《椭圆的简单性质》教案.pdf

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1、学习必备欢迎下载椭圆的简单性质教案教学目的：1熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点等简单几何性质。2掌握标准方程中, ,a b c的几何意义，以及, , ,a b c e的相互关系。3理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法。教学重点： 椭圆的几何性质教学难点： 如何贯彻数形结合思想，运用曲线方程研究几何性质授课类型： 新授课。课时安排： 1 课时。教具：多媒体、实物投影仪。内容分析 ：根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一，根据曲线的条件列出方程，如果说是解析几何的手段，那么根据曲线的方程研究它的性质、画图就是解析几何的目的。怎样用

2、代数的方法来研究曲线原性质呢？本节内容为系统地按照方程来研究曲线的几何性质提供了一个范例，因此，本节内容在解析几何中占有非常重要的地位。通过本节的学习，使学生掌握应从哪些方面来讨论一般曲线的几何性质，从而对曲线的方程和方程的曲线彼此之间的相辅相成的辩证关系，对解析几何的基本思想有更深的了解。通过对椭圆几种画法的学习，能深化对椭圆定义的认识，提高画图能力；通过几何性质的简单的应用，了解到如何应用几何性质去解决实际问题，提高学生用数学知识解决实际问题的能力。本节内容的重点是椭圆的几何性质范围、对称性、顶点、离心率、准线方程；根据方程研究曲线的几何性质的思路与方法；椭圆的几种画法。难点是椭圆的离心率

3、、准线方程及椭圆的第二定义的理解，关键是掌握椭圆的标准方程与椭圆图形的对应关系，理解关掌握两种椭圆的定义的等价性。根据教学大纲的安排，本节内容分4 个课时进行教学，本节内容的课时分配作如下设计：第一课时，椭圆的范围、对称性、顶点坐标、离心率、椭圆的画法；第二课时，椭圆的第二定义、椭圆的准线方程；第三课时，焦半径公式与椭圆的标准方程；第四课时，椭圆的参数方程及应用。教学过程 ：学习必备欢迎下载一、复习引入：1椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹。2标准方程：22221xyab，22221yxab（0ba）3问题：（1）椭圆曲线的几何意义是什么？（2）

4、“范围”是方程中变量的取值范围，是曲线所在的位置的范围，椭圆的标准方程中的yx,取值范围是什么？其图形位置是怎样的？（3）标准形式的方程所表示的椭圆，其对称性是怎样的？（4）椭圆的顶点是怎样的点？椭圆的长轴与短轴是怎样定义的？长轴长、短轴长各是多少？cba,的几何意义各是什么？（5）椭圆的离心率是怎样定义的？用什么来表示？它的范围如何？在这个范围内，它的变化对椭圆有什么影响？（6）画椭圆草图的方法是怎样的？二、讲解新课：由椭圆方程12222byax(0ba) 研究椭圆的性质.(利用方程研究 ,说明结论与由图形观察一致) (1)范围: 从 标 准 方 程 得 出122ax,122by, 即 有a

5、xa,byb，可知椭圆落在byax,组成的矩形中(2)对称性 : QB2B1A2A1PF2F1PPxOy学习必备欢迎下载把方程中的x换成x方程不变，图象关于y轴对称 y 换成y 方程不变，图象关于x轴对称把yx,同时换成yx,方程也不变，图象关于原点对称如果曲线具有关于x轴对称，关于 y 轴对称和关于原点对称中的任意两种，则它一定具有第三种对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心x轴、 y 轴叫椭圆的对称轴从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距(3)顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点在 椭 圆12222byax的 方 程 里 ， 令0y得ax， 因 此 椭 圆 和x轴 有 两 个 交 点

6、)0,(),0,(2aAaA，它们是椭圆12222byax的顶点令0 x，得by，因此椭圆和 y 轴有两个交),0(),0(2bBbB，它们也是椭圆12222byax的顶点因此椭圆共有四个顶点：)0,(),0 ,(2aAaA，), 0(),0(2bBbB加两焦点)0 ,(),0,(21cFcF共有六个特殊点 . 21AA叫椭圆的长轴，21BB叫椭圆的短轴长分别为ba 2 ,2ba,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点. 至此我们从椭圆的方程中直接可以看出它的范围, 对称性 , 顶点因而只需少量描点就可以较正确的作图了(4)离心率 : 发现长轴相等，短轴不同，扁圆程度

7、不同这种扁平性质由什么来决定呢？概念：椭圆焦距与长轴长之比定义式：ace2)(1abe范围：10e。考察椭圆形状与e的关系：0, 0 ce，椭圆变圆， 直至成为极限位置圆， 此时也可认为圆为椭圆在0e时的特例。,1ace椭圆变扁，直至成为极限位置线段21FF，B2B1A2A1xOy学习必备欢迎下载此时也可认为圆为椭圆在1e时的特例。三、讲解范例：例 1 求椭圆400251622yx的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形。解：把已知方程化成标准方程1452222yx所以，345, 4,522cba，因此，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为82 ,102ba，离心率53ac

8、e，两个焦点分别为)0, 3(),0 , 3(21FF，椭圆的四个顶点是)0,5(),0, 5(2AA，)4,0(),4,0(2BB将已知方程变形为22554xy，根据22554xy，在50 x的范围内算出几个点的坐标),(yx：x0 1 2 3 4 5 y4 3.9 3.7 3.2 2.4 0 先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆：4-45-5xOy例 2 在同一坐标系中画出下列椭圆的简图：（1）1162522yx（2）192522yx答：简图如下：4-45-5-33xOy例 3 分别在两个坐标系中，画出以下椭圆的简图：（1）14922yx（2）1364922yx学习必备欢

9、迎下载答：简图如下：2-23-3xOy6-67-7xOy四、课堂练习 ：1已知椭圆的一个焦点将长轴分为3:2两段，求其离心率解：由题意，)(:)(caca=3:2,即2311ee,解得625e2如图，求椭圆12222byax,(0ba)内接正方形ABCD 的面积解 由椭圆和正方形的中心对称性知，正方形BFOE的面积是所求正方形面积的1/4,且 B 点横纵坐标相等，故设 B （tt, ),代入椭圆方程求得22222babat,即正方形 ABCD面积为22224baba五、小结 ：这节课学习了用方程讨论曲线几何性质的思想方法；学习了椭圆的几何性质：对称性、顶点、范围、离心率；学习了椭圆的描点法画图

10、及徒手画椭圆草图的方法第二课时教学目的：1. 掌握椭圆范围、对称性、顶点、离心率、准线方程等几何性质；2理解椭圆第二定义与第一定义的等价性；3掌握根据曲线方程来研究曲线性质的基本思路与方法；培养学生观察能力， 概括能力；提高学生画图能力；提高学生分析问题与解决问题的能力教学重点： 椭圆的第二定义、椭圆的准线方程教学难点： 椭圆第二定义授课类型： 新授课FEDCBAB2B1A2A1xOy学习必备欢迎下载课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹2标准方程：12222byax，12222b

11、xay（0ba）3椭圆的性质：由椭圆方程12222byax(0ba) (1)范围: axa,byb， 椭圆落在byax,组成的矩形中(2)对称性 : 图象关于 y 轴对称图象关于x轴对称图象关于原点对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心x轴、 y 轴叫椭圆的对称轴从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点椭圆和x轴有两个交点)0,(),0,(2aAaA，它们是椭圆12222byax的顶点椭圆和 y 轴有两个交),0(),0(2bBbB，它 们也 是椭 圆12222byax的顶 点因此 椭圆共 有四个顶点：)0,(),0,(2aAaA，),0(),0(

12、2bBbB加两焦点)0,(),0,(21cFcF共有六个特殊点 . 21AA叫椭圆的长轴，21BB叫椭圆的短轴长分别为ba 2,2ba,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点(4)离心率 : 椭圆焦距与长轴长之比QB2B1A2A1PF2F1PPxOy学习必备欢迎下载ace2)(1abe10e椭圆形状与e的关系：0, 0 ce，椭圆变圆， 直至成为极限位置圆， 此时也可认为圆为椭圆在0e时的特例。, 1ace椭圆变扁，直至成为极限位置线段21FF，此时也可认为圆为椭圆在1e时的特例。4. 回顾一下焦点在x轴上的椭圆的标准方程的推导过程：如果对椭圆标准方程推导过程中的关键

13、环节进行适当变形，我们会有新的发现：22)(ycx22)(ycx a2)()(222xcaacxacaycx，即accaxycx222)(同时还有accaxycx)()(222(3) 观察上述三式的结构，说出它们各自的几何意义,从而引出椭圆的第二定义二、讲解新课：1椭圆的第二定义 :一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个) 1 ,0(内常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率K2F2F1N1K1N2PB2B1A2A1xOyK2F2F1N1K1N2PB2B1A2A1xOy2椭圆的准线方程对于12222byax，相对于左焦点)0,(1cF对应着

14、左准线caxl21:；相对于右焦点B2B1A2A1xOy学习必备欢迎下载)0,(2cF对应着右准线caxl22:对于12222bxay，相对于下焦点),0(1cF对应着下准线cayl21:；相对于上焦点),0(2cF对应着上准线cayl22:准线的位置关系：caax2焦点到准线的距离cbccaccap2222（焦参数）其上任意点),(yxP到准线的距离：（分情况讨论）点评：（ 1）从上面的探索与分析可知，椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式（2）椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称三、讲解范例：例 1求下列椭圆的准线方程：（1）4422

15、yx(2)1811622yx解：方程4422yx可化为1422yx，是焦点在x轴上且1,2 ba，3c的椭圆所以此椭圆的准线方程为33434x方程1811622yx是焦点在 y 轴上且4,9 ba，65c的椭圆所以此椭圆的准线方程为6565816581y例 2椭圆13610022yx上有一点 P， 它到椭圆的左准线距离为 10，求点 P 到椭圆的右焦点的距离解：椭圆13610022yx的离心率为54e，根据椭圆的第二定义得，点 P 到椭圆的左焦点距离为810e再根据椭圆的第一定义得，点P 到椭圆的右焦点的距离为20812 四、课堂练习 ：1求下列椭圆的焦点坐标与准线方程10F2F1N1K1PB

16、2B1A2A1xOy学习必备欢迎下载（1）13610022yx（2）8222yx答案：焦点坐标)0, 8(),0 ,8(21FF；准线方程2258100 x焦点坐标)2,0(),2,0(21FF；准线方程428x2已知椭圆的两条准线方程为9y，离心率为31，求此椭圆的标准方程答案：19822yx五、小结 ：本节课学习了椭圆的第二定义，椭圆两种定义是等价的；椭圆的两种类型的准线方程也是不同的，须区别开来上面)()(222xcaacyax（2）即exaxcaacyax)()(222同样（3）也可以这样处理，这是椭圆的焦半径公式六、课后记： 本课时背景材料是课本例4，学生解答例 4 并不困难，但对例

17、 4 中直线的出现感到突然与困难，对由此得出的第二定义与第一定义有何内在联系搞不清楚本设计通过反思椭圆标准方程的推导过程， 引导学生自己去发现椭圆的第二定义使学生明白两种定义是等价的，消除了学生困惑利用引导学生去发现定义的教学，调动学生的积极性，加强了知识发生过程的教学使用多媒体辅助教学，增加了课堂教学容量，提高了课堂教学效益第三课时教学目的：1. 能推导，掌握椭圆的焦半径公式，并能利用焦半径公式解决有关与焦点距离有关的问题；2能利用椭圆的有关知识解决实际问题，及综合问题；3体会数学形式的简洁美, 增强爱国主义观念。教学重点 ：焦半径公式的的推导及应用教学难点： 焦半径公式的的推导 , 应用问

18、题中坐标系的建立授课类型： 新授课课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪学习必备欢迎下载教学过程 ：一、复习引入：1椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹2标准方程：12222byax，12222bxay（0ba）3椭圆的性质：由椭圆方程12222byax(0ba) （1）范围 : axa,byb，椭圆落在byax,组成的矩形中（2）对称性 :图象关于 y 轴对称图象关于x轴对称图象关于原点对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心x轴、 y 轴叫椭圆的对称轴从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点椭圆

19、共有四个顶点：)0,(),0 ,(2aAaA，),0(),0(2bBbB加两焦点)0,(),0 ,(21cFcF共有六个特殊点 . 21AA叫椭圆的长轴，21BB叫椭圆的短轴长分别为ba 2,2ba,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长 .椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点（4）离心率 : 椭圆焦距与长轴长之比ace2)(1abe10e椭圆形状与e的关系：0,0 ce，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在0e时的特例, 1ace椭圆变扁， 直至成为极限位置线段21FF，此时也可认为圆为椭圆在1e时的特例4.椭圆的第二定义 :一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1 ,0(

20、内常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式5椭圆的准线方程：椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称对于12222byax，左准线caxl21:；右准线caxl22:学习必备欢迎下载对于12222bxay，下准线cayl21:；上准线cayl22:焦点到准线的距离cbccaccap2222（焦参数）二、讲解新课：椭圆的焦半径公式：设),(00yxM是椭圆12222byax)0(ba的一点,1r和2r分别是点 M与点)0,(1cF,)0,(2cF的距离 .那么（左焦

21、半径）01exar,（右焦半径）02exar,其中e是离心率推导方法一：202021)(ycxMF，202022)(ycxMF022214cxMFMF，aMFMF221又2221021aMFMFxacMFMF002001exaxacaMFexaxacaMF即 （左焦半径）01exar, （右焦半径）02exar推导方法二：,|11eMFreMFr|2200211)(|exaxcaeMFer，00222)(|exaxcaeMFer同理有焦点在 y 轴上的椭圆的焦半径公式：0201eyaMFeyaMF（ 其中21FF分别是椭圆的下上焦点）注意：焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在

22、左在右无关可以记为：左加右减，上减下加三、讲解范例例 1 如图所示，我国发射的第一颗人造地球卫星运行轨道是以地心 (地球的中心 )2F为一个焦点的椭圆，已知它的近地点A(离地面最近的点 )距地面 439km，远地点 B(离地面最远的点 )距地面 2384km，并且2F、A、B 在同一直线上，设地球半径约为 6371km，求卫星运行的轨道方程(精确到 1km)a-ca+cF2F1BAxOyK2F2F1N1K1N2MB2B1A2A1xOy学习必备欢迎下载解：建立如图所示直角坐标系，使点A、B、2F在x轴上，则ca|OA|O2F|2FA|63714396810 ca|OB|O2F|2FB|63712

23、3848755 解得a7782.5，c972.5 772287556810)(22cacacab. 卫星运行的轨道方程为1772277832222yx例 2 椭圆)0(12222babyax，其上一点 P(3,y )到两焦点的距离分别是6.5 和 3.5，求椭圆方程解：由椭圆的焦半径公式，得5 .335 .63eaea，解得21,5 ea，从而有475,25222cabc所求椭圆方程为17542522yx四、课堂练习 ：1P 为椭圆192522yx上的点，且 P 与21,FF的连线互相垂直，求P 解：由题意，得20)545(x20)545(x641625720 x，16812yP 的坐标为)4

24、9,475(，)49,475(，)49,475(，)49,475(2椭圆192522yx上不同三点),(),59,4(),(2211yxCByxA与焦点 F(4,0)的距离成等差数列，求证821xx证明：由题意，得)545(1x)545(2x2)4545(821xx3设 P是以 0 为中心的椭圆上任意一点，2F为右焦点， 求证：以线段PF2为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切证明：设椭圆方程为12222byax,(0ba)，焦半径PF2是圆1O的直径，F2F1PO1A2A1xOy学习必备欢迎下载则由11222222OOPFPFaPFa知，两圆半径之差等于圆心距，所以，以线段PF2为直径的圆与此

25、椭圆长轴为直径的圆内切五、小结：焦半径公式的推导方法及形式；实际问题中坐标系的建立应使问题易求解第四课时教学目的：1. 了解椭圆的参数方程，了解参数方程中系数ba,的含义2通过学习椭圆的参数方程，进一步完善对椭圆的认识，理解参数方程与普通方程的相互联系并能相互转化提高综合运用能力教学重点： 进一步巩固和掌握由曲线求方程及由方程研究曲线的方法及椭圆参数方程的推导. 教学难点： 深入理解推导方程的过程.灵活运用方程求解问题 . 授课类型： 新授课课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程 ：一、复习引入：1椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹

26、2标准方程：12222byax，12222bxay（0ba）3椭圆的性质：由椭圆方程12222byax(0ba) (1)范围: axa,byb，椭圆落在byax,组成的矩形中(2)对称性 :图象关于 y 轴对称图象关于x轴对称图象关于原点对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心x轴、 y 轴叫椭圆的对称轴从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点学习必备欢迎下载椭圆共有四个顶点：)0,(),0 ,(2aAaA，),0(),0(2bBbB加两焦点)0,(),0 ,(21cFcF共有六个特殊点 . 21AA叫椭圆的长轴，21BB叫椭圆的短轴长分别为ba 2

27、,2ba,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长 .椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点(4)离心率 : 椭圆焦距与长轴长之比ace2)(1abe10e椭圆形状与e的关系：0,0 ce，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在0e时的特例, 1ace椭圆变扁， 直至成为极限位置线段21FF，此时也可认为圆为椭圆在1e时的特例4.椭圆的第二定义 :一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1 ,0(内常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式5椭圆的准线方程对于12222byax，左准线

28、caxl21:；右准线caxl22:对于12222bxay，下准线cayl21:；上准线cayl22:焦点到准线的距离cbccaccap2222（焦参数）椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称6椭圆的焦半径公式：（左焦半径）01exar,（右焦半径）02exar,其中e是离心率焦点在 y 轴上的椭圆的焦半径公式：0201eyaMFeyaMF（ 其中21,FF分别是椭圆的下上焦点）焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关可以记为：左加右减，上减下加二、讲解新课：1.问题：如图，以原点O 为圆心，分别以ba,(0ba)为半径作两个图，点B 是

29、大圆半径 OA 与小圆的交点，过点 A 作 NAOX 垂足为 N， 过点 B 作 BMAN， 垂足为 M 求当半径 OA 绕点 O 旋转时点 M 的轨迹的参数方程解答：设 A 的坐标为NOAyx),(，取为参数，那么MNBAxOy学习必备欢迎下载sin|cos|OBNMyOAONx也就是)(s i nc o s为参数byax这就是所求点 A 的轨迹的参数方程将sincosbyax变形为sincosbyax发现它可化为)0(12222babyax，说明 A 的轨迹是椭圆2.椭圆的参数方程)(sincos为参数byax注意：角不是角NOM三、讲解范例：例 1 把下列参数方程化为普通方程，普通方程化

30、为参数方程(1)(sin4cos3为参数yx(2)1822yx解：(1)(sin4cos3为参数yx1432222yx(2)1822yx)(sincos22为参数yx例 2 已知椭圆),0,0(sin2cos为参数bayx上的点 P(yx,),求yx21的取值范围 . 解：yx212,2)4sin(2sincos例 3 已知椭圆)0(12222babyax与x轴的正半轴交于 A,O 是原点 ,若椭圆上存在一点M,使 MAMO,求椭圆离心率的取值范围解：A(a,0)，设 M 点的坐标为)sin,cos(ba（20），由 MA MO 得1cossincossinabaab化简得21,0c o s111c o s1c o ss i n)c o s1 (c o s222ab学习必备欢迎下载所以1 ,22122abe四、课堂练习 ：1参数方程)(sin3cos4为参数yx表示的曲线的焦点坐标是: 离心率是 : 答案：)0 ,7(),0,7(21FF；47e2求椭圆)0(12222babyax的内接矩形面积的最大值答案：abSabbaS22sin2sincos4max五、小结：椭圆的参数方程及形式 ,与普通方程的互化椭圆的参数方程的应用