高中函数解题技巧方法总结(高考).pdf

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1、学习必备欢迎下载高中数学函数知识点总结 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？例：函数的定义域是yxxx432lg（答：，）022334函数定义域求法：分式中的分母不为零；偶次方根下的数（或式）大于或等于零；指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。正切函数xytankkxRx,2,且余切函数xycotkkxRx,且反三角函数的定义域函数 yarcsinx的定义域是 1, 1 ，值域是，函数 yarccosx 的定义域是 1, 1 ，值域是 0, ， 函数 yarctgx的定义域是 R ， 值域是. ， 函数 yarcctgx的定义域是 R ，值域是 (0, ) .

2、 当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。10. 如何求复合函数的定义域？复合函数定义域的求法： 已知)(xfy的定义域为nm,，求)(xgfy的定义域，可由nxgm)(解出 x 的范围，即为)(xgfy的定义域。11、函数值域的求法1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 求函数 y=x1的值域2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例、求函数 y=2x-2x+5，x-1 ，2 的值域。3、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他

3、方法进行化简，不必拘泥在判别式上面下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂学习必备欢迎下载.112.22222222ba y型：直接用不等式性质k+xbxb. y型, 先化简，再用均值不等式xmxnx1例： y1+xx+xxmxnc y型 通常用判别式xmxnxmxnd. y型xn法一：用判别式法二：用换元法，把分母替换掉xx1 （x+1） （x+1） +1 1例： y（x+1）1211x1x1x1 13. 反函数存在的条件是什么？求反函数的步骤掌握了吗？（反解 x；互换 x、y；注明定义域）如：求函数的反函数f xxxxx( )1002（答：）fxxxxx1110( )14. 反函数

4、的性质有哪些？反函数性质：1、反函数的定义域是原函数的值域（可扩展为反函数中的x 对应原函数中的y）2、反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y 对应原函数中的 x）3、反函数的图像和原函数关于直线=x 对称（难怪点（ x,y ）和点（ y，x）关于直线 y=x 对称互为反函数的图象关于直线yx 对称；保存了原来函数的单调性、奇函数性；设的定义域为，值域为，则yf(x)ACaAbCf(a) = bf1( )baff afbaf fbf ab111( )( )( )( )，15 . 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）判断函数单调性的方法有三种：(1) 定义法：根据定义，

5、设任意得x1,x2，找出 f(x1),f(x2)之间的大小关系可以变形为求1212()()f xf xxx的正负号或者12()()f xf x与 1 的关系(2) 参照图象：若函数 f(x) 的图象关于点 (a， b)对称，函数 f(x) 在关于点 (a， 0)的对称区间具有相同的单调性；（特例：奇函数）若函数 f(x) 的图象关于直线xa 对称，则函数 f(x) 在关于点 (a，0)的对称区间里具有相反的单调性。 （特例：偶函数）学习必备欢迎下载(3) 利用单调函数的性质：函数 f(x) 与 f(x) c(c 是常数 )是同向变化的函数 f(x) 与 cf(x)(c是常数 ) ，当 c0 时

6、，它们是同向变化的；当c0 时，它们是反向变化的。如果函数 f1(x) ，f2(x) 同向变化，则函数f1(x) f2(x) 和它们同向变化；（函数相加）如果正值函数 f1(x) ，f2(x) 同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2) 与f2(x) 同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘）函数 f(x) 与1( )fx在 f(x) 的同号区间里反向变化。若函数 u(x) ，x ， 与函数 yF(u) ，u ( ) ，( ) 或 u ( ), () 同向变化，则在 ， 上复合函数 yF (x) 是递增的；若函数u(x),x， 与函数 yF

7、(u) ，u ( ) ，( ) 或 u ( ) ，( ) 反向变化，则在 ， 上复合函数 yF(x) 是递减的。 （同增异减）若函数 yf(x) 是严格单调的，则其反函数xf1(y) 也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。如：求的单调区间yxxlog1222（设，由则uxxux22002且，如图：log12211uuxu O 1 2 x 当，时，又，xuuy(log0112当，时，又，xuuy)log1212）17. 函数 f(x) 具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（f(x) 定义域关于原点对称）若总成立为奇函数函数图象关于原点对称fxf xf x()( )( )若总成立为偶函数函数图

8、象关于轴对称fxf xf xy()( )( )判断函数奇偶性的方法一、定义域法f(g) g(x) fg(x) f(x)+g(x) f(x)*g(x) 都是正数增增增增增增减减/ / 减增减/ / 减减增减减学习必备欢迎下载一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件. 若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数. 二、奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算)( xf，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性. 这种方法可以做如下变形f(x)+f(-x) =0 奇函数f(x)-f(-x)=0 偶函数f(x)1 偶函数f(-x)f(x)

9、1 奇函数f(-x)三、复合函数奇偶性18. 你熟悉周期函数的定义吗？（若存在实数（），在定义域内总有，则为周期TTf xTf xf x0( )( )函数， T是一个周期。）如：若，则f xaf x( )（答：是周期函数，为的一个周期）f xTaf x( )( )2我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来，这时说这个函数周期 2t. 推导：()()0()(2 )()(2 )0fxfxtfxfxtfxtfxt，同时可能也会遇到这种样子： f(x)=f(2a-x),或者说 f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思： 函数f(x) 关于

10、直线对称，对称轴可以由括号内的2 个数字相加再除以2 得到。比如， f(x)=f(2a-x),或者说 f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。如：f(g) g(x) fg(x) f(x)+g(x) f(x)*g(x) 奇奇奇奇偶奇偶偶非 奇 非偶奇偶奇偶非 奇 非偶奇偶偶偶偶偶学习必备欢迎下载( )()()()()( )(2)(2)(2)( )(2)2,222 ,( )(22 )( )(22 ),( )2|(,f xxaxbf axf axf bxf bxf xfaxfaxfbxf xfbxtaxbxtba f tf tbaf xf xbaf xbaa b又如：若图象有两条对

11、称轴，即，令则即所以 函数以为周期 因不知道的大小关系为保守起见 我加了一个绝对值 19. 你掌握常用的图象变换了吗？f xfxy( )()与的图象关于轴 对称联想点（ x,y ）,(-x,y) f xf xx( )( )与的图象关于轴 对称联想点（ x,y ）,(x,-y) f xfx( )()与的图象关于 原点 对称联想点（ x,y ）,(-x,-y) f xfxyx( )( )与的图象关于 直线对称1联想点（ x,y ）,(y,x) f xfaxxa( )()与的图象关于 直线对称2联想点（ x,y ）,(2a-x,y) f xfaxa( )()()与的图象关于 点，对称20联想点（ x

12、,y ）,(2a-x,0) 将图象左移个单位右移个单位yf xa aa ayf xayf xa( )()()()()00上移个单位下移个单位b bb byf xabyf xab()()()()00（这是书上的方法，虽然我从来不用，但可能大家接触最多，我还是写出来吧。对于这种题目，其实根本不用这么麻烦。 你要判断函数 y-b=f(x+a) 怎么由 y=f(x) 得到，可以直接令 y-b=0,x+a=0, 画出点的坐标。 看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。）注意如下“翻折”变换：( )|( ) |x( )(|)yf xf xf xfx把 轴下方的图像翻到上面把 轴右方的图像翻到

13、上面如： f xx( )log21作出及的图象yxyxloglog2211y y=log2x O 1 x 19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？学习必备欢迎下载(k0) y=b O (a,b)O x x=a （ ）一次函数：10ykxb k(k 为斜率， b 为直线与 y 轴的交点 ) （）反比例函数：推广为是中心，200ykxkybkxakO ab()的双曲线。（ ）二次函数图象为抛物线30244222yaxbxc aa xbaacba顶点坐标为，对称轴baacbaxba24422开口方向：，向上，函数ayacba0442minayacba0442，向下，max1212122,|bxa

14、bcxxxxxxaaa根的关系：2212121212( )()( )()(mn( )()()(,2( )()()(, )(, )f xaxbxcf xa xmnf xa xxxxxxf xa xxxxhx hx h二次函数的几种表达形式：一般式顶点式，（， ）为顶点是方程的个根）函数经过点（应用：“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程axbxcxxyaxbxcx212200，时，两根、为二次函数的图象与轴的两个交点，也是二次不等式解集的端点值。axbxc200()求闭区间 m ，n上的最值。学习必备欢迎下载2max(),min( )2max( ),min()2224min

15、,maxmax(),( )4m,n0bnff mff nabmff nff mabnmacbafff mf naa区间在对称轴左边（）区间在对称轴右边（）区间在对称轴边 （）也可以比较和对称轴的关系， 距离越远，值越大( 只讨论的情况）求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。一元二次方程根的分布问题。如：二次方程的两根都大于axbxckbakf k20020( )y (a0) O k x1x2x 一根大于，一根小于kkf k( )00mn22()0( )0mn()( )0bmnaf mf nf m f n在区间（， ）内有 根在区间（， ）内有 1根（ ）指数函数：，401yaaax（ ）对

16、数函数，501yx aaalog由图象记性质！（注意底数的限定！）y y=ax(a1) (0a1) 1 O 1 x (0a0 且 a1）-f （xy）f （x）f （y） ；f （yx） f （x）f （y）5.三角函数型的抽象函数f （x）t gx-f （xy）)()(1)()(yfxfyfxff （x）cot x-f （xy）)()(1)()(yfxfyfxf例 1 已知函数 f （x）对任意实数 x、y 均有 f （xy）f （x）f （y） ，且当 x0时，f ( x)0，f (1) 2 求 f ( x)在区间 2,1 上的值域 . 分析：先证明函数 f （x）在 R上是增函数（注意到

17、f （x2）f （x2x1）x1 f （x2x1）f（x1） ） ；再根据区间求其值域 . 例 2 已知函数 f（x）对任意实数 x、y 均有 f （xy）2f（x）f（y） ，且当 x0 时，f ( x)2，f (3) 5 ，求不等式f （a22a2）0,xN；f（ab） f （a）f （b） ，a、bN；f （2）4. 同时成立？若存在，求出f （x）的解析式，若不存在，说明理由. 分析：先猜出 f （x）2x；再用数学归纳法证明 . 例 6 设 f （x）是定义在（ 0，）上的单调增函数，满足f （xy）f （x）f （y） ，f （3）1，求：（1）f （1） ；（2）若 f （x）f

18、 （x8）2，求 x 的取值范围 . 分析： （1）利用 313；（2）利用函数的单调性和已知关系式. 例 7 设函数 y f （x）的反函数是 yg（x）. 如果 f （ab）f （a）f （b） ，那么 g（ab）g（a） g（b）是否正确，试说明理由. 分析：设 f （a）m ，f （b）n，则 g（m ）a，g（n）b，进而 m nf （a）f （b） f （ab）f g（m ）g（n） . 例 8 已知函数 f （x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：x1、x2是定义域中的数时，有f （x1x2）)()(1)()(1221xfxfxfxf；f （a） 1（a0，a 是定义域中

19、的一个数）；当 0 x2a 时，f （x）0. 试问：（1）f （x）的奇偶性如何？说明理由；（2）在（0，4a）上， f （x）的单调性如何？说明理由. 分析： （1）利用 f （x1x2） f （x1x2） ，判定 f （x）是奇函数；（3）先证明 f （x）在（ 0，2a）上是增函数，再证明其在（2a，4a）上也是增函数 . 对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意. 有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数. 因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题. 例 9 已知函数 f （x） （x0）满足 f

20、 （xy）f （x）f （y） ，（1）求证：f （1）f （1）0；（2）求证：f （x）为偶函数；（3）若 f （x）在（ 0，）上是增函数，解不等式f （x）f （x21）0. 分析：函数模型为： f （x）lo ga| x| （a0）（1）先令 xy1，再令 xy 1；（2）令 y 1；（3）由 f （x）为偶函数，则 f （x）f （| x| ）. 例 10 已知函数 f （x）对一切实数 x、y 满足 f （0）0，f （xy）f （x） f （y） ，且当 x0时，f （x）1，求证：（1）当 x0 时，0f （x）1；（2）f （x）在 xR上是减函数 . 分析： （1）先令

21、xy0 得 f （0）1，再令 yx；学习必备欢迎下载（3）受指数函数单调性的启发：由f（xy）f（x）f（y）可得f（xy）)()(yfxf，进而由 x1x2，有)()(21xfxff （x1x2）1. 练习题：1. 已知： f （xy）f （x）f （y）对任意实数 x、y 都成立，则（）（A）f （0）0 （B）f （0）1 （C）f （0）0 或 1 （D ）以上都不对2. 若对任意实数 x、y 总有 f （xy）f （x）f （y） ，则下列各式中错误的是（）（A）f （1）0 （B）f （x1） f （x）（C）f （yx） f （x）f （y）（D）f （xn）nf （x） （n

22、N ）3. 已知函数 f（x）对一切实数 x、y 满足：f（0）0，f （xy）f （x）f（y） ，且当 x0 时，f（x）1，则当 x0 时，f （x）的取值范围是（）（A） （1，）（B） （， 1）（C） （0，1）（D ） （1，）4. 函数 f （x）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x1、x2都有f （x1x2）)()(1)()(2121xfxfxfxf，则 f （x）为（）（A）奇函数非偶函数（B）偶函数非奇函数（C）既是奇函数又是偶函数（D）非奇非偶函数5. 已知不恒为零的函数f （x）对任意实数 x、y 满足 f （xy）f （xy）2 f（x）f（y） ，则函数 f （x）是（）（A）奇函数非偶函数（B）偶函数非奇函数（C）既是奇函数又是偶函数（D）非奇非偶函数参考答案：1A 2B 3 C 4A 5B