二次函数综合(动点)问题三角形存在问题培优教案(一)(横版).pdf

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1、学习必备欢迎下载二次函数综合（动点）问题三角形存在问题（一）适用学科初中数学适用年级初中三年级适用区域全国新课标课时时长（分钟）60 分钟知识点1、三角形的性质和判定2、求作等腰三角形，直角三角形的方法教学目标一、知识与技能1、掌握各类三角形的判定以及性质；2、会用“两圆一线”、“两线一圆”求作等腰三角形和直角三角形；二、过程与方法1、首先要明确各种三角形的性质以及判定；2、理解等腰三角形的特征，明确腰相等，可以任意两腰相等；学习必备欢迎下载3、理解直角三角形的特征，明确有一个角是直角，可以是任意的内角；4、先研究三角形的性质，再将三角形放到二次函数图像中进行综合运用。5、充分运用数学结合、转

2、化、方程等数学思想来帮助解题。三、情感、态度与价值观1、培养学生的处理图像综合运用的能力；2、让学生养成从特殊到一般，从简单到复杂的学习方法；3、形成对图形的处理能力，形成解题技巧，树立对解决此类问题的信心。教学重点是否存在一点使得三角形是等腰三角形、直角三角形，如果存在求出点的坐标教学难点是否存在一点使得三角形是等腰三角形、直角三角形，如果存在求出点的坐标学习必备欢迎下载教学过程一、课堂导入1、在平面直角坐标系中，已知点A（4，4） 、B（-4 ，4） ，试在 x 轴上找出点 P，使APB 为直角三角形，请直接写出所有符合条件的P 点的坐标2、在平面直角坐标系中找出所有的点C，使得 ABC

3、是以 AB 为腰的等腰三角形，且C 点的横坐标与纵坐标为自然数画出C 点的位置并写出 C 点的坐标学习必备欢迎下载问题： 这是我们在平面直角坐标系那章学习的内容，如果我们将二次函数容纳其中，在抛物线上求作一点，使得三角形是等腰三角形（等边三角形、直角三角形等）并求出该点坐标时,又该如何解答呢？二、复习预习学习必备欢迎下载根据实际问题列二次函数关系式：1、列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式对于应用题要注意以下步骤：(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找

4、出等量关系 (即函数关系 )(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句， 将此语句抽象为含变量的等式， 这就是二次函数(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案(6)写出答案2、常见题目类型 (1)几何类 ( 三角形、四边形、圆等 ) 学习必备欢迎下载一般问题是求图形的面积，首先可以根据特殊图形的面积公式来求解，这时关键是表示出公式里各个部分的代数式；其次，如果不是特殊的图形，可以通过特殊图形的面积相加减来表示；最后，还可以通过构造特殊图形来进行表示求解

5、；总之，要根据题目给的条件实际运用。 (2)桥梁问题这类题型是出现较多的类型，首先应该建立适当的直角坐标系，将桥梁的拱形转化为二次函数来进行求解，强调的是特殊点的表示与运用。 (3)销售问题这类题型会在考试中频繁出现，解题的方法就是：围绕总利润=（售价 - 进价）数量这个公式去进行，难度大一点的就是会涉及提价跟降价两种情况，关键是要根据题意分别表示出降价或者提价后商品的售价、数量（进价一般不变） ，然后再通过公式将各个部分组合在一起就可以了。二次函数的应用：学习必备欢迎下载1、应用类型一、利用二次函数求实际问题中的最大（小）值：这类问题常见有面积、利润销售量的最大（小）值，一般这类问题的解题方

6、法是：先表示出二次函数关系式，再根据二次函数的最值问题来求解即可。2、 应用类型二、利用二次函数解决抛物线形建筑问题: 这类型的题目关键是要求出二次函数解析式，再根据解析式求出顶点坐标。3、 应用类型三、利用二次函数求跳水、投篮、网球等实际问题；这类型的题目关键是要求出二次函数解析式，再根据解析式求出顶点坐标。三、知识讲解考点/易错点 1 三角形的性质和判定：1、等腰三角形学习必备欢迎下载性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。2、直角三角形性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边

7、的一半。判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。3、等腰直角三角形性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45。判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形4、等边三角形性质：三边相等，三个角相等且等于60，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。判定：三边相等，三个角相等，有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。学习必备欢迎下载考点/易错点 2 求作等腰三角形、直角三角形的方法：学习必备欢迎下载图一 两圆一线图解图二 两线一圆图解总结： （1）通过“两圆一线”可以找到所有满足条件的等腰三角形，要求的点（不与A、B点重合）即在两圆上以及两圆的公共弦上（2

8、）通过“两线一圆”可以找到所有满足条件的直角三角形，要求的点（不与A、B点重合）即在圆上以及在两条与直径AB垂直的直线上。考点/易错点 3等腰三角形、直角三角形可能的情况：(1)当所求三角形是等腰三角形时，可以是三角形任意两边相等， 即：AB=AC 、AB=BC 、AC=BC 如图；学习必备欢迎下载(2)当所求三角形是直角三角形时， 可以是三角形任意的内角为直角,即： A=90 、 B=90 、C=90 ，如图所示；考点/易错点 4 二次函数中三角形的存在性问题解题思路：（1）先分类，罗列线段的长度，如果是等腰三角形则分别令三边两两相等去求解；如果是直角三角形B C A B C 学习必备欢迎下

9、载则分别令每个内角等腰90去分类讨论；（2）再画图；（3）后计算。四、例题精析【例题 1】【题干】 （扬州）已知抛物线y=ax2+bx+c经过 A（-1 ，0） 、B（3，0） 、C（0，3）三点，直线 l 是学习必备欢迎下载抛物线的对称轴（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点 P 是直线 l 上的一个动点，当PAC 的周长最小时，求点P 的坐标；（3）在直线 l 上是否存在点 M ，使 MAC 为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】 (1)y=-x2+2x+3 ；(2) P（1，2） ；(3) M （1，） （1，-） （1，1） （1，0）

10、【解析】 解： （1）将 A（-1 ，0） 、B（3，0） 、C（0，3）代入抛物线 y=ax2+bx+c中，得：，解得：学习必备欢迎下载抛物线的解析式： y=-x2+2x+3 （2）连接 BC，直线 BC 与直线 l 的交点为 P；点A、B 关于直线 l 对称， PA=PB ， BC=PC+PB=PC+PA 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b （k 0） ，将 B（3，0） ，C（0，3）代入上式，得：，解得：直线BC 的函数关系式 y=-x+3；当 x=1 时，y=2 ，即 P 的坐标（ 1，2） （3）抛物线的对称轴为： x=-=1 ，设 M（1，m） ，已知 A（-1 ，0） 、C

11、（0，3） ，则：MA2=m2+4 ，MC2=（3-m ）2+1=m2-6m+10 ，AC2=10 ；若 MA=MC ，则 MA2=MC2，得：m2+4=m2-6m+10 ，得：m=1 ；若 MA=AC ，则 MA2=AC2，得：学习必备欢迎下载m2+4=10 ，得：m= ；若 MC=AC ，则 MC2=AC2，得：m2-6m+10=10，得：m1=0 ，m2=6 ；当 m=6 时，M 、A、C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M 点，且坐标为M （1，） （1，- ） （1，1） （1，0） 【例题 2】【题干】 （攀枝花）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点

12、 A（-3 ，0） ，B（1，0） ，C（0，-3 ） （1）求抛物线的解析式；（2）若点 P 为第三象限内抛物线上的一点，设 PAC 的面积为 S，求 S 的最大值并求出此时点P 的坐标；（3）设抛物线的顶点为D，DEx 轴于点 E，在 y 轴上是否存在点M ，使得 ADM 是直角三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由学习必备欢迎下载【答案】(1) y=x2+2x-3 ；(2) P 的坐标为（-，- ） ；(3) （0， ）或（0，- ）或（0，-1 ）或（0，-3） 【解析】解： （1）由于抛物线 y=ax2+bx+c经过 A（-3 ，0） ，B（1，0） ，可设抛物

13、线的解析式为：y=a （x+3 ） （x-1 ） ，将 C 点坐标（ 0，-3 ）代入，得：a（0+3 ） （0-1 ）=-3 ，解得a=1 ，则 y= （x+3 ） （x-1 ）=x2+2x-3 ，学习必备欢迎下载所以抛物线的解析式为：y=x2+2x-3 ；（2）过点 P作 x 轴的垂线，交 AC于点 N设直线 AC的解析式为 y=kx+m ，由题意，得，解得直线AC 的解析式为： y=-x-3 设 P 点坐标为（ x，x2+2x-3 ） ，则点 N 的坐标为（ x，-x-3 ） ， PN=PE-NE=-（x2+2x-3 ）+ （-x-3 ）=-x2-3x S PAC=S PAN+S PCN

14、，S= PN?OA=3（-x2-3x ）=- （x+ ）2+，当x=- 时，S 有最大值，此时点 P 的坐标为（ - ，- ） ；（3）在 y 轴上是存在点 M，能够使得ADM 是直角三角形理由如下： y=x2+2x-3=y=（x+1 ）2-4 ，顶点D 的坐标为（ -1 ，-4 ） ，学习必备欢迎下载 A（-3 ，0） ， AD2= （-1+3 ）2+ （-4-0 ）2=20 设点 M 的坐标为（ 0，t） ，分三种情况进行讨论：当 A 为直角顶点时，如图3，由勾股定理，得 AM2+AD2=DM2，即（0+3 ）2+ （t-0 ）2+20= （0+1 ）2+ （t+4 ）2，解得 t= ，所

15、以点 M 的坐标为（ 0， ） ；当 D 为直角顶点时，如图3，由勾股定理，得 DM2+AD2=AM2，即（0+1 ）2+ （t+4 ）2+20= （0+3 ）2+ （t-0 ）2，解得 t=- ，所以点 M 的坐标为（ 0，- ） ；当 M 为直角顶点时，如图3，学习必备欢迎下载由勾股定理，得 AM2+DM2=AD2，即（0+3 ）2+ （t-0 ）2+ （0+1 ）2+ （t+4 ）2=20 ，解得 t=-1 或-3 ，所以点 M 的坐标为（ 0，-1 ）或（0，-3） ；综上可知，在 y 轴上存在点 M ，能够使得ADM 是直角三角形，此时点M 的坐标为（0， ）或（ 0，- ）或（ 0

16、，-1 ）或（0，-3） 【例题 3】【题干】 （东营）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点 A（0，2） ，点 C（1，0） ，如图所示，抛物线y=ax2-ax-2 经过点 B（1）求点 B 的坐标；（2）求抛物线的解析式；学习必备欢迎下载（3）在抛物线上是否还存在点P（点 B 除外） ，使 ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】 (1) 点 B 的坐标为（ 3，1） ；(2) y= x2- x-2 ；(3) P1（-1 ，-1 ） ，P2（-2 ，1）. 【解析】 解： （1）过

17、点 B 作 BDx 轴，垂足为 D， BCD+ ACO=90 ， AC0+ OAC=90 ， BCD= CAO，又 BDC= COA=90 ， CB=AC ，学习必备欢迎下载 BDC COA， BD=OC=1 ，CD=OA=2 ，点B 的坐标为（ 3，1） ；（2）抛物线 y=ax2-ax-2 过点 B（3，1） ， 1=9a-3a-2，解得： a= ，抛物线的解析式为 y= x2- x-2 ；（3）假设存在点 P，使得ACP 是等腰直角三角形，若以 AC 为直角边，点 C 为直角顶点，则延长 BC 至点 P1使得 P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点 P1作 P1M x 轴，如图（

18、 1） ，学习必备欢迎下载 CP1=BC ，MCP1= BCD， P1MC= BDC=90 ， MP1C DBC， CM=CD=2，P1M=BD=1， P1（-1 ，-1 ） ，经检验点 P1在抛物线y= x2- x-2 上；若以 AC 为直角边，点 A 为直角顶点，则过点A 作 AP2CA，且使得 AP2=AC ，得到等腰直角三角形ACP2，过点 P2作 P2Ny 轴，如图（ 2） ，同理可证AP2NCAO， NP2=OA=2 ，AN=OC=1， P2（-2 ，1） ，经检验 P2（-2 ，1）也在抛物线 y= x2- x-2 上；若以 AC 为直角边，点 A 为直角顶点，则过点A 作 AP

19、3CA，且使得 AP3=AC ，得到等腰直角三角形ACP3，学习必备欢迎下载过点 P3作 P3Hy 轴，如图（ 3） ，同理可证AP3HCAO， HP3=OA=2 ，AH=OC=1 ， P3（2，3） ，经检验 P3（2，3）不在抛物线 y= x2- x-2 上；故符合条件的点有P1（-1，-1） ，P2（-2，1）两点五、课堂运用【基础】1. （曲靖模拟） 如图，已知二次函数 y=ax2-4x+c的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点 C（0，-5） （1）求该二次函数的解析式和它与x 轴的另一个交点 B 的坐标（2）在上面所求二次函数的对称轴上存在一点P（2，-2 ） ，连接 OP，找出

20、x 轴上所有点 M 的坐标，学习必备欢迎下载使得OPM 是等腰三角形【答案】 (1) y=x2-4x-5 ， B（5，0） ；(2) M 的坐标是（ 4，0） 、 （2，0） 、 （-2，0） 、 （2，0）. 【解析】解：（1）根据题意，得，解得，学习必备欢迎下载二次函数的表达式为 y=x2-4x-5 ，当 y=0 时，x2-4x-5=0 ，解得： x1=5 ，x2=-1 ，点A 的坐标是（ -1 ，0） ， B（5，0） ，答：该二次函数的解析式是y=x2-4x-5 ，和它与 x 轴的另一个交点B 的坐标是（ 5，0） （2）令 y=0 ，得二次函数 y=x2-4x-5 的图象与 x 轴的

21、另一个交点坐标B（5，0） ，由于 P（2，-2 ） ，符合条件的坐标有共有4 个，分别是 M1（4，0）M2（2，0）M3（-2，0）M4（2，0） ，答：x 轴上所有点 M 的坐标是（ 4，0） 、 （2，0） 、 （-2，0） 、 （2，0） ，使得OPM 是等腰三角形学习必备欢迎下载2. （德宏州）已知二次函数y=x2+bx+c图象的对称轴是直线x=2 ，且过点 A（0，3） （1）求 b、c 的值；（2）求出该二次函数图象与x 轴的交点 B、C 的坐标；（3）如果某个一次函数图象经过坐标原点O 和该二次函数图象的顶点M 问在这个一次函数图象上是否存在点 P，使得PBC 是直角三角形？

22、若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】 (1) b=-4 ，c=3 ；(2) B（3，0） ，C（1，0） ；(3) P 的坐标是（，- ）或（ 2，-1 ）或（3，学习必备欢迎下载- ）或（ 1，-）. 【解析】解：（1）二次函数 y=x2+bx+c图象的对称轴是直线x=2 ，且过点 A（0，3） ，代入得： - =2 ，3=c ，解得： b=-4 ，c=3 ，答：b=-4 ，c=3 （2）把 b=-4 ，c=3 代入得： y=x2-4x+3 ，当 y=0 时，x2-4x+3=0，解得： x1=3 ，x2=1 ，B（3，0） ，C（1，0） ，答：二次函数图象与x 轴的交点

23、 B、C 的坐标分别是（ 3，0） ， （1，0） （3）存在：学习必备欢迎下载理由是： y=x2-4x+3 ，=（x-2 ）2-1 ，顶点坐标是（ 2，-1） ，设一次函数的解析式是y=kx+b ，把（0，0） ， （2，-1 ）代入得：，解得：， y=- x，设 P 点的坐标是（ x，-x） ，学习必备欢迎下载取 BC 的中点 M ，以 M 为圆心，以 BM 为半径画弧交直线于Q、H，则 Q、H 符合条件，由勾股定理得；（x-2 ）2+(-x- 0)2=12，解得： x1=-x，x2=2 ， Q（ ，-） ，H（2，-1 ） ；过 B 作 BFX 轴交直线于 F，把 x=3 代入 y=-x

24、 得：y=-， F（3，- ） ，过 C 作 CEX 轴交直线于 E，学习必备欢迎下载同法可求： E（1，- ） ， P 的坐标是（，- ）或（2，-1）或（ 3，-）或（1，- ）. 答：存在， P 的坐标是（，- ）或（ 2，-1 ）或（3，- ）或（ 1，-） 3. （淮安）如图已知二次函数y=-x2+bx+3 的图象与 x 轴的一个交点为A（4，0） ，与 y 轴交于点 B（1）求此二次函数关系式和点B的坐标；（2）在 x 轴的正半轴上是否存在点P使得PAB是以 AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的学习必备欢迎下载坐标；若不存在，请说明理由【答案】 y=-x2+x+3 ，B（0，

25、3） ；(2) P 的坐标为（，0）. 【解析】解：（1）把点 A（4，0）代入二次函数有：0=-16+4b+3 得：b=所以二次函数的关系式为：y=-x2+x+3 当 x=0 时，y=3 学习必备欢迎下载点B 的坐标为（ 0，3） （2）如图：作 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 P，连接 BP，则：BP=AP ，设 BP=AP=x ，则 OP=4-x ，在直角OBP 中，BP2=OB2+OP2即：x2=32+ （4-x ）2解得： x= OP=4-=所以点 P 的坐标为：（ ，0）综上可得点 P 的坐标为（，0） 【巩固】学习必备欢迎下载1. （贵阳）如图，经过点A（0，-6 ）的抛物线y

26、= x2+bx+c与 x 轴相交于B（-2 ，0） ，C 两点（1）求此抛物线的函数关系式和顶点D 的坐标；（2）将（ 1）中求得的抛物线向左平移1 个单位长度，再向上平移m （m 0）个单位长度得到新抛物线y1，若新抛物线y1的顶点P 在ABC 内，求m 的取值范围；（3）在（ 2）的结论下，新抛物线y1上是否存在点Q，使得QAB 是以 AB 为底边的等腰三角形？请分析所有可能出现的情况，并直接写出相对应的m 的取值范围【答案】 (1) （2，-8 ） ；(2) 3m8；(3) 3m; m=. 学习必备欢迎下载【解析】解：（1）将 A（0，-6 ） ，B（-2 ，0）代入 y= x2+bx+

27、c ，得：，解得：， y= x2-2x-6 ，顶点坐标为（2，-8 ） ；（2）将（ 1）中求得的抛物线向左平移1 个单位长度，再向上平移m （m0）个单位长度得到新抛物线y1= （x-2+1 ）2-8+m ， P（1，-8+m ） ，在抛物线 y= x2-2x-6 中易得 C（6，0） ，学习必备欢迎下载直线AC 为 y2=x-6 ，当 x=1 时，y2=-5 ， -5 -8+m 0，解得： 3m 8；（3）A（0，-6 ） ，B（-2 ，0） ，线段AB 的中点坐标为（ -1，-3） ，直线 AB 的解析式为 y=-3x-6 ，过AB 的中点且与 AB 垂直的直线的解析式为：y= x- ，

28、直线y= x- 与 y= （x-1 ）2-8+m有交点，联立方程，求的判别式为： =64-12 （6m-29 ）0 学习必备欢迎下载解得： m当3m时，存在两个 Q 点，可作出两个等腰三角形；当 m=时，存在一个点 Q，可作出一个等腰三角形；当m8 时，Q 点不存在，不能作出等腰三角形学习必备欢迎下载2. （贺州）二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1， ） ；点 F（0，1）在 y 轴上直线y=-1与 y 轴交于点H （1）求二次函数的解析式；（2）点 P 是（ 1）中图象上的点，过点P 作 x 轴的垂线与直线y=-1交于点M ，求证： FM平分OFP ；（3）当FPM 是等边三角形时，求

29、P 点的坐标学习必备欢迎下载【答案】 (1) y= x2；(2)见解析； (3) P 的坐标为（ 2，3）或（-2，3） 【解析】 （1）解：二次函数图象的顶点在原点O，设二次函数的解析式为 y=ax2，将点 A（1， ）代入 y=ax2得：a= ，二次函数的解析式为 y= x2；（2）证明：点 P 在抛物线 y= x2上，可设点 P 的坐标为（ x， x2） ，过点 P 作 PBy 轴于点 B，则 BF= x2-1 ，PB=x ， Rt BPF中，学习必备欢迎下载PF= x2+1 ， PM直线 y=-1 ， PM=x2+1 ， PF=PM ， PFM= PMF ，又PM y 轴， MFH=

30、PMF， PFM= MFH ， FM 平分OFP；（3）解：当FPM 是等边三角形时， PMF=60 ， FMH=30 ，学习必备欢迎下载在 Rt MFH 中，MF=2FH=22=4 ， PF=PM=FM ，x2+1=4 ，解得：x= 2，x2= 12=3 ，满足条件的点 P 的坐标为（ 2，3）或（ -2，3） 学习必备欢迎下载【拔高】1. （江宁区二模）如图，在直角坐标系中，已知点A（-1，0） 、B（0，2） ，将线段 AB绕点 A 按逆时针方向旋转 90至 AC（1）点 C的坐标为 _ ；（2）若二次函数 y= x2-ax-2的图象经过点 C求二次函数 y= x2-ax-2的关系式；当

31、-1x4 时，直接写出函数值y 对应的取值范围；在此二次函数的图象上是否存在点P（点 C除外） ，使 ABP是以 AB为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由学习必备欢迎下载【答案】 (1) （-3 ，1） ；(2)y= x2+ x-2；y8；【解析】解：（1）过点 C 作 CDx 轴于点 D，旋转角为 90， BAO+ CAD=180 -90 =90 ，又 BAO+ ABO=90 ， CAD= ABO，在 ABO 和 CAD 中，学习必备欢迎下载， ABO CAD（AAS） ， AD=BO=2 ，CD=AO=1， OD=AO+AD=1+2=3，点C 的坐标为

32、（ -3 ，1） ；（2）二次函数 y= x2-ax-2 的图象经过点 C（-3 ，1） ，（-3 ）2-（-3 ）a-2=1 ，解得 a=-，学习必备欢迎下载故二次函数的关系式为y= x2+ x-2 ；y= x2+ x-2=（x+ ）2-，当-1x 4 时，x=-时取得最小值 y=- ，x=4 时，取得最大值y= （4+ ）2- =8 ，所以，函数值 y 的取值范围为： -y 8；（i） 当 A 为直角顶点时，延长CA 至点 P1，使 AP1=AC=AB ，则ABP1是以 AB 为直角边的等腰直角三角形，过点P1作 P1Ex 轴， AP1=AC ，EAP1= DAC，P1EA= CDA=90

33、 ，学习必备欢迎下载 EP1ADCA， AE=AD=2 ，EP1=CD=1 ，可求得 P1的坐标为（ 1，-1 ） ，经检验点 P1在二次函数的图象上；（ii） 当 B 点为直角顶点时，过点B 作直线 LBA，在直线 L 上分别取 BP2=BP3=AB ，得到以 AB 为直角边的等腰直角 ABP2和等腰直角ABP3，作 P2Fy 轴，同理可证BP2F ABO，则 P2F=BO=2 ，BF=OA=1 ，可得点 P2的坐标为（ 2，1） ，经检验 P2点在二次函数的图象上，同理可得点 P3的坐标为（ -2，3） ，经检验 P3点不在二次函数的图象上学习必备欢迎下载综上所述：二次函数的图象上存在点P

34、1（1，-1 ） ，P2（2，1）两点，使得ABP1和 ABP2是以 AB 为直角边的等腰直角三角形2. （重庆）如图，已知抛物线y=-x2+2x+3与 x 轴交于A，B 两点（点A 在点 B 的左边），与 y 轴交于点C，连接BC（1）求 A，B， C 三点的坐标；（2）若点 P 为线段BC 上一点（不与B，C 重合），PM y 轴，且 PM 交抛物线于点M ，交 x轴于点N ，当BCM 的面积最大时，求BPN 的周长；（3）在（ 2）的条件下，当BCM的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得CNQ 为直角三角形，求点Q 的坐标学习必备欢迎下载【答案】 (1) A（-1，0） ，B（

35、3，0） ，C（0，3） ；(2) 3+；(3) Q1（1，） ，Q2（1，） ，Q3（1，- ） ，Q4（1， ）. 【解析】解：（1）由抛物线的解析式y=-x2+2x+3 ， C（0，3） ，令 y=0 ，-x2+2x+3=0，解得 x=3 或 x=-1 ；学习必备欢迎下载 A（-1，0） ，B（3，0） （2）设直线 BC 的解析式为： y=kx+b ，则有：，解得，直线BC 的解析式为： y=-x+3 设 P（x，-x+3 ） ，则 M （x，-x2+2x+3 ） ， PM= （-x2+2x+3 ）-（-x+3 ）=-x2+3x S BCM=S PMC+S PMB= PM ? （xP-

36、xC ）+ PM? （xB-xP ）= PM? （xB-xC ）= PM S BCM= （-x2+3x ）=-（x-）2+当x=时，BCM 的面积最大学习必备欢迎下载此时 P（ ， ） ，PN=ON=， BN=OB-ON=3-=在 Rt BPN 中，由勾股定理得： PB=C BCN=BN+PN+PB=3+当 BCM 的面积最大时，BPN 的周长为 3+（3）y=-x2+2x+3=-（x-1 ）2+4 抛物线的对称轴为直线 x=1 在 Rt CNO 中，OC=3 ，ON=，由勾股定理得： CN=学习必备欢迎下载设点 D 为 CN 中点，则 D（ ， ） ，CD=ND=如解答图，CNQ 为直角三角形，若点 Q 为直角顶点作 Rt CNO 的外接圆 D，与对称轴交于 Q1、Q2两点，由圆周角定理可知， Q1、Q2两点符合题意连接 Q1D，则 Q1D=CD=ND=过点 D（ ， ）作对称轴的垂线，垂足为E，则 E（1， ） ，Q1E=Q2E，DE=1-= 在 Rt Q1DE 中，由勾股定理得：