隐函数在几何中的应用.doc

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1、精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除目 录摘 要1关键词1Abstract1Key Words1引言21.基础知识引用21.1 隐函数21.2 隐函数组的概念31.3 反函数组的概念32.隐函数定理32.1隐函数定理32.2 隐函数组定理52.3 反函数组定理63.隐函数定理在几何中的应用73.1 平面曲线的切线与法线73.2 空间曲线的切线与法平面83.3 空间曲线的切平面与法线11结 论13参考文献14隐函数在几何中的应用摘 要： 本文对隐函数的概念、隐函数定理进行了简要的论述，并对隐函数定理进行了证明，而且在此基础上推出隐函数组定理以及反函数组定理. 最后针对隐函数及其相关的

2、定理在几何中的应用进行了详细的论述，并给出具体的例子加以解释说明.关键词：隐函数定理；应用；证明Abstract：This paper briefly discusses the concept of implicit function, the content of the implicit function theorem and prove method. Also , from the implicit function theorem are given, and the corollary of implicit function theorem and the group inv

3、erse function group theorem .Finally, discussed in detail the application of implicit function and related theorems in the calculation of geometric application , and gives concrete examples to explain. Key Words：implicit function theorem; Application; proof 引言通常我们遇到的函数都是因变量用自变量的一个解析式表示的，这种形式的函数我们称之为

4、显函数. 但在许多实际问题中，变量之间的函数关系往往不是用显式形式表示的，而是通过一个或多个方程来确定的，由此便产生了隐函数. 隐函数的产生为许多数学问题的解决带来了极大的方便，本文就隐函数的存在性定理、连续性定理、可微性定理做了系统的研究. 隐函数定理是高等数学和数学分析中的一个非常重要的定理，它不但是高等数学和数学分析中许多问题的理论基础，并且它也为许多数学分支，如微分几何、常微分方程、泛函分析等的进一步研究提供了坚实的理论依据. 隐函数定理的应用范围十分广泛，在数学分析、几何、优化理论、条件极值中均有重要作用. 对隐函数定理及其应用的研究，可以加深我们对微分学的认识与理解. 现今国内外很

5、多学者都在研究隐函数定理及其应用这个课题，也把它的有关知识作为一种工具用于证明、计算其它定理. 我国数学家陈文源、范令先教授在1986年出版隐函数定理一书，在书中提出许多独到见解，并由隐函数定理得出许多推论. 法国数学家扎芒斯凯在1989年出版普通数学一书，其中对隐函数定理进行了更深层次的研究. 我国学者史艳维在2010年发表期刊关于隐函数定理和Peano定理的一点注记，其中给出了隐函数定理的另一种证明方法. 我国学者王锋、李蕴洁在2005年发表期刊隐函数定理在经济学比较静态分析中的应用，更好的诠释了隐函数定理在其他领域内的应用. 本文主要论述了隐函数定理及隐函数定理的一些推论，并给出了隐函数

6、定理在几何应用上的应用.1.基础知识引用隐函数与以前接触的函数有所不同，它是数学分析中相对于显函数而言的一种函数变现形式.在这里，我们将具体地研究隐函数.1.1 隐函数以前就接触的函数（对应关系）多是用自变量的数学表达表示的，一般称这样的函数为显函数。如，等.定义1.1 若自变量与因变量之间的对应关系是由某个方程所确定的，即有两个非空数集与，对任意,通过方程对应唯一一个,这种对应关系称为由方程所确定的隐函数. 记为，则成立恒等式 例如，二元方程在上确定（从中解得）一个隐函数. 隐函数不一定能写成的形式，如，隐函数不一定是函数，而是方程.其实总的来说，函数都是方程，而方程却不一定是函数.1.2

7、隐函数组的概念定义1.2 设和为定义在区域上的两个四元函数，若存在平面区域,对于中每一点分别在区间和上有唯一一对值，它们与，一起满足方程组 (1-1)则称方程组(1-1)确定了两个定义在区域上，值域分别在和内的函数，称这两个函数为方程组(1-1)所确定的隐函数组. 若分别记这两个函数为,则在上成立恒等式 1.3 反函数组的概念定义1.3 设有函数组 ， （1-2）如果能从此函数组（1-2）中，把，分别用，的二元函数表示出来，即 ， （1-3）则称（1-3）为函数组（1-2）的反函数组.2.隐函数定理2.1隐函数定理定理2.1 若函数满足下列条件: （i）函数在以点为内点的某一域上连续； （ii

8、）（通常称为初始条件）； （iii）在内存在连续的偏导函数； （iv）；则在点的某个邻域内，方程唯一确定了一个定义坐在某区间内的隐函数，使得：，时，且；在区间内连续.证明 首先证明隐函数的存在性和唯一性.由条件（iv），不妨设（若则可讨论）.由条件（iii）在内是连续的，由的连续性和局部保号性可知，存在闭矩形区域，使得.所以，对每个固定的，作为的一元函数，必定在上严格增且连续.由初始条件（ii）可知:再由的连续性条件（i），又可知与在上也是连续的，因此由保号性存在，当时，恒有在矩形区域的边上取负值，在边上取正值.因此对内每个固定值，同样有根据前已指出的在上严格增且连续，由介值性保证存在唯一的，

9、使得满足，由在中的任意性，这就确定了一个隐函数，它的定义域为，值域含于. 若记则满足（i）的各项要求. 再证明的连续性. 对于内的任意点，则由上述结论可知。任给，且设，使得从而，.由保号性存在的某邻域，使得当属于该邻域时同样有因此存在唯一的，使得，,由于的唯一性，推知。这就证得：当时，即在连续.由的任意性，证得在内处处连续.定理2.2 如果满足下列条件（i）函数在在以点为内点的区域上连续；（ii）；（iii）偏倒数，在内存在且连续；（iv）；则在点的某个邻域内，方程唯一确定了一个定义在点某邻域内的n元隐函数，使得 当时且在邻域内具有连续的偏导数，满足2.2 隐函数组定理 下面将给出由方程组，所

10、确定的隐函数组的存在定理.定理2.3 设，以及它们的一阶偏导数在以点为内点的某区域内连续，且满足（1），；（2）；则方程组,在的某邻域内唯一确定两个隐函数，有下列结论成立：，则有，在邻域内具有连续的一阶偏导数，且例2.1 验证方程组在点（3，-1，2，1）的领域内确定隐函数组，并求，.解 令，则与以及它们的一阶偏导数都连续，且所以由隐函数组定理可知题设方程组确定隐函数组在方程两端同时对求导得解得2.3 反函数组定理定理2.4 若函数组，满足如下条件：（1），均具有连续的偏导数；（2）；则函数组，可确定唯一的具有连续偏导数的反函数组且有及 .定理2.5 若函数组满足如下条件：（1）均具有连续的偏

11、导数；（2）；则此函数组可确定唯一的具有连续偏导数的反函数组且有3.隐函数定理在几何中的应用3.1 平面曲线的切线与法线设平面曲线由方程 （3-1）给出，它在点的某邻域内满足隐函数定理的条件，于是在附近所确定的连续可微隐函数（或）和方程（3-1）在附近表示同一曲线，从而该曲线在点处存在切线和法线，其方程分别为（或）与(或)由于（或）所以曲线（3-1）在点出的切线与法线方程为：切线： ，法线： .例3.1 求笛卡尔叶形线在点处的切线与法线.解 设，于是，在全平面连续，且，.因此由上述切线与法线方程分别求得曲线在点的切线方程与法线方程分别为 即 即 .3.2 空间曲线的切线与法平面（2）空间曲线由

12、参数方程给出的情况设空间曲线C的参数方程为： （3-2）取定曲线C上点，设式（3-2）中3个函数都在点可导，且在的附近取动点，则割线为：其中，以除以上式分母得当时，且，.所以曲线C在处得切线方程为其切向量. 因为曲线C在点的法平面是垂直于切线的，所以法平面的法向量与平行，设法平面的法向量为，则，从而过点的法平面方程为特别地，如果空间曲线C的参数方程以为参数，即则C在点的切线方程为切向量为，C在点处的法平面方程为： 如果C为平面曲线，则过点切线方程为：或切向量为.（2）空间曲线为两曲面交线的情况 设空间曲线L由方程组 （3-3）给出，设它在点的邻域内满足隐函数组定理的条件（这里不妨设），则由隐函

13、数存在定理可知方程组（3-3）在点附近可确定唯一连续的隐函数组，（即L的参数方程），满足：且故曲线L在点的切线方程为： (3-4)曲线L在点的法平面方程为： （3-5）同理，可证当或时，曲线L在点的切线方程为（3-4）式，曲线L在点的法平面方程为（3-5）式.例3.2 求曲线在点处的切线与法平面方程.解 令，首先求偏导数，得：则曲线在点的切线方向向量为：故切线方程为：法平面方程为：例3.3 求球面与锥面所截出的曲线的点处的切线和法平面方程.解 设它们在点出的偏导数和雅可比行列式值值为：和所以曲线在点处的切线方程为：即 法平面方程为：即 .3.3 空间曲线的切平面与法线定义3.1 在空间曲面上，

14、过点的任一曲线在点处的切线都在同一平面上，则此平面称为曲面在点的切平面.先讨论曲面的方程为的情形，其次把显式给出的曲面方程作为它的特殊情形. 设曲面由方程给出，其中具有一阶连续的偏导数，在曲面上，过点的任一曲线的参数方程为，其中，均可导，则曲线在点处的切线方向向量为，由于曲线在曲面上，故有，对上式两端关于t求导，得：即 这表明向量与曲面上过点的任一曲线的切线都垂直，故所有切线都在以向量为法向量且过点的平面内，从而曲面过点的切平面的法向量为：于是过曲面上处的切平面方程为：过点处的法线方程为：上述讨论中，都假设不全为零，现在来考虑曲面的方程为的情形，其中都有连续的偏导数，令使方程变形为：则：所以曲

15、面在点的法向量为：故曲面在点的切平面方程为：曲面在点的法线方程为：，其中曲面：上的法向量可以是，也可以是， 但当曲面的法向量向上时（即法向量正向与轴正向夹角满足大于0小于时）曲面的法向量应为.例3.4 求球面在点处的切平面及法线方程.解 ，则球面在点处的法向量为，所以球面在点的切平面方程为：即：法线方程为：结 论本篇文章首先介绍了隐函数的概念和隐函数定理的内容以及其证明，进而推出隐函数组定理和反函数组定理.在最后详细论述了隐函数及其相关定理在几何问题中的应用.例如，利用隐函数求偏导数可以求平面曲线、空间曲线的切线和空间曲面的切平面等.并列举了详细的例子帮助大家熟悉和理解定理.本文重点在于利用隐

16、函数定理解决几何中的问题.事实上，隐函数已成为国内外很多学者的研究对象，如利用隐函数解决其它方面的实际问题参考文献1 周运明. 数学分析(上册). M. 科学出版社,2008:196-200.2 孙清华. 数学分析.M. 华中科技大学出版社,2003:310-313.3 郝涌. 数学分析选讲.M. 国防工业出版社, 2010, 185-189. 4 卢丁(美). 数学分析原理.M. 赵慈庚，译. 机械工业出版社, 2004:221-225.5 陈传璋, 金福临. 数学分析.M. 上海: 上海科学技术出版社, 1962:201-204. 6 吉米多维奇(苏).数学分析习题全解(五).M.安徽人民出版社，2007:189-193.7 吉米多维奇(苏).数学分析习题全解(五).M.安徽人民出版社，2007:152-156. 8 N.paragions.On the Representation of Shapes Using Implicit Functions .M. Birkhauser.Boston, 2006: 178-184. 9 胡华.隐函数定理的一个推广及应用.J.广西民族学院学报(自然科学版)， 2000，6 (2)，2-5. 10华东师范大学数学系.数学分析(下册). M. 高等教育出版社, 2001, 144-171. 【精品文档】第 11 页