2020年中考复习讲义 二次函数与相似三角形存在性问题(无答案).docx

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1、相似三角形存在性问题 动点存在性问题一直是中考的热点和难点，其中相似三角形存在性问题是一种重要的题型（2013陕西中考24题），也是部分学生不易掌握的一类题型。我们在授课时多次强调了解题策略，但是仍有部分学生不能全面掌握，总会出现遗漏。希望能通过此文能使同学们更好的理解、掌握此类题型。相似三角形存在问题备用知识：1.相似判定方法：（1）两个角分别相等的两个三角形相似（常用）（2）两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似（常用）（3）三边成比例的两个三角形相似（很少用）（4）平行于三角形一边的直线定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。2.相似性

2、质：（1）三角分别相等，三边成比例（2）相似三角形对应高之比等于相似比3.公式储备两点间距离公式：AB=(X1-X2)2+(Y1-Y2)2注意：题目表述成文字形式的“相似”而不是符号表达的“”时，两个相似三角形相似的对应关系就不明确了。分类复杂难辨，但此类命题往往有迹可循。题目中涉及的两个相似三角形一般会存在一组关键的相等角，这组相等的角一定是一组对应角，从而将复杂的多种分类简化成最多两类情形（其中一组角对应相等，再剩下两组角的对应关系不确定，那么就对这两组角的对应关系进行分类讨论）。 解题的关键就是找到一组相等的角，这是第一步，而这组相等的角有时题目中很明确的给出，有时需要我们去找（隐藏相等

3、角）。专题攻略：相似三角形存在性问题中，判定1与判定2这两个判定中都涉及到对应角相等的条件，有利于探究两个三角形动态问题。基本方法：“四步法”即：“分类，画图，计算，检验”，流程为：（1）分类：找出公共角或等角，分析出两种相似三角形，写出比例式；（2）画图：画出分解图形；（3）计算: 罗列线段长，代入比例式建立方程，解方程；（4）检验：所求的值是否符合题意；通过探究相似三角形存在性问题能有效解决未知数的值或点的坐标问题。一、题目明确给出-相等角题目1：（引例九年级上册课本123页第22题）如图，ABBD，CDBD，AB=6，CD=4，BD=14，点P在BD上移动，当以P、C、D为顶点的三角形与

4、ABP相似时，求PB的长。解析：画出两个目标相似三角形，再进行分析问题。如图：接下来我们分析这个相似三角形存在性问题，就只需要两步：第一步：先找到那组关键的“相等角”，在这道题目中很显然，两个相似三角形都是直角三角形，B=D=90，所以这两个角一定是一组对应角，点B与点D即为对应顶点；第二步：上一步找到的两个关键“相等角”的两邻边分两类对应成比例即可，即B的两边AB和BP，D的两边CD与DP分两类对应成比例，设元列方程即可。 解后反思：本题是一个相似三角形存在性问题，解决此题的关键分两步走：第一步：先找到一组关键的相等角，本题的相等角很明确，；第二步：再以这两个关键的相等角的两邻边分两种情形对

5、应成比例列方程即可； 第二步分类列方程中，我们可以先固定一个三角形的顺序，将另一个三角形换个顺序即可。题目2： 已知抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于点A、B(4，0)两点，与y轴交于点C(0，-4).(1) 求抛物线的表达式；(2) 已知点M在y轴上（点M不与点C重合），连接AM,若AOM与AOC相似，试求点M的坐标。解析：第一步：找出相等的角，点M在y轴上，则AOM=AOC=90，AOM的两边分别为AO与OM，AOC的两边分别为AO与OC，存在两种相似情况：AOCMOA或AOCAOM可得比例式为：AOMO=OCOA，或AOAO=COMO 第二步：画图，画出分解图形；当AOCMOA时 当

6、AOCAOM时； 第三步：计算并检验A(-2，0),AO=2，C（0，-4），OC=4点M在y轴上，可设M（0，t）OM=|t|(M在y轴上的位置不确定，距离是正数，带绝对值）分两种情形：7(1) 当AOCMOA时有AOMO=OCOA，2|t|=42，t=1M（0,1） 或（0，-1）（2）当AOCAOM时；有AOAO=OCOM，22=4|t|，t=4因为点M不与点C重合所以M（0，4）综上：这样的点M由三个，分别为（0,1）（0，-1）（0,4）二、隐性的-“相等角”已知抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于点A、B(4，0)两点，与y轴交于点C(0，-4).（1）求抛物线的表达式；（2）在

7、直线BC上，是否存在一点N,使得以N、O、C为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由。解析：题目中没有明确给出相等的角，但是通过由BO=CO，易得：NCO=OBC=45，第一步：找隐藏的相等角由BO=CO=4，得NCO=OBC=45NCO的两边分别为OC与ON，OBC的两边分别为AB,BC存在两种相似情况：（1）OCNABC （2）NCOABC OCAB=CNBC， 或OCBC=CNAB 第二步：画出分解图；当OCNABC时； 当NCOABC第三步：计算并检验B(4，0)、C(0，-4)直线BC的表达式为y=x-4 OB=OC=4，OA=2,BC=42，AC=2

8、5要使以N、O、C为顶点的三角形与ABC相似，且ABC=OCN=45，分以下情况;当OCNABC时, OCAB=CNBC, 46=CN42，CN=823过点N作NHy轴于点H，NCH=HNC=45，则NHC为等腰直角三角形CH=83，当x=83时，y=83-4=-43N(83,-43)当NCOABC时，方法同上，大家根据第一种情况来分析并进行解答第二种情况。解析后的反思:分析问题的套路，那就是“以不变应万变”的解题策略，拿到一道题目，应先对它不变的背景作深入研究，抓住这些不变的因素，寻找这里特殊的关系，其次，再去分析运动变化的因素。因为所有的运动变化的元素都要在不变的大背景下运动，所以抓住不变

9、量的解题意识很重要。练习1：如图，已知抛物线经过点A（-2,0），B(-3，3)及原点o，顶点为C。（1）求抛物线的函数解析式（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，若四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标；（3）连接BC交x轴于点F，y轴上是否存在点P，使得POC与BOF相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。2.在平面直角坐标系中，一个二次函数的图象经过A(1,0)、B(3,0)两点，(1)写出这个二次函数图象的对称轴；(2)设这个二次函数图象的顶点为D，与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点E，连接AC、DE和DB，当AOC与DEB相似时，求这个二次函数的表达式.提

10、示：如果一个二次函数的图象与x轴的交点为A(x1,0)、B(x2,0)，那么它的表达式可表示为y=a(xx1)(xx2).3、（2018.陕西）已知抛物线L：yx2x6与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C.(1)求A、B、C三点的坐标，并求ABC的面积；(2)将抛物线L向左或向右平移，得到抛物线L，且L与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，并与y轴相交于点C，要使ABC和ABC的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式4、(2019年陕西)在平面直角坐标系中，已知抛物线L：yax2(ca)xc经过点A(3，0)和点B(0，6)，L关于原点O对称的抛物线为L(1)求抛物线L， L的表达式；(2)点P在L抛物线上，且位于第一象限，过点P作PDy轴，垂足为D若POD与AOB相似求符合条件的点P的坐标