苏教版八年级上册中考压轴题数学组卷.pdf

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1、学习必备欢迎下载20XX 年八年级上册中考压轴题数学组卷学习必备欢迎下载20XX 年八年级上册中考压轴题数学组卷一解答题（共23 小题）1 （2008?台州）CD 经过 BCA 顶点 C 的一条直线， CA=CB E，F 分别是直线CD 上两点， 且 BEC=CFA= （1）若直线CD 经过 BCA 的内部，且E，F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题： 如图 1，若 BCA=90 ， =90 ，则 BE_CF；EF_|BEAF|（填 “ ” ，“ ” 或“ =” ） ； 如图 2，若 0 BCA 180 ，请添加一个关于与 BCA 关系的条件_，使 中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立

2、（2）如图 3，若直线 CD 经过 BCA 的外部， =BCA ，请提出 EF，BE，AF 三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）2 （2005?内江）如图，将等腰直角三角形ABC 的直角顶点置于直线l 上，且过A，B 两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程学习必备欢迎下载3 （ 2004?青海） （1）如图， E 是 AOB 的平分线上一点，ECOA ，EDOB，垂足分别是C、D，求证： OC=OD ；（2）已知，点A 和 B求作：经过A、 B 两点且半径最小的圆 （用直尺和圆规作图，保留作图痕迹不写作法）学习必备欢迎下载4 （2

3、006?河北）探索：在如图 1 至图 3 中， ABC 的面积为 a（1）如图 1，延长 ABC 的边 BC 到点 D，使 CD=BC ，连接 DA 若ACD 的面积为S1，则 S1=_（用含 a 的代数式表示） ；（2）如图 2，延长 ABC 的边 BC 到点 D，延长边CA 到点 E，使 CD=BC ，AE=CA ，连接 DE若 DEC 的面积为 S2，则 S2=_（用含 a 的代数式表示） ，并写出理由；（3）在图 2 的基础上延长AB 到点 F，使 BF=AB ，连接 FD，FE，得到 DEF（如图 3） 若阴影部分的面积为S3，则 S3=_（用含 a 的代数式表示） 发现：像上面那样

4、，将 ABC 各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到DEF（如图 3） ，此时，我们称ABC 向外扩展了一次可以发现，扩展一次后得到的DEF 的面积是原来 ABC 面积的_倍应用：去年在面积为10m2的 ABC 空地上栽种了某种花卉今年准备扩大种植规模，把ABC 向外进行两次扩展，第一次由 ABC 扩展成 DEF，第二次由 DEF 扩展成 MGH （如图 4） 求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少 m2？6 （2007?绍兴）课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，己知四边形ABCD 中， AC 平分 DAB ，DAB=60 ， B 与 D 互补，求证： AB+AD=AC 小

5、敏反复探索，不得其解她想，若将四边形ABCD 特殊化，看如何解决该问题（1）特殊情况入手添加条件：“ B=D” ，如图 2，可证 AB+AD=AC； （请你完成此证明）（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过 C 点分别作 AB 、AD 的垂线，垂足分别为 E、F （请你补全证明）学习必备欢迎下载7 （2012?绍兴）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心举例：如图1，若 PA=PB，则点 P 为ABC 的准外心应用：如图2，CD 为等边三角形ABC 的高，准外心P 在高 CD 上，且 PD=AB ，求

6、APB 的度数探究：已知 ABC 为直角三角形，斜边BC=5，AB=3 ，准外心P 在 AC 边上，试探究PA 的长8 （ 2008?温州） 文文和彬彬在证明“ 有两个角相等的三角形是等腰三角形” 这一命题时， 画出图形， 写出 “ 已知 ” ，“ 求证” （如图），她们对各自所作的辅助线描述如下：文文： “ 过点 A 作 BC 的中垂线AD ，垂足为 D” ；彬彬： “ 作 ABC 的角平分线AD ” 数学老师看了两位同学的辅助线作法后，说：“ 彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要订正”（1）请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里；（2）根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程9 （2008?宁德）

7、如图1，在正方形ABCD 中， E 是 AB 上一点， F 是 AD 延长线上一点，且DF=BE 学习必备欢迎下载（1）求证： CE=CF；（2）在图 1 中，若 G 在 AD 上，且 GCE=45 ，则 GE=BE+GD 成立吗？为什么？（3）运用（ 1） （2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图 2， 在直角梯形ABCD 中，AD BC （BCAD ） ，B=90 ，AB=BC=12 ，E 是 AB 上一点， 且 DCE=45 ，BE=4，求 DE 的长10 （2012?遵义）如图，ABC 是边长为6 的等边三角形， P 是 AC 边上一动点， 由 A 向 C 运动（与 A、C 不重

8、合），Q 是 CB 延长线上一点，与点P 同时以相同的速度由B 向 CB 延长线方向运动（Q 不与 B 重合） ，过 P作 PEAB于 E，连接 PQ 交 AB 于 D（1）当 BQD=30 时，求 AP 的长；（2）当运动过程中线段ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED 的长；如果变化请说明理由11 （2010?永州）探究问题：（1）阅读理解： 如图（ A） ，在已知 ABC 所在平面上存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点P 为 ABC 的费马点，此时PA+PB+PC 的值为 ABC 的费马距离； 如图（ B） ，若四边形ABCD 的四个顶点在同一圆上，则有AB ?CD

9、+BC ?DA=AC ?BD 此为托勒密定理；（2）知识迁移： 请你利用托勒密定理，解决如下问题：如图（ C） ，已知点P 为等边 ABC 外接圆的上任意一点求证：PB+PC=PA； 根据（ 2） 的结论，我们有如下探寻ABC （其中 A、 B、 C 均小于 120 ）的费马点和费马距离的方法：第一步：如图（D） ，在 ABC 的外部以BC 为边长作等边 BCD 及其外接圆；第二步： 在上任取一点P，连接 PA、P B、PC、P D易知 P A+P B+P C=PA+（ PB+P C）=PA+_；学习必备欢迎下载第三步：请你根据（1） 中定义，在图（D）中找出 ABC 的费马点P，并请指出线段

10、_的长度即为ABC 的费马距离（3）知识应用：20XX 年 4 月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水已知三村庄A、B、C 构成了如图（E）所示的 ABC （其中 A、 B、 C 均小于 120 ） ，现选取一点P 打水井，使从水井 P 到三村庄A、B、C 所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值12 （1998?海淀区）已知：如图，在ABC 中， CD AB，垂足为 D， A=30 ， B=45 ，AC=4 求 CD 和 AB 的长13 （2005?海淀区）如图所示，一根长2a 的木棍（ AB ）

11、 ，斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为 P若木棍A 端沿墙下滑，且B 端沿地面向右滑行（1）请判断木棍滑动的过程中，点P到点 O 的距离是否变化，并简述理由（2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，AOB 的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值14 （2009?宁夏） 如图， 在 RtABC 中，ACB=90 ，CD 是 AB 边上的中线， 将ADC 沿 AC 边所在的直线折叠，使点 D 落在点 E 处，得四边形ABCE 求证： ECAB 学习必备欢迎下载15 （2012?枣庄）已知：如图，在四边形ABCD 中， ABC=90 ，CDAD，AD2+CD2=2AB2（1

12、）求证： AB=BC ；（2）当 BEAD 于 E 时，试证明： BE=AE+CD 16 （2010?孝感）勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积进行了证明著名数学家华罗庚提出把“ 数形关系 ” （勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“ 人 ” 进行第一次 “ 谈话 ” 的语言请根据图1 中直接三角形叙述勾股定理以图 1 中的直角三角形为基础，可以构造出以a，b 为底，以a+b 为高的直角梯形（如图2） 请你利用图2，验证勾股定理；利用图 2 中的直角梯形，我们可以证明其证明步骤如下：BC=a+b， AD=_；又在直角梯形ABCD 中有

13、BC_AD （填大小关系） ，即_17 （2010?东莞）如图（1） ， （2）所示，矩形ABCD 的边长 AB=6 ，BC=4 ，点 F 在 DC 上， DF=2动点 M、N 分别从点 D、B 同时出发，沿射线DA 、线段 BA 向点 A 的方向运动（点M 可运动到DA 的延长线上），当动点N 运动到点 A 时， M 、N 两点同时停止运动连接FM、FN，当 F、N、M 不在同一直线时，可得FMN ，过 FMN 三边的中点作 PWQ设动点M、N 的速度都是1 个单位 /秒， M、N 运动的时间为x 秒试解答下列问题：（1）说明 FMN QWP；（2） 设 0 x 4 （即 M 从 D 到 A

14、 运动的时间段） 试问 x 为何值时， PWQ 为直角三角形？当x 在何范围时， PQW不为直角三角形？（3）问当 x 为何值时，线段MN 最短？求此时MN 的值学习必备欢迎下载18 （2009?永州）问题探究：（1）如图 所示是一个半径为，高为 4 的圆柱体和它的侧面展开图，AB 是圆柱的一条母线，一只蚂蚁从A点出发沿圆柱的侧面爬行一周到达B 点，求蚂蚁爬行的最短路程（探究思路：将圆柱的侧面沿母线AB 剪开，它的侧面展开图如图 中的矩形 ABB A ，则蚂蚁爬行的最短路程即为线段AB 的长） ；（2）如图 所示是一个底面半径为，母线长为4 的圆锥和它的侧面展开图，PA 是它的一条母线，一只蚂

15、蚁从A点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到A 点，求蚂蚁爬行的最短路程；（3）如图 所示，在 的条件下，一只蚂蚁从A 点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线PA 上的一点，求蚂蚁爬行的最短路程19 （2009?佛山）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A 处沿着木柜表面爬到柜角C1处（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；（2）当 AB=4， BC=4， CC1=5 时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；（3）求点 B1到最短路径的距离20 （2007?衢州）请阅读下列材料：问题：如图（ 1） ，一圆柱的底面半径、高均为5cm，BC 是底面直径，求一只蚂蚁从A

16、 点出发沿圆柱表面爬行到点C 的最短路线小明设计了两条路线：路线 1：侧面展开图中的线段AC 如下图（ 2）所示：学习必备欢迎下载设路线 1 的长度为l1，则 l12=AC2=AB2+2=52+（5 ）2=25+252路线 2：高线 AB+ 底面直径 BC如上图（ 1）所示：设路线 2 的长度为l2，则 l22=（AB+BC ）2=（5+10）2=225 l12l22=25+252225=252 200=25（28） 0 l12l22， l1l2所以要选择路线2 较短（1）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“ 圆柱的底面半径为1cm，高 AB 为 5cm” 继续按前面的路线进行计算请你

17、帮小明完成下面的计算：路线 1：l12=AC2=_；路线 2：l22=（AB+BC ）2=_l12_l22，l1_l2（填或）选择路线_（填 1 或 2）较短（2）请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r，高为 h 时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点 A 出发沿圆柱表面爬行到C 点的路线最短21 （2013?威海）操作发现将一副直角三角板如图 摆放， 能够发现等腰直角三角板ABC 的斜边与含30 角的直角三角板DEF 的长直角边DE重合问题解决将图 中的等腰直角三角板ABC 绕点 B 顺时针旋转30 ，点 C 落在 BF 上， AC 与 BD 交于点 O，连接 CD，如图

18、 （1）求证： CDO 是等腰三角形；（2）若 DF=8，求 AD 的长22 （2009?德城区）一位同学拿了两块45 的三角尺 MNK 、ACB 做了一个探究活动：将MNK 的直角顶点M放在 ABC 的斜边 AB 的中点处，设AC=BC=a 学习必备欢迎下载（1）如图 1，两个三角尺的重叠部分为ACM ，则重叠部分的面积为_，周长为_；（2）将图 1 中的 MNK 绕顶点 M 逆时针旋转45 ，得到图2，此时重叠部分的面积为_，周长为_；（3）如果将 MNK 绕 M 旋转到不同于图1，图 2 的位置，如图3 所示，猜想此时重叠部分的面积为多少？并试着加以验证23 （2007?大连）两个全等的

19、RtABC 和 RtEDA 如图放置，点B、A、D 在同一条直线上操作：在图中，作ABC 的平分线BF，过点 D 作 DF BF，垂足为F，连接 CE证明 BFCE探究：线段BF、CE 的关系，并证明你的结论说明： 如果你无法证明探究所得的结论，可以将 “ 两个全等的RtABC 和 RtEDA ” 改为 “ 两个全等的等腰直角ABC和等腰直角 EDA （点 C、A、E 在同一条直线上）” ，其他条件不变，完成你的证明，此证明过程最多得2 分学习必备欢迎下载20XX 年八年级上册中考压轴题数学组卷参考答案与试题解析一解答题（共23 小题）1 （2008?台州）CD 经过 BCA 顶点 C 的一条

20、直线， CA=CB E，F 分别是直线CD 上两点， 且 BEC=CFA= （1）若直线CD 经过 BCA 的内部，且E，F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题： 如图 1，若 BCA=90 ， =90 ，则 BE=CF；EF=|BEAF|（填 “ ” ，“ ” 或“ =” ） ； 如图 2，若 0 BCA 180 ，请添加一个关于与 BCA 关系的条件 +BCA=180 ，使 中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立（2）如图 3，若直线 CD 经过 BCA 的外部， =BCA ，请提出 EF，BE，AF 三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）考点 ：直角三角形全等的判定； 三角形内角和

21、定理专题 ：几何综合题； 压轴题分析：由题意推出CBE= ACF，再由 AAS 定理证BCE CAF，继而得答案解答：解： （1） BCA=90 ， =90 ， BCE+CBE=90 ，BCE+ ACF=90 ， CBE=ACF，CA=CB ，BEC= CFA； BCE CAF，学习必备欢迎下载BE=CF ；EF=|BEAF| 所填的条件是： +BCA=180 证明：在 BCE中，CBE+ BCE=180 BEC=180 BCA=180 ， CBE+BCE=BCA 又 ACF+ BCE=BCA ， CBE=ACF，又 BC=CA ，BEC= CFA， BCE CAF（AAS ）BE=CF ，C

22、E=AF ，又 EF=CFCE，EF=|BE AF|（2）EF=BE+AF 点评：本题综合考查全等三角形、 等边三角形和四边形的有关知识注意对三角形全等， 相似的综合应用2 （2005?内江）如图，将等腰直角三角形ABC 的直角顶点置于直线l 上，且过A，B 两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程学习必备欢迎下载考点 ：直角三角形全等的判定专题 ：探究型分析：分析图可知， 全等三角形为：ACD CBE根据这两个三角形中的数量关系选择ASA 证明全等解答：解：全等三角形为：ACD CBE证明如下：由题意知CAD+ ACD=90 ，ACD

23、+ BCE=90 ， CAD= BCE在 ACD 与CBE 中， ACD CBE（AAS） 点评：本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质， 判定两个三角形全等的一般方法有： SSS、SAS、ASA 、AAS 、HL注意： AAA 、学习必备欢迎下载SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时， 必须有边的参与，若有两边一角对应相等时， 角必须是两边的夹角3 （ 2004?青海） （1）如图， E 是 AOB 的平分线上一点，ECOA ，EDOB，垂足分别是C、D，求证： OC=OD ；（2）已知，点A 和 B求作：经过A、 B 两点且半径最小的圆 （用直尺和圆规作图，保留作图痕

24、迹不写作法）考点 ：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质专题 ：作图题分析：（1）因为 OE是 AOB 的平分线，ECOA ，EDOB，所以EC=ED（角平分线上的点到角两边的距离相等） ，在RtOCE 和RtODE 中，EC=ED ，OE=OE，RtOCERtODE ，所以OC=OD ；（2）根据题意，经过 A、B 两点且半径最小的圆就是以 AB 为直径的圆， 先做AB 的垂直平分学习必备欢迎下载线，找出与AB的交点就是圆心 O，以 OA 为半径作圆就可以了解答：（1） 证明： OE平分 AOB ，ECOA，EDOB EC=ED ，在RtOCE 和RtODE 中Rt OCERtODE OC

25、=OD ；（2）解：如图：点评：本题考查了角平分线上的点到角两边的距离相等， 以及直角三角形全等的证明（ HL）和性质， 还有经过A、B 两点且半径最小的圆就是以 AB 为直径的圆 作图能力很重要， 注意培养4 （2006?河北）探索：在如图 1 至图 3 中， ABC 的面积为 a学习必备欢迎下载（1）如图 1，延长 ABC 的边 BC 到点 D，使 CD=BC ，连接 DA 若 ACD 的面积为S1，则 S1=a（用含 a的代数式表示） ；（2）如图 2，延长 ABC 的边 BC 到点 D，延长边CA 到点 E，使 CD=BC ，AE=CA ，连接 DE若 DEC 的面积为 S2，则 S2

26、=2a（用含 a 的代数式表示） ，并写出理由；（3）在图 2 的基础上延长AB 到点 F，使 BF=AB ，连接 FD，FE，得到 DEF（如图 3） 若阴影部分的面积为S3，则 S3=6a（用含 a的代数式表示） 发现：像上面那样，将 ABC 各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到DEF（如图 3） ，此时，我们称ABC 向外扩展了一次可以发现，扩展一次后得到的DEF 的面积是原来 ABC 面积的7倍应用：去年在面积为10m2的 ABC 空地上栽种了某种花卉今年准备扩大种植规模，把ABC 向外进行两次扩展，第一次由 ABC 扩展成 DEF，第二次由 DEF 扩展成 MGH （如图 4） 求

27、这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少 m2？考点 ：三角形的面积专题 ：探究型分析：（1）根据三角形的面积公式，得到等底同高的两个三角形的面积相等；（2）运用分割法： 连接 AD 根据三角形的面积公式进行分析：等底同高的两个三角形的面积相等；（3）在（ 2）的基础上， 阴影部分的面积是 （2）中求得的面积的 3 倍；再加上原来三角形的面积进行计算应用： 根据上述结论， 即扩展一学习必备欢迎下载次后得到的三角形的面积是原三角形的面积的 7 倍，则扩展两次后， 得到的三角形的面积是原三角形的面积的72=49倍从而得到扩展的区域的面积是原来的48倍解答：解： （1）BC=CD ， ACD 和A

28、BC 是等底同高的，即S1=a；（2）2a； （ 2 分）理由：连接 AD ，CD=BC ，AE=CA ，SDAC=SDAE=SABC=a，S2=2a；（3）结合（ 2）得： 2a 3=6a；扩展一次后得到的 DEF 的面积是6a+a=7a，即是原来三角形的面积的 7 倍应用拓展区域的面积：（721） 10=480（m2） 点评：命题立意： 考查学生探索知识、发现知识、 应用知识的综合创学习必备欢迎下载新能力点评： 本题的探索过程由简到难，运用类比方法可依次求出从而使考生在身临数学的情境中潜移默化，逐渐感悟到数学思维的力量，使学生对知识的发生及发展过程， 解题思想方法的感悟，体会得淋漓尽致，是

29、一道新课标理念不可多得的好题5 （2007?北京）如图，已知ABC （1）请你在BC 边上分别取两点D，E（BC 的中点除外） ，连接 AD ，AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明AB+AC AD+AE 考点 ：三角形三边关系；全等三角形的判定专题 ：证明题分析：（1）由于都是以 BC 所在边为底，因此边上的高都相等 要两个三角形的面积相等， 只需在BC 上找出两条相等线段即可；（2）可通过构建全等三角形来求解分别过点 D、B作 CA、 EA 的平行线， 两线相交于 F 点， DF 于学习必备欢迎下载AB

30、交于 G 点那么我们不难得出AEC FBD，此时AC=DF ，AE=BF ，那么只需在三角形BFG 和 ADG 中找出它们的关系即可解答：（1） 解： 如图 1，相应的条件就应该是BD=CE DE，这样， ABD和 AEC 的面积相等，由于BD=CE ，因此BE=CD ，那么 ADC 和ABE 的面积就相等（2）证明：如图 2，分别过点D、B 作 CA、EA 的平行线，两线相交于F点， DF 与 AB交于 G 点 ACE= FDB，AEC= FBD 在 AEC 和FBD 中，又CE=BD ， AEC FBD，AC=FD ，AE=FB ，在 AGD 中，AG+DG AD ，在 BFG 中，BG+

31、FGFB，即 AB+FD AD+FB AB+AC AD+AE 学习必备欢迎下载点评：本题考查了三角形面积的求法，全等三角形的判定以及三角形三边的关系本题（ 2）中通过构建全等三角形将已知和所求条件转化到相关的三角形中是解题的关键6 （2007?绍兴）课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，己知四边形ABCD 中， AC 平分 DAB ，DAB=60 ， B 与 D 互补，求证： AB+AD=AC 小敏反复探索，不得其解她想，若将四边形ABCD 特殊化，看如何解决该问题（1）特殊情况入手添加条件：“ B=D” ，如图 2，可证 AB+AD=AC； （请你完成此证明）（2）解决原来问题受

32、到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过 C 点分别作 AB 、AD 的垂线，垂足分别为 E、F （请你补全证明）考点 ：直角三角形全等的判定专题 ：证明题；压轴题；开放型分析：（1）如果：“ B=D” ，根学习必备欢迎下载据 B 与 D 互补，那么B= D=90 ，又因为DAC= BAC=30 ，因此我们可在直角三角形 ADC 和 ABC中得出AD=AB=AC，那么AD+AB=AC（2）按（ 1）的思路， 作好辅助线后， 我们只要证明三角形CFD 和 BCD 全等即可得到 （1）的条件根据AAS 可证两三角形全等，DF=BE 然后按照（ 1）的解法进行计算即可解答：证明： （1）

33、B与 D 互补，B= D， B=D=90，CAD= CAB=DAB=30 ，在 ADC 中，cos30 =，在 ABC 中，cos30 =，AB=AC ，AD=AB+AD=（2）由（1） 知，AE+AF=AC学习必备欢迎下载，AC 为角平分线， CFCD，CEAB，CE=CF而 ABC 与D 互补，ABC 与CBE 也互补， D=CBE在 RtCDF与 RtCBE 中，Rt CDFRtCBE DF=BE AB+AD=AB+（AF+FD ）=（AB+BE ）+AF=AE+AF=AC点评：本题考查了直角三角形全等的判定及性质；通过辅助线来构建全等三角形是解题的常用方法， 也是解决本题的关键7 （2

34、012?绍兴）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心举例：如图1，若 PA=PB，则点 P 为ABC 的准外心应用：如图2，CD 为等边三角形ABC 的高，准外心P 在高 CD 上，且 PD=AB ，求 APB 的度数探究：已知 ABC 为直角三角形，斜边BC=5，AB=3 ，准外心P 在 AC 边上，试探究PA 的长考点 ：线段垂直平分线的性质； 等腰学习必备欢迎下载三角形的性质；等边三角形的性质；勾股定理专题 ：新定义分析：应用：连接PA、PB， 根据准外心的定义，分 PB=PC， PA=PC， PA=PB 三种情况利用等边三角形

35、的性质求出 PD 与 AB的关系， 然后判断出只有情况 是合适的，再根据等腰直角三角形的性质求出APB=45 ，然后即可求出APB 的度数；探究： 先根据勾股定理求出AC的长度， 根据准外心的定义， 分 PB=PC， PA=PC， PA=PB 三种情况， 根据三角形的性质计算即可得解解答：应用：解： 若PB=PC，连接PB，则PCB=PBC，CD 为等边三角形的高，AD=BD ，PCB=30 ， PBD=PBC=30 ，PD=DB=AB，与已知学习必备欢迎下载PD=AB 矛盾，PB PC， 若 PA=PC，连接 PA，同理可得 PA PC， 若 PA=PB，由 PD=AB， 得PD=BD ，

36、APD=45 ，故 APB=90 ；探究：解：BC=5 ， AB=3 ，AC=4， 若 PB=PC，设 PA=x，则x2+32=（4x）2，x=，即PA=， 若 PA=PC，则 PA=2， 若 PA=PB，由图知，在RtPAB 中，不可能故 PA=2 或点评：本题考查了线段垂直平分线的性质， 等腰三角形的性质， 勾股定理， 读懂题意，弄清楚准外学习必备欢迎下载心的定义是解题的关键， 根据准外心的定义，要注意分三种情况进行讨论8 （ 2008?温州） 文文和彬彬在证明“ 有两个角相等的三角形是等腰三角形” 这一命题时， 画出图形， 写出 “ 已知 ” ，“ 求证” （如图），她们对各自所作的辅助

37、线描述如下：文文： “ 过点 A 作 BC 的中垂线AD ，垂足为 D” ；彬彬： “ 作 ABC 的角平分线AD ” 数学老师看了两位同学的辅助线作法后，说：“ 彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要订正”（1）请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里；（2）根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程考点 ：等腰三角形的判定专题 ：阅读型分析：（1）线段 BC的中垂线可以直接作出的， 不需要附带 “ 过点A 作 ” ；（2）根据已知条件利用 AAS可证ABD ACD，得出AB=AC 解答：（1）解：作辅助线不能同时满足两个条件；（2）证明：作ABC 的角平分线 AD BAD= CAD ，在 ABD 与学习

38、必备欢迎下载ACD 中， ABD ACD（AAS ） AB=AC 点评：本题主要是考查了三角形全等的判定及等腰三角形的性质；题目为阅读理解题， 充分利用文字中的提示是解答本题的关键9 （2008?宁德）如图1，在正方形ABCD 中， E 是 AB 上一点， F 是 AD 延长线上一点，且DF=BE （1）求证： CE=CF；（2）在图 1 中，若 G 在 AD 上，且 GCE=45 ，则 GE=BE+GD 成立吗？为什么？（3）运用（ 1） （2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图 2， 在直角梯形ABCD 中，AD BC （BCAD ） ，B=90 ，AB=BC=12 ，E 是 AB

39、上一点， 且 DCE=45 ，BE=4，求 DE 的长考点 ：等腰三角形的判定； 全等三角形的判定与性学习必备欢迎下载质；勾股定理；正方形的判定专题 ：证明题；压轴题；探究型分析：（1）利用已知条件，可证出BCE DCF（SAS） ，即CE=CF（2）借助（ 1）的全等得出BCE= DCF， GCF=BCE+DCG=90 GCE=45 ，即GCF=GCE，又因为CE=CF，CG=CG， ECG FCG，EG=GF，GE=DF+GD=BE+GD （3）过 C 作CGAD ，交AD 延长线于G，先证四边形ABCG 是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）再设 DE=x ，利用（1） 、 （2）的结

40、论，在RtAED 中利用勾股定理可求出 DE解答：（1）证明：在正方形 ABCD中，BC=CD ，B= CDF，BE=DF ， CBE CDFCE=CF学习必备欢迎下载（2）解：GE=BE+GD 成立 CBE CDF， BCE=DCF ECD+ ECB=ECD+FCD即ECF=BCD=90 又 GCE=45 ， GCF=GCE=45 CE=CF，GCF=GCE，GC=GC ， ECG FCGEG=GFGE=DF+GD=BE+GD （3）解：过C作 CGAD ，交AD 延长线于G，在直角梯形ABCD 中，AD BC，A= B=90 ，又 CGA=90 ，AB=BC ，四边形ABCG 为正方形AG

41、=BC=12 已知DCE=45 ，根据（ 1） （2）可知，ED=BE+DG ，设 DE=x，则DG=x 4，AD=AG DG=16 x，AE=AB 学习必备欢迎下载BE=12 4=8在 RtAED 中DE2=AD2+AE2，即 x2=（16x）2+82解得： x=10DE=10 点评：本题是一道几何综合题， 内容涉及三角形的全等、 图形的旋转以及勾股定理的应用， 重点考查学生的数学学习能力， 是一道好题 本题的设计由浅入深，循序渐进，考虑到学生的个体差异 从阅卷的情况看， 本题的得分在48 分的学生居多前两个小题学生做得较好，第三小题， 因为学生不懂得用前面积累的知识经验答题， 数学学习能力

42、不强，造成本小题得分率较低10 （2012?遵义）如图，ABC 是边长为6 的等边三角形， P 是 AC 边上一动点， 由 A 向 C 运动（与 A、C 不重合），Q 是 CB 延长线上一点，与点P 同时以相同的速度由B 向 CB 延长线方向运动（Q 不与 B 重合） ，过 P作 PEAB于 E，连接 PQ 交 AB 于 D（1）当 BQD=30 时，求 AP 的长；（2）当运动过程中线段ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED 的长；如果变化请说明理由学习必备欢迎下载考点 ：等边三角形的性质； 全等三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形专题 ：压轴题；动点型分析：（1） ）由A

43、BC是边长为 6 的等边三角形， 可知ACB=60 ，再由 BQD=30 可知QPC=90 ，设AP=x ，则 PC=6x，QB=x ，在RtQCP 中，BQD=30 ，PC=QC，即 6x=（ 6+x） ，求出 x 的值即可；（2）作QFAB，交直线 AB 的延长线于点 F，连接QE， PF， 由点 P、Q做匀速运动且速度相同， 可知AP=BQ ，再根据全等三角形的判定定理得出APE BQF，再由 AE=BF ，PE=QF 且PEQF，可知四边形 PEQF 是平行四边形， 进而可得出学习必备欢迎下载EB+AE=BE+BF=AB ，DE=AB ，由等边 ABC 的边长为 6 可得出DE=3，故

44、当点P、Q 运动时，线段 DE 的长度不会改变解答：解： （1） ABC 是边长为 6 的等边三角形， ACB=60 ， BQD=30 ， QPC=90 ，设 AP=x，则PC=6x，QB=x ，QC=QB+BC=6+x，在 RtQCP中，BQD=30 ，PC=QC，即6x=（6+x） ，解得 x=2，AP=2；（2）当点 P、Q运动时，线段DE 的长度不会改变理由如下：作 QFAB ，交直线 AB 的延长线于点 F，连接QE，PF，又 PEAB 于E， DFQ= AEP=90 ，点 P、Q 速度相同，AP=BQ ， ABC 是等学习必备欢迎下载边三角形， A=ABC=FBQ=60 ，在 AP

45、E 和BQF 中， AEP= BFQ=90 ， APE= BQF，在 APE 和BQF 中， APE BQF（AAS ） ，AE=BF ，PE=QF 且PEQF，四边形 PEQF是平行四边形，DE=EF，EB+AE=BE+BF=AB ，DE=AB ，又等边ABC 的边长为 6，DE=3 ，当点 P、Q 运动时，线段DE的长度不会改变点评：本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，根据题意作出学习必备欢迎下载辅助线构造出全等三角形是解答此题的关键11 （2010?永州）探究问题：（1）阅读理解： 如图（ A） ，在已知 ABC 所在平面上存在一点P，使它到三角形

46、顶点的距离之和最小，则称点P 为 ABC 的费马点，此时PA+PB+PC 的值为 ABC 的费马距离； 如图（ B） ，若四边形ABCD 的四个顶点在同一圆上，则有AB ?CD+BC ?DA=AC ?BD 此为托勒密定理；（2）知识迁移： 请你利用托勒密定理，解决如下问题：如图（ C） ，已知点P 为等边 ABC 外接圆的上任意一点求证：PB+PC=PA； 根据（ 2） 的结论，我们有如下探寻ABC （其中 A、 B、 C 均小于 120 ）的费马点和费马距离的方法：第一步：如图（D） ，在 ABC 的外部以BC 为边长作等边 BCD 及其外接圆；第二步：在上任取一点P ，连接 PA、PB、P

47、C、P D易知 PA+P B+P C=PA+（ P B+PC）=PA+P D；第三步：请你根据（1） 中定义，在图（D）中找出 ABC 的费马点P，并请指出线段AD的长度即为 ABC的费马距离（3）知识应用：20XX 年 4 月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水已知三村庄A、B、C 构成了如图（E）所示的 ABC （其中 A、 B、 C 均小于 120 ） ，现选取一点P 打水井，使从水井 P 到三村庄A、B、C 所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值学习必备欢迎下载考点 ：等边三角形的性质；勾

48、股定理；旋转的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形专题 ：压轴题分析：（2）知识迁移 问， 只需按照题意套用托勒密定理， 再利用等边三角形三边相等， 将所得等式两边都除以等边三角形的边长， 即可获证 问，借用 问结论，及线段的性质 “ 两点之间线段最短” 数学容易获解（3）知识应用，在（ 2）的基础上先画出图形，再求解解答：（2） 证明：由托勒密定理可知PB?AC+PC ?AB=PA?BC ABC 是等边三角形AB=AC=BC ，PB+PC=PA， P D、 AD ，（3）解：如图，以 BC 为边长在ABC 的外部作等边 BCD，连接 AD ，则知线段 AD 的长即为 ABC 的费马距离

49、 BCD 为等边三角形，BC=4， CBD=60 ，学习必备欢迎下载BD=BC=4 ， ABC=30 ， ABD=90 ，在 RtABD 中，AB=3 ，BD=4 ，AD=5（km） ，从水井 P到三村庄 A、B、C所铺设的输水管总长度的最小值为 5km点评：此题是一个综合性很强的题目，主要考查等边三角形的性质、三角形相似、解直角三角形等知识 难度很大， 有利于培养同学们钻研问题和探索问题的精神12 （1998?海淀区）已知：如图，在ABC 中， CD AB，垂足为 D， A=30 ， B=45 ，AC=4 求 CD 和 AB 的长学习必备欢迎下载考点 ：含 30 度角的直角三角形； 勾股定理

50、分析：根据含 30 度角性质求出 CD，根据勾股定理求出 AD ，根据等腰三角形的性质和判定求出 BD，即可求出 AB解答：解： CDAB ， ADC= BDC=90 ， A=30 ，AC=4 CD=AC=2 ，由勾股定理得：AD=2， BDC=90 ，B=45 ， BCD=45 =B，BD=DC=2 ，AB=2+2点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定， 含 30度角的直角三角形， 勾股定理等知识点的应用13 （2005?海淀区）如图所示，一根长2a 的木棍（ AB ） ，斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为 P若木棍A 端沿墙下滑，且B 端沿地面向右滑行（1）请判断木棍滑