沪教版高中数学高二下册：11.3 两条直线的位置关系-直线中的对称问题 教案.doc

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1、直线中的对称问题 教学背景：直线是解析几何中最基本的一种曲线，直线中的对称问题是学生研究其它曲线对称性的基础，是解析几何中重要的基础内容。对称点、对称直线的求法、对称问题的简单应用及其解题过程中所体现的思想和方法是学生必须掌握的，它为两点间距离的最值问题的转化提供了桥梁。而现在的中学数学教材这部分内容并没有系统的编排，教师需对对称问题进行适当的总结、归纳，使学生对这部分内容有一个较完整、系统的认识。教学设计：本教学设计先是通过学生以前做过的习题让学生了解对称问题的一般处理方法，让学生清楚对称问题只有两种：中心对称和轴对称。任何曲线的对称问题最后都可以转化为点点对称或点线对称，让学生清楚只要掌握

2、好直线中基本的点点对称和点线对称就可以处理一般的曲线对称问题了。教学目标：1、掌握点关于点，线关于点、点关于线、线关于线四种对称问题。2、逐步理解对称问题的实质，总结归纳点、线对称的一般处理方法。3、培养学生数形结合、转化等数学思想，学会用联系的观点研究问题。教学重、难点：点关于直线对称问题的处理教学过程：一、 中心对称1、 点点对称：（利用中点公式）例1 求点（-2，2）关于点（1，1）对称的点的坐标.分析：易知是线段的中点，由此我们可以由中点坐标公式，构造方程求解.简单点评小结，快速解决让学生回答解 由题意知，是线段的中点，设点（x，y），由中点坐标公式有，解得，故（4，0）2、 线点对称

3、：（转化为点点对称，再利用中点公式）例2 求直线关于点M对称的直线方程。分析 ：本题可以以先在已知直线上取两点，再求该两点关于点M的对称点，利用两点求出直线方程；也可利用两直线平行，以及点M到两直线的距离相等求解解法一：（转化为点点对称，再利用中点公式）在直线上取两点A（-2，2），B（-3，0），则点A（-2，2），B（-3，0）关于简单点评小结,直接请学生回答出所求直线方程M的对称点的，由、在所求直线上得对称直线方程为。解法二： （可借助黑板、直尺演示给学生看线关于点对称的结果）由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为，由点M到直线距离公式，得，即，得（即为已知直

4、线，舍去）或，故所求对称直线方程为。点评：解法一是转化为点关于点对称问题，利用中点坐标公式，求出对称点坐标，再利用直线系方程，写出直线方程；解法二利用所求的对称直线肯定与已知直线平行，再由点（对称中心）到此两直线距离相等，而求出c，使问题解决，而本题两种解法都体现了直线系方程的优越性。（给学生一点时间考虑，得出较多方法，简单小结点评， 得出结论）二、 轴对称（轴（直线）是对称点连线段的中垂线）1、 点线对称例3求点P关于直线：对称的点的坐标。为今后学习曲线关于直线对称求轨迹作铺垫解：设P关于直线的对称点为给予充足时间，让学生能够消化并内化根据题意得，且的中点在直线：上所以， 所求对称点坐标是（

5、给学生充足时间考虑，归纳出点线对称的实质，总结一般处理方法：垂直、平分，在斜率存在前提下用体现垂直；若斜率不存在，则根据具体图形得到对称点坐标）此方法学生容易想到，重点指出垂直、平分两个信息解：设P关于直线的对称点为根据题意得，则 所在直线方程是，又点P在直线上，所以，即 所在直线方程是，与已知直线：的交点坐标是，由中点公式可得的坐标是，即所求对称点坐标是2、 线线对称（转化为点线对称）例4试求直线l1：关于直线l2：对称的直线l的方程。分析：由题意，所给的两直线l1，l2为平行直线，求解这类对称我们可以转化为点关于直线的对称问题，再利用平行直线系去求解，或者利用距离相等寻求解答。简单点评小结

6、，直接请学生回答出所求直线方程解法一：根据分析，可设直线l的方程为，在直线l1：上取点P，则易求得P关于直线l2：的对称点，将的坐标代入方程，解得 故所求直线l的方程为。解法二：故所求直线l的方程为。点评：将对称问题进行转化，是我们求解这类问题的一种必不可少的思路. 另外此题也可以先利用平行直线系方程写出直线l的形式，然后再在直线l2上的任取一点，在根据该点到互相对称的两直线的距离相等去待定相关常数.此方法要讲透，让学生明确线线对称最终就是转化为点线对称例5求直线l1：关于直线l2：对称的直线l的方程.解法一（转化为点线对称，两点式，）：发现点在直线上，借用例3练习的结论可知点关于直线l2：的

7、对称点坐标是，再根据交点，两点式可得所求直线方程是。其实质都是利用角平分线的思想，或夹角或距离相等解法二：（点斜式，利用夹角求斜率）交点，设所求直线方程是，即，再利用直线l1：与直线l2：的夹角与直线与直线l2：的夹角相等建立关于的方程，解得（舍，否则与直线l1：重合）或，求得直线方程。解法三（点斜式，利用角平分线上的点到两条直线的距离相等求斜率）：交点，设所求直线方程是，即，再在直线l2：上取点，利用点到直线l1：的距离与到直线的距离相等建立关于的方程，解得（舍，与直线l1：重合）或，求得直线方程。三、课堂小结今天我们学习了“平面上有关点、线的对称问题”，也掌握了各自对应的一般处理方法，明天

8、我们就运用对称的性质来解决相关的距离最值等问题；还有就是今后我们还要学到“轨迹”，也可以用求轨迹的方法来解决其中的点线对称求点坐标，线线对称求直线的问题。再有就是点点对称、点线对称是最基本的对称，以后学习曲线关于点对称或者曲线关于直线对称，都可以转化为点点对称和点线对称，因为任何曲线都是由点构成的。 学会归纳总结，从点、线对称推广到求函数最值问题以及曲线（任何曲线都是由点构成的）关于点、线的对称问题。四、布置作业习题册P35/12导学P22/11、P29/6、P35/14、P37/18备注：例5解法一中如果在直线上取的点是，则关于直线l2：的对称点坐标是；若在直线上取的点是，则关于直线l2：的对称点坐标是；若在直线上取的点是，则关于直线l2：的对称点坐标是。