2020年中考专题复习讲义4——几何模型之隐圆问题.docx

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1、12【模型讲解】2020 中考专题 4几何模型之隐圆问题班级 姓名 .常见的隐圆模型有:（1）动点到定点的距离为定长；（2）四点共圆；（3）定边对定角（专题 3）等.ADACABADBACB2ADBACBBACBDC180【例题分析】例 1.如图，已知 ABACAD，CBD2BDC，BAC44，则CAD 的度数为 .例 1 图例 2 图例 3 图例 2.在矩形 ABCD 中，已知 AB = 2cm ， BC = 3cm ，现有一根长为 2cm 的木棒 EF 紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒 EF 的中点 P 在运动过程中所围成的图形的面积为 cm2

2、例 3.如图，定长弦 CD 在以 AB 为直径的O 上滑动（点 C、D 与点 A、B 不重合），M 是 CD 的中点，过点 C 作 CPAB 于点 P，若 AB8，则 PM 的最大值是 。例 4.如图，点 A 与点 B 的坐标分别是（1，0），（5，0），点 P 是该直角坐标系内的一个动点.（1） 使APB30的点 P 有 个；（2） 若点 P 在 y 轴上，且APB30，求满足条件的点 P 的坐标；（3） 当点 P 在 y 轴上移动时，APB 是否存在最大值？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.【巩固训练】1. 如图 1，矩形 ABCD 中， AB = 2 ， AD = 3 ，点

3、 E 、F 分别 AD 、DC 边上的点，且 EF = 2 ，点G 为 EF 的中点，点 P 为 BC 上一动点，则 PA + PG 的最小值为 图 1图 22. 如图 2，在矩形 ABCD 中， AB = 4 ， AD = 6 ， E 是 AB 边的中点， F 是线段 BC 边上的动点，将DEBF 沿 EF 所在直线折叠得到 EBF ，连接 BD ，则 BD 的最小值是 3. 在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(3, 0) ，点 B 为 y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且 AC = 2 设tan BOC = m ，则 m 的取值范围是 4. 如图 3，在RtDABC 中， C

4、 = 90 ， AC = 6 ， BC = 8 ，点 F 在边 AC 上，并且CF = 2 ，点 E 为边 BC 上的动点，将DCEF 沿直线 EF 翻折，点 C 落在点 P 处，则点 P 到边 AB 距离的最小值是 .图 3图 4图 55. 如图 4，四边形 ABCD 中， DC / / AB ， BC = 1 ， AB = AC = AD = 2 则 BD 的长为 .6. 如图 5，在四边形 ABCD 中，ABACAD，若BAC25，CAD75，则BDC ，DBC .7. 足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门 AB 的张角大小时，张角越大，射门越好.如图 6 的正方形网格中，点 A，

5、B，C，D，E 均在格点上，球员带球沿 CD 方向进攻，最好的射点在（）A. 点 CB.点 D 或点 EC.线段 DE（异于端点）上一点D.线段 CD（异于端点）上一点图 6图 7图 88. 如图 7，已知 AB 是O 的直径，PQ 是O 的弦，PQ 与 AB 不平行，R 是 PQ 的中点，作 PSPQAB，QTAB，垂足分别为 S、T（ST），并且SRT60，则的值等于 .AB9. 如图 8，若 PAPB，APB2ACB，AC 与 PB 交于点 D，且 PB4，PD3，则 ADDC .10. 在平面直角坐标系中，已知点 A（4，0）、B（6，0），点 C 是 y 轴上的一个动点，当BCA45

6、时，点 C 的坐标为 .11. 如图 9，RtABC 中，C90，AC3，BC4，点 D 在 AB 边上，点 E 是 BC 边上一点（不与点 B、C 重合），且 DADE，则 AD 的取值范围是 .图 9图 1012. 如图 10，在平面直角坐标系的第一象限内有一点 B，坐标为（2，m）.过点 B 作 ABy 轴，BCx 轴，垂足分别为 A、C，若点 P 在线段 AB 上滑动（点 P 可以与点 A、B 重合），发现使得OPC45的位置有两个，则 m 的取值范围为 .13. 在锐角ABC 中，AB4，BC5，ACB45，将ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转得到ABC。（1） 如图 11-1，当点

7、 C1 在线段 CA 的延长线上时，求CC1A1 的度数；（2） 如图 11-2，连接 AA1，CC1.若ABA1 的面积为 4，求CBC1 的面积；（3） 如图 11-3，点 E 为线段 AB 中点，点 P 是线段 AC 上的动点，在ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转过程中，点 P 的对应点是点 P1，求线段 EP1 长度的最大值与最小值.图 11-1图 11-2图 11-3814. 如图，抛物线 y3x2 34x3 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点C.（1）求点 A、B 的坐标；（2）若直线 l 过点 E（4，0），M 为直线 l 上的动点，当以

8、A、B、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线 l 的解析式.315. 如图，直线 y4x3 与 x 轴、y 轴分别交于 B、A 两点，点 P 是线段 OB 上的一动点，若能在斜边 AB 上找到一点 C，使OCP90，设点 P 的坐标为（m，0），求 m 的取值范围.2020 中考专题 4几何模型之隐圆问题参考答案例 1.【解答】解：ABACAD，B，C，D 在以 A 为圆心，AB 为半径的圆上，CAD2CBD，BAC2BDC，CBD2BDC，BAC44，CAD2BAC88 故答案为：88例 2【解答】解：如图所示：由题意根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出 P 到 B 点

9、距离始终为 1，则木棒 EF 的中点 P 在运动过程中的轨迹为分别以 A ， B ， C ， D 为圆心，1cm 为半径的弧，故所围成的图形的面积为：矩形面积-4 个扇形面积=故答案为： 6 -pp 290126 - 4 = 6 -p(cm ) 360例 3.【解答】解：连接 CO，MO，CPOCMO90，C，M，O，P，四点共圆，且 CO 为直径（E 为圆心），连接 PM，则 PM 为E 的一条弦，当 PM 为直径时 PM 最大，所以PMCO4 时 PM 最大即 PMmax4例 4【解答】解：（1）以 AB 为边，在第一象限内作等边三角形 ABC，以点 C 为圆心，AC 为半径作C，交 y

10、轴于点 P1、P2在优弧 AP1B 上任取一点 P，如图 1，则APBACB 6030使APB30的点 P 有无数个故答案为：无数（2） 当点 P 在 y 轴的正半轴上时， 过点 C 作 CGAB，垂足为 G，如图 1点 A（1，0），点 B（5，0），OA1，OB5AB4点 C 为圆心，CGAB，AGBGAB2OGOA+AG3ABC 是等边三角形，ACBCAB4CG 2 点 C 的坐标为（3，2）过点 C 作 CDy 轴，垂足为 D，连接 CP2，如图 1，点 C 的坐标为（3，2），CD3，OD2P1、P2 是C 与 y 轴的交点，AP1BAP2B30CP2CA4，CD3，DP2点 C 为

11、圆心，CDP1P2，P1DP2DP2（0，2）P1（0，2+）当点 P 在 y 轴的负半轴上时，同理可得：P3（0，2）P4（0，2+）综上所述：满足条件的点 P 的坐标有：（0，2）、（0，2+）、（0，2）、（0，2+）（3） 当过点 A、B 的E 与 y 轴相切于点 P 时，APB 最大理由：可证：APBAEH，当APB 最大时，AEH 最大 由 sinAEH 得：当 AE最小即 PE 最小时，AEH 最大所以当圆与 y 轴相切时，APB 最大当点 P 在 y 轴的正半轴上时，连接 EA，作 EHx 轴，垂足为 H，如图 2E 与 y 轴相切于点 P，PEOPEHAB，OPOH，EPOP

12、OHEHO90四边形 OPEH 是矩形OPEH，PEOH3EA3EHA90，AH2，EA3，EH OP P（0，）当点 P 在 y 轴的负半轴上时， 同理可得：P（0，）理由：若点 P 在 y 轴的正半轴上，在 y 轴的正半轴上任取一点 M（不与点 P 重合），连接 MA，MB，交E 于点 N，连接 NA，如图 2 所示ANB 是AMN 的外角，ANBAMBAPBANB，APBAMB若点 P 在 y 轴的负半轴上， 同理可证得：APBAMB综上所述：当点 P 在 y 轴上移动时，APB 有最大值， 此时点 P 的坐标为（0，）和（0，）【巩固训练】答案1. 解：Q EF = 2 ，点G 为 E

13、F 的中点， DG = 1 ， G 是以 D 为圆心，以 1 为半径的圆弧上的点，作 A 关于 BC 的对称点 A ，连接 AD ，交 BC 于 P ，交以 D 为圆心，以1 为半径的圆于G ，此时 PA + PG 的值最小，最小值为 AG 的长；Q AB = 2 ， AD = 3 ， AA = 4 ， AD = 5 ， AG = AD - DG = 5 - 1 = 4 ； PA + PG 的最小值为 4； 故答案为 42. 解：如图所示点 B 在以 E 为圆心 EA 为半径的圆上运动，当 D 、 B 、 E 共线时时，此时 BD 的值最小，根据折叠的性质， DEBF EBF ， EB BF

14、， EB = EB ，Q E 是 AB 边的中点， AB = 4 ， AE = EB = 2 ，Q AD = 6 ，62 + 2210 DE = 2，10 BD = 2- 2 3. 解：C 在以 A 为圆心，以 2 为半径作圆周上，只有当OC 与圆 A 相切（即到C 点）时， BOC 最小，5AC = 2 ， OA = 3 ，由勾股定理得： OC =，QBOA = ACO = 90 ，BOC + AOC = 90 ， CAO + AOC = 90 ，BOC = OAC ，tan BOC = tan OAC = OC =5 ，AC2随着C 的移动， BOC 越来越大，Q C 在第一象限， C 不

15、到 x 轴点，即BOC 90 ，tan BOC5 ，故答案为： m5 224. 解：如图所示：当 PE / / AB 在RtDABC 中，Q C = 90 ， AC = 6 ， BC = 8 ，62 + 82 AB = 10 ，由翻折的性质可知： PF = FC = 2 ， FPE = C = 90 Q PE / / AB ，PDB = 90 由垂线段最短可知此时 FD 有最小值 又Q FP 为定值， PD 有最小值又QA = A ， ACB = ADF ，DAFDDABC AF = DF ， 即 4= DF ，解得： DF = 3.2 ABBC108 PD = DF - FP = 3.2 -

16、 2 = 1.2 5. 解：以 A 为圆心，AB 长为半径作圆，延长 BA 交e A 于 F ，连接 DF Q DC / / AB ， DF = BC ， DF = CB = 1 ， BF = 2 + 2 = 4 ，BF 2 - DF 215Q FB 是e A 的直径，FDB = 90 ， BD =6. 【解答】解：法一：ABACAD，ADBABD，ACBABC，ADCACD，BAC25，CAD75，ACB（18025）277.5，DABDAC+CAB100，ADCACD（18075）252.5，ADB（180100）240，BDCADCADB52.54012.5，DCBDCA+ACB52.5

17、+77.5130，DBC180DCBBDC18013012.537.5BDC12.5，DBC37.57. 【解答】解：连接 BC，AC，BD，AD，AE，BE，已知 A，B，D，E 四点共圆，同弧所对的圆周角相等，因而ADBAEB，然后圆同弧对应的“圆内角“大于圆周角，“圆外角“小于圆周角，因而射门点在 DE 上时角最大，射门点在 D 点右上方或点 E 左下方时角度则会更小故选：C8. 【解答】解：连结 OP，OQ，OR，如图，R 是 PQ 的中点，ORPQ，OPOQ，PORQOR，PSAB，PSOPRO90，点 P、S、O、R 四点在以 OP 为直径的圆上，PSRPOR，同理可得QTRQOR

18、，PSRQTR，RSTRTS，而SRT60，RST 为等边三角形，RST60，RTS60，RPORSO60，RQORTO60，OPQ 为等边三角形，PQOP，AB2PQ， 故答案为 9. 解析：本题主要考查三点共圆判定和相交弦定理。由 PAPB，APB2ACB，可知：A，B，C 三点共圆，圆心为 P 半径为 PB。由相交弦定理可知：ADDC（PB+PD）(PB-PD)=710. 【解答】解：设线段 BA 的中点为 E，点 A（4，0）、B（6，0），AB10，E（1，0）（1） 如答图 1 所示，过点 E 在第二象限作 EPBA，且 EP AB5，则易知PBA 为等腰直角三角形，BPA90，P

19、APB ；以点 P 为圆心，PA（或 PB）长为半径作P，与 y 轴的正半轴交于点 C，BCA 为P 的圆周角，BCABPA45，即则点 C 即为所求 过点 P 作 PFy 轴于点 F，则 OFPE5，PF1，在 RtPFC 中，PF1，PC，由勾股定理得：CF 7，OCOF+CF5+712，点 C 坐标为（0，12）；（2） 如答图 2 所示，在第 3 象限可以参照（1）作同样操作，同理求得 y 轴负半轴上的点 C 坐标为（0，12）综上所述，点 C 坐标为（0，12）或（0，12）故答案为：（0，12）或（0，12）11. 【解答】解：RtABC 中，C90，AC3，BC4，AB 5，以

20、D 为圆心，AD 的长为半径画D，如图 1，当D 与 BC 相切时，DEBC 时，设 ADx，则 DEADx，BDABAD5x，BEDC90，B 是公共角，BDEBAC， ，即 ，解得：x ；如图 2，当D 与 BC 相交时，若交点为 B 或 C，则 ADAB ，AD 的取值范围是AD 12. 【解答】解：如图 3 中，在 x 轴上方作OKC，使得OKC 是以 OC 为斜边的等腰直角三角形，作 KEAB于 EOC2，OKKC，当 EKKC时，以 K 为圆心，KC 为半径的圆与 AB 相切，此时 mBC1+ ，在 AB 上只有一个点 P 满足OPCOKC45， 当 BK 时，在 AB 上恰好有两

21、个点 P 满足OPCOKC45 此时 mBC2，综上所述，满足条件的 m 的值的范围为 2m1+ 故答案为 2m1+13. 【解答】解：（1）由旋转的性质可得：A1C1BACB45，BCBC1，CC1BC1CB45，CC1A1CC1B+A1C1B45+4590（2）ABCA1BC1，BABA1，BCBC1，ABCA1BC1，ABC+ABC1A1BC1+ABC1，ABA1CBC1，ABA1CBC1，SABA14，SCBC1 ；（3） 如图 1，过点 B 作 BDAC，D 为垂足，ABC 为锐角三角形，点 D 在线段 AC 上， 在 RtBCD 中，BDBCsin45，当 P 在 AC 上运动，B

22、P 与 AC 垂直的时候，ABC 绕点 B 旋转，使点 P 的对应点 P1 在线段 AB上时，EP1 最小，最小值为：EP1BP1BEBDBE2；当 P 在 AC 上运动至点 C，ABC 绕点 B 旋转，使点 P 的对应点 P1 在线段 AB 的延长线上时，EP1 最大，最大值为：EP1BC+BE2+5714.【解答】解：（1）令 y0，即0，解得 x14，x22，A、B 点的坐标为 A（4，0）、B（2，0）（2） 抛物线 y的对称轴是直线 x1， 即 D 点的横坐标是1，SACB ABOC9，在 RtAOC 中，AC 5，设ACD 中 AC 边上的高为 h，则有ACh9，解得 h如答图 1

23、，在坐标平面内作直线平行于 AC，且到 AC 的距离h，这样的直线有 2 条，分别是 l1 和 l2，则直线与对称轴 x1 的两个交点即为所求的点 D设 l1 交 y 轴于 E，过 C 作 CFl1 于 F，则 CFh，CE 设直线 AC 的解析式为 ykx+b，将 A（4，0），C（0，3）坐标代入，得到，解得，直线 AC 解析式为 yx+3直线 l1 可以看做直线 AC 向下平移 CE 长度单位（个长度单位）而形成的，直线 l1 的解析式为 yx+3 x 则 D1 的纵坐标为（1），D1（1，）同理，直线 AC 向上平移个长度单位得到 l2，可求得 D2（1，） 综上所述，D 点坐标为：D

24、1（1，），D2（1，）（3） 如答图 2，以 AB 为直径作F，圆心为 F过 E 点作F 的切线，这样的切线有 2 条 连接 FM，过 M 作 MNx 轴于点 NA（4，0），B（2，0），F（1，0），F 半径 FMFB3又E（4，0），FE5，在 RtMEF 中，ME4，sinMFE ，cosMFE 在 RtFMN 中 ，MNMFsinMFE3 ， FNMFcosMFE3 ，则 ON，M 点坐标为（， ）直线 l 过 M（，），E（4，0），设直线 l 的解析式为 ykx+b，则有，解得，所以直线 l 的解析式为 yx+3同理，可以求得另一条切线的解析式为 yx3综上所述，直线 l 的解析式为 yx+3 或 yx315.【解题方法提示】令 y=0 求出点 B 的坐标，过点 C 作 CDx 轴于 D，设点 C 的横坐标为 a， 则 OD=a，PD=m-a，求出OCD 和CPD 相似，利用相似三角形对应边成比例列式表示出 m，然后求出 m 的最小值；再根据点 P 在线段 OB 上判断出 OCAB 时，点 P、B 重合，m 最大，然后即可写出 m 的取值范围.m 的取值范围是 3m4