食饵-捕食者模型.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date食饵-捕食者模型食饵-捕食者模型学校logo学校名字数学模型课程设计论文食饵捕食者模型系 别专 业学 号姓 名指导教师20*年06月22日-食饵捕食者模型摘 要微分方程是研究函数变化规律的有力工具，在科技、工程、经济管理、生态、环境、人口、交通等各个领域中有着广泛的应用在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多得不出一般解而实际上对于初值问题，一般是要求得到解在若

2、干个点上满足规定精确度的近似值，或者得到一个满足精确度要求的便于计算的表达式动态过程的变化规律一般要用微分方程建立的动态模型来描述，但是对于某些实际问题，建模的主要目的并不是要寻求动态过程每个瞬间的性态，而是研究某种意义下稳定状态的特性，特别是当时间充分长以后动态过程的变化趋势本文以MATLAB为软件平台，对大自然中的食饵捕食者模型进行研究通过建模，借助常微分方程的稳定性理论对模型进行分析，得出该模型的平衡点和稳定性，得到二者长期共存的条件，并将其他因素添加到模型中加以考虑，对模型进行进一步改进最后，将该模型应用到实际中，用以指导生产实践，使之更好地为人类服务关键词：平衡点，相轨线，稳定性，封

3、闭目 录摘 要I1 绪论11.1模型背景11.2Volterra食饵捕食者模型12 模型的分析与求解32.1模型求解32.1.1数值解32.1.2平衡点及相轨线42.1.3周期及平均值62.2模型解释63 模型的评价与改进83.1模型的改进83.2模型的应用93.3模型的局限性9总 结11参考文献121 绪论微分方程是研究函数变化规律的有力工具，在科技、工程、经济管理、生态、环境、人口、交通等各个领域中有着广泛的应用在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多得不出一般解而在实际上对初值问题，一般是要求得到解在若干个点上满足规定精确度的近似值，或者得到一个满足精确度要求的便于计算的表达式因此

4、，研究常微分方程的数值解法是十分必要的自然界中不同种群之间存在着一种非常有趣的既有依存、又有制约的生存方式：种群甲靠丰富的自然资源生长，而种群乙靠捕食种群甲为生，食用鱼和鲨鱼、美洲兔和山猫、落叶松和蚜虫等都是这种生存方式的典型生态学上称种群甲为食饵，种群乙为捕食者，二者共处组成食饵捕食者系统近百年来许多数学家和生态学家对这一系统进行了深入的研究，建立了一系列数学模型，本文介绍的就是该系统最初的、最简单的一个模型1.1 模型背景意大利生物学家DAncona曾致力于鱼类种群相互制约关系的研究，他从第一次世界大战期间，地中海各港口捕获的几种鱼类捕获量百分比的资料中，发现鲨鱼等的比例有明显增加（见表1

5、），而供其捕食的食用鱼的百分比却明显下降显然战争使捕鱼量下降，食用鱼增加，鲨鱼等也随之增加，但为何鲨鱼的比例大幅增加呢？表1.1 鱼类捕获量百分比年代19141915191619171918百分比11.921.422.121.236.4年代19191920192119221923百分比27.316.015.914.819.7DAncona无法解释这个现象，于是求助于著名的意大利数学家V.Volterra，希望建立一个食饵捕食者系统的数学模型，定量地回答这个问题11.2 Volterra食饵捕食者模型食饵（食用鱼）和捕食者（鲨鱼）在时刻的数量分别记作，因为大海中的资源丰富，假设当食饵独立生存时以

6、指数规律增长，（相对）增长率为，即，而捕食者的存在使食饵的增长率减小，设减小的程度与捕食者数量成正比，于是满足方程： (1.1)比例系数反映捕食者掠取食饵的能力捕食者离开食饵无法生存，设它独自存在时死亡率为，即，而食饵的存在为捕食者提供了食物，相当于使捕食者的死亡率降低，且促使其增长设这种作用与食饵数量成正比，于是满足： (1.2)比例系数反映食饵对捕食者的供养能力方程（1.1），（1.2）是在自然环境中食饵和捕食者之间依存和制约的关系，这里没有考虑种群自身的阻滞增长作用，是Volterra提出的最简单的模型22 模型的分析与求解模型求解方程（1.1），（1.2）没有解析解，我们分两步对这个模

7、型所描述的现象进行分析首先，利用数学软件求微分方程的数值解，通过对数值结果和图形的观察，猜测它的解析解的构造；然后，从理论上研究其平衡点及相轨线的形状，验证前面的猜测当难以求得微分方程的解析解时，可以求其数值解，MATLAB中求微分方程数值解的函数有五个：ode45，ode23，ode113，ode15s，ode23s，最常用的是ode45，下面的模型求解中用到的就是ode4532.1.1 数值解记食饵和捕食者的初始数量分别为 (2.1)为求微分方程（1.1），（1.2）及初始条件（2.1）的数值解，（并作图）及相轨线，设以MATLAB为辅助软件，首先编制M脚本文件shark1.m如下4：fu

8、nction dx=shark1(t,x)dx=zeros(2,1);dx(1)=x(1)*(1-0.1*x(2);dx(2)=x(2)*(-0.5+0.02*x(1);在命令窗口输入以下命令：t,x=ode45(shark1,0 15,25 2);plot(t,x(:,1),-,t,x(:,2),*)figure(2)plot(x(:,1),x(:,2)可得，及相轨线如图2.1，图2.2，其中*表示战争中的鲨鱼比例，而实线表示的是战前的鲨鱼比例可以猜测，是周期函数，与此相应地，相轨线是封闭曲线，从数值解近似的定出周期为10.7，的最大、最小值分别为99.3和2.0，的最大、最小值分别为28.

9、4和2.0，并且用数值积分容易算出，在一个周期的平均值为图2.1 数值解，的图形图2.2 相轨线的图形2.1.2 平衡点及相轨线首先求得方程（1.1），（1.2）的两个平衡点为 (2.2)通过分析发现，不稳定；对于，处于临界状态，不能用判断线性方程平衡点稳定性的准则研究非线性方程（1.1），（1.2）的平衡点的情况下面用分析相轨线的方法解决这个问题由于方程（1.1），（1.2）中常数的值只能由估计得到，我们需要研究解的轨线在两个平衡点附近的状态所以我们需要分析和在相平面上的符号在方程（1.1），（1.2）中，竖直线把相平面分成了两个半平面，在左半平面是负的，而在右半平面是正的类似的，水平线也决

10、定了两个半平面，在上半平面，是负的，在下半平面是正的相应的轨线方向如图2.3所示，沿着轴的运动必竖直指向静止点，而沿着轴的运动方向必水平远离静止点图2.3 模型中的轨线方向从方程（1.1），（1.2）消去后得到 (2.3)这是可分离变量方程，写作 (2.4)两边积分得到方程（2.3）的解，即方程（1.1），（1.2）的相轨线为 (2.5)其中常数由初始条件确定为了从理论上证明相轨线（2.5）是封闭曲线，记 (2.6)可以用软件作出它们的图形，将它们的极值点记为，极大值记为，则不难知道，满足 (2.7)与（2.2）相比可知，恰好是平衡点可知对于不同的值，方程（1.1），（1.2）的解（2.6）式

11、确定的轨线是一族以平衡点为中心的封闭曲线，称闭轨线族当由变小时闭轨线向外扩展2.1.3 周期及平均值在数值解中我们看到，一周的平均值为，这个数值与平衡点刚好相等实际上，可以用解析的办法求出它们在一个周期内平均值，将方程（1.2）改写作 (2.8)上式两边在一个周期内积分，注意到，容易算出平均值为 (2.9)类似地可得 (2.10)将（2.9），（2.10）与（2.7）比较可知 (2.11)即，的平均值正是相轨线中心点的坐标2.2 模型解释注意到在生态学上的意义，上述结果表明，捕食者的数量（用一周期的平均值代表）与食饵增长率成正比，与它掠取食饵的能力成反比；食饵的数量（用一周期的平均值代表）与捕

12、食者死亡率成正比，与它供养捕食者的能力成反比这就是说：在弱肉强食情况下降低食饵的繁殖率，可使捕食者减少，降低捕食者的掠取能力却会使之增加；捕食者的死亡率上升导致食饵增加，食饵供养捕食者的能力增强会使食饵减少Volterra用这个模型解释了生物学家Ancona提出的问题：战争期间捕获量下降为什么会使鲨鱼（捕食者）的比例有明显的增加3 模型的评价与改进模型的改进前面的结果是在自然环境下得到的，为了考虑人为捕获的影响，可以引入表示人工捕获能力的系数，可以知道必然小于，否则，两个种群不能长期共存下去考虑上人工捕获能力后食饵增长率由下降为，而捕食者死亡率由上升为，用表示这种情况下食用鱼（食饵）和鲨鱼（捕

13、食者）的（平均）数量，即（1.1），（1.2）式变为： (3.1) (3.2)由（2.9），（2.10）式可知 (3.3)显然，战争期间捕获量下降，即捕获系数为（），是食用鱼和鲨鱼的数量变为 (3.4)显然，设战争前捕获能力系数为0.3，战争中下降为0.1再用MATLAB编程4：t1,x=ode45(shark3,0 15,25 2);t2,y=ode45(shark4,0 15,25 2);x1=x(:,1);x2=x(:,2);x3=x2./(x1+x2);y1=y(:,1);y2=y(:,2);y3=y2./(y1+y2);plot(t1,x3,-,t2,y3,*)作图3.1如下：图3.

14、1 改进后的，图形其中*表示战争期间的鲨鱼比例，而实线表示的是战前的鲨鱼比例，通过上图可以明确看出战争期间鲨鱼的比例会有明显的增加模型的应用为了减少由病虫害造成的农作物的巨大损失，农民们普遍使用杀虫剂不少农民误以为用药剂量越大，用药次数越多，防止病虫害的效果就越好然而，在现实生活中，不少农民却发现使用农药的效果并不理想用Volterra模型对某些杀虫剂的影响作出了似乎出人意料的解释自然界中不少吃农作物的害虫都有它的天敌益虫，以害虫为食饵的益虫是捕食者，于是构成了一个食饵捕食者系统如果一种杀虫剂既杀死害虫又杀死益虫，那么使用这种杀虫剂就相当于前面讨论的人为捕获的影响，即有这说明从长期效果看（即平

15、均意义下），用这种杀虫剂将使害虫增加，而益虫减少，与使用者的愿望正好相反在人类改造自然的过程中，作为捕食者的人类，必须注意到物质代谢的规律：一方面，在生产中只能因势利导，合理开发生物资源，而不可只顾一时，竭泽而渔目前世界上已有大面积农田因肥力减退未得到补偿而减产另一方面，还应控制环境污染，由于大量有毒的工业废物进入环境，超越了生态系统和生物圈的降解和自净能力，因而造成毒物积累，损害了人类与其它生物的生活环境模型的局限性尽管Volterra模型可以解释一些现象，但是它作为近似反映现实对象的一个数学模型，必然存在不少局限性第一，许多生态学家指出，多数食饵捕食者系统都观察不到Volterra模型显示

16、的那种周期震荡，而是趋向某种平衡状态，即系统存在稳定平衡点实际上，只要在Volterra模型中加入考虑自身阻滞作用的Logistic项就可以描述这种现象第二，一些生态学家认为，自然界里长期存在的呈周期变化的生态平衡系统应该是结构稳定的，即系统受到不可避免的干扰而偏离原来的周期轨道后，其内部制约作用会使系统自动恢复原状，如恢复原有的周期和振幅而Volterra模型描述的周期变化状态却不是结构稳定的，因为由前面的结论，一旦离开某一条闭轨线，就进入另一条闭轨线（其周期和振幅都不会改变），不可能恢复原状总 结通过将近两周的课程设计，我有几点收获：第一，对大自然中存在的食饵捕食者系统有了深入地了解，并能

17、对该系统进行评价和改进；第二，对常微分方程稳定性理论有所掌握，并能求解一阶、二阶方程的平衡点及稳定性；第三，掌握了建模的一般方法，在以后的生产实践中，能将该方法灵活运用，例如，将这一结论用到害虫和它的天敌系统时，可以指导我们更加有效和经济地进行灭害工作，不致于把灭害变成“灭益”了但是，在这次课程设计中我也发现了自己的缺点和不足，比如对以前学过的MATLAB的相关知识的遗忘，使得在分析模型的解析解时受阻，在经过了相当一段时间的复习以后才顺利解决问题还有就是对模型的改进也是经过了很长时间的思考总之，这次课程设计让我受益匪浅，在以后的学习和生活中，我会更加珍惜这样的机会，争取做得更好最后，非常感谢各位老师的辛勤教诲，这次课程设计中收获的很多知识，无论从建模方法还是论文格式，对以后的毕业设计会有很大帮助，同时也让自己养成了仔细、谨慎的态度，在以后的学习和生活中将会受益终生参考文献1 赵静, 但琦. 数学建模与数学实验M. 北京: 高等教育出版社, 2003: 151-152.2 姜启源, 谢金星, 叶俊. 数学模型M. 北京: 高等教育出版社, 2003: 192-193.3 胡良剑, 孙晓军. MATLAB数学实验M. 北京: 高等教育出版社, 2006: 99.4 满晓宇, 罗捷. 战胜MATLAB必做练习50题M. 北京: 北京大学出版社, 2001: 71-77.