2018高考数学一轮复习简单的线性规划问题解析ppt课件.ppt

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1、第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1.1.二元一次不等式二元一次不等式( (组组) )的解集的解集满足二元一次不等式满足二元一次不等式( (组组) )的的x x和和y y的取值构成的的取值构成的_，叫做二元一次不等式，叫做二元一次不等式( (组组) )的解，所有这样的的解，所有这样的_构成的集合称为二元一次不等式构成的集合称为二元一次不等式( (组组) )的解集的解集. .有序数对有序数对(x(x，y)y)有序数有序数对对(x(x，y)y)2.2.二元一次不等式所表示的平面区域二元一次不等式所表示的平面区域(1)(1)一般地，二元一次不等式一般地，二元一次不等式_在平面直角坐标系

2、中在平面直角坐标系中表示表示_某一侧所有点组成的某一侧所有点组成的_，把直线画成，把直线画成_，以表示区域不包括边界，以表示区域不包括边界. .当在坐标系中画不等式当在坐标系中画不等式Ax+By+C0Ax+By+C0所表示的平面区域时，此区域应包括边界，把边界所表示的平面区域时，此区域应包括边界，把边界画成画成_._.Ax+By+CAx+By+C00Ax+By+CAx+By+C=0=0平面区域平面区域虚线虚线实线实线(2)(2)二元一次不等式所表示的平面区域可用二元一次不等式所表示的平面区域可用_进行验证，进行验证，任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等任选一个不在直线上的点，

3、检验它的坐标是否满足所给的不等式式. .若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域否则，直线的另一侧为所求的平面区域. .通常情况下，只要原通常情况下，只要原点不在直线上，就可以选择原点作为特殊点进行检验点不在直线上，就可以选择原点作为特殊点进行检验. .特殊点法特殊点法3.3.线性规划的有关概念线性规划的有关概念名称名称意义意义约束条件约束条件由变量由变量x,yx,y组成的组成的_线性约束条件线性约束条件由由x,yx,y的一次不等式的一次不等式( (或方程或方程) )组成的组成的_目标函数目标函数

4、关于关于x,yx,y的函数的函数_，如，如z=x+2yz=x+2y线性目标函数线性目标函数关于关于x,yx,y的的_解析式解析式 不等式不等式( (组组) )不等式不等式( (组组) )解析式解析式一次一次名称名称意义意义可行解可行解满足线性约束条件的解满足线性约束条件的解_可行域可行域所有所有_组成的集合组成的集合最优解最优解使目标函数取得使目标函数取得_的可行解的可行解线性规划问题线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的在线性约束条件下求线性目标函数的_或或_问题问题(x,y(x,y) )可行解可行解最大值或最小值最大值或最小值最大值最大值最小值最小值4.4.解线性规划问题的一般步骤解

5、线性规划问题的一般步骤(1)(1)在平面直角坐标系中画出在平面直角坐标系中画出_._.(2)(2)分析分析_的几何意义，将目标函数进行变形的几何意义，将目标函数进行变形. .(3)(3)确定确定_._.(4)(4)求出求出_._.5.5.常见的三种目标函数常见的三种目标函数(1)z=ax+by(1)z=ax+by. .(2)z=(x-a)(2)z=(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2. .(3)(3)可行域可行域目标函数目标函数最优解最优解最值或范围最值或范围ybz.xa1.1.若点若点(m,1)(m,1)在不等式在不等式2x+3y-502x+3y-50所表示的平面区域内，则所表示的

6、平面区域内，则m m的的取值范围是取值范围是( )( )(A)m1 (B)m1(A)m1 (B)m1(C)m(C)m11【解析【解析】选选D.D.依题意有依题意有2m+3-502m+3-50，解得，解得m1.m1.2.2.若若x,yx,y满足约束条件满足约束条件 则则z=3x-yz=3x-y的最小值是的最小值是( )( )(A)-2 (B)-3 (C)-4 (D)-5(A)-2 (B)-3 (C)-4 (D)-5xy0 xy400 x4，【解析【解析】选选C.zC.z=3x-y=3x-yy=3x-z,y=3x-z,作出可行域，由图可知过作出可行域，由图可知过A A点时点时z z取最小值，把点取

7、最小值，把点A(0,4)A(0,4)代入，可得代入，可得z=-4.z=-4.3.3.已知点已知点P(x,yP(x,y) )的坐标满足条件的坐标满足条件 则则x x2 2+y+y2 2的最大值为的最大值为( )( )(A) (B) (C)8 (D)10(A) (B) (C)8 (D)10【解析【解析】选选D.D.画出不等式组对应的可画出不等式组对应的可行域如图所示：易得行域如图所示：易得A(1A(1，1)1)，B(2B(2，2)2)， C(1C(1，3)3)， 故故|OP|OP|的最大值为的最大值为 即即x x2 2+y+y2 2的最大的最大值等于值等于1010，故选，故选D.D. xy4,yx

8、,x1.102 2OA2，OB2 2，OC10，10，4.4.某厂要将某厂要将100100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4 4辆甲型货车和辆甲型货车和8 8辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用400400元，可装洗元，可装洗衣机衣机2020台；每辆乙型货车运输费用台；每辆乙型货车运输费用300300元，可装洗衣机元，可装洗衣机1010台，台，若每辆至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为若每辆至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )( )(A)2 000(A)2 000元元 (B)2 200(B)2 200元元(C)2

9、 400(C)2 400元元 (D)2 800(D)2 800元元【解析【解析】选选B.B.设甲型货车使用设甲型货车使用x x辆，辆，乙型货车使用乙型货车使用y y辆辆. .则则 所花运费为所花运费为z=400 x+300y.z=400 x+300y.画出可行域画出可行域( (如图如图) )，由图可知当直线由图可知当直线z=400 x+300yz=400 x+300y经过经过点点A(4,2)A(4,2)时，时，z z取最小值，最小值取最小值，最小值为为z zminmin=2 200=2 200，故选，故选B.B.0 x40y820 x10y100，5.5.不等式组不等式组 表示的平面区域的面积

10、为表示的平面区域的面积为_._.【解析【解析】该不等式组表示的平面区域是一个直角三角形，其面该不等式组表示的平面区域是一个直角三角形，其面积等于积等于答案：答案：9 92xy0,x3,y013 69.2 考向考向 1 1 平面区域的相关问题平面区域的相关问题【典例【典例1 1】(1)(2013(1)(2013宁波模拟宁波模拟) )在平面直角坐标系中，不等式在平面直角坐标系中，不等式组组 表示的平面区域的面积是表示的平面区域的面积是( )( )(A) (B)4 (C) (D)2(A) (B)4 (C) (D)2xy20 xy20,x2，4 22 2(2)(2012(2)(2012福建高考福建高考

11、) )若函数若函数y=2y=2x x图象上存在点图象上存在点(x,y(x,y) )满足约束满足约束条件条件 则实数则实数m m的最大值为的最大值为( )( )(A) (B)1 (C) (D)2(A) (B)1 (C) (D)2【思路点拨【思路点拨】(1)(1)先画出不等式组所表示的平面区域，判断其先画出不等式组所表示的平面区域，判断其形状并求其面积形状并求其面积. .(2)(2)画出不等式组所表示的平面区域，然后结合指数函数画出不等式组所表示的平面区域，然后结合指数函数y=2y=2x x的单调性及图象特征确定区域边界点的位置，从而求出的单调性及图象特征确定区域边界点的位置，从而求出m m的值的

12、值. .xy30 x2y30 xm，1232【规范解答【规范解答】(1)(1)选选B.B.画出画出平面可行区域，可知该区域平面可行区域，可知该区域是一个等腰直角三角形，且是一个等腰直角三角形，且ABBC2 21S2 22 24.2，(2)(2)选选B B如图，如图，当当y=2y=2x x经过且只经过经过且只经过x+y-3=0 x+y-3=0和和x=mx=m的交点时，即三条曲线有唯的交点时，即三条曲线有唯一公共点时，一公共点时，m m取到最大值，此时，即取到最大值，此时，即(m,2(m,2m m) )在直线在直线x+y-3=0 x+y-3=0上，上，由选项知，由选项知，m m的最大值为的最大值为

13、1 1考向考向 2 2 线性规划的相关问题线性规划的相关问题【典例【典例2 2】(1)(2013(1)(2013天津高考天津高考) )设变量设变量x, yx, y满足约束条件满足约束条件 则目标函数则目标函数z=y-2xz=y-2x的最小值为的最小值为( )( )(A)-7 (B)-4 (C)1 (D)2(A)-7 (B)-4 (C)1 (D)23xy60 xy20y30,(2)(2013(2)(2013厦门模拟厦门模拟) )设变量设变量x,yx,y满足约束条件：满足约束条件：则则 的最大值为的最大值为( )( )(A) (B) (C)1 (D)(A) (B) (C)1 (D)不存在不存在(3

14、)(2013(3)(2013大纲版全国卷大纲版全国卷) )记不等式组记不等式组 所表示所表示的平面区域为的平面区域为D.D.若直线若直线y=a(x+1)y=a(x+1)与与D D有公共点，则有公共点，则a a的取值的取值范围是范围是 . . yx1yx10y1 ，yzx21412x0 x3y43xy4,【思路点拨【思路点拨】(1)(1)典型的线性规划问题，作出可行域，画出直典型的线性规划问题，作出可行域，画出直线线y-2x=0y-2x=0，通过截距，观察确定最优解，通过截距，观察确定最优解. .(2)(2)非线性目标函数，借助斜率模型进行求解非线性目标函数，借助斜率模型进行求解. .(3)(3

15、)可行域已经确定，由目标函数表示的直线过定点可行域已经确定，由目标函数表示的直线过定点(-1,0)(-1,0)，可以借助于斜率来解决可以借助于斜率来解决. .【规范解答【规范解答】(1)(1)选选A.A.由由z=y-2xz=y-2x，得，得y=2x+z.y=2x+z.作出不等式组作出不等式组对应的平面区域对应的平面区域ABC.ABC.作直线作直线y=2xy=2x，平移直线，平移直线y=2x+zy=2x+z，由图，由图象知当直线经过点象知当直线经过点B B时，时，y=2x+zy=2x+z的截距最小，此时的截距最小，此时z z最小最小. .由由 代入代入z=y-2xz=y-2x得得z=3-2z=3

16、-25=-7.5=-7.所以最小所以最小值为值为-7.-7.xy20 x5y30y3得,(2)(2)选选B.B.画出可行域画出可行域( (如图如图) )，又，又 表示表示(x,y(x,y) )与定点与定点P(-2,0)P(-2,0)连线的斜率，所以当连线的斜率，所以当(x,y(x,y) )在点在点A(0,1)A(0,1)时时 取到取到最大值最大值yzx2yzx21.2(3)(3)画出可行域如图所示画出可行域如图所示, ,当直线当直线y=a(x+1)y=a(x+1)过点过点A(0,4)A(0,4)时时,a,a取取得最大值为得最大值为4,4,当直线当直线y=a(x+1)y=a(x+1)过点过点B(

17、1,1)B(1,1)时时,a,a取得最小值为取得最小值为 . .所以所以a a的取值范围为的取值范围为 ,4. ,4.答案答案: : ,4 ,4121212【加固训练【加固训练】(2013(2013浙江高考浙江高考) )设设z=kx+yz=kx+y，其中实数，其中实数x,yx,y满足满足 若若z z的最大值为的最大值为1212，则实数，则实数k=k= . .xy20 x2y402xy40，【解析【解析】不等式组表示的可行域如图所示，不等式组表示的可行域如图所示，由由z=kx+yz=kx+y可得可得y=-kx+zy=-kx+z，知其在，知其在y y轴上的轴上的截距最大时，截距最大时，z z最大，

18、由图知当最大，由图知当-k-k且直线过点且直线过点A(4,4)A(4,4)时，时，z z取最大值取最大值1212，即即4k+4=124k+4=12，所以，所以k=2.k=2.答案：答案：2 212考向考向 3 3 线性规划的实际应用线性规划的实际应用【典例【典例3 3】某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐. .已知一个单已知一个单位的午餐含位的午餐含1212个单位的碳水化合物个单位的碳水化合物,6,6个单位的蛋白质和个单位的蛋白质和6 6个单个单位的维生素位的维生素C C；一个单位的晚餐含；一个单位的晚餐含8 8个单位的碳水化合物个单位的碳水化合物,6,6个单个

19、单位的蛋白质和位的蛋白质和1010个单位的维生素个单位的维生素C.C.另外另外, ,该儿童这两餐需要的该儿童这两餐需要的营养中至少含营养中至少含6464个单位的碳水化合物个单位的碳水化合物,42,42个单位的蛋白质和个单位的蛋白质和5454个单位的维生素个单位的维生素C.C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.52.5元和元和4 4元元, ,那么要那么要满足上述的营养要求满足上述的营养要求, ,并且花费最少并且花费最少, ,应当为该儿童分别预订多应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？少个单位的午餐和晚餐？【思路点拨【思路点拨】设出午餐和晚餐的单位个

20、数，列出不等式组和费设出午餐和晚餐的单位个数，列出不等式组和费用关系式，利用线性规划求解用关系式，利用线性规划求解. .【规范解答【规范解答】设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x x个单个单位和位和y y个单位个单位, ,所花的费用为所花的费用为z z元元, ,则依题意得则依题意得z=2.5x+4y,z=2.5x+4y,且且x,yx,y满足满足 即即x0 xNy0,yN12x8y64,6x6y42,6x10y54,，x0,xN,y0,yN,3x2y16,xy7,3x5y27.作出线性约束条件所表示的可行域作出线性约束条件所表示的可行域, ,如图中阴影部分的

21、整数点如图中阴影部分的整数点, ,让目标函数表示的直线让目标函数表示的直线2.5x+4y=z2.5x+4y=z在可行域上平移在可行域上平移, ,由此可知由此可知z=2.5x+4yz=2.5x+4y在在B(4,3)B(4,3)处取得最小值处取得最小值. .因此因此, ,应当为该儿童预订应当为该儿童预订4 4个单位的午餐和个单位的午餐和3 3个单位的晚餐个单位的晚餐, ,就可就可满足要求满足要求. .【规律方法【规律方法】求解线性规划应用题的注意点求解线性规划应用题的注意点(1)(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件中明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件中是否能够取到等

22、号是否能够取到等号. .(2)(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x,yx,y的取值的取值范围，特别注意分析范围，特别注意分析x,yx,y是否是整数、是否是非负数等是否是整数、是否是非负数等. .(3)(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式. .【变式训练【变式训练】(2012(2012南昌模拟南昌模拟) )某企业生产甲、乙两种产品，某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用已知生产每吨甲产品要用A A原料原料3 3吨，吨，B B原料原料2 2吨；生产每吨乙产吨；生产每吨

23、乙产品要用品要用A A原料原料1 1吨，吨，B B原料原料3 3吨甲产品每吨利润为吨甲产品每吨利润为5 5万元，乙产万元，乙产品每吨利润为品每吨利润为3 3万元，该企业在一个生产周期内消耗万元，该企业在一个生产周期内消耗A A原料不超原料不超过过1313吨，吨，B B原料不超过原料不超过1818吨，那么该企业的最大利润为吨，那么该企业的最大利润为_【解析【解析】设生产甲产品设生产甲产品x x吨，乙产品吨，乙产品y y吨，利润为吨，利润为z z万元，由题万元，由题意可得意可得 目标函数为目标函数为z z5x5x3y3y， 3xy132x3y18x0y0，作出如图所示的可行域作出如图所示的可行域(

24、 (阴影部分阴影部分) )当直线当直线5x5x3y3yz z经过经过A(3,4)A(3,4)时，时，z z取得最大值，取得最大值，z zmaxmax5 53 33 34 427(27(万元万元).).答案：答案：2727万元万元2.(20132.(2013杭州模拟杭州模拟) )如果不等式组如果不等式组 表示的平面区表示的平面区域是一个直角三角形，则该三角形的面积为域是一个直角三角形，则该三角形的面积为( )( )(A) (A) 或或 (B) (B) 或或 (C) (C) 或或 (D) (D) 或或 x0,y2x,kxy10 1215121315141412【解析【解析】选选C.C.有两种情形：

25、有两种情形：(1)(1)直角由直角由y=2xy=2x与与kx-y+1=0kx-y+1=0形成，形成，则则 三角形的三个顶点为三角形的三个顶点为(0(0，0)0)，(0(0，1)1)， 面积面积为为 (2)(2)直角由直角由x=0 x=0与与kx-y+1=0kx-y+1=0形成，则形成，则k=0k=0，三角形的三个顶，三角形的三个顶点为点为(0(0，0)0)，(0(0，1)1)， 面积为面积为1k2 ，2 4( , )5 5，15；1( ,1)2，1.44.(20134.(2013嘉兴模拟嘉兴模拟) )设设x,yx,y满足约束条件满足约束条件 则则 的最大值为的最大值为 ( )( )(A)5 (B)6 (C)8 (D)10(A)5 (B)6 (C)8 (D)10 x0,yx,4x3y12，2y2x1