2017年桂林电子科技大学考研专业课试题601高等代数A.doc

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桂林电子科技大学2017年硕士研究生统一入学考试试题科目代码: 601科目名称: 高等代数A卷注意：答案必须全部写在答题纸上，写在试题上无效；答案要标注题号，答题纸要填写姓名和考号，并标注页码与总页数；一、 （10分) 计算阶行列式二、(10分) 证明：在中，如果，那么三、(15分) 取何值时，线性方程组 有唯一解、无穷多解、无解？并在有无穷多解的情况下写出解的结构表达式.四、（10分）设矩阵且满足，求未知矩阵. 五、（20分）设二次型，求：（1）对应的矩阵，并计算矩阵的特征值与特征向量；（2）一个正交变换,化二次型为标准形.六、(15分) 设矩阵求的不变因子，初等因子及标准形.七、(20分) 已知向量组 求（1）的基与维数； （2）的基与维数.其中，.八、 (20分) 在中设,令 ，则是的一个变换.（1） 证明是的一个线性变换；（2） 求的核的维数和一组基.九、(30分) 证明下列各题（1） 设阶矩阵满足，则称矩阵为幂零指数是的幂零阵，证明：幂零矩阵的特征值均为数0.（2） 设 是维欧氏空间的线性子空间，且的维数小于的维数，证明：中必有一非零向量正交于的所有向量.（3） 设是一个秩为的二次型，证明： 存在的一个维子空间（其中为符号差），使对任意向量，有.第 2 页 共 2 页