排列组合二项式定理学习笔记.pdf

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1、学习必备欢迎下载排列组合二项定理考试内容：分类计数原理与分步计数原理排列排列数公式组合组合数公式组合数的两个性质二项式定理二项展开式的性质考试要求：（1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题（2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题（3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题（4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题10. 排列组合二项定理 知识要点一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可以有重复元素的排列 . 从 m 个不同元素中，每次取出n

2、 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二 第 n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列数m m m = mn. 例如： n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？（解：nm种）二、排列 . 1. 对排列定义的理解. 定义：从n 个不同的元素中任取m(m n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 相同排列 . 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. 排列数 . 从 n 个不同元素中取出m(m n )个元素排成一列，称为从n

3、个不同元素中取出m 个元素的一个排列 . 从 n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号mnA表示 . 排列数公式：),()!(!) 1() 1(NmnnmmnnmnnnAm注意：!)!1(!nnnn规定 0! = 1 111mnmnmnmmmnmnmAACAAA11mnmnnAA规定10nnnCC2. 含有可重元素的排列问题 . 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有 k 个不同元素a1，a2, .an其中限重复数为n1、n2nk，且 n = n1+n2+nk , 则 S的排列个数等于!.!21knnnnn. 学习必备欢迎下载例如： 已知数字3、2、2，求其排列个数3! 2!

4、1)!21(n又例如： 数字 5、5、5、求其排列个数？其排列个数1! 3! 3n. 三、组合 . 1. 组合： 从 n 个不同的元素中任取m(m n )个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出m个元素的一个组合. 组合数公式：)!( !) 1()1(mnmnCmmnnnAACmnmmmnmn两个公式：;mnnmnCCmnmnmnCCC11从 n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素，因此从 n 个不同元素中取出n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合 . （或者从n+1 个编号不同的小球中，n 个白球一个红球，

5、任取m 个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有1mn111mnCCC一类是不含红球的选法有mnC ）根据组合定义与加法原理得；在确定 n+1 个不同元素中取m 个元素方法时， 对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中再取m-1 个元素，所以有 C1mn，如果不取这一元素，则需从剩余n 个元素中取出m 个元素，所以共有Cmn种，依分类原理有mnmnmnCCC11. 排列与组合的联系与区别. 联系：都是从n 个不同元素中取出m 个元素 . 区别：前者是“ 排成一排 ” ，后者是 “ 并成一组 ” ，前者有顺序关系，后者无顺序关系. 几个常用组合数公式

6、nnnnnnCCC221011111121153142011112knknknknmnmmnmmmmmmnnnnnnnnCnCknCkCCCCCCCCCCCC常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法 . 如：)!1(11)!1(! 43! 32! 21nnn（利用!1)!1(1!1nnnn）ii. 导数法 . iii. 数学归纳法 . iv. 倒序求和法 . v. 递推法（即用mnmnmnCCC11递推）如：413353433nnCCCCC. vi. 构造二项式 . 如：nnnnnnCCCC222120)()()(学习必备欢迎下载证明：这里构造二项式nnnxxx2)1()1() 1(其中n

7、x的系数，左边为22120022110)()()(nnnnnnnnnnnnnnnnCCCCCCCCCCC，而右边nnC2四、 排列、组合综合. 1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型：直接法 . 排除法 . 捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们 “ 局部 ” 的排列 .它主要用于解决“ 元素相邻问题 ” ，例如，一般地，n 个不同元素排成一列，要求其中某)(nmm个元素必相邻的排列有mmmnmnAA11个.其中11mnmnA是一个 “ 整体排列 ” ，而mmA则是 “ 局部排列 ”.又例如有n 个不同座位，A、B两个不能相邻，则有排列法种

8、数为2nA2211AAn. 有 n 件不同商品，若其中A、B排在一起有2211AAnn. 有 n 件不同商品，若其中有二件要排在一起有112nnnAA. 注：区别在于是确定的座位，有22A种；而的商品地位相同，是从n 件不同商品任取的 2 个，有不确定性. 插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决 “ 元素不相邻问题”.例如： n 个元素全排列，其中m 个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？mmnmnmnAA1（插空法），当 n m+1 m, 即 m 21n时有意义 . 占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；

9、从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用 “ 先特殊后一般 ” 的解题原则 . 调序法： 当某些元素次序一定时，可用此法 .解题方法是： 先将 n 个元素进行全排列有nnA 种，)(nmm个元素的全排列有mmA种，由于要求m 个元素次序一定， 因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n 个元素排成一列，其中m 个元素次序一定，共有mmnnAA种排列方法 . 例如： n 个元素全排列，其中m 个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？解法一：（逐步插空法） （m+1） （m+2）n = n ！ / m！ ；解法二：（比例分配法）mmnnAA

10、 /. 平均法：若把kn 个不同元素平均分成k 组，每组n 个，共有kknnnnknknACCC)1(. 学习必备欢迎下载例如：从1，2，3，4 中任取 2 个元素将其平均分成2 组有几种分法？有3!224C（平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将200 名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？（!2/102022818CCCP）注意：分组与插空综合. 例如： n 个元素全排列，其中某m 个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？有mmmmnmnmnAAA/1，当 n m+1 m, 即 m 21n时有意义 . 隔板法：常用于解正整数解组数的问题. 例如：1243

11、21xxxx的正整数解的组数就可建立组合模型将12 个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11 个空隙中任选三个插入3 块摸板，把球分成4 个组 .每一种方法所得球的数目依次为4321,xxxx显然124321xxxx，故（4321,xxxx）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解),(4321yyyy，对应着惟一的一种在12 个球之间插入隔板的方式（如图所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数311C. 注 意： 若 为 非 负 数 解 的x个 数 ， 即 用naaa,.,21中ia等 于1ix， 有AaaaAxxxxnn1.11.21321，进而转化为求a

12、 的正整数解的个数为1nnAC. 定位问题： 从 n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列规定某r 个元素都包含在内，并且都排在某r 个指定位置则有rkrnrrAA. 例如：从n 个不同元素中，每次取出m 个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？固定在某一位置上：11mnA；不在某一位置上：11mnmnAA或11111mnmmnAAA（一类是不取出特殊元素 a，有mnA1，一类是取特殊元素a，有从 m-1 个位置取一个位置，然后再从n-1 个元素中取 m-1，这与用插空法解决是一样的）指定元素排列组合问题. i. 从 n 个不同元素中每次取出k 个不同

13、的元素作排列 （或组合）， 规定某 r 个元素都包含在内。先 C后 A策略，排列kkrkrnrrACC；组合rkrnrrCC.ii. 从 n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列 （或组合），规定某 r 个元素都不包含在内。先 C后 A策略，排列kkkrnAC；组合krnC. iii 从 n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某 r 个元素中的s 个元素。先C 后 A 策略，排列kkskrnsrACC；组合skrnsrCC. II. 排列组合常见解题策略：特殊元素优先安排策略；合理分类与准确分步策略；排列、组合混合问题先选后排的x1x2x3x

14、4学习必备欢迎下载策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）；正难则反，等价转化策略；相邻问题插空处理策略；不相邻问题插空处理策略；定序问题除法处理策略；分排问题直排处理的策略；“ 小集团 ” 排列问题中先整体后局部的策略；构造模型的策略. 2. 组合问题中分组问题和分配问题. 均匀不编号分组：将n 个不同元素分成不编号的m 组，假定其中r 组元素个数相等，不管是否分尽， 其分法种数为rrAA/（其中 A 为非均匀不编号分组中分法数）.如果再有K组均匀分组应再除以kkA. 例： 10 人分成三组，各组元素个数为2、4、4，其分法种数为1575/224448210ACCC.若分成六组，

15、各组人数分别为1、1、2、 2、2、2，其分法种数为44222224262819110/AACCCCCC非均匀编号分组: n 个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为mmAA例： 10 人分成三组， 各组人数分别为2、 3、 5， 去参加不同的劳动， 其安排方法为：335538210ACCC种. 若从 10 人中选 9人分成三组， 人数分别为2、 3、 4， 参加不同的劳动， 则安排方法有334538210ACCC种均匀编号分组：n 个不同元素分成m 组，其中 r 组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数为mmrrAAA/. 例： 10 人分成三组，人数分别为

16、2、4、4，参加三种不同劳动，分法种数为33224448210AACCC非均匀不编号分组：将n 个不同元素分成不编号的m 组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间顺序，不管是否分尽，其分法种数为1mnCA21mm-nCkm)m.m(m-n1-k21C例： 10 人分成三组，每组人数分别为2、3、5，其分法种数为25205538210CCC若从 10 人中选出6 人分成三组，各组人数分别为1、 2、3，其分法种数为126003729110CCC. 五、二项式定理. 1. 二项式定理：nnnrrnrnnnnnnbaCbaCbaCbaCba01100)(. 展开式具有以下特点：项数：共有1n项；系数

17、：依次为组合数;,210nnrnnnnCCCCC每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幕排列，b 的升幕排列展开. 二项展开式的通项. 学习必备欢迎下载nba)（展开式中的第1r项为：),0(1ZrnrbaCTrrnrnr. 二项式系数的性质. 在二项展开式中与首未两项“ 等距离 ” 的两项的二项式系数相等；二项展开式的中间项二项式系数最大 . I. 当 n 是偶数时，中间项是第12n项，它的二项式系数2nnC最大；II. 当 n 是奇数时，中间项为两项，即第21n项和第121n项，它们的二项式系数2121nnnnCC最大 . 系数和：1314201022nnnnnnnnnnnCC

18、CCCCCC附：一般来说babyaxn,()(为常数）在求系数最大的项或最小的项时均可直接根据性质二求解. 当11ba或时，一般采用解不等式组11111(,kkkkkkkkkkTAAAAAAAAA为或的系数或系数的绝对值）的办法来求解. 如 何 来 求ncba)(展 开 式 中 含rqpcba的 系 数 呢 ？ 其 中,Nrqp且nrqp把nncbacba)()(视为二项式， 先找出含有rC的项rrnrnCbaC)(， 另一方面在rnba)(中含有qb的项为qpqrnqqrnqrnbaCbaC，故在ncba)(中含rqpcba的项为rqpqrnrncbaCC.其系数为rrqpnpnqrnrnC

19、CCpqrnqrnqrnrnrnCC!)!( !)!()!( !. 2. 近似计算的处理方法. 当 a 的绝对值与1 相比很小且n 不大时，常用近似公式naan1)1(，因为这时展开式的后面部分nnnnnaCaCaC3322很小，可以忽略不计。类似地，有naan1)1(但使用这两个公式时应注意a 的条件，以及对计算精确度的要求.掌握科学方法，提高学习成绩不论做什么事情都应该讲究方法，科学的方法能够加速问题解决的速度，学生学习更是如此。我们在教学过程经常会遇到这样的现象，有的学生尽管学习也学习必备欢迎下载很认真刻苦，花了大量的时间，但学习效率不高，成绩并不是很理想。究其原因也许很多，学习的方法不

20、当应是关键的因素之一。科学的学习方法，往往能取得事半功倍的效果。基于这个认识，我在教学过程中很注重学习方法研究，也经常有意识地对学生进行学习方法指导，不少学生取得了良好的效果。现把其定名为“十六字学习法”。公布的目的有二： 一是希望得到行家的指教， 以便进一步完善；二是希望对想上进的求知学子有所帮助。具体内容是：一预习： “学、做、练、标”（1）学：学书本上的内容和例题，要看清和看全，甚至连书本上的注解也要看，尤其是文科后面的注释一定要看，对于知识要点要多看几遍，多想想为什么，最好能弄清楚来龙去脉，对于书上的黑体字、定理、定律和公式要动手抄写，力求能先背诵和默写，英语中的单词和短语尤其要如此。

21、（2）做：做书本上的例题，要把自己的解题过程和书本上的例题对照一下，看看差异在什么地方，要找出差距。语文和英语自己结实关键的词语和整个句子更好，自己的解释和自己造的句子要和书本上的规范句子对照，看看有没有错误，如果有，看错误的原因是什么，自己容易弄错的地方，也许就是上课要重点解决的问题。（3）练：书本上的简单题目在预习时应该完成，独立完成后要检查对错，发现自己在什么地方还没有弄懂。也可以找一套有标准答案的课外资料来练习，做好的作业也要对照答案检查，看看正误，及时了解自己预习中存在的问题。预习时做的题目选题目要典型，不要过多。本阶段的重点是通过联系来发现自己预习中存在的问题，如果自己看书能解决的

22、，应该自己再看书解决，否则要做记录，留请教老师和同学，帮助自己解决。本次做错的题目做为一级错题，打一个“?” ，可以在资料和课本上标注，等待上课时候解决，彻底解决了，就不用上“ 总结提高本 ” ，也可以解除标出的星号。（4）标：在课本上标出学习的知识要点，和自己没有弄懂的难点，以及自己不够清楚的疑问点，以便上课时候重点突破。不同类型的最好用不同颜色的笔标出，要引起自己的重视。二上课： “看、听、记、想”（1）看：看书本和老师在黑板上板书的重点内容，弄清出那些是自己以前没有弄懂的和不清楚的内容，如果是课本上的可以在上面标出，如果是老师补充的就应该认真记录，如果需要背诵的内容一定要准确无误。（2）

23、听：认真听老师的讲解，教师的讲解是自己学习无法替代的，对于同学的发言也要认真地听，这其中也有别人的长处和智慧的火花。认真听取老师的讲解和同学的发言，及时筛选对自己的有用的信息，必要的要做记录。（3）记：课堂笔记是学习的基础， 也是将来复习的最好资料， 这里有老师的汗水，也有自己的智慧，自己不理解的和老师反复强调的重点内容一定要认真记录，尤其是教师补充的课外内容更不能放过。只要自己还没有掌握的，课本上也没有现成内容的就应该记录。自己熟悉的，课本上有现成内容的就不要记录，重做深刻了理解和灵活运用。（4）想：到下课的时候，一定要想一想，老师今天讲课的重点内容是什么，自己还有没有不懂的地方，如果有就应

24、该及时请教老师和同学，把自己要学习的内容全部搞懂，不留任何遗憾。身边的同学是最好的老师，取长不短，是学习的科学方法。三课后： “练、测、补、结”学习必备欢迎下载（1）练：认真完成老师布置的作业，教师提供的作业应该是最好的资料，自己购买的资料如果和课本、老师布置的作业、以及做过的资料有重复的，最好不做，免得浪费时间。做过的题目一定要对照标准答案，找出错误的原因，自己不能顺利正确的完成的题目才是自己巩固练习的重点，自己很容易正确完成的题目看看就可以了，重复的也可以不看。重点攻克的应该是自己历次做错的题目，这些才反 复 学 习 的 重 点 。 此 次 做 错 的 题 目 可 以 做 为 第 二级 错

25、 题 ， 打 上 两 个“?” ，在请教老师和同学后，如果能弄懂了，可以不上总结提高本，但资料上的星号要保留，留以后复习时候，看看有没有忘记。（2）测：选择适合自己水平的同步测试试卷，在学习完相应的内容后，自己找时间限时完成，要尽量少用时间，提高自己的答卷速度，一般以规定的时间一半为好。完成后要对照标准答案进行认真的自我的批改，找出失误的原因，采取响应的解决办法，需要看书的还要认真看书，需要死记的内容就应该准确的记忆，理解不透的要深刻理解，题目太难的做不出来的，可以在标准答案的提示下，反复做做，直到彻底弄懂为止，试卷出现的任何失误，都应该搞清楚来龙去脉。次此做错的题目应该是第三级别，应打上三个

26、“?”，应该上 “总结提高本 ” ，并要在本子上及时订正，有知识缺陷的，应写出相应的知识，文科尤其要注意做好这项工作，理科应该注重规律总结。反复出现错误的知识和题目，级别应该更高，补救发工作应该更全面。（3）补：针对自己检查和学校作业、检测中出现的失误，属于自己不懂和不会造成的要集中到一个本子上，并认真订正，还要写出失误的原因，提示自己在以后的学习中不要出现类似的错误。善于发现自己的不错，并能够及时弥补的人，才会不断进步，最后取得成功。（4）结：没有总结就没有提高，对于自己收集好的错误题目，光订正了还不够，还要分析原因，进行总结和提高。对于在错题中暴露出来的属于知识不清的，要分类进行总结，内容

27、不多的就可以写在相应的题目后面，如果内容太多，书本上有的就可以标出页码，课外资料上的，自己没有的可以复印。要善于总结规律性的东西，只要掌握规律，就可以举一反三。四复习：看、背、默，理（1）看：看课本上的知识要点、自己的课堂笔记和自己的总结提高本，还可以看有标准解答的题解，最好是看带有规律性的题解资料。级别越多的内容看的次数就应该越多，越应该是掌握的重点。当然基础知识也不能丢掉不管，如果在基础出现知识性错误，那就更不应该了，考试前最好能快速浏览基础知识，在掌握基础的前提下，在突出重点。文科中的背诵和默写错误级别，也可以看写错次数的多少来确定级别，这样也才能突出复习重点。（2）背：对于课本上要求背诵的知识应该会背诵。（3）默：看看要求背诵的内容能否准确无误的默写出来，死的内容应该一字不差的掌握，理解性的记忆内容要掌握要点。（4）理：如果能把要记忆的内容，整理出来，采用条目和图表形式记忆的效果。相信掌握了科学的方法，加上刻苦努力的精神，一定能打造出学习高手。