一轮复习三角函数的图像和性质ppt课件.ppt

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1、20222022年年7 7月月3030日星期六日星期六*1. “五点法”作图原理 在确定正弦函数ysinx在0, 2上的图象形状时,起关键作用的五个点是 _ , _ , _,_ , _ 在确定余弦函数ycosx在0, 2上的图象形状时,起关键作用的五个点是 _ , _ , _,_ , _(0,0)(,1)2( ,0)3(, 1)2 (2 ,0)(0,1)(,0)2( , 1) 3(,0)2(2 ,1)二、三角函数的图象和性质二、三角函数的图象和性质函数函数ysinxycosxytanx图象图象定定义义域域值域值域1,11,1RRR函数函数ysin xycos xytan x最值最值x 时，时，

2、ymaxx yminx 时，时，ymax x 时，时，ymin单调单调性性 递增区间：递增区间：递减区间：递减区间： 递增区间：递增区间：递增区间：递增区间：递减区间：递减区间： 1yk21yk2y正弦函数的图象正弦函数的图象x22322523O23225311正弦函数在每个闭区间正弦函数在每个闭区间)(22,22Zkkk都是增函数，其值从都是增函数，其值从1增大到增大到1；而在每个闭区间而在每个闭区间32,2()22kkkZ上都是上都是减函数，其值从减函数，其值从1减小到减小到1。最大值：最大值：2x当当 时，时， 有最大值有最大值最小值：最小值：2x当当 时，时，有最小值有最小值函数函数y

3、sin xycos xytan x最值最值x 时，时，ymax1 x ymin1x 时，时，ymax1 x 时，时，ymin1单调单调性性递增区间：递增区间：递减区间：递减区间： 递增区间：递增区间： (kZ)递增区间：递增区间：递减区间：递减区间： 1yk21yk2y余弦函数的图象余弦函数的图象x22322523O23225311其值从其值从1减小到减小到1。而在每个闭区间而在每个闭区间上都是上都是减函数减函数，2,2kk 其值从其值从1增大到增大到1 ；在每个闭区间在每个闭区间2,2kk都是都是增函数增函数，最大值：最大值：0 x当当 时，时，有最大值有最大值最小值：最小值：x当当 时，时

4、，有最小值有最小值函数函数ysin xycos xytan x最值最值x 时，时，ymax1 x ymin1x 时，时，ymax1 x 时，时，ymin1单调单调性性递增区间：递增区间：递减区间：递减区间： 递增区间：递增区间：2k(kZ)2k(kZ) (kZ)2k，2k(kZ)2k，2k(kZ)递增区间：递增区间：递减区间：递减区间： xO/2-/2-3/23/2-y-/4/41-1正切曲线的图象：正切曲线的图象：函数函数ysin xycos xytan x最值最值x 时，时，ymax1 x ymin1x 时，时，ymax1 x 时，时，ymin1单调单调性性递增区间：递增区间：递减区间：递

5、减区间： 2k(kZ)2k(kZ) (kZ)无最值无最值(2k1)，2k(kZ)2k，(2k1)(kZ)递增区间：递增区间：递减区间：递减区间： 递增区间：递增区间：函数函数ysin xycos xytan x对对称称性性对称中心对称中心对称中心对称中心对称中心对称中心对称轴对称轴对称轴对称轴奇偶奇偶性性正弦、余弦函数的对称性正弦、余弦函数的对称性x6y-12345o-2-31x-11y)(sinRxxy)(cosRxxy6o-2345-2-3-4y=sinx的图象对称轴为：的图象对称轴为：y=sinx的图象对称中心为：的图象对称中心为：y=cosx的图象对称轴为：的图象对称轴为：y=cosx

6、的图象对称中心为：的图象对称中心为：；，Zkkx2.)0 (Zkk，；，Zkkx.)0 2(Zkk， 任意两相邻对称轴任意两相邻对称轴( (或对称中心或对称中心) )的间距为半个周期；的间距为半个周期；对称轴与其相邻的对称中心的间距为四分之一个周期对称轴与其相邻的对称中心的间距为四分之一个周期. .-4正切函数正切函数 的对称性的对称性：tanyx对称中心是对称中心是(,0),2kkZ对称轴呢？对称轴呢？-3/2O/2-/23/2-yx-/4/41-1函数函数ysin xycos xytan x对对称称性性对称中心对称中心对称中心对称中心对称中心对称中心对称轴对称轴对称轴对称轴奇偶奇偶性性周期

7、周期性性(k，0)，kZ xk，kZ无对称轴无对称轴奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数222|T tan()=|yAxT的最小正周期为sin()cos()yAxyAx和的最小正周期均为:. 1例例求求下下列列函函数数的的周周期期：22(1)2sin();33(2)3|cos(2)|;12(3)| tan|;(4)2sin(2)6sin cos2cos1.4yxyxyxyxxxx 3T2TTT高考调研高考调研P77思考题思考题1：(1) ( ) |sincos|(2)( )sin(0)0,1_._5_ _0_ .f xxxf xx的最小正周期为若在上至少存在个最小值点，则 的取值范围是199,

8、)2 当函数当函数yAsin(x)分别为奇分别为奇函数和偶函数时，函数和偶函数时，的取值是什么？的取值是什么？对于函数对于函数yAcos(x)呢？呢？ZkkxAy,)sin(1为奇函数）（关于三角函数奇偶性的归纳拓展：关于三角函数奇偶性的归纳拓展：为偶函数为奇函数，xyxycossinZkkxAy,2)sin(2为偶函数）（ZkkxAy,2)cos(3为奇函数）（ZkkxAy,)cos(4为偶函数）（2772.(1) ( )sin(2);2(2) ( )tan(3 );5(3) ( )sin(3 )sin();2(4) ( )2sin21;(5) ( )lg(sin1 sin).Pf xxf

9、xxf xxxf xxf xxx高考调研例 判断下列函数的奇偶性：偶奇奇奇非奇非偶C1.(2012)( )sin()(0,2 )33xf x全国卷 若函数是偶函数，则（ ）2.( )cos(3_.)f xx函数的图象关于原点对称，则,2kkz6.D4.C3.B2.A3.( )sin3co,)0s(f xxxxyf x已知函数函数的图象关于直线对称，则 的值可以是（ ）D783.(1)( )sin(2)6(2)( )sin2cos26.(3)( )tan().23Pf xxf xxaxxaxf x 高考调研例求函数的对称中心和对称轴方程.设函数的图像关于直线对称，求实数 的值求函数的图像的对称中

10、心3.(2)( )sin2cos26.f xxaxxa 例设函数的图像关于直线对称，求实数 的值33783.(1)sin(2)3Pyx高考调研思考题函数的图像的对称轴方程可能是（ ）6. A x 6.C x1.2B x 2.1D x(2)2sin(2) 14yx函数的图像的对称中心的坐标是（ ）).(3,08A).(3,18B1.(, )8C, 1)8.(DDBCA3.(091)( )3cos(2)4(,0)|3f xx年全国卷 如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（ ）6. A4.B3.C2.D54.( )sincos_ .3_f xxaxxa已知函数的图像关于直线对称，则实数 的值

11、为335.( )sin()(0,|)24( )()3( )f xxxRf xff x 已知函数的最小正周期为，且对任意，都有成立，则图像的一个对称中心的坐标为( )0.(2, )3A).(2,03C0.(, )3B).(5,03DA78.(1)cos( 2)33tan().64Pyxxy高考调研例4求下列函数的单调区间：的单调减区间；的单调区间2,()63kkkz48(4,4)()33kkkz( )sin( 2)_.3f xx1.函数的单调减区间为2.(794(1)_)sinco2.s2Pxxy 高考调研思考题的单调递增区间为34,4()22kkkz5,()1212kkkz3.( )3sinc

12、os(0),( )2( )5.,1212511.,1212.,362.,63f xxxyf xyf xA kkkzB kkkzC kkkzD kkkz已知函数的图像与直线的相邻交点的距离等于 ，则的单调递增区间是（ ）C( )4cossin()(0).4(1)(2)( )0,.2f xxxf x3.已知函数的最小正周期为求 的值；讨论在区间上的单调性(1) ( )4cossin()4f xxx解：22 2sincos2 2cosxxx2sin22cos22xx2sin(2)24x( )f x的最小正周期为2=2T=1( )4cossin()(0).4(1)(2)( )0,.2f xxxf x3

13、.已知函数的最小正周期为求 的值；讨论在区间上的单调性(2)(1)( )2sin(2)24f xx由知，0,2x52,444x204428xx当即时( )f x 是增函数5224482xx当即时( )f x 是减函数( )0,88 2f x 在区间上单调递增，在区间， 上单调递减A1.(794(2)sin,3 3Pyx 高考调研思考题已知函数在上是增函数，则 的取值范围是（ ）3.,0)2A 0. 3, )B .(30,2C.(0,3DC( )sin(0)0,33 2_.f xx 2.若函数在上单调递增，在， 上单调递减，则323.( )sin()( , ,0,0)._( )2,()()(),

14、6 2236( )_.f xAxAAf xffff x （2014年北京卷）设函数是常数，若函数在区间上具有单调性，且则的最小正周期为( ),6 2f x 解：在区间上具有单调性2263T23T2()()23ff2723( )212f xx的一条对称轴为()()26ff 26( )23f xx的一个对称中心的横坐标为7=41234T2( )cos3sincos(0).2(1)()3(2)( ).f xxxxff x例5.已知函数的最小正周期为求的值；求函数的单调区间及图像的对称轴方程2(1) ( )cos3sincosf xxxx解：1 cos23sin222xx311sin2cos2222x

15、x1sin(2)62x( )f x的最小正周期为2211( )sin(2)62f xx2211()sin(2)33622f 2( )cos3sincos(0).(2)( ).f xxxxf x例5.已知函数的最小正周期为求函数的单调区间及图像的对称轴方程(2)222262kxk由得36kxk( ),()36f xkkkz的增区间为3222262kxk由得263kxk2( ),()63f xkkkz的减区间为2()6226kxkxkz由得( )()26kf xxkz的对称轴方程为(sincos )sin2( ).sin(1)( )(2)( ).xxxf xxf xf x已知函数求的定义域及最小正

16、周期；求函数的单调递增区间(1)sin0()xxkkz解： 由得( ) |,f xxxkkz的定义域为(sincos )sin2( )sinxxxf xx2cos(sincos )xxsin2cos21xx2sin(2) 14x2( )T=2f x的最小正周期为(sincos )sin2( ).sin(1)( )(2)( ).xxxf xxf xf x已知函数求的定义域及最小正周期；求函数的单调递增区间(2)222242kxk由得3,()88kxkxkkz3( ),),(,()88f xkkkkkz的增区间为2(1)( )lg(2sin1)1 2cos(2)( )2cos5sin4.f xxx

17、f xxx求函数的定义域；求函数的值域2sin101 2c(os01)xx 解： 要使函数有意义，必须有1sin21cos2xx5226652233kxkkxk解得522,36kxkkz52,2)6(3)f xkkkz的定义域为2(2)( )2cos5sin4.f xxx求函数的值域2(2) ( )2cos5sin4f xxx22(1 sin)5sin4xx22sin5sin2xx 2592(sin)48x sin1( )1xf x当时，取得最大值sin1( )9xf x 当时，取得最小值2( )2cos5sin4 9,1f xxx 的值域为sin 1,1x 247.(1)74sin cos4

18、cos4cos.sin cos(2)(0).sincos1yxxxxxxyxxx例（2008年四川卷）求函数的最大值和最小值求函数的值域24(1)74sin cos4cos4cosyxxxx解：22=72sin24cos(1 cos)xxx2272sin24cossinxxx272sin2sin 2xx2(sin21)6xsin2 1,1x sin2110 xy 当时， 取得最大值sin21xy当时， 取得最小值6247.(1)74sin cos4cos4cos.sin cos(2)(0).sincos1yxxxxxxyxxx例（2008年四川卷）求函数的最大值和最小值求函数的值域(2)sin

19、cosxxt令21sin cos2txx则211212ttyt(0, ),2sin()( 1,24xtx 又则12,1)2y 8.3sin2cos20,2.xxxkk例 关于 的方程在区间内有两个不同的实数根，求实数 的取值范围1,2)( )32cos()_4_.f xxx2.函数的最大值为，此时532()4kkz( )sincos_.f xxx1.函数的最大值为2( )2sin(2),_66 4f xxx 3.函数的值域为. 1,2B 25.sin3sinsin()20.12203f xxxxf x已知函数的最小正周期为求 的值；求函数在区间 ，上的取值范围2(1) ( )sin3sinsi

20、n(+)2f xxxx解：1 cos23sin222xx311sin2cos2222xx1sin(2)62x( )f x的最小正周期为221 25.sin3sinsin()20.2203f xxxxf x已知函数的最小正周期为求函数在区间 ，上的取值范围1(2)(1)( )sin(2)62f xx由得20,3x72,666x 1sin(2),162x 13sin(2)0, 622x23( )0,0, 32f x在区间的取值范围为*)sin(xAyx+x+0 022x x_ _y=Asin(x+y=Asin(x+) )_-A-A0 023222320A0y=sinxy=sin(x+ )横坐标横坐

21、标缩短缩短 1 (伸长伸长0 1 (缩短缩短0A0 (向右向右 1 (伸长伸长0 1 (缩短缩短0A0 (向右向右 0)平移平移| |/ 个单位个单位)sin()(sinxxy1.(81 1)3sincos22.Pxxy 例高考调研例 用“五点法”画出函数的图像，并指出这个函数的周期与单调区间3sincos2sin()2226xxxy解：列表如下： 15sin(2).264123si2n ()yxxyx xRR已知函数 ，求它的振幅、周期、初相；用 五点法 作出它【例 】的简图；该函数的图象可由 的图象经过怎样的变换得到？ 11151sin(2)26422.26261515sin(2)sin.

22、6422241 yxATxxyxx 的振幅为 ，周期为 ，初相为 令 ，则 列出下表，并描出图象【解析】，如图x/12 /65/122/311/12x12x /60/23/22ysinx101010y1/2sinx15/45/47/45/43/45/4 3s n1iyx将函数的图象依次作如下方法 ：变换：函数 的图象sin()6yx函数 的图象sin(2)6yx函数 的图象1sin(2)26yx函数 的图象15sin(2)264yx函数 的图象1()2 各点的横坐标变为原来的纵坐标不变1()2 各点的纵坐标变为原来的横坐标不变54 向上平移 个单位长度6 向左平移个单位长度si2nyx函数 方

23、法 ：的图象sin(2yx函数 )的图象sin(26yx函数 )的图象5sin(262yx函数 )+的图象1()2 各点的纵坐标变为原来的横坐标不变5sin(264yx函数 )+的图象1()2 各点的横坐标变为原来的纵坐标不变12 向左平移个单位长度52 向上平移 个单位长度.( )2sin(2).3(1)(2)(3)2sin(2)sin3.f xxyxyx练习已知函数求它的振幅、周期、初相；用“五点法”作出它在一个周期内的图像；说明的图像可由的图像经过怎样的变换而得到B.( )sin()(,0)4( )cos( )f xxxRg xxyf x例4已知函数的最小正周期为 ，为了得到函数的图像，

24、只要将的图像（ ）.8A向左平移个单位长度.8B向右平移个单位长度.4D向右平移个单位长度.4C向左平移个单位长度Asin(2)3sin(2)6yxyx1.为了得到函数的图像，只要将函数的图像（ ）.4A向左平移个单位长度.4B向右平移个单位长度.2D向右平移个单位长度.2C向左平移个单位长度B.sin10yx2将函数的图像上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像的函数解析式是（ ）.sin(2)10A yx.sin(2)5B yx1.sin()210C yx1.sin()220D yxCB 解解 析析AB_6.( )2sin()(0_)3(

25、)3.( ).0,4f xxyg xyg x将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象若在上为增函数，则 的最大值为 2sin () 2sin.33g xxx由题设【解析】知 0422.42g x因为在 ， 上是增函数，所以，得，所以 的最大值为2CB求三角函数的解析式求三角函数的解析式 5.( )sin()(0,0_.,0)_f xAxA例 如图为函数的图象的一段，则其解析式为3.A由图可知，其振幅为【】解析563252()6322.TTT由于，所以周期为 ，所以 3sin(2)yx此时解析式为 23sin(2)3yx.( )sin()(0,0_,|)_ _2_ .f xAxA例6如图为

26、函数的图象的一段，则其解析式为2sin(2 +)4yx.( )sin()(0,0,|)2(1)( )(2)( ).f xAxb Af xf x例7已知函数的图象的一部分如图所示.求的表达式；写出图象的对称轴方程和对称中心( )2sin(2) 16f xxCA 解解 析析sin(+)26yx211.( )sin2 sincoscossin()(0),2221(, ).6 2(1)1(2)( )2( )( )0,4.f xxxyf xyg xg x4已知函数其图象过点求 的值；将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的最大值和最小值.( )sin()(0,0),(,0)12(,5).3(1)(2)( )f xAxAPPQyf x5已知函数的图象过点，图像上与点 最近的一个最高点是求函数的解析式；求函数的单调递增区间.