.254(2) sin)(cos)()(xxPxxPexfnlx型型 令令m=max(l, n),由欧拉公式由欧拉公式 ( )易知易知cossinixexixxexRxexRxmxmsin)(,cos)(分别为分别为 的实部与虚部，其中的实部与虚部，其中Rm (x)为为x的的m次多项式次多项式.ximexR)()(其中其中 分别是分别是x的的l次、次、n次多项式次多项式.( ),( )lnP x P x55 是是m次多项式，次多项式，m=maxl, n, 而而k按按 )不是特征方程的根或是特征不是特征方程的根或是特征方程的单根分别取为方

32、程的单根分别取为0或或1 .ii(1)(2)( ),( )mmRx Rx(或或 类似于情形类似于情形(1)中的讨论中的讨论.可推得如下结论：方程可推得如下结论：方程 sin)(cos)(xxPxxPeqyypynlx 具有形如具有形如sin)(cos)()2()1(*xxRxxRexymmxk的特解，其中的特解，其中: 565758例例7.3.9 求求 xeyyy22 的通解的通解 . 解解 :方程对应的齐次线性方程的特征方程为方程对应的齐次线性方程的特征方程为 0122 rr即即0) 1)(12(rr特征根特征根21, 121rr所以对应齐次方程的通解所以对应齐次方程的通解:2/21xxeC

33、eCy自由项自由项2)(,2)(xpexfx是零次多项式是零次多项式 ，=1不是特征方程根不是特征方程根 59则则*,xyAexAey*代入原方程，得代入原方程，得:xxxxeAeAeAe22即即2A=2比较两端比较两端x同次幂系数，得同次幂系数，得A=1,所以特解为所以特解为xey *所求通解所求通解为为:xxxeeCeCy2/21xAey *在在 中取中取k=0，于是设特解，于是设特解kx60例例7.3.10 求微分方程求微分方程 1332 xyyy的通解的通解 . 解解 :方程所对应的齐次方程为方程所对应的齐次方程为: 032 yyy它的特征方程为它的特征方程为0322 rr解得解得,

34、1, 321rr对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为xxeCeCy231由于由于=0不是特征方程根，所以设特解不是特征方程根，所以设特解10*bxby61代入方程，得代入方程，得13323100 xbbxb比较两端比较两端x同次幂系数，得同次幂系数，得033,b13210bb由此求得由此求得 31, 110bb, 因而得一个特解为因而得一个特解为 31*xy故所求通解为故所求通解为31231xeCeCyxx62例例7.3.11 求求 xxyycos4 的通解的通解. 解得解得 r=2i . 齐次方程通解齐次方程通解xCxCy2sin2cos21xdcxxbaxysin)(cos)(*计算计

35、算y*, y*代入原方程，得代入原方程，得解解: 对应的齐次方程为对应的齐次方程为y+4y=0, 特征方程为特征方程为240r +i=+i不是特征方程根，不是特征方程根， , 故设故设1( )p xx2 sin()cos2 cossinsinaxax bxcx cxx dx4()cos4()sincosaxbxcxdxxx63比较同类项系数得比较同类项系数得,92, 0, 0,31dcba所以所以 xxxysin92cos31*所求通解为所求通解为xxxxCxCysin92cos312sin2cos2164例例7.3.12 求求 xxeyyxcos4 的通解的通解.解解 : 由例由例7.3.11知其对应齐次方程的通解为知其对应齐次方程的通解为xCxCy2sin2cos21下面分别求二个非齐次方程的特解：下面分别求二个非齐次方程的特解： xeyy 4 xxyycos4 对于对于，因为，因为r=1不是特征根，所以设特解不是特征根，所以设特解xAey *165由待定系数法知由待定系数法知51A故故xey51*1对于对于，由上例知，由上例知xxxysin92cos31*2故原方程的特解为故原方程的特解为xxxeyyyxsin92cos3151*2*1*所求通解为所求通解为xxxexCxCyxsin92cos31512sin2cos21666768