高等数学三重积分ppt课件.ppt
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1、目录 上页 下页 返回 结束 第三节一、三重积分的概念三重积分的概念 二、三重积分的计算二、三重积分的计算三重积分 第十章 目录 上页 下页 返回 结束 一、三重积分的概念一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用kkkkv),(),(kkkkv引例引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的物质,),(Czyx求分布在 内的物质的可得nk 10limM“分割作近似,求和取极限!分割作近似,求和取极限!”解决方法解决方法:质量 M .密度函数为目录 上页 下页 返回 结束 定义定义. 设,),( , ),(zyxzyxfkkknkkvf),(lim10存在,),(zyxfdvz
2、yxf),(称为体积元素体积元素, vd.dddzyx若对 作任意分割任意分割: 任意取点任意取点则称此极限为函数在 上的三重积分三重积分.在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.性质性质: 例如 ),2,1(nkvk,),(kkkkv下列“乘中值定理中值定理.),(zyxf设在有界闭域 上连续,则存在,),(使得dvzyxf),(Vf),(V 为 的体积, 积和式” 极限记作记作目录 上页 下页 返回 结束 二、三重积分的计算二、三重积分的计算1. 利用直角坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分方法方法1 . 投影法 (“先一后二”)方法方法2 . 截面法 (“先二后一”) 然后
3、,结合二重 积分的方法即可转化为三次积分。 ,0),(zyxf先假设连续函数 最后, 推广到一般可积函数的定积分计算. 这里只叙述三重积分转化为三次积分的方法:目录 上页 下页 返回 结束 zxyD方法方法1. 投影法投影法 (“先一后二先一后二” ) Dyxyxzzyxz),(),(),(:21则有:dvzyxf),(dxdydzzyxfDyxzyxz ),(),( ),( 21 ),( ),( 21),(yxzyxzDdzzyxfdxdy),(2yxzz ),(1yxzz 记作yxddO目录 上页 下页 返回 结束 ab方法方法2. 截面法截面法 (“先二后一先二后一”)bzaDyxz),
4、(:则有:dvzyxf),(bazDdxdyzyxf),(Dbadxdyzyxfz),(dzzDzd记作xyzO目录 上页 下页 返回 结束 投影法三次积分的转化方法:三次积分的转化方法:设区域:利用投影法结果 ,bxaxyyxyDyx)()(:),(21),(),(21yxzzyxz把二重积分化成二次积分即得:dvzyxf),(),(),(21d),(yxzyxzDzzyxfdxdydvzyxf),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxf)()(21dxyxyybaxd目录 上页 下页 返回 结束 当被积函数在积分域上变号时, 因为),(zyxf2),(),(zyxfzyxf),(1
5、zyxf),(2zyxf均为为非负函数根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.2),(),(zyxfzyxf目录 上页 下页 返回 结束 其中 为三个坐标例例1. 计算三重积分,dddzyxx12zyx所围成的闭区域 .解解:zyxxddd)1(01021d)21 (dxyyxxxyxz210d1032d)2(41xxxxyxz210)1(021xy10 x )1(021dxy10d xx481面及平面1xyz121O目录 上页 下页 返回 结束 xyz例例2. 计算三重积分,ddd2zyxz. 1:222222czbyax其中解解: :zyxzddd2cczczbazd)1(222czc22
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