浙江省宁波地区中考数学复习专题讲座四探究型问题.pdf

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1、学习必备欢迎下载20XX年中考数学复习专题讲座四：探究型问题一、中考专题诠释探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断， 补充并加以证明的一类问题 根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类二、解题策略与解法精讲由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强， 灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系， 选择合适的解题途径完成最后的解答由于题型新颖、综合性强、 结构独特等，此类问题的

2、一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律2反演推理法（反证法），即假设结论成立, 根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致3分类讨论法当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果4类比猜想法即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时， 应更注重数学思想方法的综合运用三、中考

3、考点精讲考点一：动态探索型：此类问题结论明确，而需探究发现使结论成立的条件例 1 （2012?自贡）如图所示，在菱形ABCD中， AB=4 ，BAD=120 ， AEF 为正三角形，点E、F 分别在菱形的边BC 、CD上滑动，且E、 F不与 B、C 、D重合（1）证明不论E、F在 BC 、CD上如何滑动，总有BE=CF ；（2）当点 E 、F在 BC 、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值学习必备欢迎下载考点 ：菱形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。分析：（1）先求证 AB=AC

4、，进而求证 ABC 、ACD 为等边三角形，得 4=60，AC=AB进而求证 ABE ACF ，即可求得BE=CF ；（2）根据 ABE ACF 可得 SABE=SACF，故根据S四边形 AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC即可解题；当正三角形AEF的边 AE与 BC垂直时，边AE最短 AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据SCEF=S四边形 AECFSAEF，则 CEF的面积就会最大解答：（1）证明：连接AC ，如下图所示，四边形ABCD 为菱形， BAD=120 ，1+EAC=60 ， 3+EAC=60 ，1=3，BAD

5、=120 ，ABC=60 ，ABC和ACD为等边三角形，4=60， AC=AB ，在 ABE和ACF中，ABE ACF （ ASA ） BE=CF ；（2）解：四边形AECF的面积不变， CEF 的面积发生变化理由：由（ 1）得 ABE ACF ，则 SABE=SACF，学习必备欢迎下载故 S四边形 AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC，是定值，作 AH BC于 H点，则 BH=2，S四边形 AECF=SABC= BC?AH= BC?=4，由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边 AE与 BC垂直时，边AE最短故AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角

6、形AEF的面积会最小，又 SCEF=S四边形 AECF SAEF，则此时 CEF 的面积就会最大SCEF=S四边形 AECFSAEF=42=点评：本题考查了菱形的性质、全等三角形判定与性质及三角形面积的计算，求证ABE ACF 是解题的关键，有一定难度考点二：结论探究型：此类问题给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论的题目例 3 （2012?盐城）如图所示，已知A、B为直线 l 上两点，点C为直线 l 上方一动点，连接AC 、 BC ，分别以AC 、BC为边向 ABC外作正方形CADF和正方形 CBEG ，过点 D作 DD1l于点 D1，过点 E作 EE1l于点 E1（1

7、）如图，当点E恰好在直线l 上时（此时E1与 E重合） ，试说明DD1=AB ；（2）在图中，当D、E两点都在直线l 的上方时，试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，并说明理由；学习必备欢迎下载（3）如图，当点E在直线 l 的下方时，请直接写出三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系 （不需要证明）考点 ：正方形的性质；全等三角形的判定与性质。专题 ：几何综合题。分析：（1）由四边形CADF 、CBEG 是正方形，可得AD=CA ，DAC= ABC=90 ，又由同角的余角相等， 求得 ADD1=CAB ，然后利用AAS证得 ADD1CAB ，根据全等三角形的对应边相等，即可得DD

8、1=AB ；（2）首先过点C作 CH AB于 H，由 DD1AB ，可得 DD1A=CHA=90 ，由四边形CADF 是正方形，可得AD=CA ，又由同角的余角相等，求得ADD1=CAH ，然后利用AAS证得ADD1CAH ，根据全等三角形的对应边相等，即可得DD1=AH ，同理 EE1=BH ，则可得AB=DD1+EE1（3）证明方法同（2） ，易得 AB=DD1EE1解答：（1）证明：四边形CADF 、CBEG 是正方形，AD=CA ，DAC= ABC=90 ，DAD1+CAB=90 ，DD1AB ，DD1A=ABC=90 ，DAD1+ADD1=90，ADD1=CAB ，在ADD1和CAB

9、中，ADD1CAB （ AAS ） ，DD1=AB；（2）解： AB=DD1+EE1证明：过点C作 CH AB于 H，DD1AB ，学习必备欢迎下载DD1A=CHA=90 ，DAD1+ADD1=90，四边形CADF是正方形，AD=CA ，DAC=90 ，DAD1+CAH=90 ，ADD1=CAH ，在ADD1和CAH中，ADD1CAH （ AAS ） ，DD1=AH ；同理： EE1=BH ，AB=AH+BH=DD1+EE1；（3）解： AB=DD1EE1证明：过点C作 CH AB于 H，DD1AB ，DD1A=CHA=90 ，DAD1+ADD1=90，四边形CADF是正方形，AD=C A，D

10、AC=90 ，DAD1+CAH=90 ，ADD1=CAH ，在ADD1和CAH中，ADD1CAH （ AAS ） ，DD1=AH ；学习必备欢迎下载同理： EE1=BH ，AB=AH BH=DD1EE1点评：此题考查了正方形的性质与全等三角形的判定与性质此题难度适中， 注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法例 4 （2012?丽水）在直角坐标系中，点A是抛物线y=x2在第二象限上的点，连接OA ，过点 O作 OB OA ，交抛物线于点B，以 OA 、OB为边构造矩形AOBC （1）如图 1，当点 A的横坐标为时，矩形AOBC 是正方形；（2）如图 2，当点 A的横坐标为时，求点 B的坐标

11、；将抛物线y=x2作关于 x 轴的轴对称变换得到抛物线y=x2，试判断抛物线y=x2经过平移交换后， 能否经过A，B，C三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以， 请说明理由考点 ：二次函数综合题。专题 ：代数几何综合题。分析：（1） 过点 A作 AD x轴于点 D， 根据正方形的对角线平分一组对角可得AOC=45 ，所以 AOD=45 ，从而得到 AOD 是等腰直角三角形，设点A坐标为（ a，a） ，然后利用点 A在抛物线上，把点的坐标代入解析式计算即可得解；学习必备欢迎下载（2）过点A作 AE x轴于点 E，过点 B作 BF x轴于点 F，先利用抛物线解析式求出AE的长度，然后证明 AE

12、O 和OFB相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出OF与 BF的关系，然后利用点B在抛物线上，设出点B的坐标代入抛物线解析式计算即可得解；过点 C作 CG BF 于点 G ，可以证明 AEO和BGC全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=OE ，BG=AE ，然后求出点C的坐标， 再根据对称变换以及平移变换不改变抛物线的形状利用待定系数法求出过点A、B的抛物线解析式，把点C的坐标代入所求解析式进行验证变换后的解析式是否经过点C，如果经过点C ，把抛物线解析式转化为顶点式解析式，根据顶点坐标写出变换过程即可解答：解： （1）如图，过点A作 AD x轴于点 D，矩形 AOBC 是正方形，AOC=

13、45 ，AOD=90 45=45，AOD是等腰直角三角形，设点 A的坐标为（ a，a） （a0） ，则（ a）2=a，解得 a1=1，a2=0（舍去），点 A的坐标 a=1，故答案为： 1；（2）过点A作 AEx轴于点 E，过点 B作 BF x轴于点 F，当 x=时， y=（）2= ，即 OE= ，AE= ，AOE+ BOF=180 90=90，AOE+ EAO=90 ，EAO= BOF ，又 AEO= BFO=90 ，AEO OFB ，学习必备欢迎下载= =，设 OF=t，则 BF=2t，t2=2t ，解得： t1=0（舍去），t2=2，点 B（ 2，4） ；过点 C作 CG BF 于点 G

14、 ，AOE+ EAO=90 ， FBO+ CBG=90 ， AOE= FBO ，EAO= CBG ，在AEO和BGC中，AEO BGC （ AAS ） ，CG=OE=，BG=AE=xc=2=，yc=4+ =，点 C（，） ，设过 A （， ） 、 B （2， 4） 两点的抛物线解析式为y=x2+bx+c， 由题意得，解得，经过 A、B两点的抛物线解析式为y= x2+3x+2，当 x=时， y=（）2+3+2=，所以点C也在此抛物线上，故经过 A、B、C三点的抛物线解析式为y=x2+3x+2=（ x）2+平移方案：先将抛物线y=x2向右平移个单位，再向上平移个单位得到抛物线y=（x）2+学习必备

15、欢迎下载点评：本题是对二次函数的综合考查，包括正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求抛物线解析式，综合性较强，难度较大，要注意利用点的对称、平移变换来解释抛物线的对称平移变换，利用点研究线也是常用的方法之一考点三：规律探究型：规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、 推理等一系列的数学思维过程，来探求一般性结论的问题，解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细致的观察、分析、比较，从中发现其变化的规律，并猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运用. 例 5 （2012?青海）如图 （*） ， 四边形 ABCD是正方形，点 E是边

16、 BC的中点，AEF=90 ，且 EF交正方形外角平分线CF于点 F请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题（1）探究 1：小强看到图（*）后，很快发现AE=EF ，这需要证明AE和 EF所在的两个三角形全等，但 ABE和ECF显然不全等 （一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点E是边 BC的中点，因此可以选取AB的中点 M ，连接 EM后尝试着去证 AEM EFC 就行了，随即小强写出了如下的证明过程：证明：如图1，取 AB的中点 M ，连接 EM AEF=90 FEC+ AEB=90 又 EAM+ AEB=90 EAM= FEC点 E， M分别为正方形的边BC和 AB

17、的中点AM=EC又可知 BME是等腰直角三角形AME=135 学习必备欢迎下载又CF 是正方形外角的平分线ECF=135 AEM EFC （ ASA ）AE=EF（2）探究 2：小强继续探索，如图2，若把条件“点E是边 BC的中点”改为“点E是边 BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF仍然成立，请你证明这一结论（3）探究 3：小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点E是边 BC的中点”改为“点E是边 BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由考点 ：正方形的性质；全等三角形的判定与性质。专题 ：阅读型。分析

18、：（2）在 AB上截取 AM=EC ，然后证明 EAM=FEC，AME= ECF=135 ，再利用“角边角”证明 AEM和EFC全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明；（3）延长 BA到 M ，使 AM=CE ，然后证明 BME=45 ，从而得到 BME= ECF ，再利用两直线平行，内错角相等证明DAE= BEA ，然后得到 MAE= CEF ，再利用“角边角”证明MAE和CEF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证解答：（2）探究 2，证明：在AB上截取 AM=EC ，连接 ME ，由（ 1）知 EAM= FEC ，AM=EC， AB=BC ，学习必备欢迎下载BM=BE ，BME=45

19、 ，AME= ECF=135 ，AEF=90 ，FEC+ AEB=90 ，又 EAM+ AEB=90 ，EAM= FEC ，在AEM和EFC中，AEM EFC （ ASA ） ，AE=EF ；（3）探究 3：成立，证明：延长BA到 M ，使 AM=CE ，连接 ME ，BM=BE ，BME=45 ，BME= ECF ，又AD BE ，DAE= BEA ，又 MAD= AEF=90 ，DAE+ MAD= BEA+ AEF ，即MAE= CEF ，在MAE和CEF中，MAE CEF （ ASA ） ，AE=EF 学习必备欢迎下载点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，阅读材料， 理清

20、解题的关键是取 AM=EC ，然后构造出 AEM 与EFC全等是解题的关键例 6 （2012?永州）如图所示，已知二次函数y=ax2+bx 1（a0）的图象过点A （2，0）和B（4，3） ，l 为过点（ 0， 2）且与 x 轴平行的直线，P（m ，n）是该二次函数图象上的任意一点，过P作 PH l ， H为垂足（1）求二次函数y=ax2+bx1（a0）的解析式；（2）请直接写出使y0 的对应的x 的取值范围；（3）对应当m=0 ，m=2和 m=4时，分别计算 |PO|2和|PH|2的值由此观察其规律，并猜想一个结论，证明对于任意实数m ，此结论成立；（4）试问是否存在实数m可使 POH为正三

21、角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由考点 ：二次函数综合题。专题 ：压轴题。分析：（1）根据二次函数y=ax2+bx1（a0）的图象过点A（2，0）和 B （4，3） ，待定系数法求出a 和 b 的值，抛物线的解析式即可求出；（2）令 y=ax2+bx1=0，解出 x 的值，进而求出使y 0 的对应的x 的取值范围；学习必备欢迎下载（3）分别求出当m=0 ，m=2和 m=4时，分别计算 |PO|2和|PH|2的值然后观察其规律，再进行证明；（4）由（ 3）知 OP=OH ，只要 OH=OP 成立， POH为正三角形，求出|OP| 、 |OH|含有 m和 n的表达式，令两式相等，求出m

22、和 n 的值解答：解： （1）二次函数y=ax2+bx1（a0）的图象过点A（2，0）和 B（4，3） ，解得 a= ，b=0，二次函数的解析式为y=x21，（2）令 y=x2 1=0，解得 x=2 或 x=2，由图象可知当2x2 时 y0，（3）当 m=0时， |PO|2=1，|PH|2=1；当 m=2时， P点的坐标为（2， 0） ，|PO|2=4，|PH|2=4，当 m=4时， P点的坐标为（4， 3） ，|PO|2=25，|PH|2=25，由此发现 |PO|2=|PH|2，设 P点坐标为（ m ，n） ，即 n= m21 |OP|=，|PH|2=n2+4n+4=n2+m2，故对于任意实

23、数m ，|PO|2=|PH|2；（4）由（ 3）知 OP=PH ，只要 OH=OP 成立， POH为正三角形，设 P点坐标为（ m ，n） ，|OP|=，|OH|=，|OP|=|OH| ，即 n2=4，解得 n=2，学习必备欢迎下载当 n=2 时， n= m21 不符合条件，故 n=2，m= 2时可使 POH为正三角形点评：本题主要考查二次函数的综合题，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的图形特征和性质，特别是（3）问的解答很关键，是解答（4）问的垫脚石，此题难度一般考点四：存在探索型：此类问题在一定的条件下，需探究发现某种数学关系是否存在的题目例 7 （2012?黑龙江）如图，在平面直角坐标系

24、中，直角梯形OABC 的边 OC 、OA分别与 x 轴、 y 轴重合， AB OC ，AOC=90 ， BCO=45 ，BC=6，点 C的坐标为（9，0） （1）求点 B的坐标；（2）若直线DE交梯形对角线BO于点 D，交 y 轴于点 E，且 OE=2 ，OD=2BD ，求直线DE的解析式；（3）若点 P是（ 2）中直线 DE上的一个动点，是否存在点P，使以 O、E、 P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由考点 ：一次函数综合题。学习必备欢迎下载分析：（1）过点 B作 BF x轴于 F，在 RtBCF中，已知 BCO=45 ， BC=6，解直角三角形求

25、CF ，BF，确定 B点坐标；（2）过点 D作 DG y轴于点 G ，由平行线的性质得出 ODG OBA ，利用相似比求DG ，OG ，确定 D点坐标，由已知得E点坐标，利用“两点法”求直线DE的解析式；（3）存在由已知的OE=2 ，分别以O 、E为圆心， 2 为半径画弧，与直线DE相交，或作线段 OE的垂直平分线与直线DE相交，交点即为所求解答：解： （1）过点 B作 BF x轴于 F，（ 1 分）在 RtBCF中，BCO=45 ， BC=6，CF=BF=6 ，（ 1 分）C 的坐标为（9，0） ，AB=OF=3 ，点 B的坐标为（ 3，6） ；（ 1 分）（2）过点 D作 DG y轴于点

26、G ，（ 1 分）AB DG ，ODG OBA ，= ， AB=3 ，OA=6 ，DG=2 ， OG=4 ，（ 1 分）D（ 2，4） ，E（0，2） ，设直线 DE解析式为y=kx+b （k0），（ 1 分）直线 DE解析式为y= x+2； （ 1 分）（3）存在 P1（2， 0） 、P2（1， 1） 、P3（， 2） 、P4（，2+）（ 3 分）（写对一个点得1 分，写对两个点或三个点得2 分）学习必备欢迎下载点评：本题考查了一次函数的综合运用关键是通过作辅助线，解直角三角形， 证明三角形相似，确定相关线段的长和点的坐标，得出直线解析式，再根据等腰三角形的性质，分类求 P点坐标例 8 （2

27、012?北海） 如图，在平面直角坐标系中有RtABC ，A=90 ， AB=AC ，A （ 2，0） 、B（0，1） 、C（d， 2） （1）求 d的值；（2）将ABC沿 x 轴的正方向平移，在第一象限内B 、C两点的对应点B、C正好落在某反比例函数图象上请求出这个反比例函数和此时的直线BC的解析式；（3）在（ 2）的条件下，直线BC交 y 轴于点 G问是否存在x 轴上的点 M和反比例函数图象上的点P，使得四边形PGMC是平行四边形？如果存在，请求出点M和点 P的坐标； 如果不存在，请说明理由考点 ：反比例函数综合题。专题 ：计算题。分析：（1）过 C作 CN垂直于 x 轴，交 x 轴于点 N

28、，由 A、B及 C的坐标得出OA ，OB ，CN的长， 由CAB=90 ，根据平角定义得到一对角互余，在直角三角形ACN中，根据两锐角互余，得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且 AC=BC ，学习必备欢迎下载利用 AAS得到三角形ACN与三角形AOB全等，根据全等三角形的对应边相等可得出CN=0A ，AN=0B ，由 AN+OA 求出 ON的长，再由C在第二象限，可得出d 的值；（2） 由第一问求出的C与 B的横坐标之差为3， 根据平移的性质得到纵坐标不变，故设出 C（m ，2） ，则 B（ m+3 ，1） ，再设出反比例函数解析式，将C与 B的坐标代入得到关

29、于k与 m的两方程，消去k 得到关于m的方程，求出方程的解得到m的值，即可确定出k 的值，得到反比例函数解析式，设直线 BC的解析式为y=ax+b，将 C与 B的坐标代入， 得到关于 a 与 b 的二元一次方程组，求出方程组的解得到a 与 b 的值，即可确定出直线BC的解析式；（3）存在 x 轴上的点 M和反比例函数图象上的点P，使得四边形PGMC是平行四边形，理由为：设Q为 GC 的中点，令第二问求出的直线BC的解析式中x=0 求出 y 的值，确定出 G的坐标，再由C的坐标，利用线段中点坐标公式求出Q的坐标，过点Q作直线 l 与 x轴交于 M 点，与 y=的图象交于P点， 若四边形PG M

30、C是平行四边形，则有 PQ=Q M ，易知点M 的横坐标大于，点 P的横坐标小于，作 PHx轴于点 H，QK y轴于点 K，PH 与 QK交于点 E，作 QF x轴于点 F，由两直线平行得到一对同位角相等，再由一对直角相等及PQ=QM， 利用 AAS可得出 PEQ 与QFM 全等， 根据全等三角形的对应边相等，设EQ=FM=t ，由Q的横坐标 t 表示出 P的横坐标，代入反比例函数解析式确定出 P的纵坐标， 进而确定出M 的坐标， 根据 PHEH=P H QF表示出 PE 的长， 又PQ=QM，分别放在直角三角形中，利用勾股定理列出关于t 的方程，求出方程的解得到t 的值，进而确定出P与 M

31、的坐标，此时点P为所求的点P，点 M 为所求的点M 解答：解： （1）作 CN x轴于点 N，A（ 2，0） 、B（0，1） 、C（d， 2） ，OA=2 ， OB=1 ，CN=2 ，CAB=90 ，即 CAN+ BAO=90 ，又 CAN+ ACN=90 ，BAO= ACN ，在 RtCNA和 RtAOB中，RtCNA RtAOB （ AAS ） ，学习必备欢迎下载NC=OA=2， AN=BO=1 ，NO=NA+AO=3，又点C在第二象限，d= 3；（2）设反比例函数为y=（k0），点 C和 B在该比例函数图象上，设 C（ m ，2） ，则 B（ m+3 ，1） ，把点 C和 B的坐标分别代

32、入y=，得 k=2m ；k=m+3 ，2m=m+3 ，解得： m=3 ，则 k=6，反比例函数解析式为y= ，点 C（ 3，2） ，B（ 6，1） ，设直线 CB的解析式为y=ax+b（a0） ，把 C、B两点坐标代入得：，解得：；直线 CB的解析式为y=x+3；（3）存在 x 轴上的点 M和反比例函数图象上的点P，使得四边形PGMC是平行四边形，理由为：设 Q是 G C的中点，令y=x+3 中 x=0，得到 y=3，G （ 0，3） ，又 C（ 3，2） ，学习必备欢迎下载Q （，） ，过点 Q作直线 l 与 x 轴交于 M 点，与y=的图象交于P点，若四边形PG M C是平行四边形，则有P

33、Q=Q M ，易知点 M 的横坐标大于，点 P的横坐标小于，作 PHx轴于点 H ，QK y 轴于点 K，PH 与 QK交于点 E，作 QF x轴于点 F，QF PE，M QF= QP E，在PEQ和QFM 中，PEQ QFM （ AAS ） ，EQ=FM，PQ=QM，设 EQ=FM=t ，点 P的横坐标x= t，点 P的纵坐标y=，点 M 的坐标是 （+t ，0） ，PE=P HEH=P H QF=，又PQ=QM，根据勾股定理得： PE2+EQ2=QF2+FM 2，（）2+t2=（）2+t2，整理得：=5，解得： t=（经检验，它是分式方程的解），t= ；=5；+t=+=，P（，5） ，M

34、（，0） ，则点 P为所求的点P，点 M 为所求的点M 学习必备欢迎下载点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有： 全等三角形的判定与性质，勾股定理，坐标与图形性质，利用待定系数法求函数解析式，平移的性质，是一道综合性较强的试题，要求学生掌握知识要全面四、中考真题演练1 （2012?广东）如图，直线y=2x6 与反比例函数y=的图象交于点A （4，2） ，与 x 轴交于点 B（1）求 k 的值及点B的坐标；（2）在 x 轴上是否存在点C，使得 AC=AB ？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由考点 ：反比例函数综合题。专题 ：数形结合。分析：（1）先把（ 4，2）代入反比例函数解析

35、式，易求k，再把 y=0 代入一次函数解析式可求 B点坐标；（2）假设存在，然后设C点坐标是（ a，0） ，然后利用两点之间的公式可得=， 借此无理方程， 易得 a=3 或 a=5，其中 a=3 和 B点重合，舍去，故C点坐标可求解答：解： （1）把（ 4， 2）代入反比例函数y=，得k=8，把 y=0 代入 y=2x6 中，可得x=3，故 k=8； B点坐标是（ 3，0） ；（2）假设存在，设C点坐标是（ a，0） ，则学习必备欢迎下载AB=AC ，=，即（ 4a）2+4=5，解得 a=5 或 a=3（此点与B重合，舍去）故点 C的坐标是（ 5，0） 点评：本题考查了反比函数的知识，解题的关

36、键是理解点与函数的关系，并能灵活使用两点之间的距离公式2 （2012?乐山）如图，直线y=2x+2 与 y 轴交于 A点，与反比例函数（x0）的图象交于点 M ，过 M作 MH x轴于点 H，且 tan AHO=2 （1）求 k 的值；（2）点 N （a，1）是反比例函数（x0）图象上的点，在x 轴上是否存在点P，使得PM+PN 最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由考点 ：反比例函数综合题。分析：（1）根据直线解析式求A点坐标，得OA的长度；根据三角函数定义可求OH的长度，得点M的横坐标；根据点M在直线上可求点M的坐标从而可求K的值；学习必备欢迎下载（2）根据反比例函数解析式可求

37、N点坐标；作点N关于 x 轴的对称点N1，连接 MN1与 x 轴的交点就是满足条件的P点位置解答：解：（1）由 y=2x+2 可知 A（ 0，2） ，即 OA=2 （ 1 分）tan AHO=2 ，OH=1 （2 分）MH x轴，点M的横坐标为1点 M在直线 y=2x+2 上，点 M的纵坐标为4即 M （1，4） （ 3 分）点 M在 y= 上，k=14=4（ 4分）（2）存在点 N（ a，1）在反比例函数（x0）上，a=4即点N的坐标为（ 4，1） （ 5 分）过点 N作 N关于 x 轴的对称点N1，连接 MN1，交 x 轴于 P（如图所示） 此时 PM+PN 最小（ 6 分）N与 N1关于

38、 x 轴的对称， N点坐标为（ 4，1） ，N1的坐标为（ 4， 1） （ 7分）设直线 MN1的解析式为y=kx+b由解得 k=，b=（ 9 分）直线 MN1的解析式为令 y=0，得 x=P 点坐标为（，0） （ 10 分）点评：此题考查一次函数的综合应用，涉及线路最短问题，难度中等学习必备欢迎下载3 （2012?莆田）如图，一次函数y=k1x+b 的图象过点A（0， 3） ，且与反比例函数（xO）的图象相交于B、C两点（1）若 B （1，2） ，求 k1?k2的值；（2）若 AB=BC ，则 k1?k2的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由考点 ：反比例函数综合题。专题 ：

39、综合题。分析：（1） 分别利用待定系数法求函数解析式求出一次函数解析式与反比例函数解析式，然后代入k1?k2进行计算即可得解；（2）设出两函数解析式，联立方程组并整理成关于x 的一元二次方程，根据AB=BC 可知点C的横坐标是点B的纵坐标的2 倍，再利用根与系数的关系整理得到关于k1、k2的关系式，整理即可得解解答：解： （1）A（ 0，3） ，B（1，2）在一次函数y=k1x+b 的图象图象上，解得；B（ 1，2）在反比例函数图象上，=2，解得 k2=2，所以， k1?k2=（ 1）2= 2；学习必备欢迎下载（2）k1?k2=2，是定值理由如下：一次函数的图象过点A（0， 3） ，设一次函数

40、解析式为y=k1x+3，反比例函数解析式为y=，k1x+3=，整理得 k1x2+3xk2=0，x1+x2=，x1?x2=AB=BC ，点 C的横坐标是点B的横坐标的2 倍，不防设x2=2x1，x1+x2=3x1=，x1?x2=2x12=，=（）2，整理得， k1?k2=2，是定值点评：本题是对反比例函数的综合考查，主要利用了待定系数法求函数解析式，根与系数的关系，（2）中根据AB=BC ，得到点B 、C的坐标的关系从而转化为一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键4 （2012?长春）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC 的顶点 A、C的坐标分别为A（2，0） 、C（ 1，2） ，反比

41、例函数y=（k0）的图象经过点B（1）求 k 的值（2） 将平行四边形OABC 沿 x 轴翻折，点 C落在点 C处，判断点 C是否在反比例函数y=（k0）的图象上，请通过计算说明理由学习必备欢迎下载考点 ：反比例函数综合题。分析：（1）根据平行四边形的性质可得AO=BC ，再根据A、C点坐标可以算出B点坐标，再把 B点坐标代入反比例函数解析式中即可求出k 的值；（2）根据翻折方法可知C与 C点关于x 轴对称，故C点坐标是（1， 2） ，把 C点坐标（ 1， 2）代入解析式发现能使解析式左右相等，故点C是否在反比例函数y=的图象上解答：解： （1）四边形OABC 是平行四边形，BC=AO ，A（

42、 2，0） ，OA=2 ，BC=2 ，C（ 1，2） ，CD=1，BD=BC CD=2 1=1，B（ 1，2） ，反比例函数y=（k0）的图象经过点B，k=12=2；（2） ?OABC 沿 x 轴翻折，点C落在点 C处，C点坐标是（1， 2） ，k=2，学习必备欢迎下载反比例函数解析式为y=，把 C点坐标（1， 2）代入函数解析式能使解析式左右相等，故点 C在反比例函数y=的图象上点评：此题主要考查了反比例函数点的坐标与反比例函数解析式的关系，以及平行四边形的性质，关键是熟练把握凡是反比例函数图象经过的点都能满足解析式7 （2012?宜宾）如图，抛物线y=x22x+c 的顶点 A在直线 l ：

43、y=x5 上（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y 轴交于点B，与 x 轴交于点 C、 D（C点在 D点的左侧），试判断 ABD的形状；（3）在直线l 上是否存在一点P，使以点 P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由学习必备欢迎下载考点 ：二次函数综合题。专题 ：压轴题；分类讨论。分析：（1）先根据抛物线的解析式得出其对称轴方程，由此得到顶点A的横坐标，然后代入直线l 的解析式中即可求出点A的坐标（2）由 A点坐标可确定抛物线的解析式，进而可得到点B的坐标则AB 、AD、BD三边的长可得，然后根据边长确定三角形的形状（3）若以点P、 A、B

44、、D为顶点的四边形是平行四边形，应分AB为对角线、 AD 为对角线两种情况讨论，即 ADPB 、ABPD ，然后结合勾股定理以及边长的等量关系列方程求出 P点的坐标解答：解： （1）顶点A的横坐标为x=1，且顶点A在 y=x 5 上，当 x=1 时， y=15=4，A（ 1， 4） （2）ABD是直角三角形将 A（1， 4）代入 y=x22x+c，可得， 12+c=4，c= 3，y=x2 2x3，B（ 0， 3）当 y=0 时， x22x3=0，x1=1， x2=3 C（ 1，0） ，D（3，0） ，BD2=OB2+OD2=18，AB2=（43）2+12=2，AD2=（31）2+42=20，B

45、D2+AB2=AD2，ABD=90 ，即 ABD 是直角三角形（3）存在由题意知：直线y=x5 交 y 轴于点 A（0， 5） ，交 x 轴于点 F（5，0）OE=OF=5，又 OB=OD=3OEF与OBD都是等腰直角三角形BD l ，即 PA BD则构成平行四边形只能是PADB或 PABD ，如图，学习必备欢迎下载过点 P作 y 轴的垂线，过点A作 x 轴的垂线并交于点C 设 P（x1，x1 5） ，则 G（1，x15）则 PC=|1x1| ，AG=|5x14|=|1 x1| PA=BD=3由勾股定理得：（1x1）2+（1x1）2=18，x122x18=0，x1=2 或 4 P（ 2， 7）

46、 ， P （4， 1）存在点 P（ 2， 7）或 P（4， 1）使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形点评：题目考查了二次函数解析式的确定、勾股定理、 平行四边形的判定等基础知识，综合性较强；（ 3）题应注意分类讨论，以免漏解8 （2012?温州） 如图， 经过原点的抛物线y=x2+2mx （m 0）与 x 轴的另一个交点为A过点 P（1，m ）作直线PM x轴于点 M ，交抛物线于点B记点 B关于抛物线对称轴的对称点为 C（B、C不重合）连接 CB ，CP （1）当 m=3时，求点 A的坐标及BC的长；（2）当 m 1 时，连接CA ，问 m为何值时CA CP ？（3）过点 P作 P

47、E PC且 PE=PC ，问是否存在m ，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m的值，并定出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由学习必备欢迎下载考点 ：二次函数综合题。分析：（1）把 m=3 ，代入抛物线的解析式，令y=0 解方程，得到的非0 解即为和x 轴交点的横坐标，再求出抛物线的对称轴方程，进而求出BC的长；（2）过点 C作 CH x轴于点 H（如图 1）由已知得 ACP= BCH=90 ，利用已知条件证明ACH PCB ，根据相似的性质得到：，再用含有m的代数式表示出BC ，CH ，BP，代入比例式即可求出m的值；（3）存在，本题要分当m 1 时， BC=2 （m 1）

48、，PM=m ，BP=m 1 和当 0m 1 时， BC=2 （1m ） ，PM=m ，BP=1m ，两种情况分别讨论，再求出满足题意的m值和相对应的点E坐标解答：解： （1）当 m=3时， y= x2+6x 令 y=0 得 x2+6x=0 x1=0， x2=6，A（ 6，0）当 x=1 时， y=5 B（ 1，5）抛物线y=x2+6x 的对称轴为直线x=3 又B， C关于对称轴对称BC=4 （2）过点 C作 CH x轴于点 H（如图 1）由已知得 ACP= BCH=90 ACH= PCB又 AHC= PBC=90 学习必备欢迎下载ACH PCB ，抛物线y=x2+2mx的对称轴为直线x=m ，

49、其中 m 1，又B， C关于对称轴对称，BC=2 （ m 1） ，B（ 1，2m 1） ， P （1，m ） ，BP=m 1，又A（ 2m ， 0） ，C（2m 1，2m 1） ，H（ 2m 1，0） ，AH=1 ， CH=2m 1，m= （3）B， C不重合， m 1，（I ）当 m 1 时， BC=2 （m 1） ，PM=m ，BP=m 1，（i ）若点 E在 x 轴上（如图1） ，CPE=90 ，MPE+ BPC= MPE+ MEP=90 ，PC=EP ，BPC MEP ，BC=PM，2（ m 1） =m ，m=2 ，此时点E的坐标是（ 2，0） ；（ii ）若点 E在 y 轴上（如图2

50、） ，过点 P作 PN y轴于点 N，易证 BPC NPE ，BP=NP=OM=1，m 1=1，m=2 ，此时点 E的坐标是（ 0，4） ；学习必备欢迎下载（II ）当 0m 1 时， BC=2 （1m ） ，PM=m ，BP=1 m ，（i ）若点 E在 x 轴上（如图3） ，易证 BPC MEP ，BC=PM，2（ 1m ） =m ，m= ，此时点E的坐标是（，0） ；（ii ）若点 E在 y 轴上（如图4） ，过点 P作 PN y轴于点 N，易证 BPC NPE ，BP=NP=OM=1，1 m=1 ，m=0 （舍去），综上所述，当m=2时，点 E的坐标是（ 0， 2）或（ 0，4） ，当