考研概率论试题(数一,数三)(2).pdf

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1、考研概率论试题（数一，数三）题目： (87,2 分) 设在一次试验中A 发生的概率为 p, 现进行 n 次独立试验 , 则 A至少发生一次的概率为 1(1) ;np而事件 A至多发生一次的概率为。知识点：伯努利概型解答： 根据伯努利概型的概率计算公式，A至少发生一次的概率 1PA发生 0 次=11111553353238120而PA至多发生 1 次= PA 发生 0 次+PA 恰发生 1 次 = 000111(1)(1)nnnnC ppC pp = 1(1)(1)nnpnpp题目： (87,2) 三个箱子 , 第一个箱子中有 4 个黑球 1 个白球 , 第二个箱子中有 3个黑球 3 个白球 ,

2、 第三个箱子中有3 个黑球 5 个白球 . 现随机地取一个箱子 , 再从这个箱子中取出1 个球, 这个球为白000111(1)(1)nnnnC ppC pp球的概率等于53120，已知取出的球是白球 , 此球属于第二个箱子的概率为2053. 知识点：全概率公式和贝叶斯公式的应用解答： 记iA 取的是第 i 个箱子 )(i=1 ，2，3) ，B=从箱子中取出的是白球)，那么1231()()()3P AP AP A112233()() ()() ()()()P BP A P B AP A P B AP A P B A,22()()()P A BP A BP B,35()8P B A第一问由全概率公

3、式，得112233( )() ()()()() ()P BP A P B AP A P B AP A P B A =11111553353238120第二问由贝叶斯公式，得22()()( )P A BP A BP B = 22112233() ()()()() ()() ()P A P B AP A P B AP A P B AP A P B A =11203253531201120325353120题目： (87,6 分) 设随机变量 X,Y 相互独立 , 其概率密度函数分别为1,01( )0,Xxfx其他,0( )0,0yYeyfyy求随机变量 Z=2X+Y的概率密度函数 . 知识点：二维

4、随机变量（连续型）函数的分布答案：2001( )(1)0221(1)22zZZZfZeZeeZ解答：用“积分转化法”计算，因为(2)( , )hxy f x y dxdy =1120002(2)( )yzxxdxhxy e dydxh z e e dz =212220020( ( )( ( )zzxzxh z ee dx dzh z ee dx dz =2202( ( )(1)( )(1)22zzzeeh z edzh z edz所以2001( )(1)0221(1)22zZZZfZeZeeZ题目： (87,2 分) 已知连续型随机变量X 的概率密度为2211( )xxf xe,则 EX =1

5、,DX =12知识点：正态分布的密度，期望和方差解答： 因2(1)1221( )()122xf xexR , 可见1(1, )2XN , 故1()1,()2E XD X . 题目： (88,2 分) 设三次独立试验中 , 事件 A出现的概率相等 , 若已知 A至少出现一次的概率等于1927, 则事件 A在一次试验中出现的概率为13. 知识点：伯努利概型解答：设在每次试验中A 出现的概率为户则19271927PA 至少出现 1次)= 1 一 PA出现 0 次=003 0331(1)1 (1)C ppp，解答：得13p。题目： (88,2分)在区间 (0,1) 中随机地取两个数 , 则事件“两数之

6、和小于65”的概率为1725. 知识点：几何概型解答： 设这两个数为 x 和 y，则(x ，y) 的取值范围为图11 中正方形 G ，那么满足 “两数之和65” 即 “x+y56”的(x ， y) 的取值范围为图 1-1 中阴影部分 D 本题为等概率型几何概率题，所求概率为DpG的面积的面积DpG的面积的面积. 而 G的面积为 l ，D的面积为2110.82=0.68, 故0.68p. 题目：(88,2 分)设随机变量 X服从均值为 10, 均方差为 0.02 的正态分布上 . 已知221( ),(2.5)0.99382uxxedu， 则 X 落在区间 (9.95, 10.05)内的概率为0.

7、9876. 知识点：正态分布的概率计算解答： 由题意，2(10,0.02 ),XN故10(0,1)0.02XN , 因此9.95101010.0510(9.9510.05)()0.020.020.02XPXP =(2.5)( 2.5)2 (2.5)1 = 0.9876 题目： (88,6分) 设随机变量X的概率密度函数为21( )(1)Xfxx, 求随机变量Y=1-3X的概率密度函数( )Yfy . 解答： ：263(1)1(1) yyyR知识点：一维（连续型）随机变量函数的分布。解答：31yx 的饭函数3( )(1)xh yy单调，故32( )( ( )( )(1)3(1)( 1)YXXfy

8、fh y h yfyy = 263(1)1 (1) yy()yR . 题目： (89,2 分) 已知随机事件 A 的概率 P( A)=0.5, 随机事件 B的概率 P( B)=0.6及条件概率P( B| A)=0.8, 则和事件 AB的概率 P(AB)=0.7. 知识点：条件概率解答： ： 由 0.8()()()P ABP B AP A，得()()()P ABP B AP A()0.8( )0.80.50.4P ABP A故()( )( )()0.50.60.4P ABP AP BP AB=0.7 题目：(89,2 分) 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次, 其命中率分别为 0.6 和0.5,

9、 现已知目标被命中 , 则它是甲射中的概率为34. 知识点：条件概率定义式，时间和概率计算和独立性的应用。解答：记 A=甲命中目标 )，B=乙命中目标 ，C=(目标被命中 )则由题意，知()0.5P B，()0.5P B，A与 B独立，且,CAB ACA, 从而()()()0.75()()P ACP AP A CP CP C题目： (90,2 分) 设随机事件 A,B 及其和事件 AB的概率分别是 0.4, 0.3 和 0.6,若B表示 B的对立事件 , 那么积事件 AB的概率 P( AB)=0.3. 知识点：概率的性质解答： ：由已知得0.6()( )( )()0.40.3()P ABP A

10、P BP ABP AB0.6()( )( )()0.40.3()P ABP AP BP ABP AB即()0.1P AB. 故()()( )()P ABP ABP AP AB()()( )()P ABP ABP AP AB =0.3 题目：(90,2 分) 已知随机变量 X的概率密度函数| |1( )2xf xe,x, 则 X的概率分布函数102( )11,02xxexF xex当当知识点：密度求分布函数的公式解答：1( )( )2xxtF xf t dtedt。当0 x时，111( )222xttxxF xe dtee；当0 x时00111( )1222xttxF xe dte dte题目：

11、 (90,2 分) 已知随机变量X 服从参数为2 的泊松分布 , 且胡机变量Z=3X-2, 则 EZ = 4. 知识点：期望的性质和泊松分布的期望题目： (90,6 分) 设二维随机变量 ( X,Y) 在区域 D ：0X1, | y| x 内服从均匀分布 , 求关于 X的边缘概率密度函数及随机变量Z=2X+1 的方差 DZ . 知识点：边缘分布的计算和方差的性质，计算解答： D 的面积（见图 4-1）为212112，故（ X,Y）的概率密度为1, (x,y)( , )0,Df x y其他关于 X的边缘概率密度为( )( , )Xfxf x y dy当01xx或时，( )0Xfx当01x时，(

12、)12xXxfxdyx故2 , 01( , )0,xxf x y其他因而102()23E Xxxdx，12201()22E xxxdx所以1()18D X2()(21)9D ZDX题目： (91,3 分) 随机地向半圆 0y22axx (a 为正常数 )内掷一点 , 点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比. 则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于4的概率为112. 知识点：几何概率解答：记图 1-2 中半圆区域为 G ，阴影部分区域为GS 和DS , 则222111a242GDSSaa，222111a242GDSSaa，所求概率为112DGSS. 题目： (91,6 分) 设二维随机变量

13、 ( X,Y)的概率密度为(2)20,0( , )0,xyexyf x y其他求随机变量 Z=X+2Y的分布函数 . 知识点：二维（连续型）随机变量函数的分布解答： Z 的分布函数为2(2 )2200( )22zzyxyzxGF zedxdyedye dx2( )2( , )xyzF zP ZzP XYzf x y dxdy当0z时，( )0F z，当0z时，2(2 )2200220( )22 =(22)1zzyxyyxGzyzzzF zedydxedye dxeedyeze其中( , )2,0Gx y xyz z，故10()00ZZZeZeZFZZ题目： (91,3 分) 设随机变量X服从均

14、值为2、方差为2的正态分布 , 且240.3,0PXP X则0.2 知识点：正态分布的计算题目： (92,3 分) 已知 P(A)=P( B)=P( C)=11,()0,()()416P ABP ACP BC, 则事件A、B、C全不发生的概率为38. 知识点：概率的性质和对偶原则解答： 因ABCAB, 故0()()0()0P ABCP ABP ABC，=0，从而所求概率为()1()P ABCP ABC()1()P ABCP ABC = 1( ()()()()()P AP BP CP ABP AC()()P BCP ABC= 712()()P BCP ABC题目： (92,6 分) 设随机变量

15、X与 Y相互独立 ,X 服从正态分布2( ,)N,Y 服从- , 上均匀分布 , 试求 Z=X+Y的概率分布密度 (计算结果用标准正态分布函数表示, 其中221( )()2txxedt. 知识点：二维（连续型）随机变量函数的分布：1 ()()2ZuZu解答：由题意， Y的概率密度为1 -y( )20Yfy，其他X的概率密度为22()21( )()2xXfxex由卷积公式的 Z 的概率密度为22()211( )22zyZfzedy作积分变量代换：zyt，得( )Zfz1 ()()2ZuZu题目： (92,3 分) 设随机变量 X服从参数为 1的指数分布 , 则2()xE Xe43. 知识点：指数

16、分布的期望，函数的期望题目： (93,3 分) 一批产品有 10 个正品和 2 个次品 , 任意抽取两次 , 每次抽一个 ,抽出后不再放回 , 则第二次抽出的是次品的概率为16. 知识点：条件概率解答： 由抽签原理（抽签与先后次序无关） ，第二次抽得次品的概率和第一次抽到 c 次品的概率相同，都是16。题目： (93,3 分) 设随机变量 X服从(0,2) 上的均匀分布 , 则随机变量2YX在(0,4)内的概率分布密度( )Yfy121,0440,yy当其他知识点：一维（连续型）随机变量函数的分布题目： (93,6 分) 设随机变量 X的概率密度为| |1( ),2xf xex（1） 求 EX

17、和 DX ；（2） 求 X与| X| 的协方差 , 并问 X与| X| 是否不相关？（3） 问 X与| X| 是否相互独立？为什么？知识点： （连续型）机变量及其函数的数学期望和其他数字特征的计算解答： （1）1()( )02xE Xxfx dxxedx，而222201()( )2 =2xxE Xx f x dxxedxx e dx22()()( ()2D XE XE X（2）因()0,()E XE X 存在，所以ov,)()() ()CX XE X XE X E X（ =( )x x f x dx =0 可见， X与 X不相干（4） 因1111(1)1122xxP Xedxe dx又1111

18、1(1)( )02xP Xf x dxedx故(1,1)(1)(1) (1)P XXP XP XP X可见， X与 X不独立。题目： (94,3 分)已知 A、 B两个事件满足条件P( AB )=P(A B), 且 P(A)=p, 则 P( B)= 1- p. 知识点：概率的计算性质和对偶原则解答：()()1()P ABP ABP AB()()1()P ABP ABP AB = 1( ()()()P AP BP AB = 1()()pP BP AB故()1P Bp题目： (94,3 分) 设相互独立的两个数随机变量X 与 Y 具有同一分布律 , 且 X的分布律为011122Xp则随机变量 Z=

19、maxX,Y的分布律为011344Zp. 知识点：二维（离散型）随机变量函数的分布题目： (94,6 分) 已知随机变量22(1,3 )(0,4 ),XNYNXY，且与的相关系数1,2XY32XYZ设，(1) 求 EZ和 DZ ；(2) 求 X与 Z 的相关系数;XZ (3) 问 X与 Z 是否相互独立？为什么？知识点：方差，协方差的计算性质和正态分布的性质解答： (1) 显然，()1,()9,( )0,( )16E XD XE YD Y , 故(, )()( )XYCov X YD XD Y =-6 所以111()()323E ZEXY11111 1()()()()2(,)32942 2D

20、ZDXYD XD YCov X Y =3 （2）因1111(,)(,)()(,)3232Cov X ZCov XXYD XCov X Y =0 于是(,)0()( )XZCov X ZD XD Z(3) 由0XZ , 知 X与 Z 不相关，又因101132XXZY且( ),( )XXNNYZ故 , 故知 X与 Z相互独立。题目： (95,3 分) 设X和Y为两个随机变量,且340,0,0077P XYP XP Y则max(,)0PX Y57. 知识点：概率的性质和对max, X YC的处理题目： (95,3 分) 设X表示 10 次独立重复射击命中目标的次数, 每次射中目标的概率为 0.4,

21、则2()E X=18.4 知识点：二项分布的数字特征题目： (96,3 分) 设和是两个相互独立且均服从正态分布N(0,12) 的随机变量, 则(|)E2. 知识点：正态分布的数字期望题目： (96,6分)设和是相互独立且服从同一分布的两个随机变量, 已知的分布律为1(),1,2,3max( , ),min(, ).3PiiXY又设(1) 写出二维随机变量 ( X,Y) 的分布律； (2) 求 EX . 知识点：二维（离散型）随机变量的分布律及边缘分布律解答：（1） （X,Y）的分布律如下（2）由（ X,Y）的分布律可得到关于X的边缘分布律为故13522()1239999E X . 题目： (

22、96,3 分) 设工厂 A和工厂 B 的产品的次品率分别为1% 和 2%,现从由 A 厂和 B厂的产品分别占60% 和 40% 的一批产品中随机抽取一件, 发现是次品 , 则该次品是 A厂生产的概率37. 知识点：贝叶斯公式解答： 记 C=取得产品是 A厂生产的 ，D=取的是 B厂生产的 , 由题意知，()0.6,()0.4,()0.02,()0.01P CP CP D CP D C . 因此() ()()()()() ()()()P C P D CP CDP C DP DP C P D CP C P D C =37题目： (96,3 分) 设和是两个相互独立且均服从正态分布N(0,12) 的

23、随机变量, 则(|)E2. 知识点：正态分布的数字期望题目：(97,3 分)袋中有 50个乒乓球 , 其中 20 个是黄球 ,30 个是白球 . 今有两人依次随机地从袋中各取一球, 取后不放回 , 则第 2 个人取得黄球的概率是25. 知识点：条件概率解答： ：由抽签原理（抽签与先后次序无关） ，故直接看出是25。题目： (97,3 分) 设两个相互独立的随机变量X和 Y的方差分别为 4 和 2, 则随机变量 3X-2Y的方差是 (D) (A)8 (B)16 (C)28 (D)44 知识点：方差的计算性质题目：(97,3 分)袋中有 50个乒乓球 , 其中 20 个是黄球 ,30 个是白球 .

24、 今有两人依次随机地从袋中各取一球, 取后不放回 , 则第 2 个人取得黄球的概率是25. 知识点：条件概率解答： ：由抽签原理（抽签与先后次序无关） ，故直接看出是25。题目： (97,7 分) 从学校乘汽车到火车站的途中有3 个交通岗 , 假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的, 并且概率都是25. 设 X 为途中遇到红灯的次数, 求随机变量 X的分布律、分布函数和数学期望. 知识点：二项分布（判断，分布列，分布函数，期望）解答：由题意，226(3),()3555XBE X，故及k3323k=()(0,1,2,3).55kkP XCk（）分布函数( )F xp Xx，当0 x时，( )

25、0F x，当01x时，27( )0125F xP X ; 当12x时81( )01 125F xP XP X当23x时( )012F xP XP XP X = 117125当3(x)=1xF时，故0, x027, 0 x1 12581( ), 1x2125117, 2x31251, x3F x题目： (97,5 分) 设总体 X的概率密度为(1)01( )0,xxf x其他其中1是未知参数 .12,nXXX 是来自总体 X的一个容量为 n的简单随机样本, 分别用矩估计法和极大似然估计法求的估计量 . 知识点：矩估计和极大似然估计解答：用矩估计法1101()( )(1)2E Xxf x dxxd

26、x令12X , 解答：得21=1XX矩再用极大似然估计法，似然函数12(,; )nL x xx为1(1), 01()0,niiiixxLf x其他当120,1nx xx时12lnln(1)ln()nLnx xx所以12lnln()1nLnx xx，令ln0L，解答：得0121ln()nnx xx，由于222ln0(1)Ln，故在0由唯一驻点，唯一极值点且为极大值，故知的极大似然估计为121ln()nnX XX题目：(98,6 分) 设两个随机变量 X、Y相互独立 , 且都服从均值为 0、方差为12的正态分布 , 求|X-Y| 的方差 . 1-2知识点：正态分布的随机变量函数的期望解答：记11,

27、(0)(0)22XYXNYN由， ，及( )0( )()( )1EDD XD Y，知(0 1)N，故221()()e2xE XYEXdx =2222()()( )()1EEDE X2()()1DXYD题目： (98,4 分) 从正态总体2(3.4,6 )N中抽取容量为 n 的样本 , 如果要求其样本均值位于区间 (1.4, 5.4)内的概率不小于0.95, 问样本容量n 至少应取多大？ 35 附表 ：221( )2tZZedt1.281.6451.962.33()0.9000.9500.9750.990ZZ知识点：切比雪夫不等式的求解答：题目： (98,3 分) 设 A、 B是两个随机事件 ,

28、 且 0P( A)0, P( B| A)=P( B|A),则必有 ( C ) (A)P(A | B)= P(A| B) (B)P( A | B) P(A|B) (C)P( AB )= P( A) P(B) (D)P(AB ) P( A)P( B) 知识点：条件概率定义式和概率计算性质解答：由)()P B AP B A（得()()( )()()1( )()P ABP ABP BP ABP AP AP A , 化简得()()()P ABP A P B题目： (98,3 分) 设平面区域 D由曲线1yx及直线20,1,yxxe 所围成 , 二维随机变量 (X,Y) 在区域 D上服从均匀分布 , 则(

29、 X,Y) 关于 X 的边缘概率密度在x=2处的值为14. 知识点：边缘概率密度题目： (99,6 分) 设总体 X的概率密度为36()00,xxxf x（ ）其他12,nXXX 是取自总体 X的简单随机样本 . （1） 求的矩估计量 ； (2)求 D( ). 知识点 矩估计和方差的计算解答：（1）因306()( )()xE Xxf x dxxx dx =2故2X因此2X为的矩估计（2） 因222306()( )()xE Xx f x dxxx dx =2310所以2221()()()20D XE XE X211( )(2)4()5niiDDXDXnn =2( )5Dn题目： (99,3 分)

30、 设两两相互独立的三事件A,B 和 C满足条件； AB, P( A)=P( B)=P(C)12, 且已知9()16P ABC, 则 P( A)= 14. 知识点 : 和事件的概率计算式和事件的独立性解答： 由题意知()0,()()(),()( )()P ABCP ABP A P BP ACP A P C ,()()()P BCP B P C , 若记()xP A，可得9=()16P ABC =()( )()()()()()P AP BP CP ABP ACP BCP ABC =3x-23x得 x=34和14，故1()4P A题目： (99,3 分) 设两个相互独立的随机变量X和 Y分别服从正态

31、分布N (0,1)和 N(1,1),则(B) (A)102P XY(B)11 2P XY（C)102P XY(D)112P XY知识点：正态分布的性质和概率计算题目： (00,3 分) 设两个相互独立的事件A和 B都不发生的概率为19, A发生 B不发生的概率与 B发生 A不发生的概率相等 , 则 P( A)= 23. 知识点：概率的性质和对偶原则解答： 由题意得()()P ABP AB , 所以()()()()P AP ABP BP AB即()( )P AP B , 因此1= ()1()1( )()()9P ABP ABP AP BP AB =212 ()( ( )P AP A题目： (00

32、,3 分) 设 二 维随 机变 量( X,Y) 服从 二维 正态 分 布 , 则 随 机 变 量XYXY与不相关的充分必要条件为(B) (A)()( )E XE Y (B)2222()()()( )E XE XE YE Y(C)22()()E XE Y (D)2222()()()( )E XE XE YE Y知识点：协方差和方差的计算性质题目： (00,8 分) 某流水生产线上每个产品不合格的概率为p(0p0 为未知参数 . 又设12,nx xxX是的一组样本观测值 , 求参数 的最大似然估计值 . 知识点：最大似然估计的计算解答：似然估计函数12(,; )nL x xx为2()112,(,

33、)0,ixnniiiiiexLf xx当1miniinx时1lnln 222niiLnxn故ln20Ln，可 见 ln L 关于单 调 增，要 使 ln L 达到最大，则应该 在1miniinx限制下让取的最大值，这里应该为1miniinx，故的最大似然估计值为1miniinx。题目： (01,3 分) 将一枚硬币重复掷n 次, 以 X和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数 , 则 X和 Y的相关系数等于 (A) (A)-1 (B)0 (C)12(D)1 知识点：相关系数的性质题目： (01,3 分) 设随机变量X的方差为2, 则根据切比雪夫不等式有估计|() |2PXE X12知识点：切比

34、雪夫不等式题目： (02,7 分) 设随机变量 X的概率密度为1cos,0( )220 xxf x其他对 X独立地重复观察 4 次, 用 Y表示观察值大于3的次数 , 求2Y的数学期望 . 知识点：二项分布解答：因为3311( )cos3222xP Xf x dxdx故1(4,)2YB, 得( )2,( )1E YD Y , 所以22()( )( ( )5E YD YE Y题目： (02,3分) 设随机变量X 服从正态分布2( ,)(0)N, 且二次方程240yyX无实根的概率为12, 则4. 知识点：正太分布的概率计算题目： (02,3 分) 设12XX和是任意两个相互独立的连续型随机变量,

35、 它们的概率密度分别为12( )( )f xfx和, 分布函数分别为12( )( )F xFx和, 则(D) (A)12( )( )f xfx 必为某一随机变量的概率密度；(B)12( )( )fxfx 必为某一随机变量的概率密度；(C)12( )( )F xF x 必为某一随机变量的分布函数；(D)12( )( )F xFx 必为某一随机变量的分布函数. D 知识点：分布函数和概率密度的性质。题目： (03,4 分) 设随机变量21 ( )(1),Xt n nYX, 则(C) (A)2( )Yxb(B)2(1)Yxn (C)( ,1)YF n(D)(1, )YFn知识点：三大统计量的性质题目

36、： (03,4 分) 已知一批零件的长度X(单位： cm)服从正态分布(,1)N, 从中随机地抽取 16 个零件 , 得到长度的平均值为40cm,则的置信度为 0.95 的置信区间是(39.51,40.49). ( 注：标准正态分布函数值(1.96)0.975,(1.645)0.95) 知识点：置信区间的计算10(03,4 分) 设二维随机变量 ( X,Y)的概率密度为6 ,01( , )0 xxyf x y其他则1P XY=14知识点：二维（连续型）随机变量已知概率密度计算概率题目： (04,4 分) 设随机变量 X服从参数为的指数分布 , 则P XDX =1e. 知识点：指数分布题目：(0

37、4,4 分) 设随机变量12,(1)nXXXn独立同分布 , 且其方差为20.令11niiYXn, 则（A）(A)21(,).Cov XYn(B)21(, )Cov X Y(C)212()nD XYn(D)211()nD XYn知识点：协方差具有“线性运算“的性质题目： (04,4 分) 设随机变量 X服从正态分布 N(0,1), 对给定的(01), 数u满足P Xu, 若P Xx, 则 x等于( C ) (A) 2u . (B)12u. (C)12u . (D) 1u . 知识点：( )x的性质，数理统计中的（上侧）分位数概念题目： (05,4分) 设12nX ,X ,X (n2)，为来自总

38、体N(0,1) 的简单随机样本 ,X为样本均值 ,S2为样本方差 , 则(D) (A) nX N0 1（ ，） (B)22( )nSn (C)(1) (1)nXt nS(D)2122(1)(1,1)niinXFnX知识点：三大统计量的性质题目： (05,4分) 从数 1,2,3,4中任取一个数 , 记为 X,再从 1, , ,X 中任取一个数, 记为 Y,则 PY=2=1348. 知识点：离散型随机变量的条件分布，全概率公式题目： (05,4分) 设二维随机变量 (X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件 X=0与X+Y=1互相独立 , 则(B) (

39、A)a=0.2, b=0.3 (B)a=0.4, b=0.1 (D)a=0.3, b=0.2(D)a=0.1,b=0.4 知识点：事件间的独立性题目： (05,9 分) 设二维随机变量 (X, Y) 的概率密度为1,01,02 ,( , )0,xyxf x y其他求： (I)(X,Y)的边缘概率密度( ),( );XYfxfy (II)Z=2XY 的概率密度( ).Zfz知识点：二维（连续型）随机变量的边缘概率密度，联合概率密度解答： ：2012 ,01( )0,xXdyxxfx其他,1/211,022( )0,Yyydxyfy其他1,02( )20,Zzzfz其他题目： (06,4 分) 设

40、,A B为随机事件 , 且()0,(|)1P BP A B, 则必有 ( C ) (A)()( ).P ABP A (B)()( ).P ABP B (C)()().P ABP A(D)()( ).P ABP B知识点：乘法公式和加法公式解答：()( ) ()( )P ABP B P A BP B()()()()()P ABP AP BP ABP A故选 C. 题目： (06,4分) 设随机变量X 服从正态分布211(,)N, Y 服从正态分布222(,)N, 且12| 1| 1 ,PXP Y( A ) (A)12.(B)12. (C)12.(D)12.知识点：正态分布函数题目： (06,4

41、分)设随机变量X与Y相互独立 , 且均服从区间 0, 3 上的均匀分布 ,则max,1PX Y=1/9. 知识点：独立随机变量的联合概率题目： (06,9 分) 随机变量 x 的概率密度为21, 1021,02,40,xxfxxyxF x y令其他为 二 维 随 机 变 量 (X,Y) 的 分 布 函 数 . ( ) 求Y 的 概 率 密 度Yfy( )1,42F知识点：边缘概率，概率密度3,0181( )( ),1480,YYyyfyFyyy其他解答： ( )Y 的分布函数为2( )()()YFyP YyP Xy当0y时，( )0,( )0YYFyfy当01y时，( ) = 0)0)113

42、=244YFyPyXyPyXPXyyyy3( )8Yfyy当14y时11( ) 10024YFyPXPXyy1( )8Yfyy当4y时，( )1,( )0YYFyfy，故 Y的概率密度为3,0181( )( ),1480,YYyyfyFyyy其他题目： (2007,I 、III 、IV) (10) 设随机变量 (,) 服从二维正态分布 , 且与不相关 ,( )( )XYfx fy 分别表示 , 的概率密度 , 则在y 的条件下 , 的密度|( | )X Yfx y 为( ) (A) ( )Xfx (B) ( )Yfy (C ) ( )( )XYfx fy . (D) ( )( )XYfxfy知

43、 识 点 ： 对 于 二 维 连 续 型 随 机 变 量(,)X Y, 有 与 相 互 独 立f (x, y)=( )( )XXfx fy|( | )X Yfx y =( )Xfx|(| )Y Xfy x =( )Yfy . 解答：因(,)X Y服从二维正态分布 , 且与不相关 , 故与相互独立 , 于是|( | )X Yfx y =( )Xfx . 因此选 (A) 题目： (2007) 设总体X的概率密度为1,0,21( , ),1,2(1)0,.xf xx其它其中参数(01)未知, 12,nXXX 是来自总体X 的简单随机样本 , X是样本均值(I) 求参数的矩估计量?；(II) 判断24

44、X是否为2的无偏估计量 , 并说明理由. 知识点：矩估计无偏估计量解答： (I) ()( , )E Xxf xdx1022(1)xxdxdx11(1).4424令124X, 其中11niiXXn, 解答：方程得的矩估计量为 : ?=122X. (II) 222(4)4 ()4()()EXE XD XEX2()4()D XEXn, 而22()( , )E Xx f xdx221022(1)xxdxdx211.36622()()()D XE XEX221111()366242115121248, 故2(4)EX2()4()D XEXn2313135312nnnnnn2, 所以24X不是2的无偏估计

45、量 . . 题目： (2007) 设二维随机变量 (X, Y)的概率密度为2,01,01,( ,)0,xyxyf x y其它.(I) 求2P XY ； (II) 求ZXY的概率密度( )Zfz . 知识点：联合概率密度解答： (I) 2P XY2( , )xyf x y dxdy11202(2)ydyxy dx724. (II) 方法一：先求Z的分布函数 : ( )()( , )ZxyzFzP XYZfx y dxdy当 z0时, ( )0ZFz; 当01z时, 1( )( ,)ZDFzf x y dxdy00(2)zz ydyxy dx2313zz；当12z时, 2( )1( , )ZDFz

46、f x y dxdy1111(2)zzydyxy dx311(2)3z当2z时, ( )1ZFz. 故 Z+的概率密度( )Zfz =( )ZFz222,01,(2) ,12,0,.zzzzz其他方法二：( )( ,)Zfzf x zx dx, 2(),01,01,( ,)0,.xzxxzxf x zx其他2,01,01,0,.zxzx其他当 z 0 或 z 2 时, ( )0Zfz; 当01z时, 0( )(2)zZfzz dx(2)zz；当12z时, 11( )(2)Zzfzz dx2(2)z；故 Z+的概率密度( )Zfz222,01,(2) ,12,0,.zzzzz其他题目： (07.

47、4分) 某人向同一目标独立重复射击, 每次射击命中目标的概率为p(0p1), 则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为 ( C ) (A) 23 (1)pp(B) 26 (1)pp. (C) 223(1)pp(D) 226(1)pp知识点：独立重复试验的计算解答： “第 4 次射击恰好第 2 次命中”表示 4 次射击中第 4 次命中目标 , 前3 次射击中有 1 次命中目标 . 由独立重复性知所求概率为：1223(1)C pp. 题目：(07.4 分)在区间 (0, 1)中随机地取两个数 , 则两数之差的绝对值小于12的概率为 _ _ 知识点：几何概型解答：这是一个几何概型 , 设

48、x, y 为所取的两个数 , 则样本空间(,)|0,1 x yx y, 记1(,)| ( , ),|2Ax yx yxy. 故( )ASP AS33414, 其中,ASS 分别表示 A与的面积 . 题目： (2007.) 设随机变量 X与 Y独立分布 , 且 X 的概率分布为122133XP 记max,min,UX YVX Y . (I) 求(,)U V的概率分布 ; (II) 求(,)U V的协方差 Cov(,)U V. 知识点：联合概率分布，协方差解答： (I) 易知 U , V 的可能取值均为 : 1, 2. 且(1,1)(max,1,min,1 )P UVPX YX Y(1,1)P X

49、Y4(1) (1)9P XP Y, (1,2)(max,1,min,2)0P UVPX YX Y, (2,1)(max,2,min,1)P UVPX YX Y(2,1)(1,2)P XYP XY(2)(1)(1) (2)P XP YP XP Y49, (2,2)(max,2,min,2)P UVPX YX Y(2,2)(2)(2)P XYP XP Y19, 故(U, V) 的概率分布为 : V U 1 2 1 2 49 0 4919(II) 441()1 102 122999E UV169, 4514()12999E U, 8110()12999E V. 故1614104(,)()()()99

50、981Cov U VE UVE U E V. 题 目 ： (2008.) 设 随 机 变 量,X Y独 立 同 分 布 且X的 分 布 函数 为( )F x, 则max, ZX Y的分布函数为【】(A) 2( )Fx . (B) ( )( )F x F y. (C) 21 1( )F x. (D) 1( )1( )F xF y. 知识点：max, ZX Y的分布函数解答：( )max, F zP ZzPX Yz2( )( )( )P Xz P YzF z F zFz 故应选 (A) 题 目 ： (2008.)设 随 机 变 量X与Y相 互 独 立 ,X的 概 率 密 度 为1()(1,0,1)