七年级数学下册培优辅导讲义(人教版).pdf

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1、1 第 12 讲与相交有关概念及平行线的判定考点方法破译1了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行. 2掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们. 3掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典考题赏析【 例 1】如图，三条直线AB、CD、EF 相交于点O，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？【 解法指导 】对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角. 对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线. 邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有 6 对对顶角 . 12对邻补角 .

2、 【 变式题组 】01如右图所示，直线AB、 CD、EF 相交于 P、Q、R，则： ARC的 对 顶 角 是 . 邻 补 角是 .中有几对对顶角，几对邻补角？02当两条直线相交于一点时，共有2 对对顶角；当三条直线相交于一点时，共有6 对对顶角；当四条直线相交于一点时，共有12 对对顶角 . 问： 当有 100 条直线相交于一点时共有对顶角 . 【 例 】如图所示，点O 是直线 AB 上一点， OE、OF 分别平分 BOC、 AOC求 EOF 的度数；写出 BOE 的余角及补角. 【 解法指导 】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；【解

3、】 OE、 OF 平分 BOC 、 AOC EOC21 BOC， FOC21 AOC EOF EOC FOC 21 BOC 21 AOC AOCBOC21又 BOC AOC 180 EOF 21 18090 BOE 的余角是： COF 、 AOF ； BOE 的补角是：AOE . 【变式题组 】01如图，已知直线AB、 CD 相交于点O，OA 平分 EOC，且 EOC100，则 BOD 的度数是（）A20B 40C50D8002 （杭州）已知1 2 3 62，则 4 . 【例 】如图，直线l1、l2相交于点O，A、B 分别是l1、l2上的点，试用三角尺完成下列作图：经过点A 画直线 l2的垂线

4、 . 画出表示点B 到直线 l1的垂线段. 【 解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段. 【变式题组 】01P 为直线 l 外一点， A、B、 C 是直线 l 上三点， 且 PA4cm，PB5cm，PC6cm，则点 P 到直线 l 的距离为（）A4cmB5cmC 不大于 4cmD 不小于 6cmA B C D E F A B C D E F P Q R A B C E F O E A A C D O （第 1 题图）1 4 3 2 （第 2 题图）A B O l2 l1 2 02 如图，一辆汽车在直线形的公路AB 上由 A 向 B 行驶， M、N 为位于公路两侧的村庄；设汽车行驶到路AB

5、上点 P 的位置时距离村庄M 最近 .行驶到 AB 上点 Q的位置时， 距离村庄N 最近， 请在图中的公路上分别画出点P、Q 的位置 . 当汽车从A 出发向 B 行驶的过程中，在的路上距离M 村越来越近 .在的路上距离村庄N 越来越近，而距离村庄越来越远 . 【 例 】如图，直线AB、CD 相交于点O， OECD，OF AB， DOF 65，求 BOE 和 AOC 的度数 . 【 解法指导 】图形的定义现可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：AOF 90， OFAB【 变式题组 】01 如图，若 EOAB 于 O， 直线 CD 过点 O， EOD EOB 13， 求 A

6、OC、 AOE 的度数 . 02 如图，O 为直线 AB 上一点，BOC3AOC， OC 平分 AOD求 AOC 的度数；试说明OD 与 AB 的位置关系 . 03如图，已知AB BC 于 B，DBEB 于 B，并且 CBE ABD 12，请作出 CBE 的对顶角，并求其度数. 【例 】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称：1 和 2：1 和 3：1 和 6：2 和 6：2 和 4：3 和 5：3 和 4：【解法指导 】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被

7、截的两条直线，最后确定它们的名称. F B A O C D E C D B A E O B A C D O A B A E D C F E B A D 1 4 2 3 6 5 3 【 变式题组 】01如图，平行直线AB、 CD 与相交直线EF，GH 相交，图中的同旁内角共有（）A4 对B8 对C12 对D16 对02如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角. 03如图，按各组角的位置判断错误的是（）A 1 和 2 是同旁内角B 3 和 4 是内错角C 5 和 6 是同旁内角D 5 和 7 是同旁内角【 例 】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由? CBD ADB ；

8、BCD ADC 180 ACD BAC【 解法指导 】图中有即 即 有 同旁内角，有“”即有内错角. 【 解法指导 】由 CBD ADB ，可推得ADBC；根据内错角相等，两直线平行 . 由 BCD ADC180，可推得AD BC；根据同旁内角互补，两直线平行. 由 ACD BAC 可推得 ABDC；根据内错角相等，两直线平行 . 【变式题组 】01如图，推理填空. A（已知）ACED （） C（已知）ACED （） A（已知）ABDF （）02如图， AD 平分 BAC ，EF平分 DEC ，且 1 2，试说明DE 与 AB 的位置关系 . 解： AD 是 BAC 的平分线（已知） BAC

9、21（角平分线定义）又 EF 平分 DEC （已知）（）又 1 2（已知）（） ABDE （）03如图，已知AE 平分 CAB ，CE 平分 ACDCAE ACE90，求证： ABCDA B D C H E F 7 1 5 6 8 4 1 2 乙丙3 2 3 4 5 6 1 2 3 4 甲1 A B C 2 3 4 5 6 7 A B C D O A B D E F C A B C D E A B C D E F 1 2 4 04如图，已知ABC ACB ，BE 平分 ABC ，CD 平分 ACB， EBF EFB ，求证： CDEF . 【 例 】如图， 平面内有六条两两不平行的直线，试证：

10、 在所有的交角中，至 少 有 一 个角小于 31. 【 解法指导 】如图， 我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时的图形为图. 证明：假设图中的12 个角中的每一个角都不小于31则 1231 372 360这与一周角等于360矛盾所以这 12 个角中至少有一个角小于31【 变式题组 】01平面内有18 条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中至少有一个角小于 11. 02在同一平面内有2010 条直线 a1, a2, ，a2010, 如果 a1a2, a2a3，a3 a4，a4a5那么a1与 a2010的位置关系是 . 03已知n（n2）个点P1，P2，P3Pn. 在同一平面内没

11、有任何三点在同一直线上， 设 Sn表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线的条数，显然：S21， S33， S46， S510则 Sn . 演练巩固反馈提高01如图， EAC ADB 90. 下列说法正确的是（）A的余角只有BB的邻补角是DACC ACF 是 的余角D与 ACF 互补02如图，已知直线AB、CD 被直线EF所截，则 EMB的同位角为（）A AMFB BMF C ENCD END03下列语句中正确的是（）A在同一平面内，一条直线只有一条垂线B过直线上一点的直线只有一条C过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条D垂线段就是点到直线的距离04 如图，BAC90，AD BC 于

12、 D，则下列结论中， 正确的个数有 （）ABAC AD 与 AC 互相垂直点 C 到 AB 的垂线段是线段AB 线段AB 的长度是点B 到 AC 的距离垂线段BA 是点 B 到 AC 的距离ADBDA0 B2 C4 D6A B C D E F l1l2l3l4 l5l6图l1l2l3l4 l5l6图A E B C F D A B C D F E M N 第 1 题图第 2 题图A B D C 第 4 题图5 05点 A、B、C 是直线 l 上的三点，点P 是直线 l 外一点，且PA 4cm， PB5cm，PC6cm，则点 P 到直线 l 的距离是（）A4cmB5cmC小于 4cmD不大于4cm

13、06将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合） ，则 AOB DOC . 07如图，矩形ABCD 沿 EF 对折，且 DEF 72，则 AEG . 08在同一平面内，若直线a1a2, a2a3, a3a4, 则 a1a10. （ a1与 a10不重合）09如图所示，直线a、 b 被直线 c 所截，现给出下列四个条件：1 5， 1 7， 2 3180， 4 7，其中能判断ab 的条件的序号是 . 10在同一平面内两条直线的位置关系有 . 11如图，已知BE 平分 ABD ，DE 平分 CDB ，且 E ABE EDC试说明 ABCD？12如图，已知BE 平分 ABC ，CF 平分 BCD

14、 ， 1 2，那么直线AB 与 CD 的位置关系如何？13如图，推理填空： A（已知）AC ED （） 2（已知）ACED（） A180（已知）ABFD14如图，请你填上一个适当的条件使 AD BCA B C D O A B C D E F G H a b c 第 6 题图第 7 题图第 9 题图1 2 3 4 5 6 7 8 1 A C D E B A B C D E F 1 2 A B C D E F 第 14题图6 A D 培优升级奥赛检测01平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是（）A1，3 B0，1，3 C0，2，3 D0，1，2， 302平面上有10 条直线，其中4 条是互相平行

15、的，那么这10 条直线最多能把平面分成（）部分 . A60 B55 C50 D4503平面上有六个点，每两点都连成一条直线，问除了原来的6个点之外，这些直线最多还有（）个交点 . A35 B40 C45 D 5504 如 图 ， 图 上 有6 个 点 ， 作 两 两 连 线 时 ， 圆 内 最 多 有_交点 . 05如图是某施工队一张破损的图纸，已知a、b 是一个角的两边，现在要在图纸上画一条与这个角的平分线平行的直线，请你帮助这个施工队画出这条平行线，并证明你的正确性. 06 平面上三条直线相互间的交点的个数是（）A3 B1 或 3 C1 或 2 或 3 D不一定是1，2，307请你在平面上

16、画出6 条直线（没有三条共点）使得它们中的每条直线都恰好与另三条直线相交，并简单说明画法？08平面上有10 条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现31 个交点，怎么安排才能办到？09如图，在一个正方体的2 个面上画了两条对角线AB、AC，那么两条对角线的夹角等于（）A 60B75 C 90 D13510在同一平面内有9 条直线如何安排才能满足下面的两个条件？任意两条直线都有交点；总共有29 个交点 . 第 13 讲平行线的性质及其应用考点方法破译1掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系；2初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理；3灵活运用平行线的判定和性质解决角的

17、计算与证明，确定两直线的位置关系，感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用. 经典考题赏析【例 】 如图，四边形 ABCD 中，ABCD， BCAD， A38，求 C 的度数 . 【解法指导 】两条直线平行，同位角相等；两条直线平行，内错角相等；两条直线平行，同旁内角互补. 平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清截线，识别角的关系式关键. 【解】： ABCDBCAD A B180B C180 (两条直线平行，同旁内角互补) A C A38 C38A B C D E F a b A B C 7 【变式题组 】01如图，已知ADBC，点 E 在 BD 的延长线上，若AD

18、E 155 ，则 DBC的度数为（）A155B50C45D2502 （安徽）如图，直线l1 l2, 155 ， 265 ，则 3 为（）A50B55C60D6503如图，已知FC ABDE， ： D： B2: 3: 4, 试求 、 D、 B的度数 . 【 例 】如图，已知ABCDEF， GCCF ， B60 ， EFC 45 ，求 BCG 的度数 .【 解法指导 】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置. 【 解 】 AB CD EF B BCD F FCD (两条直线平行，内错角相等)又 B60 EFC 45 BCD 60FCD 45又

19、 GC CF GCF 90 （垂直定理） GCD90 45 45 BCG 6045 15【变式题组 】01如图，已知AF BC , 且 AF 平分 EAB ， B 48 ，则 C 的的度数_ 02. 如图 , 已知 ABC ACB 120， BO、CO 分别 ABC、ACB ，DE 过点O 与 BC 平行，则 BOC _03如图，已知AB MPCD, MN 平分 AMD ， A 40， D50，求NMP 的度数 .【例 】如图，已知1 2， C D求证： A F.【解法指导 】因果转化，综合运用. 逆向思维：要证明A F，即要证明DF AC要证明 DF AC, 即要证明 D DBC180，即：

20、 C DBC 180；要证明C DBC 180即要证明DBEC要证明 DB EC 即要证明 1 3. 证明：1 2， 2 3（对顶角相等）所以1 3 DB EC（同位角相等?两直线平行） DBC C180（两直线平行，同旁内角互补）C D DBC D 180 DF AC（同旁内角，互补两直线平行）A F（两直线平行，内错角相等）A B C D O E F A E B C （第 1 题图）（第 2 题图）E A B D 1 2 C F （第 3 题图）3 2 1 l1l2（第 2 题图）（第 1 题图）E D C B A E A F G D C B B A M C D N P （第 3 题图）C

21、 DA B E F 1 3 2 8 D A 2 E 1 B C B F E A C D 【 变式题组 】01如图，已知ACFG ， 1 2，求证： DE FG 02如图，已知1 2180， 3 B求证： AED ACB03如图，两平面镜、 的夹角 ，入射光线AO 平行于 入射到 上，经两次反射后的出射光线O B平行于 ，则角 等于 _. 【 例 】如图，已知EGBC， ADBC， 1 3. 求证： AD 平分 BAC【 解法指导 】抓住题中给出的条件的目的，仔细分析条件给我们带来的结论，对于不能直接直接得出结论的条件，要准确把握住这些条件的意图. （题目中的： 1 3）证明： EGBC，AD

22、BC EGC ADC 90（垂直定义）EGAD （同位角相等，两条直线平行） 1 3 3 BAD （两条直线平行，内错角相等） AD 平分 BAC（角平分线定义）【 变式题组 】01如图，若AE BC 于 E， 1 2，求证： DCBC02如图，在ABC 中， CEAB 于 E,DF AB 于 F, AC ED，CE 平分ACB求证： EDF BDF.3已知如图，ABCD， B40， CN 是 BCE 的平分线 . CMCN，求：BCM 的度数 . ADMCNEBG B 3 C A 1 D 2 E F （第 1 题图）A 2 C F 3 E D 1 B （第 2 题图）O/OB 3 1 A B

23、 G D C E 9 PBCDA P 3 2 1 4 DEBCAFHFDEBCAFDEBCAB C A Al BC【 例 】已知，如图，ABEF，求证： ABC BCF CFE 360【 解法指导 】从考虑360 这个特殊角入手展开联想，分析类比，联想周角 .构造两个“平角”或构造两组“互补”的角. 过点 C 作 CDAB 即把已知条件ABEF 联系起来，这是关键 . 【证明】：过点C 作 CDABCDAB 1ABC 180(两直线平行，同旁内角互补) 又 ABEF ，CD EF（平行于同一条直线的两直线平行） 2 CFE 180 (两直线平行，同旁内角互补) ABC 1 2 CFE 180

24、180 360即 ABC BCF CFE 360【 变式题组 】01如图，已知，ABCD，分别探究下面四个图形中APC 和 PAB、 PCD的关系， 请你从所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性. 结论：_ _ _ _ 【 例 】如图，已知，ABCD，则 、 、 、 之间的关系是 180【 解法指导 】基本图形善于从复杂的图形中找到基本图形，运用基本图形的规律打开思路. 【解】过点E 作 EH AB过点 F 作 FG ABABEH 1（两直线平行，内错角相等）又FG AB EH FG（平行于同一条直线的两直线平行） 2 3 又 AB CDFGCD（平行于同一条直线的两直线平行）

25、4180 （两直线平行，同旁内角互补） 1 3 412 4 180【变式题组 】01如图，ABEF， C 90，则 、 、 的关系是 （）A B 180C 90D 9002如图，已知，ABCD， ABE 和 CDE 的平分线相交于点F，E140，求 BFD 的度数 . 【例 】如图，平移三角形ABC，设点A 移动到点A/，画出平移后的三角形 A/B/C/. 【解法指导 】抓住平移作图的“四部曲”定，找，移，连. 定：确定平移的方向和距离. 找：找出图形的关键点. 移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点 . 连 : 按原图形顺次连接对应点. 【解】连接 AA/过点 B 作 AA/的平

26、行线l 在l 截取 BB/AA/, 则点 B/就是的 B 对应点，用同样的方法作出点 C 的对应点C/. 连接 A/B/，B/C/，C/A/就得到平移后的三角形A/B/C/. BAPCACCDAAPCBDPBPDBDFED2 1 ABC10 D B C A 西B 30A 北东南【 变式题组 】01如图，把四边形ABCD 按箭头所指的方向平移21cm，作出平移后的图形.02如图 , 已知三角形 ABC 中，C90 , BC4，AC4， 现将 ABC 沿 CB 方向平移到A/B/C/的位置，若平移距离为3, 求 ABC与 A/B/C/的重叠部分的面积. 03原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三

27、角形沿着BC 方向平移BE 的距离，就得到此图形，求阴影部分的面积. （单位：厘米）演练巩固反馈提高01如图，由A 测 B 得方向是（）A南偏东30B南偏东60C北偏西30D北偏西6002命题：对顶角相等；相等的角是对顶角；垂直于同一条直线的两直线平行；平行于同一条直线的两直线垂直. 其中的真命题的有（）A1 个B2 个C 3 个D4 个03一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，两次拐弯的角度可能是（）A第一次向左拐30 ，第二次向右拐30B第一次向右拐50 ，第二次向左拐 130C第一次向左拐50 ，第二次向右拐130D第一次向左拐60 ，第二次向左拐 120

28、04下列命题中，正确的是（）A对顶角相等B 同位角相等C内错角相等D 同旁内角互补05学习了平行线后，小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法，是通过折一张半透明的纸得到的如图 从图中可知，小敏画平行线的依据有（）两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行. ABCD06在 A、B 两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A 地测得 B 地的走向是南偏东 52.现 A、B 两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则B 地所修公路的走向应该是（）A北偏东52B南偏东52C西偏北52D北偏西38P.P.P.P.D 5 3 8 A F C B E

29、 B B/A A/C C/11 150120D B C E 湖07下列几种运动中属于平移的有（）水平运输带上的砖的运动；笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动（忽略车轮的转动） ；升降机上下做机械运动；足球场上足球的运动. A1 种B2 种C3 种D4 种08如图，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置. 平移这个图案，使它正好位于左上角的位置（不能出格）09观察图，哪个图是由图平移而得到的（）10如图， AD BC，ABCD，AEBC，现将 ABE 进行平移 . 平移方向为射线 AD 的方向 . 平移距离为线段BC 的长，则平移得到的三角形是图中（）图的阴影部分. 11判断下列命题是真命题还是假

30、命题，如果是假命题，举出一个反例. 对顶角是相等的角；相等的角是对顶角；两个锐角的和是钝角；同旁内角互补，两直线平行. 12把下列命题改写成“如果那么”的形式，并指出命题的真假. 互补的角是邻补角；两个锐角的和是锐角；直角都相等. 13如图，在湖边修一条公路.如果第一个拐弯处A 120 ，第二个拐弯处B150 ，第三个拐弯处C，这时道路CE 恰好和道路AD 平行，问 C 是多少度？并说明理由. D E A B C E D B C E D A B C E D A B C E D ABC12 4 3 2 1 A B E F C D 4 P 2 3 1 A B E F C D 14如图，一条河流两岸

31、是平行的，当小船行驶到河中E 点时，与两岸码头B、D 成 64角 . 当小船行驶到河中F 点时，看 B 点和 D 点的视线FB、FD 恰好有 1 2， 3 4 的关系 . 你能说出此时点F 与码头 B、D 所形成的角 BFD 的度数吗？15如图， AB CD， 1 2，试说明 E 和 F 的关系 . 培优升级奥赛检测01如图，等边 ABC 各边都被分成五等分，这样在 ABC 内能与 DEF完成重合的小三角形共有25 个，那么在ABC 内由 DEF 平移得到的三角形共有（）个02如图， 一足球运动员在球场上点A 处看到足球从B 点沿着 BO 方向匀速滚来，运动员立即从A 处以匀速直线奔跑前去拦截

32、足球. 若足球滚动的速度与该运动员奔跑的速度相同，请标出运动员的平移方向及最快能截住足球的位置 . （运动员奔跑于足球滚动视为点的平移）03如图，长方体的长AB4cm，宽 BC3cm，高 AA1 2cm. 将 AC 平移到A1C1的位置上时，平移的距离是_,平移的方向是_. 04如图是图形的操作过程（五个矩形水平方向的边长均为a，竖直方向的边长为b） ；将线段 A1A2向右平移1 个单位得到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1 即阴影部分如图;将折现 A1A2 A3向右平移 1 个单位得到B1B2B3， 得到封闭图形A1A2 A3B3B2B1 即阴影部分如图;在图中，请你类似地画出一条有两个

33、折点的直线，同样的向右平移1 个单位，从而得到1 个封闭图形，并画出阴影. 请你分别写出上述三个阴影部分的面积S1_, S2_, S3_. 联想与探究：如图，在一矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路在任何地方的水平宽度都是1 个单位），请你猜想空白部分草地面积是多少？A2B2A3B3B4A4A1B1草地草地A1B2B1A2B2A1B1A3B3A2CB1AA1C1D1BD. B . O . AF A D E C B 13 BDCFAEFEBACGD05一位模型赛车手遥控一辆赛车，先前进一半，然后原地逆时针旋转 （0 180 ） ，被称为一次操作，若5 次后发现赛车回到出发点，则 角为（）A72

34、0B108或 144C144D 720 或14406两条直线a、b 互相平行，直线a 上顺次有10 个点 A1、A2、 A10，直线 b上顺次有10 个点 B1、B2、 B9，将 a 上每一点与b 上每一点相连可得线段 . 若没有三条线段相交于同一点，则这些选段的交点个数是（）A90 B 1620 C6480 D2006 07如图，已知ABCD， B100 ，EF 平分 BEC ，EGEF. 求 BEG 和 DEG . 08如图， ABCD， BAE 30 ，DCE 60 ，EF、EG 三等分 AEC问：EF 与 EG 中有没有与AB 平行的直线？为什么？09如图，已知直线CBOA， C OA

35、B100 ，E、 F 在 CB 上，且满足FOB AOB，OE 平分 COF . 求 EOB 的度数；若平行移动AB，那么 OBC： OFC 的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值. 在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使OEC OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由.10平面上有5 条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5 条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36 , 请说明理由 . 11如图， 正方形 ABCD 的边长为5, 把它的对角线AC 分成 n 段，以每一小段为对角线作小正方形，这n 个小正方形的周长之和为多少？12如图将面积为a2

36、的小正方形和面积为b2的大正方形放在一起，用添补法如何求出阴影部分面积？FEBACGD100FEBACOABCD14 第 06 讲实数考点方法破译1平方根与立方根：若2xa(a0)则 x 叫做 a 的平方根，记为：a 的平方根为xa，其中a 的平方根为xa叫做 a 的算术平方根若 x3a，则 x 叫做 a 的立方根记为：a 的立方根为x3a2无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数实数与数轴上的点一一对应任何有理数都可以表示为分数pq（p、q 是两个互质的整数，且q0）的形式3 非负数：实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数即a0，2na0（n 为正整数

37、），a0(a 0) 经典考题赏析【例 1】若 2m4 与 3m1 是同一个数的平方根，求m 的值【解法指导】 一个正数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数2m -4与 3m- l 是同一个数的平方根，2m- 4 3m- l0， 5m5，ml【变式题组】01一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是_02已知 m 是小于152的最大整数，则m 的平方根是 _039的立方根是 _04如图，有一个数值转化器，当输入的x 为 64 时，输出的y 是_【例2 】 （全国 竞赛）已知非零 实数a 、b满足2242342ababa，则 ab 等于 ( ) A 1 B 0 C1 D2 【解法指导】若23

38、ab有意义， a、b为非零实数，b20a30 a3 2242342ababa2242342ababa，2230bab22030bab，32ab，故选 C【变式题组】0l在实数范围内，等式223aab0 成立，则ab_02若2930ab，则ab的平方根是 _03 （天津）若x、y 为实数，且220 xy，则2009xy的值为（）A1 B 1 C 2 D 2 输入 x取算术平方根输出 y是无理数是有理数15 04已知 x 是实数，则1xxx的值是 ( ) A11B11C11D无法确定【例 3】若 a、b 都为有理效，且满足12 3abb求 ab 的平方根【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商（

39、除数不为0）还是有理数，但 两 个 无 理 数 的 和 、 差 、 积 、 商 （ 除 数 不 为0 ） 不 一 定 是 无 理 数 12 3abb，12 3abb即112abb，1312ab，a b12 1325 ab 的平方根为：255ab【变式题组】01 （西安市竞赛题）已知m、n 是有理数，且（52）m(325)n70求 m、n02（希望杯试题） 设 x、 y 都是有理数， 且满足方程 （123） x （132） y-4-0，则 x- y_【例 4】若 a 为17- 2 的整数部分， b- 1是 9 的平方根，且abba，求 ab 的值【解法指导】 一个实数由小数部分与整数部分组成，1

40、7- 2整数部分小数部分整数部分估算可得2，则小数部分17-2 -217- 4 a2，b- 13 ， b2 或 4 abba ab ， a2， b4，即 ab6【变式题组】01若 35的小数部分是a，3-5的小数部分是b，则 ab 的值为 _025的整数部分为a，小数部分为b，则（5a） b_演练巩固反馈提高0l下列说法正确的是( ) A2 是(2)2的算术平方根B3 是 9 的算术平方根C 16 的平方根是4 D 27 的立方根是3 02设3a，b2，52c，则 a、b、c 的大小关系是( ) AabcBacbC bacDcaaBabC abDba 06现有四个无理数5，6，7，8，其中在2

41、 1 与31 之间的有( ) A 1 个B2 个C 3 个D 4 个07设 m 是9的平方根， n23则 m，n 的关系是 ( ) A. mnB.mnC .mnD.mn08 （烟台）如图，数轴上A、B 两点表示的数分别为1 和3，点 B 关于点 A的对称点C，则点 C 所表示的数为( ) A 23B 13C 2 3Dl 309点 A 在数轴上和原点相距5个单位，点B 在数轴上和原点相距3 个单位，且点 B 在点 A 左边，则A、 B 之间的距离为 _10用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：1，12，13，119，120如果从中选出若干个数，使它的和大于3，那么至少要选_个数11对于任意不

42、相等的两个数a、 b，定义一种运算如下：a babab，如3232325那么 12.4_12 （长沙中考题）已知a、b 为两个连续整数，且a7b，则 ab_13对实数a、b，定义运算“*” ，如下 a* b22a bababa b，已知 3*m36，则实数 m_14设 a 是大于 1 的实数 若 a，23a，213a在数轴上对应的点分别是A、B、C，则三点在数轴上从左自右的顺序是_15.如图，直径为1 的圆与数轴有唯一的公共点P点 P 表示的实数为1如果该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为P ， 那么点 P 所表示的数是_16已知整数x、y 满足x2y50，求 x、 y17已知2a- 1

43、 的平方根是3，3ab- 1 的算术平方根是4，求 ab1 的立方根17 18小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏，如图有一圆心角为60 ，半径为1 个单位长的扇形放置在数轴上，当扇形在数轴上做无滑动的滚动时，当 B 点恰好落在数轴上时，(1)求此时 B 点所对的数；(2)求圆心 O 移动的路程19若 b315a153a3l，且 a11 的算术平方根为m，4b1 的立方根为n，求（ mn- 2）(3mn 4)的平方根与立方根20若 x、y 为实数，且（ x- y1）2与533xy互为相反数，求22xy的值培优升级奥赛检测01 （荆州市八年级数学联赛试题）一个正数x 的两个平方根分别是a1 与 a-

44、 3，则 a 值为 ( ) A 2 B 1 C 1 D 0 02 （黄冈竞赛）代数式x1x2x的最小值是 ( ) A0 B 12C1 D 2 03代数式53x- 2 的最小值为 _04 设 a、 b 为有理数， 且 a、 b 满足等式a23bb321-53， 则 ab_05 若ab1， 且 3a4b， 则在数轴上表示a、 b两数对应点的距离为_06已知实数a 满足20092010aaa，则 a- 20092_m 满足关系式3523199199xymxymxyxyg，试确定 m 的值18 08 （全国联赛）若a、b满足35ab7，S23ab，求 S 的取值范围09 （北京市初二 年级竞赛试题 ）

45、已知0a1 ，并且123303030aaa2830ag gg2930a18，求 10a的值 其中 x表示不超过x 的最大整数 10 （北京竞赛试题）已知实数a、 b、 x 、 y 满足y231xa，231xyb，求22xya b的值19 第 14 讲平面直角坐标系（一）考点方法破译1认识有序数对，认识平面直角坐标系2了解点与坐标的对应关系3会根据点的坐标特点，求图形的面积经典考题赏析【例 1】在坐标平面内描出下列各点的位置A(2，1)，B(1，2)，C(1，2)， D(2， 1)，E(0，3)，F(3，0) 【解法指导】 从点的坐标的意义去思考，在描点时要注意点的坐标的有序性【变式题组】01

46、第三象限的点P(x， y)， 满足 |x|5,2x|y|1， 则点 P 得坐标是 _02在平面直角坐标系中，如果m.n，那么（ m, |n|）一定在 _象限 . 03指出下列各点所在的象限或坐标轴A(3，0)， B(2，13)，C(2，12)，D(0,3)，E(3.14，3.14)【例 2】若点 P(a，b)在第四象限，则点Q(a，b1)在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解法指导】P(a，b)在第四象限，a0，b0， a0, b 0,故选 C【变式题组】01若点 G(a，2a)是第二象限的点，则a 的取值范围是（）Aa0 Ba2 C0a2 Ba0 或 a2 02如果点P(3x，

47、x)在第四象限，则x 的取值范围是_03若点 P(x，y)满足 xy 0，则点 P 在第 _象限04已知点P(2a 8，2a)是第三象限的整点，则该点的坐标为_【例】已知A 点与点 B(3， 4)关于 x 轴对称，求点A 关于 y 轴对称的点的坐标【解法指导】关于x 轴对称的点的坐标的特点：横坐标(x)相等，纵坐标 (y)互为相反数， 关于 y 轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标 (y)相等【变式题组】01P(1，3)关于 x 轴对称的点的坐标为_02P(3， 2)关于 y 轴对称的点的坐标为_03P(a，b)关于原点对称的点的坐标为_04点A(3，2m ) 关于原点对称的点在第四

48、象限，则m 的取值范围是_05如果点(a b，ab)在第二象限内，那么点N(a，b) 关于 y 轴对称的点在第_象限【例】 P(3， 4)，则点 P 到 x 轴的距离是 _【解法指导】 P(x，y)到 x 轴的距离是 | y|，到 y 轴的距离是 |x|则 P 到轴的距离是 |4|4 【变式题组】01已知点P(3，5)，Q(6， )，则点 P、Q 到 x 轴的距离分别是_，_P 到 y 轴的距离是点Q 到 y 轴的距离的 _倍02若 x 轴上的点到 y 轴的距离是3，则 P 点的坐标是 _03如果点B(m1， 3m5) 到 x 轴的距离与它到y 轴的距离相等，求m 的值04若点 (5a，a3)

49、在一、三象限的角平分线上，求a 的值05已知两点A(3，m)，B(n，4)，ABx 轴，求 m 的值，并确定n 的取值范围20 【例】如图，平面直角坐标系中有A、B 两点(1)它们的坐标分别是_，_；(2)以 A、B 为相邻两个顶点的正方形的边长为_；(3)求正方形的其他两个顶点C、 D 的坐标【解法指导】平行x 轴的直线上两点之间的距离是：两个点的横坐标的差得绝对值，平行 y轴的直线上两点之间的距离是：两个点的纵坐标的差得绝对值即：A(x1，y1)，B(x2，y2)，若 AB x 轴，则 |AB| |x1x2|；若 ABy，则 |AB|y1y2| ，则 (1)A(2， 2)，B(2， 1)；

50、(2)3；(3)C(5，2)，D(5， 1)或 C(1，2)，D(1，1)【变式题组】01如图，四边形ACBD 是平行四边形，且ADx 轴，说明， A、D 两点的 _坐标相等，请你依据图形写出A、 B 、 C、 D 四点的坐标分别是_、_、_、_02已知： A(0，4)，B(3，0)，C(3，0)要画出平行四边形 ABCD ，请根据A、B、C 三点的坐标，写出第四个顶点D 的坐标，你的答案是唯一的吗？03已知： A(0，4)，B(0， 1)，在坐标平面内求作一点，使ABC 的面积为5，请写出点C 的坐标规律【例 6】平面直角坐标系，已知点A( 3， 2) ，B(0 ，3)， C( 3，2)，求