中考数学压轴题分类解析汇编专题01动点问题.pdf

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1、专题 1：动点问题1. （2012 上海市 14 分）如图，在半径为2 的扇形 AOB中， AOB=90 ，点C是弧 AB上的一个动点（不与点A、 B重合） OD BC ，OE AC ，垂足分别为D、E（1）当 BC=1时，求线段OD的长；（2）在 DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设 BD=x ，DOE的面积为y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出它的定义域【答案】 解： （1）点 O是圆心， OD BC ， BC=1 ，BD=12BC=12。又OB=2 ，2222115OD=OBBD222。（2）存在， DE是不变的。如图，连接

2、AB，则22AB=OB +OA2 2。D 和 E是中点， DE=1AB=22。（3）BD=x ，2OD4x。1=2，3=4，AOB=900。2+3=45。过 D作 DF OE ，垂足为点F。DF=OF=24x2。由BOD EDF ，得BDOD=EFDF，即22x4x=EF4x2，解得 EF=12x。OE=2x+4x2。2222114xx+4x4x +x4xyDF OE=0 x222422（）。【考点】 垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）由 OD BC ，根据垂径定理可得出BD=12BC=12，在 Rt BOD 中利用勾股定理

3、即可求出OD的长。（2）连接 AB ，由 AOB是等腰直角三角形可得出AB的长， 再由 D和 E是中点，根据三角形中位线定理可得出DE= 2。（3）由 BD=x ，可知2OD4x，由于1= 2， 3= 4，所以2+ 3=45，过D作 DF OE ，则 DF=OF=24x2，EF=12x，OE=2x+4x2，即可求得y 关于 x 的函数关系式。22AB=OB +OA22，点 C是弧 AB上的一个动点（不与点A、B重合） ，0 x2。2. （2012 福建南平14 分） 如图，在 ABC中，点 D、E分别在边BC 、AC上，连接 AD 、DE ，且1=B=C（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（

4、要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）答：结论一：；结论二：；结论三：（2）若 B=45 ， BC=2 ，当点 D在 BC上运动时（点D不与 B、C重合） ，求 CE的最大值；若 ADE是等腰三角形，求此时BD的长（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）【答案】 解： （1） AB=AC ；AED= ADC ；ADE ACD 。（2） B=C，B=45 ， ACB为等腰直角三角形。22ACBC2222。1=C，DAE= CAD ， ADE ACD 。AD ： AC=AE ： AD ，22ADADAEAC222AD

5、2。当 AD最小时， AE最小，此时AD BC ， AD=12BC=1 。AE的最小值为222122。 CE的最大值 = 22222。当 AD=AE 时， 1=AED=45 ， DAE=90 。点 D与 B重合，不合题意舍去。当 EA=ED 时，如图1， EAD= 1=45。AD平分 BAC ，AD 垂直平分BC 。BD=1 。当 DA=DE 时，如图2，ADE ACD ，DA ： AC=DE ：DC 。DC=CA=2。BD=BC DC=2 2。综上所述，当 ADE 是等腰三角形时，BD的长的长为1 或22。【考点】 相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰（直角）三角形的判定和性质。【分析】

6、（1）由B=C， 根据等腰三角形的性质可得AB=AC ；由1=C， AED= EDC+ C得到 AED= ADC ；又由 DAE= CAD ，根据相似三角形的判定可得到ADE ACD 。（ 2 ） 由 B=C ， B=45 可 得 ACB 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 则22ACBC2222， 由 1=C， DAE= CAD ， 根 据 相 似 三 角 形 的 判 定 可 得ADE ACD ，则有AD ：AC=AE ：AD，即22ADADAEAC222AD2，当 AD BC，AD 最小，此时AE最小，从而由CE=AC AE得到 CE的最大值。分当 AD=AE ， ，EA=ED ，DA=D

7、E 三种情况讨论即可。3. （2012 甘肃兰州12 分） 如图， RtABO 的两直角边OA 、OB分别在 x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上， O为坐标原点， A、 B两点的坐标分别为( 3，0) 、(0 ，4) ，抛物线y23x2bx c 经过点 B，且顶点在直线x52上(1) 求抛物线对应的函数关系式；(2) 若把A BO沿 x 轴向右平移得到 DCE ，点A、B、O的对应点分别是D、C 、E，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C和点 D是否在该抛物线上，并说明理由；(3) 在(2) 的条件下， 连接 BD ，已知对称轴上存在一点P使得 PBD的周长最小， 求出 P点的坐标；(4) 在

8、(2) 、(3) 的条件下，若点M是线段 OB上的一个动点( 点 M与点 O 、B不重合 ) ，过点 M作BD交 x 轴于点 N，连接 PM 、PN，设 OM的长为 t ，PMN 的面积为S，求 S和 t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围， S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由【答案】 解： （1）抛物线y23x2bx c 经过点 B(0，4) ，c 4。顶点在直线x52上，b5=2223，解得10b=3。所求函数关系式为2210y=xx+433。（2）在 RtABO中， OA 3，OB 4，22ABOAOB5=。四边形ABCD 是菱形， BC CD

9、 DA AB 5。C、 D两点的坐标分别是(5，4) 、 (2，0) ，当 x5 时，2210y=55+4=433；当 x2 时，2210y=22+4=033。点 C和点 D都在所求抛物线上。（3）设 CD与对称轴交于点P，则 P为所求的点，设直线 CD对应的函数关系式为ykx b，则5k+b=42k+b=0，解得，4k=38b=3。直线 CD对应的函数关系式为48y=x33。当 x52时，4582y=3233。 P(5223，) 。（ 4）MN BD ， OMN OBD 。OMONOBOD，即tON42，得tON2。设对称轴交x于点F，则PFOM112555SPFOMOF=+t=t+2232

10、46梯形。2MON1111SOM ON=tt=t2224，PME1151215SNF PF=t=t+2222366，MONPMEPFOMS=SSS梯形2255115117t+tt+t +t46466412 (0 t 4) 。22117117289S=t +t=t+41246144，104，01764，当17t=6时， S取最大值是289144。此时，点M的坐标为 (0 ，176) 。【考点】 二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）根据抛物线y23x2bxc 经过点 B(0，4) ，以及顶点在直线x52上，得出b

11、，c 即可。（2）根据菱形的性质得出C、 D两点的坐标分别是(5 ，4)、(2 ， 0)，利用图象上点的性质得出x5 或 2 时， y 的值即可。（3）首先设直线CD对应的函数关系式为ykxb，求出解析式，当x52时，求出 y 即可。（4）利用 MN BD ，得出 OMN OBD ，进而得出OMONOBOD，得到tON2，从而表示出 PMN的面积，利用二次函数最值求出即可。4. （2012 广东省 9 分） 如图，抛物线213y=xx922与 x 轴交于 A、B两点，与 y 轴交于点 C，连接 BC 、AC（1）求 AB和 OC的长；（2）点 E从点 A出发，沿x 轴向点 B运动（点E与点 A

12、、B不重合），过点 E作直线 l 平行BC ，交 AC于点 D 设 AE的长为 m ，ADE的面积为s，求 s 关于 m的函数关系式，并写出自变量 m的取值范围；（3）在（ 2）的条件下，连接CE ，求 CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留） 【答案】 解： （1）在213y=xx922中，令 x=0，得 y= 9，C（ 0， 9） ；令 y=0，即213xx9=022，解得： x1=3，x2=6， A（3，0） 、B （ 6，0） 。AB=9 ， OC=9 。（2）ED BC ， AED ABC ，2AEDABCSAESAB，即：2sm199 92。s=

13、12m2（0m 9） 。（3）SA EC=12AE?OC=92m ，SAED=s=12m2，SEDC=SAECSAED=12m2+92m= 12（m 92）2+818。CDE的最大面积为818，此时， AE=m=92， BE=AB AE=92。又22BC6 +9 =3 13，过 E作 EF BC于 F， 则 RtBEF RtBCO ，得：EFBEOCBC， 即：9EF293 13。27EF1326。以 E点为圆心，与BC相切的圆的面积 SE=?EF2=72952。【考点】 二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，勾股定理，直线与圆相切的性质。【分析】

14、（1）已知抛物线的解析式，当x=0，可确定C点坐标；当y=0 时，可确定A、B点的坐标，从而确定AB 、OC的长。（2）直线 l BC ，可得出 AED ABC ，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于 s、m的函数关系式；根据题目条件：点E与点 A、B不重合，可确定m的取值范围。（3）首先用m列出 AEC的面积表达式， AEC 、AED的面积差即为 CDE 的面积，由此可得关于SCDE关于 m的函数关系式，根据函数的性质可得到SCDE的最大面积以及此时m的值。过 E做 BC的垂线 EF，这个垂线段的长即为与BC相切的E的半径， 可根据相似三角形 BEF 、BCO 得到的相关比例线段求得该

15、半径的值，由此得解。5. （2012 贵州毕节16 分） 如图，直线l1经过点 A（ 1，0） ，直线 l2经过点 B(3，0), l1、l2均为与 y 轴交于点C(0，3) ，抛物线2y=a x+bx+c(a0)经过 A、B、C三点。（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴依次与x轴交于点 D、与 l2交于点 E、与抛物线交于点F、与 l1交于点G 。求证： DE=EF=FG; (3) 若 l1l2于 y 轴上的 C 点处，点P为抛物线上一动点，要使PCG 为等腰三角形，请写出符合条件的点P的坐标，并简述理由。【答案】 解： （1）抛物线2y=ax +bx+c(a0)经过 A（ 1，

16、0） ，B（3，0） ，C（0，3）三点，abc09a3bc0 c3，解得3a323b3c3。抛物线的解析式为：232 3y=x +x333（2）证明：设直线l1的解析式为y=kx+b，由直线l1经过 A （ 1，0） ，C（0，3） ，得 kb0 b3， 解 得k3 b3， 直 线l1的 解 析 式 为 ：y=-3x3。直线 l2经过 B （3，0） ，C （0，3）两点，同理可求得直线l2解析式为：y= 33x3。抛物线2232 334 3y=x +x3=x13333，对称轴为x=1，D（1，0） ，顶点坐标为F（1，4 33） 。点 E为 x=1 与直线 l2：y= 33x3的交点， 令

17、 x=1，得 y=2 33，E（1，233） 。点 G为 x=1 与直线 l1：y=-3x3的交点，令x=1，得 y=2 3，G （ 1，2 3） 。各点坐标为： D （ 1， 0） ， E （1，2 33） ， F （ 1，433） ，G （1，2 3） ，它们均位于对称轴x=1 上。DE=EF=FG=2 33。（3）如图，过C 点作 C 关于对称轴x=1 的对称点P1，CP1交对称轴于H点，连接CF，PG 。PCG为等腰三角形，有三种情况：当 CG=PG 时，如图，由抛物线的对称性可知，此时P1满足 P1G=CG 。C（ 0，3） ，对称轴x=1，P1（2，3） 。当 CG=PC 时，此时

18、P 点在抛物线上，且CP的长度等于 CG 。如图， C（ 1，3） ，H点在 x=1 上， H（ 1，3） 。在 RtCHG中， CH=1 ，HG=|yGyH|=|2 3（3）|= 3，由勾股定理得：22CG132。 PC=2如图， CP1=2，此时与中情形重合。又 RtOAC中，22AC132，点 A满足 PC=2的条件，但点A、C、G在同一条直线上，所以不能构成等腰三角形。当 PC=PG 时，此时P点位于线段CG的垂直平分线上. l1l2， ECG为直角三角形。由（ 2）可知， EF=FG ，即 F 为斜边 EG的中点。CF=FG ，F 为满足条件的P点，P2（1，4 33） 。又CG3c

19、os CGEEG2， CGE=30 。HCG=60 。又 P1C=CG ，P1CG为等边三角形。P1点也在 CG的垂直平分线上，此种情形与重合。综上所述， P点的坐标为P1（2，3）或 P2（1，433） 。【考点】 二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，等腰三角形的性质，勾股定理， 直角三角形斜边上中线的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）已知 A、B、C三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式。（2）D、E、F、G四点均在对称轴x=1 上，只要分别求出其坐标，就可以得到线段DE 、 EF、FG的长度。 D是对称轴与x 轴交点， F

20、是抛物线顶点，其坐标易求；E是对称轴与直线 l2交点，需要求出l2的解析式， G是对称轴与l1的交点，需要求出l1的解析式，而A、B、C三点坐标已知，所以l1、 l2的解析式可以用待定系数法求出。从而问题得到解决。（3）PCG为等腰三角形，需要分三种情况讨论：CG=PG ，CG=PC ，PC=PG 。6. （2012 贵州遵义12 分） 如图， ABC是边长为6 的等边三角形，P是 AC边上一动点，由 A向 C运动（与A 、C不重合）， Q是 CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与 B重合） ，过 P作 PE AB于 E，连接 PQ交 AB于 D（1）当 BQ

21、D=30 时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由【答案】 解： （1） ABC是边长为6 的等边三角形， ACB=60 。BQD=30 ， QCP=90 。设 AP=x，则 PC=6 x，QB=x ，QC=QB+C=6+x。在 RtQCP中，BQD=30 ， PC=12QC ，即 6x=12（ 6+x） ，解得 x=2。当 BQD=30 时， AP=2 。（2）当点 P、Q运动时，线段DE的长度不会改变。理由如下：作 QF AB ，交直线AB的延长线于点F，连接 QE ，PF。PE AB于 E， DFQ= AEP=90 。点

22、P、Q做匀速运动且速度相同，AP=BQ 。ABC是等边三角形， A=ABC= FBQ=60 。在 APE和BQF中，A=FBQ ， AP=BQ ，AEP= BFQ=90 ， APE BQF （AAS ） 。AE=BF ， PE=QF 且 PE QF 。四边形PEQF是平行四边形。DE=12EF。EB+AE=BE+BF=AB，DE=12AB 。又等边 ABC的边长为6，DE=3 。当点 P、Q运动时，线段DE的长度不会改变。【考点】 动点问题，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30 度角的直角三角形的性质。【分析】（1）由 ABC 是边长为6 的等边三角形，可知 ACB=60 ，再由

23、BQD=30 可知QCP=90 ，设AP=x ，则 PC=6 x，QB=x ，在 RtQCP中， BQD=30 ， PC=12QC ，即 6x=12（6+x） ，求出 x 的值即可。（2）作 QF AB ，交直线AB的延长线于点F，连接 QE ，PF ，由点 P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP=BQ ，再根据全等三角形的判定定理得出APE BQF ，再由AE=BF ，PE=QF 且 PE QF ，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=12AB ，由等边 ABC的边长为6 可得出 DE=3，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变。7. （2012 湖

24、北宜昌12 分） 如图，在平面直角坐标系中，直线y=33x+1 分别与两坐标轴交于 B， A两点， C为该直线上的一动点，以每秒1 个单位长度的速度从点A开始沿直线BA向上移动，作等边 CDE ，点D和点 E都在 x 轴上，以点C为顶点的抛物线y=a（xm ）2+n经过点 EM与 x 轴、直线AB都相切，其半径为3（ 13）a（1）求点 A的坐标和 ABO的度数；（2）当点 C与点 A重合时，求a 的值；（3）点 C移动多少秒时，等边 CDE 的边 CE第一次与M相切？【答案】 解： （1）当 x=0 时， y=1；当 y=0 时， x=3，OA=1 ， OB=3。A的坐标是（ 0，1） 。t

25、an ABO=OA13OB33。 ABO=30 。（2） CDE为等边三角形，点A（0，1） ，tan30=ODOA，OD=33。D 的坐标是（33， 0） ，E的坐标是（33，0） ，把点 A（0，1） ，D（33，0） ，E（33，0）代入 y=a （xm ）2+n，得2221=am +n30=am+n330=am+n3，解得a=3m=0n=1。a= 3。（3）如图，设切点分别是Q ，N，P，连接 MQ ，MN ， MP ，ME ，过点 C作 CH x轴， H为垂足，过A作 AF CH ，F为垂足。CDE是等边三角形， ABO=30 ，BCE=90 ， ECN=90 。CE ，AB分别与M

26、相切， MPC= CNM=90 。 四边形MPCN 为矩形。MP=MN，四边形MPCN 为正方形。MP=MN=CP=CN=3（ 13）a（a0） 。EC和 x 轴都与M相切， EP=EQ 。NBQ+ NMQ=180， PMQ=60 。 EMQ ，=30。在 RtMEP中，tan30=PEPM，PE= （33）a。CE=CP+PE=3（ 13）a+（33）a= 23a。DH=HE=3a，CH= 3a，BH= 33a。OH= 33a3，OE= 43a3。E（ 43a3，0） ，C（ 33a3， 3a） 。设二次函数的解析式为：y=a（x+33a+3）23a，E 在该抛物线上， a（43a3+33a

27、+3）23a=0，得： a2=1，解之得a1=1，a2=1。a0，a= 1。AF=23，CF=2 ，AC=4 。点 C移动到 4 秒时，等边 CDE的边 CE第一次与M相切。【考点】 动点问题，二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，等边三角形的性质，直线与圆相切的性质。【分析】 （1）已知直线AB的解析式，令解析式的x=0，能得到A点坐标；令y=0，能得到B点坐标；在RtOAB中，知道OA 、OB的长，用正切函数即可得到ABO 的值。（2）当 C、A重合时，可知点C的坐标，然后结合OC的长以及等边三角形的特性求出 OD 、OE的长，即可得

28、到D、 E的坐标，利用待定系数即可确定a 的值。（ 3）作出第一次相切时的示意图，已知的条件只有圆的半径，那么连接圆心与三个切点以及点E，首先能判断出四边形CPMN 是正方形，那么CP与M的半径相等，只要再求出 PE就能进一步求得C点坐标；那么可以从PE=EQ ，即 RtMEP入手，首先 CED=60 ，而MEP= MEQ ，易求得这两个角的度数，通过解直角三角形不难得到PE 的长，即可求出PE及点 C、E的坐标然后利用C、E的坐标确定a 的值，从而可求出AC的长，由此得解。8. （2012 湖南常德10 分） 已知四边形ABCD是正方形， O为正方形对角线的交点，一动点P从 B开始，沿射线B

29、C运动，连结DP ，作 CN DP于点 M ，且交直线AB于点 N，连结 OP ，ON 。 （当 P在线段 BC上时，如图1：当 P在 BC的延长线上时，如图2）（1）请从图 1，图 2 中任选一图证明下面结论：BN=CP ：OP=ON，且OP ON (2) 设 AB=4 ，BP=x ，试确定以O 、P、B、N为顶点的四边形的面积y 与 x 的函数关系。【答案】（1）证明：如图1，四边形ABCD 是正方形，OC=OB，DC=BC ， DCB= CBA=90 ，OCB= OBA=45 ，DOC=90 ，DC AB 。DP CN ， CMD= DOC=90 。BCN+ CPD=90 ， PCN+

30、DCN=90 。 CPD= CNB 。DC AB ， DCN= CNB= CPD 。在 DCP和CBN中， DCP= CBN ，CPD= BNC ，DC=BC ，DCP CBN （ AAS ） 。CP=BN 。在 OBN和OCP中， OB=OC ，OCP= OBN ， CP=BN ，OBN OCP （ SAS ） 。ON=OP，BON= COP 。BON+ BOP= COP+ BOP ，即 NOP= BOC=90 。ON OP 。（2）解： AB=4 ，四边形ABCD 是正方形，O到 BC边的距离是2。图 1 中，OBNBOPOPBN11SSS4x2x 240 x422四形（）（）边。以 O

31、、P、B、N为顶点的四边形的面积y 与 x 的函数关系是：240 x4y=1 xxx42（）（）。【考点】 正方形的性质，三角形外角性质，全等三角形的判定和性质，两线垂直的判定，多边形的面积的分解，函数解析式的确定，分段函数，点到直线的距离。【分析】（1）对于图 1，证明线段相等，一般情况下找全等。根据BN，CP的分布情况可以观察 CNB和DPC ，然后证明两三角形全等。也可以观察CAN和DBP ，证明AN=BP ，从而有 BN=CP 。对于图 2，证明如下：ABCD为正方形， AC ， BD为对角线， DCP=90o 。CM DP ，PCM= PDC 。 PDB= CAN 。又 DPB= A

32、NC ， BD=AC ， PDB NCA （ ASA ） 。PB=AN ， DP=CN 。CP=BN 。 PDB= CAN ， OD=OC， CP=BN ， PDO NCO （ SAS ） 。OP=ON，DOP= CON 。DOC=90o ， PON= NOC+POC=DOP+ POC= DOC=90o 。OP ON 。（2）求以 O、P、B 、N为顶点的四边形的面积，则要把四边形分解为两个三角形去解决问题。图1 中， S四边形 OPBN=SOBN+SBOP， ， ；图 2中， S四边形 OBNP=SPOB+SPBN，代入求出即可。9. （2012 湖南张家界10 分） 如图，O的直径 AB=

33、4 ，C为圆周上一点，AC=2 ，过点 C作O 的切线 DC ，P点为优弧CBA上一动点（不与AC重合） （1）求 APC与ACD的度数；（2）当点 P移动到 CB弧的中点时，求证：四边形OBPC 是菱形（3）P点移动到什么位置时，APC 与ABC全等，请说明理由【答案】 解： （1）连接 AC ，如图所示：AB=4 ，OA=O B=OC=12AB=2 。又AC=2 ，AC=OA=OC。 ACO 为等边三角形。AOC= ACO= OAC=60 ，APC=12AOC=30 。又 DC与圆 O相切于点C，OC DC 。 DCO=90 。ACD= DCO ACO=90 60=30。（2）连接 PB

34、，OP ，AB为直径， AOC=60 ， COB=120 。当点 P移动到弧CB的中点时， COP= POB=60 。COP和BOP都为等边三角形。 AC=CP=OA=OP。四边形AOPC 为菱形。（ 3）当点 P与 B重合时， ABC 与APC重合，显然 ABC APC 。当点 P继续运动到CP经过圆心时， ABC CPA ，理由为：CP与 AB都为圆 O的直径， CAP= ACB=90 。在 RtABC与 RtCPA中， AB=CP ，AC=AC RtABC RtCPA （ HL ） 。综上所述， 当点 P与 B重合时和点P运动到 CP经过圆心时， ABC CPA 。【考点】 切线的性质，

35、等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，菱形的判定。【分析】 （1）连接 AC ，由直径 AB=4 ，得到半径OA=OC=2 ，又 AC=2 ，得到 AC=OC=OA，即 AOC为等边三角形，可得出三个内角都为60，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2 倍，得到 APC 为 30，由CD为圆 O 的切线，得到OC垂直于CD ，可得出 OCD 为直角，用OCD - OCA可得出 ACD的度数。（ 2）由 AOC为 60， AB为圆 O的直径，得到 BOC=120 ，再由P为 CB 的中点，得到两条弧相等，根据等弧对等角，可得出 COP= BOP=60 ， 从而得到 COP与

36、BOP都为等边三角形，可得出OC=OB=PC=PB，即四边形OBPC 为菱形。（3）点 P有两个位置使 APC 与ABC全等，其一： P与 B重合时，显然两三角形全等；第二：当CP为圆 O的直径时，此时两三角形全等。10. （2012 江苏无锡10 分） 如图，菱形ABCD的边长为2cm ，DAB=60 点P从 A点出发，以cm/s 的速度，沿AC向 C作匀速运动；与此同时，点Q也从 A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动当P运动到 C点时， P、Q都停止运动设点P运动的时间为 ts （1）当 P异于 AC时，请说明PQ BC ；（2）以 P为圆心、 PQ长为半径作圆，请问：在整个

37、运动过程中，t 为怎样的值时，P与边 BC分别有 1 个公共点和2 个公共点？【答案】 解： （1）四边形ABCD 是菱形，且菱形ABCD 的边长为2，AB=BC=2 ，BAC=12DAB 。又 DAB=60 ， BAC= BCA=30 。如图 1，连接 BD交 AC于 O 。四边形ABCD 是菱形，AC BD ， OA=12AC 。OB=12AB=1 。OA=3， AC=2OA=23。运动 ts 后， AP=3t ，AO=t，APAC=3AQAB。又 PAQ= CAB ， PAQ CAB. APQ= ACB.PQ BC.（2）如图 2，P 与 BC切于点 M ，连接 PM ，则 PM BC

38、。在 RtCPM中， PCM=30 ， PM=13PC=3t22。由 PM=PQ=AQ=t ，即33t2=t ，解得 t=4 36，此时P 与边 BC有一个公共点。如图 3，P 过点 B ，此时 PQ=PB ，PQB= PAQ+ APQ=60 PQB为等边三角形。 QB=PQ=AQ=t。t=1。当4 36t1时，P 与边 BC有 2 个公共点。如图 4，P 过点 C ，此时 PC=PQ ，即2 33t =t t=33。当 1t 33时，P 与边 BC有一个公共点。当点 P运动到点 C，即 t=2 时， Q 、 B重合，P过点 B，此时，P与边 BC有一个公共点。综上所述，当t=4 36或 1t

39、 33或 t=2 时，P 与菱形 ABCD的边 BC有 1 个公共点；当4 36t1，则m1n，解出不等式组的解为10a2。若a0，则n1m。由题设，n0m2，解出不等式组的解为1a02。综上所述，数a 的取值范围为1a02，10a2和a0，此时，点E已在边 DA延长线上，不合题意，舍去（实际上是无理方程的增根）。当22x2时， y=222225+22+4=2222，此时，点E在边 AD上，符合题意。当22x2时，点 D关于直线 PE的对称点D落在边 AB上。【考点】 矩形的性质， 相似三角形的判定和性质，勾股定理， 折叠对称的性质，解无理方程。【分析】（1）CM=1 ， CP=x ，DE=y

40、 ，DP=4 x，且 MCP PDE ，DEDPCPCM，即y4xx1。 y=x24x。（2）当点 E与点 A重合时， y=2，即 2=x24x，x24x2=0。解得x22。（3）过点 P作 PH AB于点 H，则由点 D关于直线PE的对称点D落在边AB上，可得 E DA与DP H 相似，由对应边成比例得得关于x 的方程即可求解。注意检验。14. （2012 江苏徐州8 分） 如图 1，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AD=4cm ，AB=dcm 。动点 E、F 分别从点D、B出发，点E以 1 cm/s 的速度沿边DA向点 A移动，点 F 以 1 cm/s 的速度沿边BC向点 C移动，点 F

41、移动到点C时， 两点同时停止移动。 以 EF为边作正方形EFGH ，点 F 出发 xs 时，正方形 EFGH 的面积为ycm2。已知 y 与 x 的函数图象是抛物线的一部分，如图 2 所示。请根据图中信息，解答下列问题：（1）自变量x 的取值范围是 ；（2）d= ， m= ，n= ；（3）F 出发多少秒时，正方形EFGH 的面积为16cm2？【答案】 解： （1）0 x4。（2） 3，2，25（3）过点 E作 EIBC垂足为点I 。则四边形DEIC为矩形。EI=DC=3 ， CI=DE=x。BF=x ，IF=4 2x。在 RtEFI 中，22222EFEIIF342 x。y是以 EF为边长的正

42、方形EFGH 的面积，22y342 x。当 y=16 时，22342 x16，解得，124747xx22，。F 出发472或472秒时，正方形EFGH 的面积为16cm2。【考点】 动点问题，矩形的判定和性质，平行线间垂直线段的性质，勾股定理，解一元二次方程。【分析】（1）自变量x 的取值范围是点F 从点 C到点 B的运动时间，由时间=距离速度，即可求。（2）由图 2 知，正方形EFGH 的面积的最小值是9，而正方形EFGH 的面积最小时，根据地两平行线间垂直线段最短的性质，得d=AB=EF=3 。当正方形EFGH 的面积最小时，由BF=DE和 EF AB得， E 、F分别为 AD 、BC的中

43、点，即m=2 。当正方形EFGH的面积最大时，EF等于矩形ABCD的对角线，根据勾股定理，它为 5，即 n=25。（3）求出正方形EFGH的面积y 关于 x 的函数关系式，即可求得F 出发472或472秒时，正方形EFGH 的面积为16cm2。15. （2012 四川乐山13 分） 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（ m ， m ） ，点 B的坐标为（ n， n） ，抛物线经过A、O 、B三点，连接OA 、OB 、AB ，线段 AB交 y 轴于点 C已知实数 m 、n（m n）分别是方程x22x3=0 的两根（1）求抛物线的解析式；（2）若点 P为线段 OB上的一个动点（不与点O、B重合

44、） ，直线 PC与抛物线交于D、E两点（点 D在 y 轴右侧），连接 OD 、BD 当 OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；求 BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标【答案】 解： （1）解方程x22x3=0，得 x1=3，x2=1。m n，m= 1，n=3。A（ 1， 1） ，B（3， 3） 。抛物线过原点，设抛物线的解析式为y=ax2+bx。ab=19a3b=3，解得：1a=21b=2。抛物线的解析式为211y=x +x22。（2）设直线AB的解析式为y=kx+b。k+b=13k+b=3，解得：1k=23b=2。直线 AB的解析式为13y=x22。C 点坐标为（ 0，32） 。直线 O

45、B过点 O（0， 0） ，B（3， 3） ，直线OB的解析式为y=x。OPC为等腰三角形， OC=OP或 OP=PC 或 OC=PC 。设 P（ x， x） 。（i ）当 OC=OP 时，229x +x=4，解得12323 2x =x =44，（舍去）。P1（3 23244，） 。（ii ）当 OP=PC 时，点 P在线段 OC的中垂线上，P2（3344，） 。（iii）当 OC=PC 时，由2239x +x+=24，解得123x =x =02，（舍去）。P3（3322，） 。综上所述， P点坐标为P1（3 23244，）或 P2（3344，）或 P3（3322，） 。过点 D作 DG x轴，

46、垂足为G ，交 OB于 Q ，过 B作 BH x轴，垂足为H设 Q（x， x） ，D（x，211x +x22） SBOD=SODQ+SBDQ=12DQ?OG+12DQ?GH=12DQ （OG+GH）=2111x+x +x3222=23327x+4216。0 x3，当3x=2时， S取得最大值为2716，此时 D（3328，） 。【考点】 二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程，等腰三角形的性质，二次函数的最值。【分析】（1）首先解方程得出A ，B两点的坐标，从而利用待定系数法求出二次函数解析式即可。（2）首先求出AB的直线解析式， 以及 BO解析式， 再利用等腰

47、三角形的性质得出当 OC=OP 时，当 OP=PC 时，点 P在线段 OC的中垂线上，当OC=PC 时分别求出x 的值即可。利用 SBOD=SODQ+SBDQ得出关于x 的二次函数，从而得出最值即可。16. （2012 四川攀枝花12 分） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD是菱形，顶点 ACD均在坐标轴上，且AB=5 ，sinB=45（1）求过 ACD三点的抛物线的解析式；（2）记直线 AB的解析式为y1=mx+n， （1）中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c，求当 y1y2时，自变量 x 的取值范围；（3）设直线AB与（ 1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上AE两

48、点之间的一个动点，当P点在何处时， PAE 的面积最大？并求出面积的最大值【答案】 解： （1）四边形ABCD 是菱形，且AB=5 ，AB=AD=CD=BC=5， sinB=sinD=45。在 RtOCD中，OC=CD?sinD=4， OD=3 ，OA=AD OD=2 。A（ 2，0） 、 B（ 5，4） 、C（0，4） 、D（3，0） 。设抛物线的解析式为：y=a（x+2） （x3） ，将 C （0，4）代入得：2（ 3）a=4，解得 a=23。抛物线的解析式为y=23（ x+2） （x3）222x +x+433。（2）由 A（ 2，0） 、B（ 5，4）得直线AB ：148yx33。由（

49、1）得：2222yx +x+433，则：248yx3322yx +x+433，解得：11x2y0，22x528y3。由图可知：当y1y2时， 2x5。（ 3）SPAE等于 AE和 AE上高乘积的一半，当在抛物线上AE两点之间， P到直线 AB的距离最大时，SPAE最大。若设直线LAB ，则直线L 与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点P 。设直线 L：4yx+b3，当 直 线L 与 抛 物 线 有 且 只 有 一 个 交 点 时 ，2422x+bx +x+4333，且 =0。由2422x+bx +x+4333化简，得22x6x+3b120，2=6423b1224b+132=0，解得， b=11

50、2。且24x12x+90，解得3x=2。直线 L：411yx+32。点 P（3722，）。由（ 2）得： E（5，283），则直线PE ：11yx+93。设直线 PE与 x 轴交于点F，则点 F（2711，0）， AF=OA+OF=4911。PAE的最大值：PAEPAFAEF149287343SSS2113212（）。综上所述，当P （3722，）时， PAE的面积最大，为34312。【考点】 二次函数综合题，菱形的性质，锐角三角函数定义，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，直线与抛物线的交点，平行线的性质，一元二次方程根的判别式。【分析】 （1）由菱形 ABCD 的边长和一角的正弦值，可