人教版 八年级下册 第十九章：一次函数变量与函数教案.doc

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1、 变量与函数一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：l 函数是刻画现实世界中变化规律的非常重要数学模型，对函数概念体会的深入程度是学好函数知识的关键，在学习过程中一定要紧紧地结合实例体会引入函数概念的意义，紧紧地结合实例体会了解常量、变量，理解函数的概念，体会“变化与对应”的思想，了解函数的三种表示方法(列表法、解析式法和图象法)。认真不浮躁地落实基本知识和基本技能。l 数学建模思想的体会理解，从分析探索实际问题中的数量关系和变化规律出发，经历体会“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的每个过程细节，提高运用所学

2、知识分析解决问题的意识。重点：l 函数定义、解析式、自变量取值范围、函数的表示方法。难点：l 运用函数定义辨析是否存在函数关系，分析具体材料背景写出函数解析式及自变量取值范围。学习策略：l 通过探索具体问题中的数量关系和变化规律来了解常量、变量的意义以及理解函数的概念和自变量的意义，在理解掌握函数概念的基础上，确定函数关系式；并根据函数解析式和实际意义确定自变量的取值范围。二、学习与应用“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。知识回顾复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？（一）方程：含

3、有未知数的 叫做方程。（二）直线：平面内笔直的且向两方可以无限 的线叫直线。（三）数轴：规定了 、 和 的直线叫做数轴。（四）平面直角坐标系：在平面内两条互相垂直的数轴，组成平面直角坐标系，其水平的数轴叫做 轴或 轴，取向右为 方向；铅直的轴叫做 轴或 轴，取向上为 方向；两轴交点为 ，这个平面叫做 平面。（五）整式： 和 统称为整式。（六）分式有意义的条件：若分式有意义，则B 0。（七）二次根式：一般地，形如的式子叫 。13知识要点预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。课堂笔记或

4、者其它补充填在右栏。知识点一：通过实例体会变量、常量、函数的概念（一）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为S千米，行驶时间为t小时，请完成下表：t/时12345S/千米思考：在上述变化过程中，有两个变量 ，一个常量 ，两个变量之间是否有这样的关系：“当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与之相对应?”答案 （肯定或否定）：通过填表可以验证，当这里两个变量中的任一个变量随便取定一个可以取的值时，另一个变量都有 确定的值与之相对应。（二）每张电影票售价为10元，早场售出150张，日场售出205张，晚场售出310张，三场电影的票房收入各是多少?请完成下表，时段早场日场晚场售出

5、票数(张)150205310收入金额(元)思考：在上述变化过程中，有两个变量： 和 ，一个常量： ，两个变量之间是否有这样的关系：“当其中一个变量随便取定一个可以取的值时，另一个变量就有唯一确定的值与之相对应？”答案 （肯定或否定）：通过填表可以验证，当这里两个变量中的任一个变量取定一个可以取的值时，另一个变量都有 确定的值与之相对应。（三）在一根弹簧下端悬挂重物，弹簧原长10cm，若每1kg重物使得弹簧伸长0.5cm，请根据不同的重量m，填写对应的弹簧长度L重量m/kg125810弹簧长度L/cm思考：在上述变化过程中，有两个变量： 和 ，一些常量 ，两个变量之间是否有这样的关系：“当其中一

6、个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与之相对应?”答案 （肯定或否定）：通过填表可以验证，当这里两个变量中的任一个变量随便取定一个可以取的值时，另一个变量都有唯一确定的值与之相对应。 两者之间的关系为： （四）要画一个面积为S的圆，圆的半径r应取多少（保留两位小数）？请完成下表：圆的面积(S)102050100300圆的半径(r)思考：在上述变化过程中，有两个变量 ，一个常量 ，两个变量之间是否有这样的关系：“当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与之相对应？”答案 （肯定或否定）：通过填表可以验证，当这里两个变量中的任一个变量随便取定一个可以取的值时，另一个变量都有

7、唯一确定的值与之相对应。两者之间的关系为： （五）用10m长的绳子围成长方形，根据长方形一边的长度，观察长方形的另一边的长度和面积如何变化。请思考完成下表：长方形的一边长x/m2.533.544.521.510.5长方形的另一边长y/m2.521.510.533.544.5长方形的面积S/m26.2565.2542.2565.2542.25思考：在上述变化过程中，有三个变量： ，一个常量长方形的 ，其中每两个变量之间是否都有这样的关系：“当其中一个变量取定一个值时，另一个变量都有唯一确定的值与之相对应？”答案 （一定或不一定）：通过填表可以验证，每两个变量之间的关系可分两种情况：（1）一边长与

8、另一边长之间其中的任一个变量取定一个可以取的值时，另一个变量都有 确定的值与之相对应。两者之间的关系式为： ；（2）一边长与面积或另一边长与面积之间，其中当前一个变量随便取定一个可以取的值时，后一个变量都有唯一确定的值与之相对应。两者之间的关系式分别为： ；但反过来不满足该规律，例如当面积为5.25m时，长方形的一边长可以为： ，不唯一。知识点二：函数的定义在我们身边的各种变化中，有各种变化的量和不变化的量，在两个变量之间有一种不是一定存在但是是非常普遍存在的关系就是：“当其中一个变量任意取定一个可以取的值时，另一个变量都有唯一确定的值与之相对应!”也就是说普遍的两个变量之间都存在相互对应的关

9、系!函数定义：一般地，在一个 过程中， 如果有两个变量 x与y，并且对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x是 （independent variale），y是x的函数(function)，如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。对于函数的意义，应从以下几个方面去理解：（1）函数不是数，而是两个变量之间一种_的关系；（2）对于变量x允许取的每一个值，集合在一起组成了x的取值范围。（3）判断两个变量之间是否有函数关系不仅要看它们之间是否有关系式，还要看对于x允许取的每一个值，y是否都有_与它相对应。 （4）两个函数是同一函数至少具备两个条件：_；_

10、。否则，就不是相同的函数。而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量x的取值范围有时容易忽视，这点应注意。知识点三：自变量取值范围的确定使函数有意义的自变量的取值的_叫自变量的取值范围。自变量的取值范围的确定方法：首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义。（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是_；（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是_；（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是_；（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值_。其次，当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义。知识点四：函数值对于自变量在取值范围内的一个确定的值，比如当时，函数有

11、唯一确定的对应值，这个对应值叫做的_，简称函数值。注意：对于每个确定的自变量值，函数值是_的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是_个。比如：中，当函数值为4时，自变量的值为 。知识点五：函数的几种表达方式变量间的单值对应关系有多种表示方法，常见的有以下三种：（1）解析式法：用来表示函数关系的_ _ _ _ _ _叫做函数关系式，也称函数的解析式。注：函数关系式是_ _ _ _ _ _；等式右边的代数式中的变量是_ _ _ _ _ _ _ _ ，等式左边的一个字母表示_ _ _ _ _ _ _ _；没有特殊说明，自变量x的取值范围是使解析式有意义的_ _ _ _ _ _实数。（

12、2）列表法：函数关系用一个_ _ _ _ _ 表达出来的方法，例如：前面的五个实例均是用列表法表示的函数；（3）图像法：用图象表达两个变量之间的关系。 注：有些问题可_ _ _ _种方法兼用，如S=60t，但有些问题只能用_ _ _ _ _ 种方法，如每天的气温变化，只能用图象记录（自动测温仪）。知识点六：函数的图象对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的_ _ _ _ _、_ _ _ _ _坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像。注：函数的解析式是一个_ _ _ 元方程，这个方程的解分别是这个函数图象上点的_ _ _ _ _ _ _ _ _；函数图象的画法

13、：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。经典例题-自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。若有其它补充可填在右栏空白处。类型一：函数概念辨析例1判断下列材料中所给的两个变量之间是否存在函数关系?（1）心电图中的变量：心脏脉冲电流值和时间（2）下表中所示变量：人口数和年份之间思路点拨：要判断是否为函数关系，首先要找到_个变量，其次判断两个变量是否满足_。解：总结升华： 。举一反三：【变式1】某工人每分钟生产机械零件8个，写出这个工人生产零件的总数y(个)与生产时间t(分)的关系式，判断是不是函数关系，并指出式中的常量与变量。分析：每分钟

14、生产零件8个，在生产过程中该数值保持不变，所以每分钟生产零件的个数8是_；而时间变化后零件总数可随之增长，则_是变量。解：【变式2】判断下列说法是否正确?（1） 3x+1是x的函数；（2）函数y=x与是相同的函数（3）若y是x的函数，则y的值肯定随x值的改变而改变；解： 【变式3】判断下列关系式和图象中，其中y是否是x的函数?（1）（2）（3）（4） （5） 解：【变式4】用长为10 cm的绳子围成一个长方形，其中长方形的一条边长是xcm，这个长方形的面积Scm2，判断填空：这里_是常量，_是变量，变量间是否存在函数关系?若存在，其中_是_的函数，你是否能说明理由?是否能选择适当的方法表达该函

15、数关系?解：思考：若在上述函数解析式后不加上自变量x的取值范围，函数解析式还能否完整表达背景材料中的函数关系呢?注：（1）当用解析式表达函数关系时，一定要关注_的取值范围； （2）确定自变量取值范围时，不仅要考虑函数解析式有意义，而且还要注意问题的_；（3）约定：在我们今后所给定的函数解析式中，若没有特别说明，都默认自变量取值范围为_。类型二：函数自变量的取值范围例2求下列函数中自变量x的取值范围。（1）；（2）；（3）。思路点拨：（1）要使分式有意义，则分母_，所以_；（2）要使被开方数有意义，则_，所以_；（3）分母_且_，则有。解： 总结升华： 。举一反三：【变式】求函数的自变量的取值范

16、围。解：类型三：函数表示方法的理解例3 已知，（1）写成y是x的函数形式；（2）写成x是y的函数形式。思路点拨：y是x的函数形式，就是用含_的代数式去表示_，x是y的函数形式就是用含_的代数式表示_，这便是函数的表示方法之_，但要使函数解析式有意义。解析：总结升华： 。举一反三：【变式1】写出下列函数关系式：（1）等腰三角形的底角的度数y与顶角度数x之间的关系为_；（2）某礼堂共有25排座位，第一排有20个座位，后面每排比前一排多1个座位，则每排座位数y与这排的排数x的关系为_解：【变式2】已知等腰三角形周长为12cm，若底边长为y cm，一腰长为x cm。（1）确定y与x的函数关系式；（2）

17、确定x的取值范围；（3）画出函数图象。分析：利用_可以写出函数关系式，再利用_可以确定x的取值范围，根据腰长与底长的列表可以画出_。解：总结升华： 。类型四：函数值例4设函数，已知当时，求当时x的值。思路点拨：利用时可以先求出_值，再把a值代入时的函数_中，便可求出_的值。解：总结升华： 。举一反三：【变式1】求当时，函数的函数值。分析：自变量x的值一定时，求函数值时只要把x的值代入_即可。解：【变式2】已知函数，当x为何值时，函数值是正数、0、负数？分析：已知函数解析式，可分别令函数值为正数、0、负数，即可求x的值。解：总结升华： 。类型五：函数的综合应用例5一辆汽车由A地驶向相距240千米

18、的B地，它的平均速度为30千米时，求汽车距B地的路程s（千米）与行驶时间t（时）之间的函数关系式，并画出这个函数图象。思路点拨：路程=_。解：总结升华： 。举一反三：【变式1】已知在等腰ABC中，AB=AC，根据下列条件，求y与x的函数解析式及自变量x的取值范围。（1）底角度数为x，顶角度数为y；（2）腰长为x，底边长为y，周长为8。解：【变式2】某公园集体门票的收费标准是：20人以内（含20人），每人25元，超过20人的部分，每人10元。（1）写出应收门票费y（元）与进园人数x（人）（x20）之间的函数关系式。（2）利用（1）中的关系式计算：某旅游团有54人去该公园观赏，购买门票花多少钱?分

19、析：20人以内应收费为_，当进园人数为x（x20）人时，门票费y元。则等于_。解： 【变式3】 如下图中各图形是由若干皮球摆成的形如三角形的图案，每条边（包括两个顶点）有n（n1）个皮球，每个图案皮球总数是s，按照所给规律写出总数s与皮球个数n之间的关系式。分析：通过所绘图案可得：随着每条边包含的皮球数的增多，图案的皮球总数s也在_且有：n=2,S=3；n=3,S=6；n=4,S=9。n每增加1时，S增加_。因此，可猜想s=_，可用_验证关系式，结论正确。解：总结升华： 。三、总结与测评要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。总结规律和方法强化所学认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧。（一）学习函数时，要注意区分_与变量，函数与函数值等概念，例如：，是随的变化而变化的量，变量是变量的_，_是常量；函数值是自变量所对应的某个具体数值，一个函数可能有许多不同的_，例如当时，函数的函数值等于_；当时，函数的函数值等于_。（二）函数的图象以几何形式直观地表示变量间的_对应关系，是研究函数的重要工具。学习函数的图象不仅要了解它的一般意义和作法，更重要的是了解其中包含的_地研究问题的思想，学习如何使用这种工具讨论函数。