新人教版秋季八年级数学培优讲义.pdf

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1、DCBAFEDCBAHGEDCBAEDCBAAHFEDCB图 1 图 2 图 3 图 1 图 2 图 3 第一讲三角形专题（一）【基本图形1】如图，求证： A +D =C + B【探究 1】 （1）如图 1，已知 B = 60 ，则 A +B +C +D +E = _（2）如图 2，则 A +B +C +D +E +F = _（3）如图 3，则 A +B +C +D +E = _【基本图形2】如图，求证： A+D+B =BCD【探究 2】 （1）如图 1，则 A +B +C +D +E +F = _（2）如图 2，则 A +B +C +D +E +F = _（3）如图 3，则 A +B +C

2、+D +E = _DCBA图 1 图 2 图 3 【例题讲解】【例 1】已知 ABC 中， CAB CBA，CD 平分 ACB，E 为直线 AB 上一点，过 E 作 ED 垂直于 CD，垂足为 D（1）当 E 与 A 重合时，如图1，求证： BED =12(CAB - CBA )；（2）当 E 在 AB 延长线上时，如图2， （1）中的结论是否仍成立，请你给出证明【例 2】已知 ABC 中， ABC = nDBC，ACB = nBCE，BD 与 CE 交于点 M（1）如图 1，当 n = 2 时，求证：1902BMCA；（2）如图 2，当 n = 3 时，过 M 作 MNBC 于 N，试探究：

3、 NMC -MBN 与 A 的数量关系；（3）如图 3，在（ 2）的条件下，若BEC = 130 ， BCC = 110 ， BDC = _ （直接写出答案）图 1 图 2 【例 3】如图 1，ABC 中 AD、AE 分别为高、角平分线，F 在 BC 的延长线上，过F 作 FGAE 于 G 且交 AB 于 H（1）求证： DAE =F；（2）求证： 2DAE =ACB - B；（3）ABC 中，若 ACB 为钝角，其它条件不变，如图2，请画出图形并直接写出DAE、ACB、B 之间的数量关系【例 4】如图 1，一个直角 ABC 的木框和一个端点为O 且可任意调整角度的角尺，其中ACB = 90

4、，A = （1）如图 2，调整角尺，使角尺的一边OD 垂直于 AB，另一边 OE 经过直角顶点C，与 AB 交于 E 点，若 DOE = 45 ，= 30 ，求 BCE 的度数；（2）如图 3，使角尺的一边OD边 AB，另一边 OE 搭在直角边AC 上，调整此时的角度，使DOE =A，延长 BC 交OE 于 F，作 FG 平分 CFE 交 AC 于 G，请判断此时FG 与 AB 的位置关系，并证明你的结论；（3）如图 4，使角尺的两边分别与ABC 的两边垂直，即ODAC 于 D，OEAB 交 BA 的延长线于E， DOE 与 ACB的平分线交于点P，是否存在一个 ，使 P = ？若存在，请求出

5、的值，若不存在，请说明理由DAHFBCEGCBA图 1OCBA图 2ABCOED图 3ABCODEFABCO图 4DEP【家庭作业】1已知 D、E 分别为 ABC 的边 AB、AC 上的点， DEBC，DN、CN 分别为 ADE 和 ACF 的平分线，BM、EM 分别为 GBC 和 DEC 的平分线（1）判断 BM 与 DN 的位置关系并证明；（2）求证： M +N = 90 2平面内，四条线段AB、BC、CD、DA 首尾顺次相接，ABC =24 ， ADC = 42 （1） BAD 和 BCD 的角平分线交于点M（如图 1） ，求 AMC 的大小；（2）点 E 在 BA 的延长线上， DAE

6、 的平分线和 BCD 的平分线交于点N（如图 2） ，则 ANC = _MDCBA图1NDCBA图2ENMCAGDBEF图 1 图 2 3如图， ABC 中， AC BC,CD 是高， ABC 的角平分线AE 交 CD 于 F（1）请比较 CEF 与 CFE 的大小 ,并证明你的结论；（2）若“ ABC 的角平分线AE 改为 ABC 的外角平分线AE ”，其它条件不变， CEF 与 CFE 的大小关系如何？请画出图形并予以判断（不要求证明过程）FEDCBADCBA图 1 xyNAMDOCB图 2 xyNEMDOFQRPOxy图 2 MQRPOxy图 3 M第二讲三角形专题（二）【例题讲解】【例

7、 1】已知在平面直角坐标系中，M、N 分别为x轴、y轴上的两个动点，M 在原点的左侧，N 在原点的上方（1）如图 1，射线 MO、NO 平分 BMC、 DNC， BMC 与 DNC 的各边分别交于A、B、C、D，试判断 BAD、 C之间有何确定的数量关系？证明你的结论；（2）如图 2，ND 平分 MNO，ND 交x轴于 E，11,3FEONEFFMONMFn，且 MFE = 1125 ，求 n的值【例 2】已知 P 为第四象限一动点，Q 为 x 轴负半轴上一动点，R 在 PQ 下方且为 y 轴负半轴上一动点（1）如图 1，若 P（2， 1） ，Q（ 3，0） ，R（0， 5） ，求 SPQR；

8、（2）如图 2，若 RM、QM 分别平分 PRO， PQO，P、Q、R 在运动过程中，P、M 是否存在确定的数量关系，若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由；（3）若将 R 点改为 y 轴正半轴上一动点，且在 P、Q 及（2）中的条件不变的前提下，如图 3，P、M 又有何数量关系？（写出结论，不证明）QRPOxy图 1 图 1 图 2 【例 3】已知平面直角坐标系中，直线MN 交 x 轴于点 A（a，0） ，交 y 轴于点 B（0b） （1）若2(231)10abab，求 A、B 两点的坐标；（2）如图 1，过 G 点作 GE AE，GH 平分 OGE，求证： 1=2；（3）如图 2，B

9、Cx 轴，且 BAC =BCA，D 为 CA 延长线上一点， 且 DOY =12ABY，当 A 点在 x 轴正半轴上运动时，D 的度数是否发生变化？若不变求其值；若变化，说明理由【例 4】已知 A（0，m） ，点 C 在 x 轴负半轴上，且有(- 2m -5n + 3)2 +n- 3= 0(1)若227ABCS，求点 C 的坐标：（2）如图 1，将 C 点向上平移，使CO 平分 ACB，点 P 是 y 轴 B 点上方的一动点，PQOC 于点 Q，当 ABC =BAC + 54 时，求 APQ 的度数（3）如图 2，在（2）的条件下，将线段AC 平移，使其经过P 点得线段 EF，作 APE 的角

10、平分线交OC 的延长线与点M，当 P 在 y 轴上运动时，M -21BAC 的值是否发生变化？若不变，求其度数；若变化，求其变化范围【例 5】如图，已知：在平面直角坐标系中，A)0 ,(a，B)0 ,(b，a0，b0图 1 图 2 图 3 （1）如图 1，若点C在y轴上，且有0)2(42ba，ABC的面积为 18，求点C的坐标；（2） 如图2，若C点在第一象限运动，交y轴G点，CB的延长线交y轴于D点，E点为B点关于y轴的对称点，DE的延长线交AC于F点当DFC=C+70 时，求BAG的度数；如图 3，将线段DC平移，使其经过A点得线段NK，过A的直线AM交y轴于M，交CD延长线于H点，当满足

11、CAH=CHA时，求DFCAMO的值【家庭作业】1在平面直角坐标系中，A（0，1） ，B（4，1） ，C 为 x 轴正半轴上一点且AC 平分 OABxyOABMyxBCHDKAFGNEOyABCFGEOxyACBoxyPACEoxyECAPo图 1 图 2 图 3 图 1 图 2 图 3 （1）求证： OAC=OCA；（2）若分别作 AOC 的三等分线及OCA 的外角的三等分线交于P，即满足 POC=31AOC，PCE=31ACE，求 P 的大小；（3）在（ 2）中，若射线OP、CP 满足 POC =n1AOC，PCE =n1ACE，猜想 OPC 的大小，并证明你的结论（用含n 的式子表示）2

12、如图，在平面直角坐标系中，AOB 是直角三角形，AOB=90 ，斜边 AB 与 y 轴交于点 C（1）若 A=AOC，求证： B=BOC；（2）延长 AB 交 x 轴于点 E，过 O 作 ODAB，且 DOB=EOB， OAE=OEA，求 A 的度数；（3）如图， OF 平分 AOM， BCO 的平分线交FO 的延长线于点P当 ABO 绕 O 点旋转时（斜边AB 与 y 轴正半轴始终相交于点C） ，在（ 2）的条件下，试问P 的度数是否发生改变？若不变，请求其度数；若改变，请说明理由第三讲等腰直角三角形专题xyOEDCBAxyOCBAPMFxyOCBAEDCBAEDCBA图 1 图 2 【例题

13、讲解】【例 1】如图， ABC 中， A = 90 ，AB = AC，过 A 在 ABC 外任作直线l，BEl于 E，CF l于 F（1）求证： EF = BE + CF；（2）若l为经过 ABC 内部的一条直线，其它条件不变，中的结论是否成立？【例 2】已知：如图， DE 为过等腰RtABC 锐角顶点 A 的任意直线， CDDE 于 D，BE DE 于 E（1）若点 D 在 ABC 内部（如图1） ，求证： CD + BE = AD；（2）若点D在ABC外部（如图2） ，其它条件不变， （1）的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由【练】 如图， ABC 中， ACB = 9

14、0 ，AC = BC，若直线 l 过顶点 A，BMl 于 M，CNl 于 N求证： BM + CN = AN错误！未找到引用源。【例 3】如图 1，在平面角直角坐标系中，A（ 2，0） ，B（0，3） ，C（3，0） ，D（0，2） （1）求证： AB = CD 且 ABCD；图 1 图 2 图 3 （2）如图 2，以 A 为直角顶点在第二象限内作等腰直角三角形ABE，过点 E 作 EFx轴于点 F，求点 F 的坐标；（3）如图 3，若点 P 为y轴正半轴上一动点，以AP 为直角边作等腰直角三角形APQ，APQ = 90o ，QRx轴于点 R，当点 P 运动时， OPQR 的值是否发生变化？若

15、不变，求出其值；若变化，请说明理由【练】1如图 1，OA = 2，OB = 4，以 A 点为顶点， AB 为腰在第三象限内作等腰RtABC，（1）求 C 点坐标（2）如图 2，P 为 y 轴负半轴上的一个动点，当P 点沿 y 轴负半轴向下运动时，以P 为顶点， PA 为腰作 RtAPD，过 D作 DEx 轴于 E 点，求 OPAE 的值（3）如图 3， 点 F 坐标为（ 2，2） ，点 G（0，m） （m0）为 y 轴上一动点， H（n， 0） （n0）为 x 轴上一点， HFG=90 ，当 G 点在 y 轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：mn 为定值； mn 为定值，其中只有一个结论

16、是正确的，请找出正确的结论，并求出其值2 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 点A与 点B的 坐 标 分 别 是), 0(),0,(bBaA， 且ba,满 足yxODCBAyxOFEDCBARQPOAxyFyxODCBAE2232(322)0abab点 E 的坐标是(0, )(2)tt，以 AE 为边作如图所示正方形AEDCDB 交x轴于点 F（1）求点 A、点 B 的坐标；（2）试用含t的式子表示点D 和点 C 的坐标；（3）当t(2)t变化时，线段OF 的长度是否发生变化？为什么？【例 4】如图 ABC 中，90C，BEAB且BEAB，且BDBC，CB的延长线交DE于F，求

17、证：F点是DE的中点【练】1如图，已知等腰直角 ABE 和已知等腰直角ACD，90BAECAD，AMDE于M，交BC于N，求证：AN为ABC的中线2如图， A（ 2，0） ，B（0，3） ，C（3，3） ，ABD 是等腰直角三角形，ABD = 90o，CD 交y轴于点 E，过点 F 作 CD的垂线，交CD 于点 F，交 OA 于点 GDEBANMCFEDCBA（1）求点 E 的坐标；（2）求证： AG = OG【家庭作业】1如图，在平面角直角坐标系中，点A 的坐标是（,0a） 、D 的坐标是（0,b） ，且,a b满足22(4)0ab（1）求点 A 和点 D 的坐标；（2）以 AD 为直角边作

18、等腰直角三角形AMD，求点 M 的坐标；2如图，已知点A（2，0）和点 B（0，4） ，以 B 为直角顶点在第一象限作等腰RtABC（1）在 y 轴上存在一点M，使得 MA + MC 最小，请画出点M； （保留画图痕迹）（2）求点 C 的坐标；（3）若 P 点为 y 轴正半轴上一个动点，分别以AP、OP 为直角腰在第一象限、第二象限作等腰RtAPE 和等腰 RtOPD ，连接 ED 交 y 轴于 N 点，当点P在 y 轴正半轴上移动时，求PN 的长度3已知： C 点的坐标为（ 4，4） ，A 为 y 轴负半轴上一动点，连CA，CBCA 交 x轴于 B（1） 求证： CA = CB；yxGFEO

19、DCBAOADyxDNyxOCPAyxOCBA（2）问 OBOA 是否为定值，是定值并求其定值4已知 A（ 4，0） ，B（0，4） ，C（0，4） ，过 O 作 OMON 分别交 AB、AC 于 M、N 两点（1）求证： OM = ON；（2）连 MN，MN 交 x 轴于 Q，若 M 点的纵坐标为3，求 M 与 N 的坐标第四讲角平分线专题一、角平分线的常用辅助线ABCOABCOXYMNQ21DECAB【例 1】 如图，已知ABC的周长是21，OB，OC分别平分ABC和ACB，ODBC于D， 且3OD， 求ABC的面积【练】 如图，在 ABC 中， C = 90 ，AD 平分BAC，若 AB

20、 = 20，BC = 16，BD：CD = 5：3，求ABD的面积【例 2】 如图， 在ABC中，60B，AD、CE分别平分BAC、BCA， 且AD与CE的交点为F 求证：【练】 在ABC中，ABAC，AD是BAC的平分线P是AD上任意一点求证：ABACPBPC【例 3】如图所示，在ABC 中， ABC = 3C，AD 是 BAC 的平分线， BEAD 于 F求证：1()2BEACAB【练】 已知：如图， AB = AC， BAC = 90 ， 1 = 2，CEBE，求证： BD = 2CEFBEDCACDBPAEDCABQPCBADCBA二、角平分线基本图形的应用【例 4】已知：如图，在AB

21、C 中， C = 2B， 1 =2，求证： AB = AC + CD【练】1在 ABC 中， A = 90 ，AB = AC，BP 是角平分线，过P 作 BPC 的平分线 PQ 交 BC 于 Q，试探究 PC、CQ、PB 之间存在何种数量关系，并证明你的结论2 ABC 中， BAC = 60 ， C = 40 ，AP 平分 BAC 交 BC 于 P，BQ 平分 ABC 交 AC 于 Q求证： AB + BP = BQ + AQ3如图，在 ABC 中 A = 100 ，AB = AC， ABC 的平分线交AC 于 D，求证： AD + BD = BC三、角平分线综合【例 5】如图， ABC 中，

22、 BAC、 ABC 的角平分线相交于点P，连接 CP，求证： CP 一定平分 ACB【练】 在 ABC 中， ABC=100 ， ACB=20 ，CE 平分 ACB 交 AB 于 E，D 在 AC 上且 CBD = 20 ，求 CED 的度数【例 6】如图，在平面直角坐标系中，点B 的坐标是（ - 1，0） ，点 C 的坐标是（ 1，0） ，点 D 为 y 轴上一点，点A 为第二象限内一点，且BAC = 2BDO，过 D 作 DMAC 于 M（1）求证： ABD =ACD；（2）若点 E 在 BA 延长线上，求证：AD 平分 CAE；（3）当点 A 运动时，ACABAM错误！未找到引用源。的值

23、是否发生变化？若不变，求其值，若变化，请说明理由【练】 如图，点 M(2，2)，将一个 90 的角尺的直角顶点放在点M 处，角尺的两边分别交x 轴， y轴正半轴于A，B，AP 平分 OAB 交 OM 于 P，PNx 轴于 N，把角尺绕点M 旋转时：PACBEDCAB（1）求证： OM 平分 AOB；（2）求 OA+OB 的值；（3）ON+12AB 的值是否发生变化？试证明你的结论【家庭作业】1 （1）如图，在四边形ABCD中，AD = DC，BD平分ABC，求证：A +C = 180 （2）如图，在四边形ABCD 中， A +C = 180 ，BD 平分 ABC，求证： AD = DC（3）如

24、图，在四边形ABCD中，DEBC于E，BD平分ABC，若A +C = 180，求证：BE =12（AB + BC） （4）如图，在四边形ABCD 中， DEBC 于 E，若 A +C = 180 ，BE=12（AB + BC）求证： BD 平分 ABC2已知：如图，等腰三角形ABC 中， AB = AC， A = 108 ，BD 平分 ABC 求证： BC = AB + DCD C B A 3如图， ABC 中， ACB = 90 ，AC = BC，若直线 l 过顶点 A，BMl 于 M，CNl 于 N（1）求证： BM + CN = AN；（2）若 l 平分 BAC，求CNDNBM错误！未找

25、到引用源。的值第五讲等腰和等边三角形专题FEDCBAFEDCBA类型一：作平行线构造等腰三角形【基本图形】 若 AB = AC，DEAC，求证： BDE 为等腰三角形【例 1】如图，在 ABC 中， AB = AC，点 D 在 AB 上，点 F 在 AC 的延长线上， DF 交 BC 于点 E，且 DE = EF，求证： BD = CF 【例 2】已知：如图，等边ABC 中， D 是线段 AB 上的任意一点， E 是 AB 延长线上一点， CF 平分 ACE，ADF = 60 （1）求证： AD = DF ；（2） 若将上述条件中的“ D 是线段 AB 上的任意一点 ” 改为 “ D 是 AB

26、 延长线上的任意一点” ， 其余条件不变， 则结论 “ AD = DF ”还成立吗 ?如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由【例 3】已知正方形ABCD 中， M 是线段 AB 上的任意一点，E 是 AB 延长线上一点，MNDM 且交 CBZ 的平分线于N（1）证明： MD = MN；ADCBEADCBE（2） 若将上述条件中的“ M 是线段 AB 上的任意一点 ” 改为 “ M 是 AB 延长线上的任意一点” ， 其余条件不变，则结论 “ MD = MN”还成立吗 ?如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由【例 4】已知 ABC 是等边三角形，点P 是 AC 上一点， PEBC 于点 E，

27、交 AB 于点 F，在 CB 的延长线上截取BD = PA，PD 交 AB 于点 I，PAnPC. （1）如图 1，若1n，则EBBD= _，FIED= _；（2）如图 2，若 EPD = 60o ，试求n和FIED的值；（3）如图 3，若点 P 在 AC 边的延长线上，且3n，其他条件不变，则EBBD= _【练】 已知等边三角形ABC，点 P 在射线 BA 上，(1)BAn nAP（1）当 n = 2 时，过点 P 作 PFBC 于 F 点，交 AC 于点 E 点，求证： AE = EC；IPFEDCBA图 2 IPFEDCBA图 1 IPFEDCBA图 3 PCAFBEPCADBCADB（

28、2）点 D 在 BC 的延长线上， BC = CD，PC = PD，求 n 的值；（3）若点 P 在射线 BA 上， D 在直线 BC 上， PC = PD，那么ACCD_（用 n 的式子来表示）类型二、共顶点的等腰三角形【例 5】已知 ABC 和ADE 均为等边三角形，点A，E 都在 BC 的同侧（1）当点 D 在 BC 上，写出线段AC、CD、CE 之间的数量关系；（2）若点 D 在 BC 的延长线上，其他条件不变，写出线段AC、CD、CE 之间的数量关系ADCBEADCBE【变式】 已知 ABC 为等边三角形，D 为 BC 任意一点， CD + CE = AC，边 DE 与 ACB 的外

29、角平分线交于点E，求证：ADE 为等边三角形【练】 如图， ABC 中， AB = AC，D 为ABC 外一点， ABD = 60（1）若1902ADBBDC，求证：ABBDCD；ADCBE图 1 图 2 图 3 （2）若60ACD，求证：ABBDCD【例 6】如图所示， ABC 是等边三角形，D 为ABC 外的一点，且 BDA = ADC = 60 ，求证： BD + CD = AD（两种方法）【练】 已知：如图， ABC 是等边三角形，BDC=120 ，求证： AD=BD+CD【家庭作业】1已知等腰 ABC 和等腰 ADE 的顶点公共， B、A、E 在同一条直线上，BAC = DAE，PB

30、 = PD，PC = PE.（1）如图 1，若 BAC = 90 ，则 BPC +DPE= _；（2）如图 2，若 BAC = ，则 BPC +DPE = _；（3）在图 1 的基础上将等腰RtABC 绕点 A 旋转一个角度， 得到图 3，则 BPC+DPE= _；并证明你的结论2已知： AB = BC，BD = BE， ABC =DBE = ，M、N 分别是 AD、CE 的中点（1）如图 1，若 =60 ， BMN= _；请证明 . （2）如图 2，若 =90 ， BMN= _；ADCBDCBAABCDEPPEDCBAPEDBCA图 1 图 2 图 3 （3）将图 2 中的 BDE 绕 B

31、点逆时针旋转一锐角，在图3 中完成作图，则BMN = _第六讲共顶点半角专题【基本题】正方形 ABCD 中， E 为 BC 上的一点， F 为 CD 上的一点， BE + DF = EF，求 EAF 的度数NMEDCBANMEDCBABCDEAFDABCDNMA【变式 1】正方形 ABCD 中，E 为 BC 上的一点， F 为 CD 上的一点， AF 平分 DFE，求 EAF 的度数【练】 正方形 ABCD 中， E 为 BC 上的一点， F 为 CD 上的一点， EAF = 45 ，求证： BE + DF = EF【变式 2】如图， ABC 是边长为 3 的等边三角形，BDC 是等腰三角形，

32、且BDC = 120 ，以 D 为顶点作一个60 角，使其两边分别交AB 于点 M，交 AC 于点 N，连接 MN，则 AMN 的周长为_【归纳总结】图形 1 图形 2 图形 3 条件正方形 ABCDEAF =45BE+DF=EFAF 平分 DFEFEDCBAFEDCBAAy图 1 图 2 图 3 结论BE+DF =EFEAF =45 AE 平分 BEFAF 平分 DFEAE 平分 BEFAF 平分 DFEAE 平分 BEFEAF =45BE+DF=EF辅助线做法图形HFEDCBA图形特征1：2：【例题讲解】【例 1】如图 1，ACB为等腰直角三角形，ABC = 90 ，点 P 在线段 BC

33、上（不与 B，C 重合） ，以 AP 为腰长作等腰直角PAQ，QEAB 于 E（1）求证：PABAQE；（2）如图 2，连接 CQ 交 AB 于 M，若 PC = 2PB，求MBPC的值；（3）如图 3，过 Q 作 QFAQ 交 AB 延长线于 F，过 P 作 DPAP 交 AC 于 D，连接 DF，问：当点P在线段 BC 上运动时（不与 B，C 重合），DFDPQF的值会变化吗？若不变，求出该值，并证明；若变化，请说明理由【例 2】 如图， 在平面直角坐标系中， 点 A 的坐标为（0， a） ， 点 B 的坐标为（b， 0） ， 且 a、 b 满足4220abab（1）求证： OAB =OB

34、A；（2）点 C 为 OB 的延长线上一点，连结AC，过 B 作 BDAC，连结 OD求证： OD 平分 ADB；（3）点 E 是点 A 关于 x 轴的对称点，点F 是点 B 关于 y 轴的对称点， P 为 AF 的延长线上一动点，G 为 BA 的延长线上一HFEDCBAHFEDCBAxDCOBAyGPyxOFEBA图 1 图 2 图 3 图 1 图 2 图 3 点，连接 PG，且满足 BG = PG + PF，当 P 在 AF 的延长线上运动的过程中，PEG 的度数是否会发生变化，若不变，请求出它的度数；若改变，请说明理由【例 3】如图 1，在平面直角坐标系中， 点 A 的坐标为（a，0）

35、，点 B 的坐标为 （0， b） ，且 a、 b 满足2144012abaa（1）求证： OAB = OBA；（2）如图 2，OAB 沿直线 AB 翻折得到 ABM，将 OA 绕点 A 旋转到 AF 处，连接 OF，作 AN 平分 MAF 交 OF 与点 N，连接 BN，求 ANB 的度数；（3）如图 3，若 D（0，4） ，EBOB 于 B，且满足 EAD = 45 ，试求线段EB 的长度【家庭作业】1已知，如图四边形ABCD 中， AB CD ， B = 90 ， BAD = 60 ，PA 平分 BAD，PD 平分 ADC（1）求证： PB = PC；（2）点 M、N 为线段 AB、AD

36、上两点，当 MPN = 60 ，PD = 2 时，求 AMN 的周长NDA图 1 图 2 2 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， ABO是 等 腰 直 角 三 角 形 ， OAB = 90o， 点A 的 坐 标 是 （,n n） ， 其 中2244122mmnm（1）求点 A 的坐标；（2） 如图 1，分别以 AB 和 OB 为边作等边三角形ABC 和 OBD，则线段 BC 和 DC 有怎样的数量关系和位置关系？为什么？（3）如图 2，过点 A 作 AMy轴于点 M，点 E 为x轴负半轴上一点，K 在 ME 的延长线上，以MK 为直角边作等腰直角三角形MKJ， MKJ = 90

37、o，过点 A 作x轴的垂线交MJ 于点 N，连接EN给出两个结论：ANENOE的值不变；ANENOE的值不变，其中有且只有一个结论正确，请你判断出正确的结论，并加以证明和求出其值第七讲中线倍长【例题讲解】【例 1】1如图，已知在ABC 中， AD 为中线，求证： AB + AC2ADEKJNMyxOAyxCDOBADCBA2如图，在 ABC 中， D 为 BC 的中点， DEDF 交 AB、AC 于 E、F，求证： BE + CFEF【例 2】如图，在 ABC 中， AD 是 BAC 的平分线， M 是 BC 的中点，过 M 作 MEAD 交 BA 延长线于 E，交 AC 于 F，求证： BE

38、 = CF =12（AB + AC） 【例 3】如图，两个正方形ABDE和ACGF，点P为BC的中点，连接PA交EF于点Q探究AP与EF的关系【例 4】已知：如图1，正方形ABCD和正方形EBGF，点M是线段DF的中点（1）试说明线段ME与MC的关系；（2）如图 2，若将上题中正方形EBGF绕点B顺时针旋转度数（90） ，其他条件不变，上述结论还正确吗？若正确，请你证明；若不正确，请说明理由FEDCBAMFEDCBA图 1 图 2 图 1 图 2 【例 5】 （1）如图 1，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上 （BCCG）取线段AE的中点P探究：线段PD、P

39、F的关系，并加以证明（2）如图 2，将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后，其他条件不变探究：线段PD、PF的关系，并加以证明【例 6】如图，在等腰 ABC 中， AB = AC，ABC = ，在四边形 BDEC 中，DB = DE，BDE = 2 ，M 为 CE 的中点，连接 AM、DM （1）求证： AMDM ；（2）当 = _，AM = DMMEDCBA【家庭作业】1如图， AD 是ABC 的中线， ADB 与 ADC 的平分线分别交AB、AC 于点 E、F，求证： BE + CFEF2如图，已知在ABC 中， AD 是 BC 边上的中线， E 是 AD 上一点，且AF=EF，延长 BE

40、交 AC 于 F，求证： BE=AC3两个全等的含30 、60 角的三角板ADE 和三角板 ABC，如图所示， E、A、C 三点在一条直线上，连结BD，取 BD 的中点 M，连结 ME、MC ，试判断 EMC 的形状，并说明理由FEDCBAFEDCBAMFDCBA4如图，在 ABC 中， AD 是 BAC 的平分线， M 是 BC 的中点，过M 作 MFAD，AB=7，AC=11，求 FC 的长为5如图，等腰直角ABC与等腰直角BDE，P为CE中点，连接PA、PD探究PA、PD的关系第八讲期中复习类型一：选填题（多结论的问题）1如图 ，过边长为1 的等边 ABC 的边 AB 上一点 P，作 P

41、EAC于 E，Q 为 BC 延长线上一点，当PA = CQ 时，连 PQ 交 AC 边于 D，则 DE 的长为（）F G E A C B D 第 4 题图第 3 题图第 2 题图第 1 题图第 5 题图A13B12C23D不能确定2如图，在ABC中， ABAC，A36 ，AB 的垂直平分线 DE 交 AC 于 D，交 AB 于 E，下列结论：BD 平分 ABC；ADBDBC； BDC 的周长等于ABBC； D 是 AC 中点其中正确结论的个数有（）A1 个B2 个C3 个D4 个3如图， ABC 中，高 AD = BC，以 AB 为斜边向内作等腰RtABE，EFAD 交 AC 于 F，则下列结

42、论：ADE BCE； CEDE；BD=2EF； ABC 一定是等腰三角形其中正确的有（）ABCD4如图，在RtABC 中， ACB = 90 ，CDAB，作 ABC 的平分线交 AC、CD 于点 E、F，过点 F 作 FGAB 交 AC 于点 G，则下列结论 CE = CF； AG = CF； EG = CF； CD = GF 其中一定正确的是（）AB CD 5如图，在等腰RtABC 中， ACB = 90 ，AC = BC，AD 平分 BAC，交 BC 于点 D，CEAD 交 AB 于 E 点，垂足为F 点下列结论： BD = BE； CF = EF； AB - BC = CD； AD =

43、2DF + CE其中正确结论的序号是（）ABCD6已知：如图，等腰ABC，AB = AC， BAC = 120 ，ADBC 于点 D，点 P 是 BA 延长线上一点，点O 是线段 AD 上一点， OP = OC，下面的结论：APO+DCO = 30 ； OPC 是等边三角形； AC = AO + AP； SABC = S四边形 AOCP其中正确的有（）第 6 题图ABCD类型二：几何综合1如图 1，BD 是等腰ABCRt的角平分线，90=BAC（1）求证： BC = AB + AD；（2）如图 2，BDAF于 F，BDCE交延长线于E，求证： BD = 2CE；（3）试探究线段EC、AF、FD

44、 之间的数量关系，并证明你的结论2已知CD是经过BCA顶点C的一条直线，CACBEF，分别是直线CD上两点，且BECCFA（1） 若直线CD经过BCA的内部，且EF，在射线CD上， 请解决下列问题： 如图 1， 若90BCA，90，则BE_CF；EF_BEAF（填 “ ” ，“ ” 或“ ” ） ；并证明你的结论；（2）如图 2，若0180BCA，请添加一个关于与BCA关系的条件_，使（ 1）中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立；（ 3）如图3，若直线CD经过BCA的外部，BCA，请写出EFBEAF，三条线段之间的数量关系_（不必证明结论） 3如图，已知等边ABC 中， D 为 AC 上一

45、动点 CD = nAD，连接 BD，M 为线段 BD 上一点， AMD = 60 ，AM 交 BC于 E（1）若 n = 1，如图 1，则BECE= _，BMDM_；（2）若 n = 2，如图 2，求证： 2AB = 3BE；A B C D 图 1 A B C D F E 图 2 A B C E F D D A B C E F A D F C E B 图 1 图 2 图 3 A C B D o x y 图 1 A C B D o x y 图 2 E （3）当79BEAB时，则n 的值为_4如图 1，在平面直角坐标系中，A（0，a） ，C（- a，a） ，A B D是等边三角形，直线CB 交 x

46、 轴于点 D（1）求BDO的度数；（2）求证： CB=BD；（3）如图 2，作 BECD 交 OA 于 E，试探究线段DO、AE、BO 之间的数量关系，并给出证明5已知：如图1，平面直角坐标系中，点A（- 3，0） ，点 B（0，3） ，点 C 为 x轴正半轴上一动点，过点A 作 ADBC 交 y轴于点 E（1）若点 C 的坐标为（ 2，0） ，试求点 E 的坐标（2）若点 C 在 x 轴正半轴上运动，且OC3，其他条件不变，连OD，求证： BDO 的度数不变（3）如图 2，若在点 A 处有一等腰直角三角形AMN 绕点 A 旋转，且 AM = MN，AMN = 90 ，连 BN，点 P 为 B

47、N 的中点，B y 图 1 图 2 试猜想 OP 与 MP 的数量和位置关系并证明你的结论第九讲整式乘法【例题讲解】【例 1】计算A B C D E O x y （1）3222ababa（2）23332221zxyxy（3）nmmnnm322312（4）232471235yxyxxy【例 2】计算222xyyx；bacacbcba。【练】 计算：3222xyyx22226 .02343babababbaaab32432125217423452323abbaababa【例 3】计算：（1）babababa22（2）5321252xxxxx【练】 解方程：425157xxxx【练】 解不等式(34

48、)(34)9(2)(3)xxxx【例 4】魏明家新购一套结构如图的住房，正准备装修。（1）试用代数式表示这套住房的总面积。（2）若mymx3,5.2，装修客厅和卧室（3）至少需要准备多少面积的木地板？【例 5】已知n为正整数，且73nx，求nnxx323243的值。【练】 已知12ab，求babbaab352的值。【练】 已知,65ba求baba3052的值。【例 6】已知qxxpxx3822展开后不含2x与3x项，求qp,。【练】 已知2282yxyxnyxmyx，求22mnnm的值。【例 7】已知012xx，求3223xx的值。【练】 如果0132xxx，求8765432xxxxxxxx的

49、值。【例 8】 （1）计算下列各式：（a-1） （a+1） ；（a-1） （a2+a+1） ；（a-1） （a3+a2+a+1） ；（a-1） （a4+a3+a2+a+1） （2）根据（ 1）中的计算，请你发现的规律直接写出下题的结果（a-1） （a9+a8+a7+a6+a5+a4+a3+a2+a+1）= ；若（a-1）?M=a15-1，则 M= ；（a-b） （a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5）= ；（2x-1） （16x4+8x3+4x2+2x+1）= ；【家庭作业】一、 选择题1、下列计算正确的是（）A.632623aaa B.2221243xxx C.1553842aaa

50、 D.5321553aaa2、32345. 2mm的计算结果是（）A.9100m B.9100m C.9400m D.9400m3、计算13242aaa的结果是（）A.aaa412823B.112823aaC.aaa412823D.aaa4128234、一个三角形的底为m2，高为nm2，它的面积是（）A.mnm422B.mnm22C.mnm42D.mnm2225、计算2323xxxx得（）A.1222x B.1222x C.1222xx D.1222xx6、当0a时，2210nnaa成立，则n为（）A. 奇数B.偶数C.自然数D.以上都不对二、填空题1. 计算： (1)3323abba； （2