首届中国大学生数学竞赛-非数学类答案.doc
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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date首届中国大学生数学竞赛-非数学类答案一、填空题(每小题5分,共20分)首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷(非数学类,2009)一、填空题(每小题5分,共20分)1计算_,其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域.解 令,则, (*)令,则,2设是连续函数,且满足, 则_.解 令,则,,解得。因此3曲面平行平面的切平面方程是_.解 因平面的法向量为,而曲面在处的法向量为,
2、故与平行,因此,由,知,即,又,于是曲面在处的切平面方程是,即曲面平行平面的切平面方程是。4设函数由方程确定,其中具有二阶导数,且,则_.解法1 方程的两边对求导,得即因,故,即,因此解法2 方程取对数,得 (1)方程(1)的两边对求导,得 (2)即 (3)方程(2)的两边对求导,得 (4)将(3)代入(4),得将左边的第一项移到右边,得因此二、(5分)求极限,其中是给定的正整数.解法1 因故因此解法2 因故三、(15分)设函数连续,且,为常数,求并讨论在处的连续性.解 由和函数连续知,因,故,因此,当时,故当时,这表明在处连续.四、(15分)已知平面区域,为的正向边界,试证:(1);(2).
3、证 因被积函数的偏导数连续在上连续,故由格林公式知(1)而关于和是对称的,即知因此(2)因故由知即五、(10分)已知,是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程.解 设,是二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,则和都是二阶常系数线性齐次微分方程的解,因此的特征多项式是,而的特征多项式是因此二阶常系数线性齐次微分方程为,由和,知,二阶常系数线性非齐次微分方程为六、(10分)设抛物线过原点.当时,又已知该抛物线与轴及直线所围图形的面积为.试确定,使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.解 因抛物线过原点,故,于是即而此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积为即令,得即因此,.七、(15分)已知满足, 且, 求函数项级数之和.解 ,即由一阶线性非齐次微分方程公式知即因此由知,于是下面求级数的和:令则即由一阶线性非齐次微分方程公式知令,得,因此级数的和八、(10分)求时, 与等价的无穷大量.解 令,则因当,时,故在上严格单调减。因此即又,所以,当时, 与等价的无穷大量是。-
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