矩阵的特征值和特征向量-习题ppt课件.ppt

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1、1第四章 习题课2四、证明所给矩阵为正交矩阵四、证明所给矩阵为正交矩阵典型例题五、将线性无关向量组化为正五、将线性无关向量组化为正交单位向量组交单位向量组 一、特征值与特征向量的求法一、特征值与特征向量的求法二、特征值与特征向量的应用二、特征值与特征向量的应用三、矩阵的相似及对角化三、矩阵的相似及对角化六、利用正交变换将实对称六、利用正交变换将实对称矩阵化为对角阵矩阵化为对角阵3第三步第三步将每一个特征值代入相应的线性方程组，将每一个特征值代入相应的线性方程组，求出基础解系，即得该特征值的特征向量求出基础解系，即得该特征值的特征向量一、特征值与特征向量的计算第一步第一步计算的特征多项式；计算的

2、特征多项式；A第二步第二步求出特征多项式的全部根，即得的全部求出特征多项式的全部根，即得的全部特征值；特征值；A432413202423.A计算 阶实矩阵的全部特征值和特征向量例例32422423)( AEf.)1( )8(2 解解第一步计算的特征多项式第一步计算的特征多项式A5.,)(的的全全部部特特征征值值即即的的全全部部根根求求出出特特征征多多项项式式第第二二步步Af ., 1, 8, 0)(321全部特征值全部特征值的的为为解之得解之得令令Af .0)(, 811的一个基础解系的一个基础解系求相应线性方程组求相应线性方程组对对 xAE 第三步求出的全部特征向量第三步求出的全部特征向量A

3、6 , 0524, 0282, 0425321321321xxxxxxxxx.2121 个个基基础础解解系系化化简简求求得得此此方方程程组组的的一一).0(81111数数为实为实的全部特征向量为的全部特征向量为属于属于 kk 7.021,101:, 0424, 022, 0424:0)(, 122321321321232 基础解系基础解系求解得此方程组的一个求解得此方程组的一个的一个基础解系的一个基础解系求相应线性方程组求相应线性方程组同理对同理对xxxxxxxxxxAE8., 1 32332232是是不不全全为为零零的的实实数数的的全全部部特特征征向向量量为为的的属属于于于于是是kkkkA

4、.,0,;321332211是不全为零的实数是不全为零的实数为实数为实数里里这这的全部特征向量为的全部特征向量为从而从而kkkkkkA 912112.1, ,1)12111219915TkAAk例 已知向量（是矩阵的逆阵的特征向量，试求常数 的值。（年数学 ）11AA解：设 是 所属的的特征值，即，A 于是，即2111112111211kk 10(3)1(22 )kkk由此得方程组11221121.4kk 其解为，；，121kA 故或 时， 是的特征向量。21113.121111A,AbaAAa b 例 设矩阵可逆，向量是矩阵的一个特征向量， 是 对应的特征值，其中是矩阵 的伴随矩阵，试求和

5、的值。11AAA解：矩阵 的属于特征值 的特征向量为 ，由于矩阵 可逆，故可逆。00.AA于是，且*AAAAAA 两边同时左乘矩阵 ，得，即，亦即211111211111Abba 123221AbAbbAab 由此，得方程组2,12abb解方程组得或。1321112132411433AaaAbb由于，由方程组的第一个方程知，特征向量 所对应的特征值。1124.bb 所以，当时；当时144.,11121,211TnAA AEAAAnkA 例 设 阶方阵 满足试证：（）当时， 是 的一个特征值；（ ）当且时， 是 的一个特征值。1 1TA AEA 证：（）由及知， -11TEAA AA1111TT

6、AE AAEAEA1510,1EAA由此得即是 的一个特征值。2121Ank（ ）当且时，TEAA AAAE AAE1nEAEA 0,1EAA由此知即 为 的特征值。125.2A13A 例 设是非奇异矩阵 的一个特征值，试求矩阵的一个特征值。1622 ,AA 解：设 是 的对应于的一个特征向量，即于是2112423333AAA 112221114,3333AAA 由此得12133,344A 所以故1213A为矩阵的一个特征值。171236.(1,2,3),12 2221( 2, 1,2) ,.(19955)iiTTTAAiiA 例 设三阶矩阵 满足其中向量（， ， ），（ ， ， ），试求矩阵

7、年数学123123123,(,)(,)(,2,3),122146221243212226iiAiAAAAA 解由可得即181146122243221226212A故72033146122152243221093322621222233解解.1式式它它们们有有相相同同的的特特征征多多项项只只需需证证明明有有相相同同的的特特征征值值与与首首先先证证明明APPA APPEfAPP1)(1 APPPP11 121,.niinAAPP设 阶方阵 的全部特征值为属于的特征向量为求的特征值与特征向量例例7 7PAEP 1),( fAEA .,121的全部特征值的全部特征值就是就是APPn 20.1的特征向量

8、的特征向量属于属于其次求其次求 iAPP , iiiA iiAPPE)(1 又又, 0)( iiAE即即 iiAPPPP)(11 ,)(1 iiPAEP iiPAPPE11)( ),()(111 iiiPPAPP 即即 iiPPAEP11)( , 0)(1 iiAEP.11的特征向量的特征向量属于属于是是故故 iiAPPP 21AA的的行行列列式式用用特特征征根根计计算算方方阵阵11232383,31,1,2,5,;5.ABBAEAA设 是 阶矩阵 它的 个特征值为设求例例解解.21AAAn来计算来计算要关系要关系的行列式与特征值的重的行列式与特征值的重利用利用 ,5)(23xxxf 令令,3

9、21的的全全部部特特征征值值是是因因为为A 二、特征值与特征向量的应用 2232()(13)( )5.ifif ABAA 所以是的全部特征值故)(AfB )()()(321 fff .288)12)(6)(4( .5EA 下面求下面求方法一方法一,5)(EAAg 令令),(),(),()(321 gggAg的所有特征值为的所有特征值为所以所以, 2, 1, 1321 的所有特征值为的所有特征值为因为因为A)(5AgEA .72)2()1()1( ggg23),2)(1)(1()( AEfA所以所以方法二方法二, 2, 1, 1321 的所有特征值为的所有特征值为因为因为A.725)1(53 A

10、EEA,72)25)(15)(15()5(5 fAEA的可逆性的可逆性来讨论来讨论的特征值的特征值用方阵用方阵AkEA ,2., 0,;, 0,可逆可逆的特征值时的特征值时不是不是当当不可逆不可逆的特征值时的特征值时是是当当AkEAkEAkAkEAkEAk 29, (1),8? (2),1,?AnEEAAAAE 设 为 阶方阵若是否可逆设 是 的特征值 且是否可逆例例解解, 1, 121 的特征值为的特征值为A,)1(2EA 25.8可逆可逆从而从而AE ,8的特征值的特征值不是不是故故Ak ., 1,均可逆均可逆对对一般地一般地AkEk 于是于是的特征值的特征值不是不是所以所以因为因为,1,

11、 1)2(A .均为可逆矩阵均为可逆矩阵故故EA . 0)1( , 01 AEAE,)1()(EAAEAEn 又又; 0 EA,)1()(EAEAAEn , 0 EA2610.nnAnAtrAE例设 阶方阵 的 个特征值相同，求证：为奇异阵。n0.AEA证：由题意，可设 的特征值为 （ 重），则ntrA 由此可知()0,nnAtrAEnAn EnEAnAtrAE 所以即是奇异矩阵。27三、矩阵的相似及对角化 11, ,(1), ,2, ,bcaa b cAcababccababcBabcCbcabcacabA B CBCCBA B C例设均为复数，令证明：彼此相似（ ）若，则的特征根至少有两个

12、等于零2810100011001 ,100100010TT证：（）令则且112121,()()TATB TBTC TA TC, ,A B C即彼此相似2222,BCCBabcabbcacC（ ）由知于是 的特征多项式为abcECbcacab 292222abcabcabbcca 2abc , ,CA B CA B故 的特征根至少有两个为零，进而由彼此相似知，的特征值至少有两个为零。30122012.82006(20032)AaaPP AP 例若矩阵相似于对角矩阵 ，试确定常数 的值，并求可逆矩阵 ，使得。年数学22(6)(2)16(6) (2) 60028022|:aAE矩阵的特征多项式为解3

13、112362A 所以 的特征值，126,A由于 相似于对角矩阵，故对应于，应有两个线性无关的特征向量61EA因此矩阵的秩应为 从而由42021068400000000EAaa 0a 可知12126010210 于是对应于的两个线性无关的特征向量可取为，3232, 当时420210840001000000EA 123332001220 xxx 解方程组得对应于的特征向量1011022100PPP AP 令，则 可逆，并有331231231231 211331115176,ABABBAAA AB 例设 阶方阵 ， 均可逆，且 的特征值为， ， ，此处 ，为整数且；若 的特征值为， ， ，且（），试

14、写出的相似标准形1 21232221231231116666ABAA 解：由， ， 为 的特征值可知（）的特征值为，34222123123666517 由题设，有，123123123 注意到 ，均为整数，得，111512123713AAB 因此 ， 的相似标准形依次为：，2142nAAAA例设 阶阵 满足，试证： 可对角化22AA证：由知2021AEAEAA（）（）（）22R AREAn所以，（ ） （）（ ）22AEAE又，（），所以223R AREAREn （ ） （） （）（）232R AREAn由（ ）、（ ）知（ ） （）12122rrrnAEA于是可设 的列向量组的极大无关组为，的

15、列向量组的极大无关组，1rR A其中（ ），则由（）式，01rAirn （， ， ）362012rEAjr （）（， ）12120rrnAA 即， ，是 的对应于特征值的特征向量，而， ，是 的对应于特征值的特征向量，12n从而，线性无关。12nPP 令（， ，），则 可逆，且122002P APAr即 可对角化，且对角阵中 的个数为 。371212115,12mmmiiiinArrrrnAREAnr im 例设 阶方阵 的全部互异特征值为，其重数分别为 ， ， ， ，且试证： 可对角化的充要条件是（）（， ， ， ）0iiiiPEAnrEAxr证：充分性：由（）知，方程组（）的一个基础解系含

16、 个解向量，121iiiiiirArim 即对应于特征值 ， 有 个线性无关的特征向量：， ， （）。121mimirn因为，且 ， ，互不相等，3811112121mrmrAnA所以 有 个线性无关的特征向量：， ， ，故 可对角化1122rimmAiA 必要性：设 可对角化，且对角阵中的个数为 则39iiEAE 于是，（）（），1 2iiiRAREnr im 从而（） （）（，）0011220016.(1)?(2),0(),.nnjiAnAaaaaAji设 是 阶下三角阵在什么条件下 可对角化如果且至少有一证明 不可对角化例例解解(1)可对角化的充分条件是有个互异的可对角化的充分条件是有个

17、互异的特征值下面求出的所有特征值特征值下面求出的所有特征值AAAn40,02211 aaaAnnAEfA )(, 0)()(2211 aaann 即即).()(2211aaann ).1(niaAiii 的所有特征值的所有特征值得得.,), 2 , 1,( 可对角化可对角化时时即当即当时时当当Aaanjijijjiiji , 0)( fA令令.)2(用用反反证证法法.)1(),(,211的特征值的特征值是是使使则存在可逆矩阵则存在可逆矩阵可对角化可对角化若若AnidiagAPPPAin 所以所以可知可知由由,)1(11aaiii .111111111EaaaaAPP ,11111111EaPP

18、aPEaPA .,)(00000对角化对角化不可不可故故矛盾矛盾这与至少有一个这与至少有一个Ajiaji 42;, 2 , 1,),()(111njiaaaaijjknkikijkjnkki 或或交条件交条件元素满足正元素满足正或行或行证明矩阵的各列证明矩阵的各列方法方法.,2EAAATT 验证验证然后然后先求出先求出根据正交阵的定义根据正交阵的定义方法方法四、证明所给矩阵为正交矩阵4317,2/().TTanEnAEa aaa设 是 维列向量为 阶单位矩阵 证明为正交矩阵例例证明证明.EAAT证根据正交矩阵的定义验)/2(aaaaEATTTT aaaaETT)/2( ,A AAT)/2()/

19、2(aaaaEaaaaETTTT AA 44.)()( /4)( /2)( /22aaaaaaaaaaaaaaETTTTTTT , 0为一非零数为一非零数aaaT ),)()(aaaaaaaaTTTT 故故,)/(4)/(4EaaaaaaaaEAATTTTT .是正交矩阵是正交矩阵故故A45将线性无关向量组化为正交单位向量组，可将线性无关向量组化为正交单位向量组，可以先正交化，再单位化；也可同时进行正交化与以先正交化，再单位化；也可同时进行正交化与单位化单位化12311110018,010001,. 已知向量是线性无关向量组 求与之等价的正交单位向量组例例五、将线性无关向量组化为正交单位向量组

20、46解一解一先正交化，再单位化先正交化，再单位化;)1(11 取取,)2(12212正交正交与与使得使得令令 k, 0,211121 k,21,1121 k;0121212 故故47得得交交正正与与且且令令, , )3(123322113 kk,21,11311 k,31,22222 k.13131313 故故48得得单位化单位化将将,)4(321 333 111 222 ;002121 ;0626161 .23)32(1)32(1)32(1 49122019212 ,020,.ATATT设实对称阵求正交变换使为对角阵例例解解第一步求第一步求A的特征值由的特征值由 20212022 AE六、利

21、用正交变换将实对称矩阵化为对角阵50, 0)2)(1)(4( . 2, 1, 4321 得得., 0)(的特征向量的特征向量求出求出由由第二步第二步AxAEi 得得由由对对, 0)4(, 41 xAE .1221 解之得基础解系解之得基础解系 , 042, 0232, 0223232121xxxxxxx51得得由由对对, 0)(, 12 xAE , 02, 022, 02323121xxxxxx.2122 解之得基础解系解之得基础解系得得由由对对, 0)2(, 23 xAE 52 , 022, 0232, 0243232121xxxxxxx.2213 解之得基础解系解之得基础解系., 3 ,

22、, .321两正交两正交故它们必两故它们必两量量个不同特征值的特征向个不同特征值的特征向的的属于属于是是因为因为将特征向量正交化将特征向量正交化第三步第三步A 53.将特征向量单位化将特征向量单位化第四步第四步得得令令, 3 , 2 , 1, iiii .3/23/23/1,3/23/13/2,3/13/23/2321 54,22121212231),(321 T作作.2000100041 ATT则则55124520.22 ,4214,.AxyxyPP AP 例设求 和 之值 并求正交阵使,ABAB trAtrB解：因为所以由此得方程组15402021xyxy 4,5.xy解之得1245242

23、 ,5.4214A 于是56125(),4.AA 由及 的结构知 的特征值二重5 易求得对应于的两个正交的单位特征向量为1212126220,23112226 32 1 24,.3 3 3T 对应于的单位特征向量为57123,A 由于 为实对称阵 故为正交单位向量组 从而1122226321023311222263.PP AP 为正交阵且58121.36,3,3,61,1,1,.TAPA例设 阶实对称阵 的特征值为与 对应的一个特征向量为试求123(,)3TPx xxA 解：设是 的对应与（二重）的特征向量，,.A因为 是实对称阵 对应于不同特征值的特征向量相互正交1123,0PPxxx故 必

24、与 正交 即，3():A 由此得 的对应于二重 的两个正交的特征向量5911111,3336,TP 将 单位化得它仍是对应于的特征向量123,T 于是 得正交阵且633TT AT 2311121,0,22666TT 601111113263336121103036223121111666326TATT故4111411146122.3( )2,121, 1,1(2, , 1) ,.TTAR AaA例设 阶实对称阵 的秩对应于特征值和 的特征向量为和求0,( , , )TAx y z 解：由题设知 还有一个特征值设与之对应的特征向量为，则由题设及实对称阵的特征向量的性质得210020axyzxayz 10,1,1Ta 故，且 可取。于是6212036111362111362T 120TT AT是正交阵，且，由此得15111212230122TATT