高二数学教案221《双曲线及其标准方程》(新人教A版选修11).pdf

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1、22.1 双曲线及其标准方程( 教师用书独具) 三维目标1. 知识与技能(1) 理解双曲线的定义并能独立推导标准方程(2) 会利用双曲线的定义标准方程解决简单的问题2过程与方法通过定义及标准方程的挖掘与探究，使学生进一步体验类比、数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力3情感、态度与价值观通过教师指导下的学生交流探索活动，激发学生的学习兴趣，培养学生用联系的观点认识问题重点、难点重点：理解和掌握双曲线的定义及其标准方程难点：双曲线标准方程的推导由于双曲线的定义和标准方程与椭圆很类似，学生已经有了一些学习椭圆的经验，所以本节课用“启发探究”式的教学方式，重点突出以下两点：以类比思维作为

2、教学的主线；以自主探究作为学生的学习方式，并结合多媒体辅助教学，进而实现重点、难点的突破( 教师用书独具) 教学建议在教法上，宜采用探究性教学法和启发式教学法让学生根据教学目标的要求和题目中的已知条件，自觉主动地创造性地去分析问题、讨论问题、解决问题以启发、引导为主，采用设疑的形式，逐步让学生进行探究性的学习通过创设情境，充分调动学生已有的学习经验，让学生经历“观察猜想证明应用”的过程，发现新的知识，把学生的潜意识状态的好奇心变为自觉求知的创新意识又通过实际操作，使刚产生的数学知识得到完善，提高学生动手动脑的能力和增强研究探索的综合素质教学流程给出拉链试验，引出问题：移动笔尖画出的曲线满足什么

3、条件？?引导学生结合试验分析，得出曲线满足的条件，给出双曲线定义并探究特殊情形.?通过引导学生类比椭圆标准方程得出的方法，推导双曲线的标准方程.?通过例 1及其变式训练，使学生理解双曲线的标准方程，对比与椭圆方程的异同.?通过例 2及其变式训练，使学生掌握用待定系数法求双曲线的标准方程.?对比椭圆与双曲线定义的异同，完成例3及其变式训练，从而掌握双曲线定义的应用问题.?归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.?完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.( 对应学生用书第29 页 ) 课标解读1. 了解双曲线的定义及焦距的概念( 重点 ) 2了解双曲线的几何图形、标准方程( 难点 )

4、 双曲线的定义【问题导思】取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1、F2处，把笔尖放于点M，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？【提示】如图， 曲线上的点满足条件：|MF1| |MF2| 常数； 如果改变一下位置，使 |MF2|MF1| 常数，可得到另一条曲线把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数( 小于 |F1F2|) 的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距【问题导思】双曲线定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？【提示】双曲线的一

5、支. 双曲线的标准方程【问题导思】1能否用推导椭圆标准方程的方法推出双曲线的方程？怎样推导？【提示】能 (1) 建系：以直线F1F2为x轴，F1F2的中点为原点建立平面直角坐标系(2) 设点：设M(x，y) 是双曲线上任一点，且双曲线的焦点坐标为F1( c,0) ，F2(c,0) (3) 列式：由 |MF1| |MF2| 2a，可得xc2y2xc2y22a. (4) 化简：移项，平方后可得(c2a2)x2a2y2a2(c2a2) 令c2a2b2，得双曲线的标准方程为x2a2y2b21(a0，b0) 2双曲线的标准形式有两种，如何区别焦点所在的坐标轴？【提示】双曲线标准方程中x2与y2的系数的符

6、号决定了焦点所在的坐标轴：当x2系数为正时，焦点在x轴上；当y2的系数为正时，焦点在y轴上，而与分母的大小无关双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0) 焦点F1( c,0) ，F2(c,0)F1(0 ，c) ，F2(0 ，c) 焦距|F1F2| 2c，c2a2b2( 对应学生用书第29 页 ) 双曲线标准方程的理解(2013泰安高二检测)方程x24ky2k 11 表示的曲线为C，给出下列四个命题：曲线C不可能是圆；若 1k4，则曲线C为椭圆；若曲线C为双曲线，则k1 或k4；若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1k52. 其

7、中正确命题的序号是_【思路探究】方程x24ky2k11 表示什么曲线？此时k的取值范围是多少？【自主解答】当 4kk10 时，即k52时，曲线C是圆，命题是假命题对于，当1k4 且k52时，曲线C是椭圆，则是假命题根据双曲线和椭圆定义及其标准方程，是真命题【答案】1双曲线焦点在x轴上 ? 标准方程中x2项的系数为正；双曲线焦点在y轴上 ? 标准方程中y2项的系数为正2在曲线方程x2my2n 1 中，若mn 0，则曲线表示一个圆；若m0，n0，且mn，则曲线表示一个椭圆；若mn0，则曲线表示双曲线若kR，则“k3”是“方程x2k3y2k31 表示双曲线”的( ) A充分不必要条件B必要不充分条件

8、C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】方程x2k3y2k31 表示双曲线的充要条件是(k 3)(k3) 0，即k 3 或k3；当k3 时，一定有 (k3)(k3) 0，但反之不成立k3 是方程表示双曲线的充分不必要条件【答案】A 求双曲线的标准方程已知双曲线上两点P1、P2的坐标分别为(3 ，42)、(94，5) ，求双曲线的标准方程【思路探究】(1) 当双曲线的焦点位置不确定时，应怎样求双曲线的方程？(2) 已知双曲线上两点的坐标，可将双曲线的方程设为怎样的形式，以便于计算？【自主解答】法一若双曲线的焦点在x轴上，设其方程为x2a2y2b21(a0，b0) 根据题意得9a232b21，81

9、16a225b21，该方程组无解；若双曲线的焦点在y轴上，设其方程为y2a2x2b21(a0，b0) 根据题意得32a29b21，25a28116b21，解得a2 16，b29. 故所求双曲线的标准方程为y216x291. 法二设所求双曲线的方程为mx2ny21(mn0) 根据题意得9m32n1，8116m25n1，解得m19，n116. 故所求双曲线的标准方程为y216x291. 1求双曲线标准方程一般有两种方法：一是定义法，二是待定系数法2用待定系数法求双曲线标准方程的步骤：(1) 定位：确定双曲线的焦点位置，如果题目没有建立坐标系，一般把焦点放在x轴上；(2) 设方程：根据焦点的位置设相

10、应的双曲线标准方程( 当焦点在两个坐标轴上都有可能时，一般设为Ax2By21(AB0) ；(3) 定值：根据题目的条件确定相关的系数的方程，解出系数，代入所设方程求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)a5，c3，焦点在y轴上；(2) 双曲线过P1( 2，325) 和P2(437，4)两点【解】(1) 由a5，c3 得b2c2a24. 所求双曲线的标准方程为y25x241. (2) 因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线方程为mx2ny21(mn0) ，因为P1、P2在双曲线上，所以有4m45n41，1697m 16n1，解得m116，n19.所以所求双曲线的方程为x216y291，即y29x

11、2161. 双曲线定义的应用如图 221 所示，已知双曲线x24y291，F1，F2是其两个焦点，点M在双曲线上图 2 21 (1) 若F1MF290，求F1MF2的面积；(2) 若F1MF2120，F1MF2的面积是多少？若F1MF260，F1MF2的面积又是多少？【思路探究】(1) 求三角形的面积该联想到哪些方法？(2) 如何运用双曲线的定义解决问题？【自主解答】(1) 由双曲线方程知，a2，b3，c13，设 |MF1| r1，|MF2| r2(r1r2) 由双曲线定义知，有r1r22a4，两边平方得r21r222r1r216，即|F1F2|2 4SF1MF216，也即 52164SF1M

12、F2，求得SF1MF29. (2) 若F1MF2120，在MF1F2中，由余弦定理得，|F1F2|2r21r222r1r2cos 120 ，|F1F2|2(r1r2)23r1r2(2c)2，r1r212，求得SF1MF212r1r2sin 120 33. 同理可求得若F1MF260，SF1MF293. 双曲线的定义是用双曲线上任意一点到两焦点的距离来描述的定义中|PF1| |PF2| 2a|F1F2| ，包含 |PF1| |PF2| 2a和|PF1| |PF2| 2a，即要看到点离定点的距离的“远”与“近”涉及双曲线上点到焦点的距离问题，或符合双曲线定义的轨迹问题可用双曲线的定义求解常见题目类

13、型为：(1) 双曲线的焦点三角形问题；(2) 判断点的轨迹或求轨迹方程已知圆C1：(x3)2y21 和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程【解】如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，根据两圆外切的条件，得|MC1| |AC1| |MA| ，|MC2| |BC2| |MB|. |MA| |MB| ，|MC1| |AC1| |MC2| |BC2| ，|MC2| |MC1| |BC2| |AC1| 312. 这表明动点M与两定点C2，C1的距离的差是常数2. 根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支，则 2a2，a1，c3，b2c2a

14、28. 因此所求动点M的轨迹方程为x2y281(x0)( 对应学生用书第31 页 ) 记不清a、b、c的关系致误双曲线 8kx2ky28 的一个焦点为(0,3) ，则k( ) A1 B 1 C.79D79【错解】将双曲线化为标准方程为x21ky28k1，焦点在y轴上，且c3，a28k，b21k，8k(1k) 7k 32，k79. 【答案】D 【错因分析】双曲线中a、b、c的关系不是a2b2c2. 【防范措施】要区别椭圆与双曲线中a、b、c的关系在椭圆中a2b2c2，在双曲线中a2b2c2，二者一定不要混淆【正解】将双曲线化为标准方程为x21ky28k1，焦点在y轴上，且c3，a28k，b21k

15、. 8k1k9，k 1. 【答案】B 1理解双曲线的定义应特别注意以下两点：(1) 距离的差要加绝对值，否则表示双曲线的一支(2) 距离差的绝对值必须小于焦距，否则不是双曲线2求双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两个过程“定位”指确定焦点在哪个坐标轴上，“定量”是指确定a2，b2的大小 . ( 对应学生用书第31 页 ) 1到两定点F1( 3,0) 、F2(3,0) 的距离之差的绝对值等于6 的点M的轨迹是 ( ) A椭圆B线段C双曲线D两条射线【解析】由题意 |F1F2| |MF1| |MF2|6. 点M的轨迹是两条射线【答案】D 2双曲线x225ky29k1 的焦距为 ( ) A16

16、B8 C4 D 234 【解析】25k9k且 25k0,9 k 0，即a225k，b2k9，c216，c4. 焦距为 2c8. 【答案】B 3双曲线方程为x22y2 1，则它的右焦点坐标为( ) A.22，0 B.52，0C.62，0 D.()3，0【解析】将双曲线方程化为标准形式x2y2121，所以a2 1，b212，ca2b262，右焦点坐标为62，0 . 【答案】C 4双曲线的一个焦点为(0 ， 6) ，且经过点 ( 5,6) ，求此双曲线的标准方程【解】由题意知c6，且焦点在y轴上，另一焦点为(0,6) ，所以由双曲线的定义有：2a|522522| 8，a4，b2624220，双曲线的

17、标准方程为y216x2201. 一、选择题1(2013台州高二检测) 设动点P到A(5,0) 的距离与它到B(5,0) 距离的差等于6，则P点的轨迹方程是( ) A.x29y216 1 B.y29x216 1 C.x29y216 1(x 3) D.x29y216 1(x3)【解析】由题意动点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支，且a3，b4，故应选 D. 【答案】D 2椭圆x24y2a21 与双曲线x2ay22 1 有相同的焦点，则a的值是 ( ) A.12B1 或 2 C1 或12D1 【解析】由于a0,0 a24 且 4a2a2，a1. 【答案】D 3(2013泰安高二检测) 已知双曲线

18、方程为x2a2y2b2 1，点A、B在双曲线的右支上，线段AB经过右焦点F2，|AB| m，F1为左焦点，则ABF1的周长为 ( ) A2a2mB4a2mCamD2a4m【解析】根据双曲线的定义：|AF1| |AF2| 2a，|BF1| |BF2| 2a，而三角形的周长为|AF1| |BF1| |AB| (|AF1| |AF2|) (|BF1| |BF2|) 2|AB| 4a2m. 【答案】B 4已知平面内有一线段AB，其长度为4，动点P满足 |PA| |PB| 3，O为AB中点，则|PO| 的最小值是 ( ) A1 B.32C2 D4 【解析】|PA| |PB| 3 |AB| 4，点P在以A

19、、B为焦点的双曲线的一支上，其中 2a3,2c4，|PO|mina32. 【答案】B 5(2013临沂高二检测)已知双曲线的两个焦点F1( 10，0) ，F2(10，0) ，M是此双曲线上的一点，且MF1MF20，|MF1| |MF2| 2，则该双曲线的方程是( ) A.x29y21 Bx2y291 C.x23y271 D.x27y231 【解析】由双曲线定义 |MF1| |MF2| 2a，两边平方得：|MF1|2|MF2|22|MF1|MF2|4a2， 因为MF1MF20， 故MF1F2为直角三角形， 有|MF1|2|MF2|2(2c)240， 而|MF1| |MF2|2， 4022 4a2

20、，a29，b21，所以双曲线的方程为x29y21. 【答案】A 二、填空题6设m为常数，若点F(0,5)是双曲线y2mx291 的一个焦点，则m_. 【解析】由题意c5，且m925，m16. 【答案】16 7 (2013莱芜高二检测) 若方程x2k2y25k1表示双曲线， 则k的取值范围是 _【解析】方程表示双曲线需满足(5 k)(k2) 0，解得： 2k5，即k的取值范围为 ( 2,5) 【答案】( 2,5) 8 已知F是双曲线x24y2121 的左焦点，A(1,4) ，P是双曲线右支上的动点，则 |PF| |PA|的最小值为 _【解析】设右焦点为F，由题意知F(4,0) ， 根据双曲线的定

21、义，|PF| |PF| 4，|PF| |PA| 4 |PF| |PA| ，要使 |PF| |PA| 最小，只需 |PF| |PA| 最小即可，即需满足P、F、A三点共线，最小值为4|FA| 4916 9. 【答案】9 三、解答题9求与椭圆x29y241 有相同焦点，并且经过点(2 ，3) 的双曲线的标准方程【解】由x29y241 知焦点F1( 5， 0) ，F2(5，0) 依题意，设双曲线方程为x2a2y2b21(a 0，b0) a2b25，又点 (2 ，3) 在双曲线x2a2y2b21 上，4a23b21. 联立得a22，b23，因此所求双曲线的方程为x22y231. 10(2013杭州高二

22、检测) 已知A( 7,0) ，B(7,0) ，C(2 ， 12)，椭圆过A、B两点且以C为其一个焦点，求椭圆另一个焦点的轨迹方程【解】设椭圆的另一个焦点为P(x，y)，则由题意知 |AC| |AP| |BC| |BP| ，|BP| |AP| |AC| |BC| 2|AB| 14，所以点P的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为2 的双曲线的左支，且c7，a1，b2c2a248. 所求的轨迹方程为x2y2481. 11A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B的正东，相距6 km，C在B的北偏西30方向上，相距4 km，P为敌炮阵地，某时刻A发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4 秒后，B

23、、C才同时发现这一信号( 该信号的传播速度为每秒1 km) A若炮击P地，求炮击的方位角【解】以AB的中点为原点，BA所在的直线为x轴建立直角坐标系，则A(3,0) ，B( 3,0) ，C( 5,23) |PB| |PA| 4，点P在以A、B为焦点的双曲线的右支上，该双曲线右支的方程是x24y251(x2)又 |PB| |PC| ，点P在线段BC的垂直平分线上，该直线的方程为x3y70. 将代入得11x256x2560，得x8 或x3211( 舍) 于是可得P(8,53) 设 为PA所在直线的倾斜角，又kPA tan 3， 60，故点P在点A的北偏东30方向上，即A炮击P地的方位角是北偏东30

24、.( 教师用书独具) 已知B( 5,0) ，C(5,0) 是ABC的两个顶点，且sin B sin C35sin A，求顶点A的轨迹方程【解】sin Bsin C35sin A，由正弦定理得|AC| |AB| 35|BC| 3510 6. 又 |AC| |AB|,6 |BC| ，点A的轨迹是以B，C为焦点的双曲线的左支( 且除去左顶点 ) ，由 2a6,2c10，得a3，c5，b2c2a216，顶点A的轨迹方程为x29y2161(x 3) 已知定点A(3,0) 和定圆C：(x3)2y216，动圆和圆C相外切，并且过点A，求动圆圆心P的轨迹方程【解】设动圆半径为r，圆心为P(x，y) ，定圆C的圆心为C( 3,0) ，半径为4，由平面几何知识有|PC| r4，|PA| r，|PC| |PA| 4，动点P的轨迹为双曲线右支c3，a2，b2c2a25，圆心P的轨迹方程为x24y25 1(x0)