自旋模型简述.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date自旋模型简述自旋模型简述自旋模型简述1、自旋的基本概念与表述自旋是电子的基本性质之一，是电子内禀运动量子数的简称。电子自旋的概念是由Uhlenbeck和Goudsmit为了解释碱金属原子光谱的精细结构以及反常Zeeman效应而提出的。他们认为电子的运动与地球绕太阳运动相似，电子一方面绕原子核运动，从而产生了相应的轨道角动量；而另一方面它又有着自转，其自转的角动量为/2

2、，并且它在空间任何方向的投影都只能取两个值，即/2(也就是自旋向上和向下两个状态)，与自旋相对应的磁矩则是e/2mc。当然，这样带有机械性质的概念是不正确的，而自旋作为电子的内禀属性，是标志电子等各种粒子(如质子、中子等)的一个重要的物理量。对于自旋这个自由度，我们一般用算符表示(这里的记号表示算符，在下文中为了简便我们将略去这一记号)。因为自旋角动量与轨道角动量有着相同的特征，所以一般也认为它们具有相同的对易关系，即ss=is。在这里我们引入泡利算符s=s/2。由于s沿任何表象的投影都只能取/2两个值，即s沿任何方向的投影只能取1这两个值，所以泡利算符s的每个分量都可以用22的矩阵来表示。我

3、们一般采用sz分量对角化的表象，得到其矩阵表示：(1-1)这样的表示就是著名的Pauli矩阵。2、自旋模型的形式2.1 物质的磁性与自旋模型由于原子核的磁矩很小，物质的磁矩可以看成其轨道磁矩和自旋磁矩之和。电子的总磁矩(轨道磁矩+自旋磁矩)，直接体现为物质的宏观磁性。而对于过渡金属的原子或离子，因为轨道角动量的冻结，其磁性主要来源于未配对电子的自旋磁矩。对于物质的磁性，很早以来就有着广泛的研究，比如Langevin的顺磁理论， Wiess的分子场理论，Bloch的自旋波理论。这些理论中，原子(离子)都具有磁矩，而磁矩之间存在着一定的相互作用。在绝对零度以上，每个原子都在做热振动，磁矩的方向也在

4、作同样的振动，而磁矩间的相互作用又使得每个磁矩趋向于某种有序的排列，这就是物质宏观磁性的来源。磁矩之间的相互作用有很多种：1、经典的磁偶极子之间相互作用。2、交换相互作用(也称直接交换相互作用)。氢分子模型、海森堡交换模型就是采用这一类的相互作用。交换相互作用没有相应的经典对应，它来自于电子间的库伦作用以及量子力学的全同粒子系特性。下面所说的其它种类的交换相互作用也是基于这样的原理。3、超交换相互作用(也称间接交换相互作用)。这种相互作用由Kramers于1934首先提出，用于解释反铁磁性的自发磁化的起源。它是阳离子的电子以氧离子的p电子为媒介进行间接的相互作用。4、RKKY相互作用。这种相互

5、作用由Ruderman、Kittel、Kasuya以及Yosida提出的，是一种以巡游电子为媒介，使得磁性原子(或离子)中的局域电子自旋与其邻近的磁性原子(或离子)中的局域电子自旋产生的交换相互作用。5、双交换相互作用。以氧离子为媒介，两个不同价态的过渡族粒子间之交换相互作用。在锰氧化物中，这种相互作用就起到了十分重要的作用。以上的几种相互作用中，除了偶极间的相互作用是一种经典的相互作用，而其余的几种交换相互作用却是基于体系的量子特性，即全同粒子的特征。这样的相互作用，在我们研究物质的磁性以及其它以磁性相关的性质，或者以磁性变化为主导的相变时，起着至关重要的作用。对于这类的磁性原子体系，我们认

6、为它们位于某种晶格格点位置上，通过磁矩进行相互作用，我们可以建立一种自旋模型来进行描述，其最基本的形式可以写成如下的哈密顿量：，(1-2)这里的si是自旋算符，上标x，y以及z为si在三个方向的投影，可以分别对应泡利矩阵的三个分量。Jij和Jijz代表着位于格点i和格点j上原子磁矩之间的相互作用，这样的相互作用可以是我们之前所说的几种交换相互作用中的任意一种。对于自旋算符si，我们可以做如下的变换：s=sxisy，这里s+算符将自旋向上的状态转换为自旋向下的状态，而s-算符则是将自旋向下的状态转换为自旋向上的状态。哈密顿量(1-2)可以重新表达为如下的形式:。(1-3)对于哈密顿量(1-2)和

7、(1-3)，当我们取Jij=Jzij时，就成了Heisenberg模型；取Jij=0时，这个哈密顿量是对角化的，自旋只有向上和向下两种取向，即/2，这样的模型就是著名的Ising模型；而如果Jzij=0时，得到的则是XY模型。2.2 Heisenberg模型简述在Weiss 提出分子场假说20年后，Heisenberg提出了电子间的交换相互作用导致了自发磁化的产生，并且按这一模型，也就是Heisenberg模型计算了自发磁化随温度变化的性质，为铁磁性量子理论的发展奠定了基础1。假设系统是均匀的，只考虑最近邻相互作用，Heisenberg模型的哈密顿量可以写成如下形式：，(1-4)其中si表示位

8、于格点i处的自旋，是矢量(sx, sy, sz)，J是交换相互作用常数，这里我们取J0代表铁磁相互作用，而J0代表反铁磁相互作用，mB为Bohr磁矩，h是外磁场。图1.1 氢分子电子云分布示意图。我们知道交换相互作用和任何一种经典的相互作用都没有对应，它是一种量子行为，是由粒子的全同性产生的相互作用。为了理解这种特殊的相互作用，通常以氢分子这种最简单的模型为例来说明。如图1.1所示，一个氢分子的系统，由两个原子核a，b，以及两个电子1，2组成。rmn代表粒子m与粒子n之间的距离，其中m，n=a，b，1，2，且mn。氢分子的哈密顿量可以写为：，(1-5)设，(1-6)其中Ha(1)与Hb(2)是

9、两个孤立氢原子的哈密顿量， V(1, 2)是两原子间的相互作用，而哈密顿量(1-5)中的最后一项是常数，对本征态没有影响。我们用ja(1)与jb(2)分别代表Ha(1)与Hb(2)两个本征态，则ja(1)jb(2)是下列Schrdinger方程的本征态：，(1-7)有粒子的全同性可知ja(2)jb(1)也是Schrdinger方程(1-7)的本征态(相当于将电子1与电子2互换)。考虑到电子自旋的波函数，以及对Fermi子波函数反对称的要求，我们可以写出氢分子基态波函数的近似形式：，(1-8)这里fA(1,2)与fS(1,2)分别是电子波函数的单态和三重态。所以，yI态两电子反平行，而yII态两

10、电子平行。从哈密顿量(1-5)出发，这两个波函数所对应的能量为：，(1-9)其中U是库伦排斥能，而J是交换相互作用能，D为a，b原子波函数的重叠积分：，(1-10)这里dt1，dt2为电子1，2的全空间积分，而D显然是在0和1之间的。因此对于能量EI和EII我们，当J0时，EI0时，EII0时，代表铁磁的交换相互作用，它使得近邻自旋有着同方向排列的趋向；当J0代表铁磁相互作用，mB为Bohr磁矩，h是外磁场。对于一维情况，每个自旋只有两个近邻。现在采用周期性边界条件，即sN+1=s1，N为晶格中的自旋数目。现将一维晶格弯成一个环，当N时，边界效应将不会影响到体系的热力学性质。根据如上的条件，可

11、将哈密顿量(1-14)写为：，(1-15)其相应的配分函数为：。(1-16)在这里我们引入矩阵P，其矩阵元定义为：，(1-17)因为si与si+1都能取1两个值，所以P是22的矩阵：。(1-18)于是配分函数(1-16)可以重新写成：。(1-19)将P矩阵对角化得，(1-20)l+和l-即为矩阵P的本征值，由下面的久期方程决定,，(1-21)其解为： ，(1-22)要注意的一点就是l+l-。现在将等式(1-20)代入(1-19)，配分函数可以表达为：，(1-23)所以，当N时，我们得到：，(1-24)即配分函数有P矩阵较大的本征值决定。体系的自由能和总极化强度分别为：，(1-25)，(1-26

12、)其它的热力学函数也可同样由自由能求出。如图1.3所示，在计算中我们选取交换相互作用常数J=1kBK，对于一切T0都有M(T, 0)=0，也就是说Ising模型在一维的情况下不存在自发磁化，不会发生顺磁-铁磁转变。从物理上看，任何温度下自旋的平均取向由两个对抗的因素相互竞争决定，即能量趋向最小而熵趋向最大，使得自由能达到最小值。在一维情况下，由于近邻数低，使得自旋排列在同方向的倾向不足以对抗使熵极大的倾向，结果在任何有限温度下都不能形成自发磁化。图1.3一维Ising模型在不同温度下，磁化强度M随外场h的变化曲线。图1.4 一维Ising模型在有限温度下长程序被破坏的示意图。如同上文所说，当自

13、旋排列在同方向的倾向不足以对抗使熵极大的倾向时，自旋往往会在一个较小的尺度内保持着同方向的排列，形成所谓短程序(Short Range Order)，而在较大的尺度内失去这种有序的状态，也就是破坏了所谓长程序(Long Range Order)。当我们使用蒙特卡洛方法(Monte Carlo Method)来计算一维Ising模型，常常得到如图1.4所示的结果，在某个小范围内，如从格点1到格点4(或者从格点5到格点10)体系可以看作存在自发磁化，而在整体上看(从格点1到格点N)向上的自旋和向下的自旋数目在统计上看是相等的。对于二维Ising模型，我们考虑正方晶格，每个自旋有4个最近邻。在零磁场

14、下，系统的自由能可以表达为：。(1-27)其中coshg(w)=cosh2fcosh2q-coshwsinh2fsinh2q，而f=bJ，q=tan-1e-2bJ。系统内能则可以写为：，(1-28)这里的K1(m)是第一类椭圆积分，(1-29)其中m=sinh2bJ/cosh22bJ，m=2tanh22bJ-1。而临界点由下式确定：。(1-30)所得热容量为：，(1-31)这样的热容量在临界点处具有对数发散的奇异性。计算自发磁化的时候，我们采用杨振宁的方法25。他计算了在弱磁场h下，系统的自由能，最后令h0，得到磁化强度的表达式：。(1-32)而对于平均场近似(Mean Field Appro

15、ximation，简称MFA)所得的磁化强度可以表达为：，(1-33)其中q是最近邻自旋的数目，对于二维正方晶格来说q=4。图1.5 严格解与平均场近似所得二维Ising模型磁化强度的比较。在图1.5中，与平均场近似所得的解(TC=4K)相比，严格解(TC=2.269K)有着更低的临界温度TC，而且磁化强度在TTC-0有着更陡的温度变化率。平均场近似忽略了系统的涨落，而涨落是倾向于破坏有序的，所以在平均场近似下所得的TC是高于实际体系的，磁化强度的变化也反映的这一特点。在这里我们需要注意，在平均场近似所得的结果中，Ising模型在一维的情况下存在着自发的磁化，这个结果是错误的。在前文我们提过，

16、在一维系统中由于近邻数目低，系统的涨落完全抑制了有序，而平均场近似忽略了系统的涨落才得到了有序相。Ising模型自Ising提出后，有了很多的发展，不仅是解法的多样化，其具体形式也发生了不少变化。Ising模型的一些重要拓展成为描述相变(比仅仅是磁性)等问题重要工具。比如说横场伊辛模型(Transverse-field Ising model，简称TIM)，它是于1963年由Gennes提出26。TIM是在Ising模型的基础上考虑了横向外场的作用，所谓横向外场，是指外场的方向垂直于Ising模型中自旋投影的方向。在这里横向外场可以看作是晶体内部横向遂穿效应的一种等效，从而可以应用于零温的量子

17、相变。TIM的哈密顿量可以写成：，(1-34)这里W是横向场，也可以看作是遂穿积分，决定了从一个势能极小态到另一个势能极小态的遂穿几率。TIM被广泛运用到多种体系，比如量子自旋玻璃，量子弛豫，量子磁滞，量子铁电等，详细的内容我们将在第三章中做具体的阐述。我们再说Ising模型的另一种拓展形式弹性伊辛模型(Elastic Ising Model，简称EIM)。我们知道，晶体中的原子(离子)受到其周围的原子(离子)作用，被束缚在晶格格点，也就是平衡位置周围做微小的振动，可以用劲度系数(stiffness factor)k来描述。在EIM中，交换相互作用J不再是常数，而是同离子间的距离存在某种类似于

18、弹性能的关系，新的弹性作用使得原子产生位移，出现新的平衡位置。当自旋以某种有序状态排列时，弹性交换相互作用使得晶格中的某些原子产生同向的位移。这样的特性对于解释某些自旋共线排列的多铁性材料有着重要的意义，我们将在第四章中作具体的介绍。2.4 XY模型简述XY模型是Ising模型的延伸，允许自旋在(xy)平面内转动。当仅考虑最近领交互作用时，体系的哈密顿量可以表示为：，(1-35)这里J表示交换作用常数，Si为位于格点i的自旋，求和包括所有的最近邻晶格点，i为第i个自旋相对于x轴的夹角。对于XY模型，最为重要的就是它的KT相变。早在1966年，Mermin和Wagner就严格证明了对于二维或二维

19、以下具有连续对称性和短程相互作用的自旋体系，在有限温度下由于热扰动或量子波动不可能形成长程序。所以在二维XY模型中，不可能存在长程的磁有序。1973年，J. M. Kosterlitz和D. J. Thouless 提出了拓扑序和拓扑性相变的概念，建立了二维XY模型的KT相变理论。他们在研究二维XY模型时发现：低温下局域自旋会形成正反涡旋两两配对，当温度升高到相变的临界温度时，这种配对被热运动所拆散，出现独立运动的正反涡旋。这种新的相变被称为Kosterlitz-Thouless相变(KT相变)。它的特点是：尽管体系在相变点两侧的序参量总为零，但是温度的变化会引起关联函数和拓扑性质的本质性改变

20、，是一种拓扑相变。具体来说，体系存在两个相：低温下的准长程有序，关联函数以幂指数形式衰减，所以也称为代数磁有序；高温的无序相，关联函数以e指数形式衰减。前人的工作表明二维四方晶格铁磁XY模型的KT相变温度TKT0.92。2.5 自旋模型的研究方法自旋模型看似简单，但严格的求解却十分困难。就连其最简单的形式Ising模型的求解也经历了重重困难，而直到现在Ising模型在三维情况下的解依然是一个难以攻克的难关。对于实际的体系，模型将更加复杂，而严格求解也更为困难，因此一系列近似求解的方法便发展起来。近似的方法可以简化计算，但免不了产生这样那样的误差，有着各自的优缺点，因此对于方法的选用就须要格外注

21、意。下面我们将介绍几种近似的处理方法：1) 平均场理论(Mean Field Approximation，简称MFA)。平均场近似的方法可以说是最早被提出求解自旋模型的方法，比如说Weiss的分子场理论就是一种平均场理论。这个方法忽略了各种格点自旋之间的关联，把近邻自旋的作用用一种集体的平均作用来进行代替，从而忽略了涨落。这样就可以把多粒子相互作用的系统转化为近独立粒子系统，大大简化了计算。但是由于这种近似忽略了涨落，在涨落较强的体系中，比如一维体系或准一维体系中，它往往难以得到令人满意的结果。我们前文也说了，用平均场近似处理一维Ising模型时可以产生自发磁化，这是与事实完全相背离的。所以在

22、遇到类似的情况时，我们要尽量的避免使用平均场近似，或者对其形式做出某种修正。2) 相关有效场理论(Correlated Effective Field Theory)。这种方法在平均场理论的基础上考虑了静态自旋关联的多体效应，通过微分算符技术和退耦近似等数学处理来对自旋模型的计算进行简化27，所以在很大程度上比平均场近似更能反映自旋模型所描述的物理现象的微观本质。3) 级数展开法(Expansion Method)。这种方法就是利用适当变量的幂级数展开来计算配分函数，只要展开项足够多，就可以很好地反映临界点附近的热力学性质。对于某些较为理想的模型仅仅计算几项就足够了，对于大多数模型则十分繁琐，

23、比如说计算三维Ising模型时，需要40多项的展开式才能达到令人满意的精度28,29。4) 重整化群方法 (Renormalization Group Technique)。重整化群理论建立在标度理论和普适性的基础上，提供了从微观上计算临界指数的系统方法。重整化群的基本思想是：在临界点关联长度趋于无穷大，因此体系应该具有尺度变换下的不变性，由此不需要直接计算配分函数，而是找尺度变化下的不变性，从而确定临界点并计算出临界指数18-20。重整化群方法对于自旋模型的计算可以达到一个很高的精度。5) 蒙特卡罗模拟(Monte Carlo Simulation)。蒙特卡罗模拟方法是建立一个统计模型，通过

24、随机抽样来进行数字模拟实验，从而可以得出这个系统的各种热力学性质。Metropolis等人于1953年在研究限制在一个盒子中的液体和浓稠气体的行为时，提出了一种有效的蒙特卡罗抽样方法(后来人们称之为Metropolis抽样方法)30。蒙特卡罗方法的精度抽样样本的大小和计算时间有关，当抽样样本足够大，计算时间相当长的时候可以得到很高的精度。而在不需要高精度的时候也可以将它们相应地减小，所以这是一种很灵活的方法。蒙特卡罗方法的应用非常广泛，不但用于自旋模型的计算，还被推广到统计物理与凝聚态物理研究的很多领域中31-35。参考文献：1. W. Heisenberg, Z. Physik, 49, 3

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