高二数学经典教案全集圆锥曲线方程.pdf

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1、高二数学分册教案第八章圆锥曲线方程椭圆及其标准方程一、教学目标(一)知识教学点使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程(二)能力训练点通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力(三)学科渗透点通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力二、教材分析1重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程(解决办法：用模型演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调；对椭圆的标准方程单独列出加以比较) 2难点：椭圆的标准方程的推导(解决办法：推导分4 步完成，每步重点讲解，关键步骤加以补充说明) 3疑点：椭圆的定义中常数加以限制的原因(

2、解决办法：分三种情况说明动点的轨迹) 三、活动设计提问、演示、讲授、详细讲授、演板、分析讲解、学生口答四、教学过程(一)椭圆概念的引入前面，大家学习了曲线的方程等概念，哪一位同学回答：问题1：什么叫做曲线的方程？求曲线方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？对上述问题学生的回答基本正确，否则，教师给予纠正这样便于学生温故而知新，在已有知识基础上去探求新知识提出这一问题以便说明标准方程推导中一个同解变形问题3：圆的几何特征是什么？你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索？一般学生能回答：“平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆”对同学提出的轨迹命题如：“到两定点距离之和等于常数的点的轨

3、迹”“到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹”“到两定点距离之差等于常数的点的轨迹”教师要加以肯定，以鼓励同学们的探索精神比如说，若同学们提出了“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹”，那么动点轨迹是什么呢？这时教师示范引导学生绘图：取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和 F2两点(如图 2-13) ，当绳长大于 F1和 F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆教师进一步追问：“椭圆，在哪些地方见过？”有的同学说：“立体几何中圆的直观图”有的同学说：“人造卫星运行轨道”等,在此基础上，引导学生概括椭圆的定义：平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常

4、数 ( 大于|F1F2|) 的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距学生开始只强调主要几何特征到两定点F1、F2的距离之和等于常数、 教师在演示中要从两个方面加以强调：(1)将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆， 而是椭球形， 使学生认识到需加限制条件：“在平面内”(2)这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意：若常数 =|F1F2| ，则是线段 F1F2；若常数 |F1F2| ，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数大于|F1F2| ”(二)椭圆标准方程的推导1标准方程的推导由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪

5、些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1) 建系设点； (2) 点的集合； (3) 代数方程； (4) 化简方程等步骤(1)建系设点建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量( 距离、直线斜率等 ) 的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的以两定点F1、F2的直线为 x 轴，线段 F1F2的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系( 如图 2-14) 设|F1F2|=2c(c 0) ，M(x，y)为椭圆上任意一点， 则有 F1(-1 ，0) ，F2(c ，0)(2)点的集合由

6、定义不难得出椭圆集合为：P=M|MF1|+|MF2|=2a (3)代数方程(4)化简方程化简方程可请一个反映比较快、书写比较规范的同学板演，其余同学在下面完成，教师巡视，适当给予提示：原方程要移项平方，否则化简相当复杂；注意两次平方的理由详见问题3 说明整理后，再平方得 (a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) 为使方程对称和谐而引入b，同时 b 还有几何意义，下节课还要(ab0)关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略示的椭圆的焦点在x 轴上，焦点是 F1(-c ，0)、F2(c ，0)这里 c2=a2-b22两种标准方程的比较(引导学生归纳 )0)、F2(c ，0

7、)，这里 c2=a2-b2；-c)、F2(0，c) ，这里 c2=a2+b2，只须将 (1) 方程的 x、y 互换即可得到教师指出： 在两种标准方程中，a2b2，可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上(三)例题与练习例题平面内两定点的距离是8，写出到这两定点的距离的和是10 的点的轨迹的方程分析：先根据题意判断轨迹，再建立直角坐标系，采用待定系数法得出轨迹方程解：这个轨迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用F1、F2表示取过点 F1和 F2的直线为 x 轴，线段 F1F2的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系2a=10，2c=8a=5，c=4，b2=a2-c2=52-45=9b=3 因此，这个

8、椭圆的标准方程是请大家再想一想，焦点F1、F2放在 y 轴上，线段 F1F2的垂直平分练习1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：练习2 下列各组两个椭圆中，其焦点相同的是 由学生口答，答案为D (四)小结1定义：椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数 ( 大于|F1F2|)的点的轨迹3图形如图 2-15、2-164焦点： F1(-c ，0) ，F2(c ，0)F1(0 ，-c) ，F2(0，c) 五、布置作业1如图 2-17，在椭圆上的点中， A1与焦点 F1的距离最小， |A1F1|=2 ，A2F1的距离最大， |A2F1|=14 ，求椭圆的标准方程3求适合下列条件的椭圆的标准方程

9、：是过F1的直线被椭圆截得的线段长，求ABF2的周长作业答案：4由椭圆定义易得， ABF2的周长为 4a椭圆的几何性质一、教学目标(一)知识教学点通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用(二)能力训练点通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力(三)学科渗透点使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等二、教材分析1重点：椭圆的几何性质及初步运用(解决办法：引导学生利用方程研究曲线的性质，最后进行归纳小结) 2难点：椭圆离心

10、率的概念的理解(解决办法：先介绍椭圆离心率的定义，再分析离心率的大小对椭圆形状的影响，最后通过椭圆的第二定义讲清离心率e 的几何意义 ) 3疑点：椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质，与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变(解决办法：利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明) 三、活动设计提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结四、教学过程(一)复习提问1椭圆的定义是什么？2椭圆的标准方程是什么？学生口述，教师板书(二)几何性质根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是银板几何的基本问题之一，本节课就根据椭圆的标准方程：12222byax(a0,b0)来研究

11、椭圆的几何性质说明：椭圆自身固有几何量所具有的性质是与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变1范围从标准方程中得出：,1,12222byax即|x| a，|y| b，这说明椭圆在直线x=a 和直线 y=b 所围成的矩形里( 图 2-18) 注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点2对称性先请大家阅读课本椭圆的几何性质2设问：为什么“把x 换成-x ，或把 y 换成-y ？，或把 x、y 同时换成 -x 、-y 时，方程都不变，所以图形关于y 轴、x 轴或原点对称的”呢？事实上，在曲线的方程里，如果把x 换成-x 而方程不变， 那么当点 P(x，y) 在曲线上时，点 P关于 y

12、 轴的对称点 Q(-x ， y) 也在曲线上，所以曲线关于 y 轴对称类似可以证明其他两个命题同时向学生指出：如果曲线具有关于y 轴对称、关于 x 轴对称和关于原点对称中的任意两种，那么它一定具有另一种对称如：如果曲线关于x 轴和原点对称，那么它一定关于 y 轴对称事实上，设P(x，y) 在曲线上，因为曲线关于x 轴对称，所以点 P1(x ，-y) 必在曲线上 又因为曲线关于原点对称， 所以 P1关于原点对称点 P2(-x ，y) 必在曲线上因 P(x，y) 、P2(-x ，y) 都在曲线上，所以曲线关于y 轴对称最后指出：x 轴、y 轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心即椭圆中心3顶点只须

13、令x=0，得 y=b，点 B1(0，-b) 、B2(0，b)是椭圆和 y 轴的两个交点；令 y=0，得 x=a，点 A1(-a ，0)、A2(a，0)是椭圆和 x 轴的两个交点 强调指出：椭圆有四个顶点 A1(-a ，0) 、A2(a，0)、B1(0，-b) 、B2(0，b) 教师还需指出：(1)线段 A1A2、线段 B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴， 它们的长分别等于2a 和2b；(2)a、b 的几何意义： a 是长半轴的长， b 是短半轴的长；这时，教师可以小结以下：由椭圆的范围、对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形4离心率教师直接给出椭圆的离心率的定义：等

14、到介绍椭圆的第二定义时，再讲清离心率e 的几何意义先分析椭圆的离心率e 的取值范围：ac0， 0 e1再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响：(2)当 e 接近 0 时，c 越接近 0，从而 b 越接近 a，因此椭圆接近圆；(3)当 e=0时，c=0，a=b两焦点重合，椭圆的标准方程成为x2+y2=a2，图形就是圆了(三)应用为了加深对椭圆的几何性质的认识，掌握用描点法画图的基本方法，给出如下例1例1 求椭圆 16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、 离心率、 焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形本例前一部分请一个同学板演，教师予以订正，估计不难完成后一部分由教师讲解，以引起学生重

15、视，步骤是：(2)描点作图先描点画出椭圆在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性就可以画出整个椭圆 (图 2-19) 要强调：利用对称性可以使计算量大大减少本例实质上是椭圆的第二定义，是为以后讲解抛物线和圆锥曲线的统一定义做准备的，同时再一次使学生熟悉求曲线方程的一般步骤，因此，要详细讲解：设d 是点 M到直线 l 的距离，根据题意，所求轨迹就是集合P=M 将上式化简，得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) 这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是椭圆由此例不难归纳出椭圆的第二定义(四)椭圆的第二定义1定义平面内点M与一个定点的距离和它到一定直线的距离的比是常数线叫做椭圆的准线，常数e

16、 是椭圆的离心率2说明这时还要讲清e 的几何意义是：椭圆上一点到焦点的距离和它到准线的距离的比(五)小结解法研究图形的性质是通过对方程的讨论进行的，同一曲线由于坐标系选取不同，方程的形式也不同，但是最后得出的性质是一样的，即与坐标系的选取无关前面我们着重分析了第一个标准方程的椭圆的性质，类似可以理解第二个标准方程的椭圆的性质布置学生最后小结下列表格：五、布置作业1求下列椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、各个顶点和焦点坐标、准线方程：(1)25x2+4y2-100=0，(2)x2+4y2-1=02我国发射的科学实验人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面 266Km

17、， 远地点距地面 1826Km ， 求这颗卫星的轨道方程3点 P与一定点 F(2，0) 的距离和它到一定直线x=8的距离的比是 12，求点 P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形的方程作业答案：4顶点 (0 ，2)可能是长轴的端点，也可能是短轴的一个端点，故分两种情况求方程：双曲线及其标准方程一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握双曲线的定义和标准方程，以及标准方程的推导(二)能力训练点在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、推理等能力(三)学科渗透点本次课注意发挥类比和设想的作用，与椭圆进行类比、设想，使学生得到关于双曲线的定义、标准方程一个比较深刻的认识二、教材分析1重点：双

18、曲线的定义和双曲线的标准方程(解决办法：通过一个简单实验得出双曲线，再通过设问给出双曲线的定义；对于双曲线的标准方程通过比较加深认识) 2难点：双曲线的标准方程的推导(解决办法：引导学生完成，提醒学生与椭圆标准方程的推导类比) 3疑点：双曲线的方程是二次函数关系吗？(解决办法：教师可以从引导学生回忆函数定义和观察双曲线图形来解决，同时让学生在课外去研究在什么附加条件下，双曲线方程可以转化为函数式) 三、活动设计提问、实验、设问、归纳定义、讲解、演板、口答、重点讲解、小结四、教学过程(一)复习提问1椭圆的定义是什么？ (学生回答，教师板书 ) 平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数 ( 大于

19、|F1F2|) 的点的轨迹叫做椭圆教师要强调条件： (1) 平面内； (2) 到两定点 F1、F2的距离的和等于常数；(3) 常数 2a|F1F2| 2椭圆的标准方程是什么？( 学生口答，教师板书 ) (二)双曲线的概念把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是怎样的呢？1简单实验 ( 边演示、边说明 ) 如图2-23，定点 F1、F2是两个按钉， MN是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M移动时， |MF1|-|MF2| 是常数，这样就画出曲线的一支；由|MF2|-|MF1| 是同一常数，可以画出另一支注意：常数要小于|F1F2| ，否则作不出图

20、形这样作出的曲线就叫做双曲线2设问问题1：定点 F1、F2与动点 M不在平面上，能否得到双曲线？请学生回答，不能强调“在平面内”问题2：|MF1| 与|MF2| 哪个大？请学生回答，不定：当M在双曲线右支上时， |MF1| |MF2| ；当点 M在双曲线左支上时， |MF1| |MF2| 问题3：点 M与定点 F1、F2距离的差是否就是 |MF1|-|MF2| ？请学生回答，不一定，也可以是|MF2|-|MF1| 正确表示为 |MF2|-|MF1| 问题4：这个常数是否会大于等于|F1F2| ？请学生回答，应小于|F1F2| 且大于零当常数 =|F1F2| 时，轨迹是以 F1、F2为端点的两条

21、射线；当常数|F1F2| 时，无轨迹3定义在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数( 小于|F1F2|) 的点的轨迹叫做双曲线这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距教师指出：双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆，不要死记(三)双曲线的标准方程现在来研究双曲线的方程我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程这时设问： 求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导标准方程的推导：(1)建系设点取过焦点F1、F2的直线为 x 轴，线段 F1F2的垂直平分线为 y 轴(

22、 如图 2-24) 建立直角坐标系设M(x，y) 为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c 0) ，那么 F1、F2的坐标分别是 (-c ，0) 、(c ，0) 又设点 M与 F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(2)点的集合由定义可知，双曲线就是集合：P=M|MF1|-|MF2|=2a=M|MF1|-|MF2|= 2a(3)代数方程(4)化简方程 (由学生演板 )将这个方程移项，两边平方得：化简得：两边再平方，整理得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导) 由双曲线定义，2c2a 即 ca，所以 c2-a20设c2-a2=b2(b 0)，代入

23、上式得：b2x2-a2y2=a2b2这就是双曲线的标准方程两种标准方程的比较( 引导学生归纳 )：教师指出：(1)双曲线标准方程中， a0，b0，但 a 不一定大于 b；(2)如果 x2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；如果 y2项的系数是正的，那么焦点在 y 轴上注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上(3)双曲线标准方程中 a、 b、 c的关系是 c2=a2+b2， 不同于椭圆方程中 c2=a2-b2(四)练习与例题1求满足下列的双曲线的标准方程：焦点F1(-3 ，0)、F2(3，0) ，且 2a=4；3已知两点 F1(-5 ，0)、F2(5 ，0)，求与它们的距离的差的

24、绝对值是6 的点的轨迹方程如果把这里的数字6 改为 12，其他条件不变，会出现什么情况？由教师讲解：按定义，所求点的轨迹是双曲线，因为c=5，a=3，所以 b2=c2-a2=52-32=42因为2a=12，2c=10，且 2a2c所以动点无轨迹(五)小结1 定义：平面内与两定点 F1、 F2的距离的差的绝对值等于常数( 小于|F1F2|)的点的轨迹3图形 ( 见图 2-25) ：4焦点： F1(-c ，0) 、F2(c ，0)；F1(0 ，-c) 、F2(0，c) 5a、b、c 的关系： c2=a2+b2；c=a2+b2五、布置作业1根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)焦点的坐标是 (-6

25、 ，0) 、(6，0)，并且经过点 A(-5 ，2)；3已知圆锥曲线的方程为mx2+ny2=m+n(m 0m+n)，求其焦点坐标作业答案：2由(1+k)(1-k)0 解得： k-1 或 k1 双曲线的几何性质一、教学目标(一)知识教学点使学生理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并能具体估计双曲线的形状特征(二)能力训练点在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力(三)学科渗透点使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决双曲线中的弦、最值等问题二、教材分析1重点：双

26、曲线的几何性质及初步运用(解决办法：引导学生类比椭圆的几何性质得出， 至于渐近线引导学生证明 ) 2难点：双曲线的渐近线方程的导出和论证(解决办法：先引导学生观察以原点为中心，2a、2b长为邻边的矩形的两条对角线，再论证这两条对角线即为双曲线的渐近线) 3疑点：双曲线的渐近线的证明(解决办法：通过详细讲解) 三、活动设计提问、类比、重点讲解、演板、讲解并归纳、小结四、教学过程(一)复习提问引入新课1椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？请一同学回答应为：范围、对称性、顶点、离心率，是从标准方程探讨的2双曲线的两种标准方程是什么？再请一同学回答应为：中心在原点、焦点在x 轴上的双曲线的标下面我们类比

27、椭圆的几何性质来研究它的几何性质(二)类比联想得出性质 (性质 13) 引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格(让学生回答，教师引导、启发、订正并板书 ) (三)问题之中导出渐近线 ( 性质 4) 在学习椭圆时，以原点为中心，2a、2b 为邻边的矩形，对于估计仍以原点为中心，2a、2b为邻边作一矩形 (板书图形 ) ，那么双曲线和这个矩形有什么关系？这个矩形对于估计和画出双曲线简图( 图 2-26) 有什么指导意义？这些问题不要求学生回答，只引起学生类比联想接着再提出问题：当a、b 为已知时，这个矩形的两条对角线的方程是什么？下面，我们来证明它：双曲线在第一象限的部分可写成：当x 逐渐增大

28、时， |MN|逐渐减小， x 无限增大， |MN|接近于零， |MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON 在其他象限内也可以证明类似的情况现在来看看实轴在y 轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于焦点在y 轴上的双曲线方程是由焦点在x 轴上的双曲线方程，将x、y 字母对调所得到，自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将x、y 字这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精再描几个点，就可以随后画出比较精确的双曲线(四)顺其自然介绍离心率 ( 性质 5) 由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍一下双曲线的

29、离心率以及它对双曲线的形状的影响：变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔这时，教师指出：焦点在y 轴上的双曲线的几何性质可以类似得出，双曲线的几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的改变而改变(五)练习与例题1求双曲线 9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程请一学生演板，其他同学练习，教师巡视，练习毕予以订正由此可知，实半轴长a=4，虚半轴长 b=3焦点坐标是(0，-5) ，(0，5)本题实质上是双曲线的第二定义，要重点讲解并加以归纳小结解：设d 是点 M到直线 l 的距离，根据题意，所求轨迹就是集合：化简得：(c2-a2)x2-a2y2

30、=a2(c2-a2)这就是双曲线的标准方程由此例不难归纳出双曲线的第二定义(六)双曲线的第二定义1定义 ( 由学生归纳给出 ) 平面内点M与一定点的距离和它到一条直线的距离的比是常数e= 叫做双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率2说明(七)小结( 由学生课后完成 ) 将双曲线的几何性质按两种标准方程形式列表小结五、布置作业1已知双曲线方程如下，求它们的两个焦点、离心率e 和渐近线方程(1)16x2-9y2=144；(2)16x2-9y2=-1442求双曲线的标准方程：(1)实轴的长是 10，虚轴长是 8，焦点在 x 轴上；(2)焦距是 10，虚轴长是 8，焦点在 y 轴上；曲线的方程点到两准

31、线及右焦点的距离作业答案：距离为7 抛物线及其标准方程一、教学目标(一)知识教育点使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程(二)能力训练点要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力(三)学科渗透点通过一个简单实验引入抛物线的定义，可以对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育二、教材分析1重点：抛物线的定义和标准方程(解决办法：通过一个简单实验与椭圆、双曲线的定义相比较引入抛物线的定义；通过一些例题加深对标准方程的认识) 2难点：抛物线的标准方程的推导(解决办法：由三种建立坐标系的方法中选出一种最佳方法，避免了硬性规定坐标系 ) 3疑点

32、：抛物线的定义中需要加上“定点F 不在定直线 l 上”的限制(解决办法：向学生加以说明) 三、活动设计提问、回顾、实验、讲解、演板、归纳表格四、教学过程(一)导出课题我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线今天我们将学习第四种圆锥曲线抛物线，以及它的定义和标准方程课题是“抛物线及其标准方程”请大家思考两个问题：问题1：同学们对抛物线已有了哪些认识？在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象？问题2：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y 轴、开口向上或开口向下两种情形引导学生进一步思考：如果抛物线的对称轴不平行于y

33、轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了 今天，我们突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线(二)抛物线的定义1回顾平面内与一个定点F的距离和一条定直线l 的距离的比是常数e 的轨迹，当 0e1 时是椭圆，当 e1 时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？2简单实验如图2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l 的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线 l 的距离 AC ，并且把绳子另一端固定在图板上的一点 F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，

34、这样铅笔就描出一条曲线， 这条曲线叫做抛物线 反复演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结3定义这样，可以把抛物线的定义概括成：平面内与一定点F和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线( 定点 F不在定直线 l 上)定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线(三)抛物线的标准方程设定点F到定直线 l 的距离为 p(p 为已知数且大于0)下面，我们来求抛物线的方程怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？让学生议论一下，教师巡视，启发辅导，最后简单小结建立直角坐标系的几种方案：方案1：( 由第一组同学完成，请一优等生演板) 以l 为 y 轴，过点 F 与直线

35、l 垂直的直线为 x 轴建立直角坐标系 ( 图 2- 30)设定点 F(p，0) ，动点 M的坐标为 (x ，y) ，过 M作 MD y 轴于 D，抛物线的集合为： p=M|MF|=|MD| 化简后得：y2=2px-p2(p0)方案2：( 由第二组同学完成，请一优等生演板) 以定点F为原点，平行 l 的直线为 y 轴建立直角坐标系 (图 2-31) 设动点 M的坐标为 (x ，y) ，且设直线 l 的方程为 x=-p，定点 F(0，0) ，过 M作 MD l 于 D，抛物线的集合为：p=M|MF|=|MD|化简得：y2=2px+p2(p 0)方案3：( 由第三、四组同学完成，请一优等生演板)

36、取过焦点F且垂直于准线 l 的直线为 x 轴，x 轴与 l 交于 K，以线段 KF的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系 ( 图 2-32) 抛物线上的点M(x，y) 到 l 的距离为 d，抛物线是集合 p=M|MF|=d 化简后得：y2=2px(p0)比较所得的各个方程，应该选择哪些方程作为抛物线的标准方程呢？引导学生分析出：方案3 中得出的方程作为抛物线的标准方程这是因为这个方程不仅具有较简的形式， 而方程中的系数有明确的几何意义：一次项系数是焦点到准线距离的 2 倍由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：将上表画在小黑板上，讲解时出示小黑板，并讲清

37、为什么会出现四种不同的情形，四种情形中P0；并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆即：当对称轴为 x 轴时，方程等号右端为 2px，相应地左端为 y2；当对称轴为 y 轴时，方程等号的右端为 2py，相应地左端为 x2同时注意：当焦点在正半轴上时，取正号；当焦点在负半轴上时，取负号(四)四种标准方程的应用例题：(1) 已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，-2) ，求它的标准方程方程是x2=-8y练习：根据下列所给条件，写出抛物线的标准方程：(1)焦点是 F(3，0)；(3)焦点到准线的距离是2由三名学生演板， 教师予以订正 答

38、案是：(1)y2=12x； (2)y2=-x； (3)y2=4x， y2=-4x，x2=4y，x2=-4y这时，教师小结一下：由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一个系数p，因此只要给出确定p 的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就唯一确定了； 若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程就会有多解(五)小结本次课主要介绍了抛物线的定义，推导出抛物线的四种标准方程形式，并加以运用五、布置作业到准线的距离是多少？点M的横坐标是多少？2求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)x2=2y；(2)4x2+3y=0；(3)2y

39、2+5x=0；(4)y2-6x=03根据下列条件，求抛物线的方程，并描点画出图形：(1)顶点在原点，对称轴是x 轴，并且顶点与焦点的距离等于6；(2)顶点在原点，对称轴是y 轴，并经过点 p(-6 ，-3) 4求焦点在直线3x-4y-12=0 上的抛物线的标准方程作业答案：3(1)y2=24x，y2=-2x (2)x2=-12y( 图略) 4分别令 x=0，y=0 得两个焦点 F1(0，-3) ，F2(4，0) ，从而可得抛物线方程为 x2=-12y 或 y2=16x 抛物线的几何性质一、教学目标(一)知识教学点使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质(二)能

40、力训练点从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力(三)学科渗透点使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线方程的关系概念的理解，这样才能解决抛物线中的弦、最值等问题二、教材分析1重点：抛物线的几何性质及初步运用(解决办法：引导学生类比椭圆、双曲线的几何性质得出) 2难点：抛物线的几何性质的应用(解决办法：通过几个典型例题的讲解，使学生掌握几何性质的应用) 3疑点：抛物线的焦半径和焦点弦长公式(解决办法：引导学生证明并加以记忆) 三、活动设计提问、填表、讲解、演板、口答四、教学过程(一)复习1抛物线的定义是什么？请一同学回答应为：“

41、平面内与一个定点F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线”2抛物线的标准方程是什么？再请一同学回答应为：抛物线的标准方程是y2=2px(p0)，y2=-2px(p 0) ，x2=2py(p0)和 x2=-2py(p 0)下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质，从抛物线的标准方程y2=2px(p0) 出发来研究它的几何性质(二)几何性质怎样由抛物线的标准方程确定它的几何性质？以y2=2px(p0)为例，用小黑板给出下表，请学生对比、研究和填写填写完毕后，再向学生提出问题：和椭圆、双曲线的几何性质相比，抛物线的几何性质有什么特点？学生和教师共同小结：(1)抛物线只位于半个坐标平面内， 虽然

42、它也可以无限延伸， 但是没有渐近线(2)抛物线只有一条对称轴， 这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合，抛物线没有中心(3)抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点(4)抛物线的离心率要联系椭圆、 双曲线的第二定义， 并和抛物线的定义作比较其结果是应规定抛物线的离心率为1注意：这样不仅引入了抛物线离心率的概念，而且把圆锥曲线作为点的轨迹统一起来了(三)应用举例为了加深对抛物线的几何性质的认识，掌握描点法画图的基本方法，给出如下例1例1 已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点解：因为抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点程是y2=4x后

43、一部分由学生演板，检查一下学生对用描点法画图的基本方法掌握情况第一象限内的几个点的坐标，得：(2)描点作图描点画出抛物线在第一象限内的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分( 如图 2-33) 例2 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值解法一：由焦半径关系，设抛物线方程为y2=-2px(p 0)，则准线方因为抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离 |MF|与到准线的距离得p=4因此，所求抛物线方程为y2=-8x又点M(-3，m)在此抛物线上，故m2=-8(-3) 解法二：由题设列两个方程，可求得p 和 m 由学生

44、演板由题意在抛物线上且|MF|=5，故本例小结：(1)解法一运用了抛物线的重要性质：抛物线上任一点到焦点的距离( 即此点的焦半径 )等于此点到准线的距离可得焦半径公式：设P(x0，这个性质在解决许多有关焦点的弦的问题中经常用到，因此必须熟练掌握(2)由焦半径不难得出焦点弦长公式：设AB是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦)，若 A(x1，y1) 、B(x2，y2) 则有|AB|=x1+x2+p特别地：当 AB x 轴，抛物线的通径 |AB|=2p( 详见课本习题 )例3 过抛物线 y2=2px(p0)的焦点 F的一条直线与这抛物线相交于A、B两点，且 A(x1，y1) 、B(x2，y2)( 图 2-

45、34) 证明：(1)当 AB与 x 轴不垂直时，设 AB方程为：此方程的两根y1、y2分别是 A、B两点的纵坐标，则有y1y2=-p2或y1=-p，y2=p，故 y1y2=-p2综合上述有y1y2=-p2又A(x1，y1) 、B(x2，y2) 是抛物线上的两点，本例小结：(1)涉及直线与圆锥曲线相交时， 常把直线与圆锥曲线方程联立， 消去一个变量，得到关于另一变量的一元二次方程，然后用韦达定理求解， 这是解决这类问题的一种常用方法(2)本例命题 1 是课本习题中结论，要求学生记忆(四)练习1过抛物线 y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，若 x1+x2=6，求

46、|AB| 的值由学生练习后口答由焦半径公式得：|AB|=x1+x2+p=8 2证明：与抛物线的轴平行的直线和抛物线只有一个交点请一同学演板，其他同学练习，教师巡视证明：可设抛物线方程故抛物线y2=2px 与平行于其轴的直线只有一个交点(五)全课小结1抛物线的几何性质；2抛物线的应用五、布置作业1在抛物线 y2=12x上，求和焦点的距离等于9 的点的坐标2有一正三角形的两个顶点在抛物线y2=2px 上，另一顶点在原点，求这个三角形的边长3图 2-35 是抛物线拱桥的示意图，当水面在l 时，拱顶高水面 2m ，水面宽 4m ，水下降 11m后，水面宽多少？4求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆，必与抛

47、物线的准线相切作业答案：3建立直角坐标系，设拱桥的抛物线方程为x2=-2py，可得抛物线4由抛物线的定义不难证明求曲线的轨迹方程一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法( 二) 能力训练点通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识的能力(三)学科渗透点通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，使学生掌握常用动点的轨迹，为学习物理等学科打下扎实的基础二、教材分析1重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法(解决办法：对每种方法用例题加以说明，使学生掌握这种方法)2难点：作相关点法求动点的轨迹方法(解决办法：先使学生了解相关点法

48、的思路，再用例题进行讲解) 三、活动设计提问、讲解方法、演板、小测验四、教学过程(一)复习引入大家知道，平面解析几何研究的主要问题是：(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；(2)通过方程，研究平面曲线的性质我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析(二)几种常见求轨迹方程的方法1直接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出) 的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法例1(1) 求和定圆 x2+y2=k2的圆周的距离等于 k 的动

49、点 P的轨迹方程；(2)过点 A(a，o) 作圆 O x2+y2=R2(a Ro)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹对(1) 分析：动点P 的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律： |OP|=2R或|OP|=0解：设动点P(x，y) ，则有|OP|=2R 或|OP|=0即x2+y2=4R2或 x2+y2=0故所求动点P的轨迹方程为 x2+y2=4R2或 x2+y2=0对(2) 分析：题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数由学生演板完成，解答为：设弦的中点为M(x，y) ，连结

50、OM ，则OM AM kOMkAM=-1，其轨迹是以OA为直径的圆在圆 O内的一段弧 (不含端点 )2定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程， 这种方法叫做定义法这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件直平分线l 交半径 OQ 于点 P(见图 245)，当 Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程分析：点P 在 AQ的垂直平分线上，|PQ|=|PA| 又P在半径 OQ 上|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R故P点到两定点距离之和是定值，可用椭圆定义写出P 点的轨迹方程解：