双曲线与方程知识点总结例题习题精讲.pdf

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1、课程星级：一、双曲线的定义1、 第 一 定 义 ： 到 两 个 定 点F1与F2的 距 离 之 差 的 绝 对 值 等 于 定 长 （ |F1F2|） 的 点 的 轨 迹（21212FFaPFPF（a为常数） 。这两个定点叫双曲线的焦点。要注意两点：（1）距离之差的绝对值。（2）2a|F1F2|。当|MF1|MF2|=2a 时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当|MF1|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；当 2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；当 2a |F1F2|时，动点轨迹不存在。2、第二定义： 动点到一定点 F 的距离与它到一条定直线l

2、的距离之比是常数e(e1)时，这个动点的轨迹是双曲线。这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线。二、双曲线的标准方程（222acb，其中 |1F2F|=2c）焦点在 x 轴上：12222byax（a0，b 0）知能梳理焦点在 y 轴上：12222bxay（a0，b 0）（1）如果2x项的系数是正数， 则焦点在 x 轴上；如果2y项的系数是正数， 则焦点在 y 轴上。a不一定大于 b。（2）与双曲线12222byax共焦点的双曲线系方程是12222kbykax（3）双曲线方程也可设为：221(0)xymnmn需要更多的高考数学复习资料请在淘 .宝 .上.搜.索.宝.贝.：高考数学复习资

3、料知识点与方法技巧总结例题精讲 (详细解答 ) 或者搜 .店 .铺.：龙奇迹学习资料网三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系1、点与双曲线点00(,)P xy在双曲线22221(0,0)xyabab的内部2200221xyab点00(,)P xy在双曲线22221(0,0)xyabab的外部2200221xyab点00(,)P xy在双曲线22221(0,0)xyabab上220022-=1xyab2、直线与双曲线代数法：设直线:lykxm，双曲线)0,0( 12222babyax联立解得02)(222222222bamamkxaxkab（1）0m时，bbkaa，直线与双曲线交于两点

4、（左支一个点右支一个点）；bka，bka，或 k 不存在时，直线与双曲线没有交点；（2）0m时，k存在时，若0222kab，abk，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若2220ba k，222222222( 2)4()()a mkba ka ma b2222224()a bmba k0时，22220mba k，直线与双曲线相交于两点；0时，22220mba k，直线与双曲线相离，没有交点；0时22220mba k，2222mbka直线与双曲线有一个交点；k不存在，ama时，直线与双曲线没有交点；mama或直线与双曲线相交于两点；3、过定点的直线与双曲线的位置关系：设直线:lykx

5、m过定点00(,)P xy，双曲线)0,0(12222babyax（1）当点00(,)P xy在双曲线内部时：bbkaa，直线与双曲线两支各有一个交点；abk，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；bka或bka或k不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；（2）当点00(,)P xy在双曲线上时：bka或2020b xka y，直线与双曲线只交于点00(,)P xy；bbkaa直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；2020b xka y（00y）或2020b xbkaa y（00y）或bka或k不存在，直线与双曲线在一支上有两个交点；当00y时，bka或k不存在，直线与双曲线只

6、交于点00(,)P xy；bka或bka时直线与双曲线的一支有两个交点；bbkaa直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；（3）当点00(,)P xy在双曲线外部时：当0,0P时，bbkaa，直线与双曲线两支各有一个交点；bka或bka或k不存在，直线与双曲线没有交点；当点0m时，222mbka时，过点00(,)P xy的直线与双曲线相切bka时，直线与双曲线只交于一点；需要更多的高考数学复习资料请在淘 .宝 .上.搜.索.宝.贝.：高考数学复习资料知识点与方法技巧总结例题精讲 (详细解答 ) 或者搜 .店 .铺.：龙奇迹学习资料网四、双曲线与渐近线的关系1、若双曲线方程为22221(0

7、,0)xyabab渐近线方程：22220 xyabxaby2、若双曲线方程为12222bxay（a0，b0）渐近线方程：22220yxabayxb3、若渐近线方程为xaby0byax双曲线可设为2222byax, 0。4、若双曲线与12222byax有公共渐近线，则双曲线的方程可设为2222byax（0，焦点在 x 轴上，0，焦点在 y 轴上）五、双曲线与切线方程1、双曲线22221(0,0)xyabab上一点00(,)P xy处的切线方程是00221x xy yab。2、过双曲线22221(0,0)xyabab外一点00(,)P xy所引两条切线的切点弦方程是00221x xy yab。3、

8、双曲线22221(0,0)xyabab与直线0AxByC相切的条件是22222A aB bc。需要更多的高考数学复习资料请在淘 .宝 .上.搜.索.宝.贝.：高考数学复习资料知识点与方法技巧总结例题精讲 (详细解答 ) 或者搜 .店 .铺.：龙奇迹学习资料网六、双曲线的性质双曲线标准方程（焦点在x轴）)0,0(12222babyax标准方程（焦点在y轴）)0,0(12222babxay定义第一定义：平面内与两个定点1F，2F的距离的差的绝对值是常数（小于12F F）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。aMFMFM221212FFa第二定义：平面内与一个定点F和一

9、条定直线l的距离的比是常数e，当1e时，动点的轨迹是双曲线。定点F叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e（1e）叫做双曲线的离心率。范围xa，yRya，xR对称轴x轴 ，y轴；实轴长为2a,虚轴长为2b对称中心原点(0,0)O焦点坐标1(,0)Fc2( ,0)Fc1(0,)Fc2(0, )Fc焦点在实轴上，22cab；焦距：122F Fc顶点坐标（a,0） (a,0) (0, a,) (0，a) 离心率eace(1)，222cab， e 越大则双曲线开口的开阔度越大准线方程cax2cay2准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：ca22顶点到准线的距离顶点1A（2A）到准线1

10、l（2l）的距离为caa2顶点1A（2A）到准线2l（1l）的距离为aca2焦点到准线的距离焦点1F（2F）到准线1l（2l）的距离为22abcccxyP1F2FxyxyP1F2FxyxyP1F2FxyPxyP1F2FxyP焦点1F（2F）到准线2l（1l）的距离为cca2渐近线方程xaby(实虚) yabx(实虚) 共渐近线的双曲线系方程kbyax2222（0k）kbxay2222（0k）直线和双曲线的位置双曲线12222byax与直线ykxb的位置关系：利用22221xyabykxb转化为一元二次方程用判别式确定。二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。相交弦 AB 的弦长2212121(

11、)4ABkxxx x通径：21AByy过双曲线上一点的切线12020byyaxx或利用导数00221y yx xab或利用导数七、弦长公式1、若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点A、B，且12,xx分别为 A、B 的横坐标，则221212()()ABxxyy，22221212121141|ABkxxkxxx xka，若12,yy分别为 A、B 的纵坐标，则21212122211114AByyyyy ykk。2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A、B 两点，则弦长abAB22|。3、若弦 AB 所在直线方程设为xkyb，则AB2121kyy。4、特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点

12、弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解八、焦半径公式双曲线12222byax（a0， b0）上有一动点00(,)M xy当00(,)M xy在左支上时10|MFexa,20|MFexa当00(,)M xy在右支上时10|MFexa,20|MFexa注：焦半径公式是关于0 x的一次函数，具有单调性，当00(,)M xy在左支端点时1|MFca，2|MFca，当00(,)M xy在左支端点时1|MFca，2|MFca九、等轴双曲线12222byax（a0，b0）当ab时称双曲线为等轴双曲线1。ab；2。离心率2e；3。两渐近线互相垂直，分别为y=x；4。等轴双曲线的方程22yx，0；5。等轴双

13、曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。十、共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，通常称它们互为共轭双曲线。共轭双曲线有共同的渐近线；共轭双曲线的四个焦点共圆；它们的离心率的倒数的平方和等于 1。需要更多的高考数学复习资料请在淘 .宝 .上.搜.索.宝.贝.：高考数学复习资料知识点与方法技巧总结例题精讲 (详细解答 ) 或者搜 .店 .铺.：龙奇迹学习资料网【例】如图所示，F为双曲线1169:22yxC的左焦点，双曲线C上的点iP与3 ,2, 17iPi关于y轴对称，则FPFPFPFPFPFP654321的值是（）精讲精练A9 B16

14、 C18 D27 解：FPFP61FPFP52643FPFP，选 C 【例】设 P 为双曲线11222yx上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，则 PF1F2的面积为（）A36B12 C312D24 解：2:3|:|,13,12, 121PFPFcba由又, 22|21aPFPF由、解得.4| ,6|21PFPF,52| ,52|2212221FFPFPF为21FPF直角三角形，.124621|212121PFPFSFPF故选 B 。【例】某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观

15、测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上) 思路：时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的解：如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x 轴、 y 轴正向，建立直角坐标系. 设 A、B、C 分别是西、东、北观测点，则A（ 1020，0） ，B（1020，0） ，C（ 0，1020）设 P（x,y）为巨响为生点，由A、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故 P 在 AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y= x，因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声，故

16、|PB| |PA|=340 4=1360 由双曲线定义知P点在以 A、 B 为焦点的双曲线12222byax上，依题意得a=680, c=1020，13405680340568010202222222222yxacb故双曲线方程为用 y=x 代入上式，得5680 x， |PB|PA|, 10680),5680,5680(,5680,5680POPyx故即答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心m10680处.A B C P O x y 【 例】已知双曲线12222byax的离心率332e，过),0(),0,(bBaA的直线到原点的距离是.23求双曲线的方程；解：（ 1）,332ac原点到直线

17、AB：1byax的距离2322cabbaabd.3,1 ab. 故所求双曲线方程为.1322yx【例】已知双曲线的渐近线方程是2xy，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为解：设双曲线方程为224yx， 当0时， 化为52104202214xy，2010452，当0时，化为2214yx，5210420，综上，双曲线方程为221205xy或120522xy【例】 已知双曲线E 的中心为原点，F(3,0)是 E 的焦点，过F 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，且AB 的中点为 N( 12， 15)，则 E 的方程解：设双曲线的标准方程为x2a2y2b21(a0， b0)，由题意知c

18、3，a2b29，设 A(x1， y1)，B(x2，y2)，则有：x21a2y21b21，x22a2y22b21，两式作差得：y1y2x1x2b2x1x2a2y1y212b215a24b25a2，又 AB 的斜率是1501231，所以将4b25a2代入 a2b29 得 a24，b2 5. 所以双曲线的标准方程是x24y251. 需要更多的高考数学复习资料请在淘 .宝 .上.搜.索.宝.贝.：高考数学复习资料知识点与方法技巧总结例题精讲 (详细解答 ) 或者搜 .店 .铺.：龙奇迹学习资料网【例】已知双曲线C 与双曲线162x42y=1 有公共焦点，且过点（32， 2）.求双曲线C 的方程解：法一

19、：设双曲线方程为22ax22by=1.由题意易求c=25. 又双曲线过点（32，2），22)23(a24b=1. 又 a2+b2=（25）2， a2=12，b2=8. 故所求双曲线的方程为122x82y=1. 法二：设双曲线方程为kx162ky421，将点（ 32，2）代入得 k=4，所以双曲线方程为122x82y1. 【例】已知双曲线的渐近线方程是2xy，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为解：设双曲线方程为224yx，当0时，化为1422yx，2010452，当0时，化为1422yy，2010452，综上，双曲线方程为221205xy或120522xy【例】已知中心在原点的双曲线

20、C 的右焦点为 (2,0)，右顶点为 (3，0)(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线： ykxm(k0 ，m 0) 与双曲线C 交于不同的两点M、N，且线段MN 的垂直平分线过点A(0，1)，求实数m 的取值范围解析：(1)设双曲线方程为x2a2y2b21(a0，b0)由已知得a3，c2. 又 a2b2c2，得 b2 1. 故双曲线C 的方程为x23y2 1. (2)联立ykxmx23y21整理得 (1 3k2)x26kmx3m230. 直线与双曲线有两个不同的交点，1 3k20 12(m2 13k2)0，可得 m23k2 1 且 k213设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN 的中点

21、为B(x0，y0)则 x1x26km13k2，x0 x1x223km1 3k2，y0kx0mm13k2. 由题意， ABMN， kABm13k213km13k21k(k0 ，m 0) 整理得 3k24m1 将代入，得m2 4m0， m0 或 m4. 又 3k24m 10(k0) ，即 m14. m 的取值范围是14，0 (4， ) 【例】已知直线1axy与双曲线1322yx交于A、B点。（1）求a的取值范围； （ 2）若以A B为直径的圆过坐标原点，求实数a的值；（3）是否存在这样的实数a，使A、B两点关于直线xy21对称？若存在，请求出a的值；若不存在，说明理由。解： （ 1）由13122y

22、xaxy消去y，得022)3(22axxa（1）依题意0032a即66a且3a（2）（2）设),(11yxA，),(22yxB，则)4(32) 3(32221221axxaaxx 以 AB 为直径的圆过原点OBOA02121yyxx但1)(2121221xxaxxayy由（ 3） （4） ，22132aaxx，22132axx013232)1(222aaaaa解得1a且满足（ 2）（3）假设存在实数a，使 A、B 关于xy21对称，则直线1axy与xy21垂直121a，即2a直线l的方程为12xy将2a代入（ 3）得421xx AB 中点的横坐标为2 纵坐标为3122y但 AB中点)3, 2(

23、不在直线xy21上，即不存在实数a，使 A、B关于直线xy21对称。【例】 已知双曲线C 的中心是原点， 右焦点为F3 0， 一条渐近线m:x+20y,设过点 A( 32,0)的直线 l 的方向向量(1, )ekv。（1）求双曲线 C 的方程；（2）若过原点的直线/al，且 a 与 l 的距离为6，求 K 的值；（3）证明：当22k时，在双曲线 C 的右支上不存在点 Q，使之到直线 l 的距离为6. 解： （ 1）设双曲线C的方程为222(0)xy需要更多的高考数学复习资料请在淘 .宝 .上.搜.索.宝.贝.：高考数学复习资料知识点与方法技巧总结例题精讲 (详细解答 ) 或者搜 .店 .铺.：

24、龙奇迹学习资料网32，解得2，双曲线C的方程为2212xy（2）直线:3 20l kxyk，直线:0a kxy由题意，得2|3 2 |61kk，解得22k（3）证明方法一设过原点且平行于l的直线:0b kxy则直线l与b的距离23 2 |,1kdk当22k时，6d又双曲线C的渐近线为x20y双曲线C的右支在直线b的右下方，双曲线C右支上的任意点到直线l的距离大于6。故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为6方法二假设双曲线C右支上存在点00(,)Q xy到直线l的距离为6，则0022200|3 26(1)122(2)kxykkxy由（ 1）得2003 261ykxkk设23 261

25、tkk，当22k时，23 2610tkk；2222213 2616031ktkkkk将00ykxt代入（ 2）得22200(12)42(1)0kxktxt2,02kt，22120,40,2(1)0kktt方程(*)不存在正根，即假设不成立，故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为6需要更多的高考数学复习资料请在淘 .宝 .上.搜.索.宝.贝.：高考数学复习资料知识点与方法技巧总结例题精讲 (详细解答 ) 或者搜 .店 .铺.：龙奇迹学习资料网【例】设双曲线C：x2a2y21(a0)与直线 l：x y1 相交于两个不同的点A、B. (1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直

26、线 l 与 y 轴的交点为P，且 PA512PB，求 a 的值解：(1)将 y1x代入双曲线x2a2y21 中得 (1 a2)x22a2x2a20 所以1a204a48a2(1a2) 0， 解得 0a2，且 a1 ，又双曲线的离心率e1a2a1a21，0a2且 a1 ，e62且 e 2. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)PA512PB， (x1，y11)512(x2， y2 1)由此得x1512x2由于 x1，x2都是方程的两根，且 1a20 ，1712x22a21a2，512x222a21a2. 消去 x2，得2a21 a228960， a2289169， a171

27、3. 由 a0，得 a1713. 【例】已知倾斜角为45的直线l过点)2,1(A和点B，B在第一象限，23| AB. (1) 求点B的坐标；(2)若直线l与双曲线1:222yaxC)0(a相交于E、F两点，且线段EF的中点坐标为)1,4(， 求a的值；(3)对于平面上任一点P，当点Q在线段AB上运动时，称| PQ的最小值为P与线段AB距离 . 已知点P在x轴上运动，写出点)0,(tP到线段AB的距离h关于t的函数关系式 . 解： (1) 直线AB方程为3xy，设点),(yxB，由18)2() 1(322yxxy及0 x，0y得4x，1y，点B的坐标为) 1,4(（2）由13222yxyax得0

28、106)1(212xxa，设),(,),(2211yxFyxE，则4221621aaxx，得2a（3）(解法一 )设线段AB上任意一点Q坐标为)3,(xxQ，22)3()(|xxtPQ，记2)3(223222)(2)3()()(ttxxxtxf)41 (t，当4123t时，即51t时，2| 3|23min)(|ttfPQ，当423t，即5t时，)( xf在4,1 上单调递减，1)4()4(|2mintfPQ；当123t，即1t时，)(xf在4,1 上单调递增，4)1()1 (|2mintfPQ综上所述，.51)4(;51;14)1()(22| 3|2ttttttht(解法二 ) 过A、B两点分

29、别作线段AB的垂线，交x轴于)0,1(A、)0,5(B，当点P在线段BA上，即51t时，由点到直线的距离公式得：2|3|min|tPQ；当点P的点在点A的左边，1t时，4) 1(|2mintPAPQ；当点P的点在点A的右边，5t时，1)4(|2mintPBPQ综上所述，.51)4(;51;14)1()(22|3|2ttttttht【例】设 A，B 分别为双曲线x2a2y2b21(a0， b0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为3. (1)求双曲线的方程；(2)已知直线y33x2 与双曲线的右支交于M、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D，使OMONtOD，求 t 的值及点

30、D 的坐标解： (1)由题意知 a2 3，一条渐近线为yb2 3x. 即 bx2 3y0.|bc|b2123.b2 3双曲线的方程为x212y23 1. (2)设 M(x1，y1)， N(x2，y2)，D(x0，y0)，则 x1x2tx0，y1y2ty0. 将直线方程代入双曲线方程得x2163x840，则 x1x2163，y1y212.x0y04 33，x2012y2031.x043，y03.t 4，点 D 的坐标为 (43，3)需要更多的高考数学复习资料请在淘 .宝 .上.搜.索.宝.贝.：高考数学复习资料知识点与方法技巧总结例题精讲 (详细解答 ) 或者搜 .店 .铺.：龙奇迹学习资料网1

31、.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交。2.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切。（内切： P在右支；外切：P 在左支）3.若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b0） 上， 则过0P的双曲线的切线方程是00221x xy yab。4.若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b0）外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是00221x xy yab。需要更多的高考数学复习资料请在淘 .宝 .上.搜.索.宝.贝.：高考数学复习资料知识点与方法技巧总结例题精讲 (详细解答 ) 方法回顾或者搜 .店 .铺.：龙奇

32、迹学习资料网5.双曲线22221xyab（a0,bo）的左右焦点分别为F1，F 2，点 P 为双曲线上任意一6.点12F PF，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PFSb co。7.设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交P、 Q 两点， A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M、N 两点，则MF NF。8.过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P 和 A2Q交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF。9.AB是双曲线22221xyab（a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M),(00yx

33、为 AB 的中点，则0202yaxbKKABOM，即0202yaxbKAB。10.若000(,)P xy在 双曲线22221xyab（ a 0,b 0） 内，则被Po 所 平分的 中点弦的方程 是2200002222x xy yxyabab。需要更多的高考数学复习资料请在淘 .宝 .上.搜.索.宝.贝.：高考数学复习资料知识点与方法技巧总结例题精讲 (详细解答 ) 或者搜 .店 .铺.：龙奇迹学习资料网通过本课程的学习：一、 “知能梳理”模块里的知识点你都掌握了吗？1、需要巩固的知识点：2、尚未掌握的知识点：学习感悟二、 “精讲精练”模块里的例题你都掌握了吗？1、完全掌握的例题：2、需要再次复习得例题：3、尚未掌握的例题：三、其他备注