选修2-3.3.1回归分析的基本思想及其初步应用ppt课件.ppt

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1、高二数学 选修2-3 第三章 统计案例2022-7-301v:pzyandong问题问题1：正方形的面积：正方形的面积y与正方形的边长与正方形的边长x之间的之间的函数关系函数关系是是y = x2确定性关系确定性关系问题问题2：某水田水稻产量：某水田水稻产量y与施肥量与施肥量x之间是否有一个确定性的关系？之间是否有一个确定性的关系？变量之间的两种关系变量之间的两种关系2022-7-302v:pzyandong10 20 30 40 50500450400350300 xy施化肥量施化肥量水稻产量水稻产量施化肥量施化肥量x 15202530354045水稻产量水稻产量y 3303453654054

2、454504552022-7-303v:pzyandong 自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做的关系叫做相关关系相关关系.定义定义： （1）相关关系是一种不确定性关系；）相关关系是一种不确定性关系；（2）对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫）对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析回归分析.2022-7-304v:pzyandong 现实生活中存在着大量的相关关系现实生活中存在着大量的相关关系探究探究1：水稻产量水稻产量y与施肥量与施肥量x之间大致有何规律？之间大致有何规律？2022

3、-7-305v:pzyandong10 20 30 40 50500450400350300发现：图中各点，大致分布在某条直线附近发现：图中各点，大致分布在某条直线附近.探究探究2：在这些点附近可画不止一条直线，哪条直线最能代表：在这些点附近可画不止一条直线，哪条直线最能代表x与与y之之间的关系呢？间的关系呢？施化肥量施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45水稻产量水稻产量y 330 345 365 405 445 450 455xy散点图散点图施化肥量施化肥量水稻产量水稻产量2022-7-306v:pzyandong最小二乘估计下的线性回归方程：最小二乘估计下的线性回归方程：yb

4、xa niiniiixnxyxnyx1221 niixnx11 niiyny11),(yx回归直线必过样本点的中心回归直线必过样本点的中心 niiniiixxyyxxb121)()(xbya 2022-7-307v:pzyandong例例1 从某大学中随机选出从某大学中随机选出8 8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示名女大学生，其身高和体重数据如下表所示解：解：由于问题中要求由于问题中要求根据身高预报体重，根据身高预报体重，因此选取身高为自变因此选取身高为自变量量x，体重为因变量，体重为因变量y.作散点图作散点图编号编号12345678身高身高16516515717017516515517

5、0体重体重/kg48575054646143592022-7-308v:pzyandong由散点图可知，身高和体重有比较好的线性相关关系，设回归由散点图可知，身高和体重有比较好的线性相关关系，设回归直线方程为直线方程为y=bx+a由系数公式得由系数公式得849.0 b712.85 a所以回归方程为所以回归方程为712.85849. 0 xy求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为172的女大学生的体重的女大学生的体重. .0.84917285.71260.316(kg)探究探究 身高为身高为172cm的女大学生的体重一定是

6、的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不吗？如果不是，你能解析一下原因吗？是，你能解析一下原因吗？2022-7-309v:pzyandong1.确定变量；确定变量；2.作散点图，判断相关关系；作散点图，判断相关关系；3.设回归方程；设回归方程；4.求回归方程；求回归方程；5.根据回归方程作出预报根据回归方程作出预报.解答步骤：解答步骤：2022-7-3010v:pzyandong对于一组具有线性相关的数据对于一组具有线性相关的数据其回归直线方程为其回归直线方程为线性回归模型线性回归模型(x1, y1), (x2, y2), (xn, yn),y=bx+ay=bx+a+e2022-7-3

7、011v:pzyandong其中其中a和和b为模型的未知参数，为模型的未知参数，e称为随机误差称为随机误差.线性回归模型线性回归模型eabxy 2022-7-3012v:pzyandong线性回归模型线性回归模型其中，其中，a和和b是模型的未知参数是模型的未知参数.通常通常e e为随机变量，称为为随机变量，称为随机误差随机误差. . 2)(, 0)( eDeEeabxy2022-7-3013v:pzyandong当变量当变量x取取xi(i=1,2,n)时，回归方程的时，回归方程的i与实际收集到的与实际收集到的yi之之间的间的偏差偏差是是yii=yi(bxi+a)oxyyii(x1,y1)(x2

8、,y2)(xi,yi)2022-7-3014v:pzyandong残差残差 数据点和它在回归直线上相应位置的差异数据点和它在回归直线上相应位置的差异 i=yii 称为相应于点称为相应于点(xi，yi)的的残差残差。例：编号为例：编号为6的女大学生，计算随机误差的效应的女大学生，计算随机误差的效应(残差残差)61 (0.849 16585.712)6.627残差平方和残差平方和 把每一个残差所得的值平方后加起来，用数学符号表示为：把每一个残差所得的值平方后加起来，用数学符号表示为：21()niiiyy称为称为残差平方和残差平方和2022-7-3015v:pzyandong下图列出了女大学生身高和

9、体重的原始数据以及相应的残差数据。下图列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。残差分析与残差图的定义：残差分析与残差图的定义：编号编号12345678身高身高165165157170175165155170体重体重/kg4857505464614359残差残差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.3822022-7-3016v:pzyandong残差图的制作及作用。残差图的制作及作用。 若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域；若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域；对于远离横轴的点，要特别注意。

10、对于远离横轴的点，要特别注意。身高与体重残差图异常点 错误数据错误数据 模型问题模型问题 几点说明：几点说明： 第一个样本点和第第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。为的错误。 另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。2022-7-3017v:pzyandong我们可以

11、用我们可以用R2来刻画回归的效果，其计算公式是来刻画回归的效果，其计算公式是显然，显然，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。R2越接近越接近1，表示回归的效果越好（因为，表示回归的效果越好（因为R2越接近越接近1，表示解析变量和，表示解析变量和预报变量的线性相关性越强）。预报变量的线性相关性越强）。 如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较过比较R R2 2的值来做出选择，即选取的值来做出选择，即选取R R2 2较大的模型作为这组数据

12、的模型。较大的模型作为这组数据的模型。总的来说：总的来说：相关指数相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。是度量模型拟合效果的一种指标。在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力。在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力。 niiniiiiyyyyR1222)()(12022-7-3018v:pzyandong 1.反映回归直线的拟合程度反映回归直线的拟合程度2.取值范围在取值范围在 0 , 1 之间之间3. R2 1,说明回归方程拟合的越好说明回归方程拟合的越好;R20,说明回归方程拟合的越差说明回归方程拟合的越差的含义的含义2022-7-3019v:pzyandong练习练习1 在

13、一段时间内在一段时间内,某中商品的价格某中商品的价格x元和需求量元和需求量y件之间的一组数据为：件之间的一组数据为：求出求出y对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。价格价格x1416182022需求量需求量y1210753解：解：18,7.4,xy555221111660,327,620,iiiiiiixyx y7.4 1.15 1828.1.a1.1528.1.yx回归直线方程为：51522155iiiiix yxybxx26205 18 7.41.15.16605 18 2022-7-3020v:pzyandong练习练习1 在一段时间内，某中商品

14、的价格在一段时间内，某中商品的价格x元和需求量元和需求量Y件之间的一件之间的一组数据为：组数据为：求出求出Y对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。价格价格x1416182022需求量需求量Y1210753列出残差表为列出残差表为521()iiiyy0.3,521()iiyy53.2,5221521()1()iiiiiyyRyy 0.994因而，拟合效果较好。因而，拟合效果较好。iiyyiyy00.3-0.4-0.10.24.62.6-0.4-2.4-4.42022-7-3021v:pzyandong案例案例2 一只红铃虫的产卵数一只红铃虫的产卵数y和温

15、度和温度x有关。现收集了有关。现收集了7组观测数据组观测数据列于表中：列于表中：（1）试建立产卵数）试建立产卵数y与温度与温度x之间的回归方程；并预测温度为之间的回归方程；并预测温度为28oC时产卵数目。时产卵数目。（2）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？ 温度温度xoC21232527293235产卵数产卵数y/个个711212466115325非线性回归问题2022-7-3022v:pzyandong假设线性回归方程为假设线性回归方程为 ：=bx+a选选 模模 型型由计算器得：线性回归方程为由计算器得：线性回归方程为y

16、=19.87x-463.73相关指数相关指数R2=r20.8642=0.7464估计参数估计参数 解：选取气温为解释变量解：选取气温为解释变量x，产卵数为预报变量，产卵数为预报变量y。 选变量选变量所以，一元线性模型中温度解释了所以，一元线性模型中温度解释了74.64%的产卵数变化。的产卵数变化。探索新知探索新知画散点图画散点图0 050501001001501502002002502503003003503500 03 36 69 91212151518182121242427273030333336363939方案方案1分析和预测分析和预测当当x=28时，时，y =19.8728-463.

17、73 93一元线性模型一元线性模型2022-7-3023v:pzyandong y=bx2+a(非线性关系非线性关系 ) t=x2变换变换 y=bt+a(线性关系线性关系)方案2选用选用y=bx2+a ，还是，还是y=bx2+cx+a ？如何求？如何求a、b ？-200-1000100200300400-40-30-20-10010203040 产卵数产卵数气温气温二次函数模型二次函数模型2022-7-3024v:pzyandong方案方案2解答解答平方变换平方变换：令令t=x2，产卵数，产卵数y和温度和温度x之间二次函数模型之间二次函数模型y=bx2+a就转化为产卵数就转化为产卵数y和温度的

18、平方和温度的平方t之间线性回归模型之间线性回归模型y=bt+a温度温度21232527293235温度的平方温度的平方t44152962572984110241225产卵数产卵数y/个个711212466115325作散点图，并由计算器得：作散点图，并由计算器得：y和和t之间的线性回归之间的线性回归方程为方程为y=0.367t-202.543，相关指数，相关指数R2=0.802将将t=x2代入线性回归方程得：代入线性回归方程得： y=0.367x2 -202.543当当x=28时时，y=0.367282-202.5485，且，且R2=0.802，所以，二次函数模型中温度解释了所以，二次函数模型

19、中温度解释了80.2%的产卵数的产卵数变化。变化。产卵数y/个0501001502002503003500150300450600750900 1050 1200 1350t2022-7-3025v:pzyandong 变换变换 y=bx+a非线性关系非线性关系 线性关系线性关系-50050100150200250300350400450-10-50510152025303540产卵数产卵数气气温温指数函数模型指数函数模型方案32022-7-3026v:pzyandong方案方案3解答解答温度温度xoC21232527293235z=lny1.9462.3983.0453.1784.1904.

20、7455.784产卵数产卵数y/个个71121246611532500.40.81.21.622.42.8036912 15 18 21 24 27 30 33 36 39xz相关指数相关指数R2=0.98,当当x=28oC 时，时，y 44 ，指数回归模型中温度解释了指数回归模型中温度解释了98.5%的产卵的产卵数的变化数的变化由计算器得：由计算器得：z关于关于x的线性回归方程为的线性回归方程为0.272x-3.849 .ye22111221lnln()lnlnlnlnlnc xc xycececc xec xc 对数变换：在对数变换：在 中两边取常用对数得中两边取常用对数得21c xyc

21、e令令 ，则，则 就转换为就转换为z=bx+a.12ln ,ln,zy ac bc21c xyc e z=0.272x-3.849 ,2022-7-3027v:pzyandong最好的模型是哪个最好的模型是哪个?-200-1000100200300400-40-30-20-10010203040 产卵数产卵数气温气温-50050100150200250300350400450-10-50510152025303540产卵数产卵数气温气温线性模型线性模型二次函数模型二次函数模型指数函数模型指数函数模型2022-7-3028v:pzyandong比一比函数模型函数模型相关指数相关指数R2线性回归模

22、型线性回归模型0.7464二次函数模型二次函数模型0.802指数函数模型指数函数模型0.98最好的模型是哪个?2022-7-3029v:pzyandong作业：作业： 假设关于某设备的使用年限假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用和所支出的维修费用 y（万（万元），有如下的统计资料。元），有如下的统计资料。使用年限使用年限x 23456维修费用维修费用y 2.23.85.56.57.0若由资料知若由资料知,y对对x呈线性相关关系。试求：呈线性相关关系。试求：（1）线性回归方程）线性回归方程 的回归系数的回归系数 ；（2）求残差平方和；）求残差平方和；（3）求相关系数）求相关系数 ；（4）

23、估计使用年限为）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？年时，维修费用是多少？ybxa ab、2R2022-7-3030v:pzyandong知识点一回归分析的概念知识点一回归分析的概念回归分析是对具有回归分析是对具有_的两个变量进行统计分析的一种常用方法的两个变量进行统计分析的一种常用方法知识点二线性回归模型知识点二线性回归模型(1)由散点图易发现，样本点散布在某一条直线附近，而不是一条直线由散点图易发现，样本点散布在某一条直线附近，而不是一条直线上，不能用一次函数上，不能用一次函数ybxa描述它们之间的关系，因此用线性回归模型描述它们之间的关系，因此用线性回归模型ybxae来表示，其中来表

24、示，其中a，b为未知参数，为未知参数，e为为_.相关关系相关关系 随机误差随机误差 2022-7-3031v:pzyandong2022-7-3032v:pzyandong(3)解释变量和预报变量解释变量和预报变量线性回归模型与一次函数模型的不同之处是增加了随机误差项线性回归模型与一次函数模型的不同之处是增加了随机误差项e，因变，因变量量y由由_和和_共同确定，即自变量共同确定，即自变量x只解释部分只解释部分y的的变化，在统计中，我们也把自变量变化，在统计中，我们也把自变量x称为解释变量，因变量称为解释变量，因变量y称为预报变称为预报变量量自变量自变量x 随机误差随机误差e 2022-7-30

25、33v:pzyandong2022-7-3034v:pzyandong知识点三刻画回归效果的方式知识点三刻画回归效果的方式残差残差 样本编号样本编号 身高数据身高数据 体重估计值体重估计值 2022-7-3035v:pzyandong越小 解释解释 预报预报 【想一想想一想】 2.在线性回归模型在线性回归模型ybxae中，中，e的作用是什么？的作用是什么？提示：提示：e的作用是提供选择模型的准则，以及在模型合理的情况下探究的作用是提供选择模型的准则，以及在模型合理的情况下探究最佳估计值最佳估计值a，b的工具的工具2022-7-3036v:pzyandong知识知识点四非线性回归分析点四非线性回

26、归分析(1)(1)非线性相关关系：样本点分布在某一条曲线的非线性相关关系：样本点分布在某一条曲线的周围周围, ,而而不是一条直线不是一条直线附附近近, ,我们我们就称这两个变量之间不具有线性相关就称这两个变量之间不具有线性相关关系关系, ,而而是非线性相关关系是非线性相关关系(2)非线性回归方程线性化非线性回归方程线性化yaxn(其中其中a，x，y均为正值均为正值)(幂函数型函数幂函数型函数)lg ylg anlg x，令，令ulg y，vlg x，blg a，则则unvb，图象为一条直线，图象为一条直线ycax(a0，c0)(指数型函数指数型函数)lg yxlg alg c，令，令ulg y

27、，blg c，dlg a，则则udxb，图象为一条直线，图象为一条直线2022-7-3037v:pzyandong(1)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据散点图确定两个变量在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，然后利用最小二乘法求出回归直线方程之间是否存在相关关系，然后利用最小二乘法求出回归直线方程求线性回归方程求线性回归方程2022-7-3038v:pzyandong2022-7-3039v:pzyandong解：解：(1)(1)散点图如图：散点图如图：2022-7-3040v:pzyandong2022-7-3041v:pzyandong

28、规律方法规律方法求线性回归方程的三个步骤求线性回归方程的三个步骤(1)画散点图：由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关画散点图：由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系关系(2)求回归系数：若存在线性相关关系，则求回归系数求回归系数：若存在线性相关关系，则求回归系数(3)写方程：写出线性回归方程，并利用线性回归方程进行预测说明写方程：写出线性回归方程，并利用线性回归方程进行预测说明2022-7-3042v:pzyandong1某工厂某工厂18月份某种产品的产量与成本的统计数据见下表：月份某种产品的产量与成本的统计数据见下表：月份月份12345678产量产量(吨吨)5.

29、66.06.16.47.07.58.08.2成本成本(万元万元)130136143149157172183188以产量为以产量为x，成本为，成本为y.(1)画出散点图；画出散点图；(2)y与与x是否具有线性相关关系？若有，求出其回归方程是否具有线性相关关系？若有，求出其回归方程2022-7-3043v:pzyandong解：解：(1)由表画出散点图，如图所示由表画出散点图，如图所示2022-7-3044v:pzyandong(2)从上图可看出，这些点基本上散布在一条直线附近，可以认为从上图可看出，这些点基本上散布在一条直线附近，可以认为x和和y线线性相关关系显著，下面求其回归方程，首先列出下表

30、性相关关系显著，下面求其回归方程，首先列出下表.xiyixxiyi15.613031.36728.026.013636.00816.036.114337.21872.346.414940.96953.657.015749.001 099.067.517256.251 290.078.018364.001 464.088.218867.24 1 541.654.81 258382.028 764.52022-7-3045v:pzyandong2022-7-3046v:pzyandong1由线性回归方程给出的是一个预报值而非精确值由线性回归方程给出的是一个预报值而非精确值2随机误差的主要来源：随机

31、误差的主要来源：(1)线性回归模型与真实情况引起的误差；线性回归模型与真实情况引起的误差；(2)省略了一些因素的影响产生的误差；省略了一些因素的影响产生的误差；(3)观测与计算产生的误差观测与计算产生的误差3残差分析是回归分析的一种方法残差分析是回归分析的一种方法4用相关指数用相关指数R2来刻画回归效果来刻画回归效果R2越大，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；越大，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；R2越小，残越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差差平方和越大，即模型的拟合效果越差2022-7-3047v:pzyandong为研究重量为研究重量x(单位：单位：g)对弹簧

32、长度对弹簧长度y(单位：单位：cm)的影响，对不的影响，对不同重量的同重量的6个物体进行测量，数据如下表所示：个物体进行测量，数据如下表所示：(1)作出散点图，并求线性回归方程；作出散点图，并求线性回归方程；(2)求出求出R2；(3)进行残差分析进行残差分析x51015202530y7.258.128.959.910.911.82022-7-3048v:pzyandong解：解：(1)散点图如图所示：散点图如图所示：2022-7-3049v:pzyandong2022-7-3050v:pzyandong(3)由残差表中的数值可以看出第由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认在

33、个样本点的残差比较大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠正数据，采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠正数据，重新建立回归模型；由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在不超过重新建立回归模型；由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高由以上分析可知，弹簧长度与重量成线性相关关系由以上分析可知，弹簧长度与重量成线性相关关系2022-7-3051v:pzyandong残差图也是用来刻画拟合效果的，判断依据是残差点比较均匀地分布残差图也

34、是用来刻画拟合效果的，判断依据是残差点比较均匀地分布在水平的带状区域中，带状区域越窄，说明模型拟合精度越高，回归方在水平的带状区域中，带状区域越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程预报精度越高程预报精度越高2022-7-3052v:pzyandong2022-7-3053v:pzyandong2022-7-3054v:pzyandong2022-7-3055v:pzyandong2022-7-3056v:pzyandong 非线性回归分析非线性回归分析2022-7-3057v:pzyandong在一次抽样调查中测得样本的在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表个样本点，数值如下表：试建立

35、试建立y与与x之间的回归方程之间的回归方程x0.250.5124y1612521解：解：作出变量作出变量y与与x之间的散点之间的散点图如图所示图如图所示由图可知变量由图可知变量y与与x近似地呈反近似地呈反比例函数关系比例函数关系2022-7-3058v:pzyandong作出作出y与与t的散点图如图所示的散点图如图所示2022-7-3059v:pzyandong2022-7-3060v:pzyandong规律方法规律方法求非线性回归方程的步骤求非线性回归方程的步骤(1)确定变量，作出散点图确定变量，作出散点图(2)根据散点图，选择恰当的拟合函数根据散点图，选择恰当的拟合函数(3)变量置换，通过

36、变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题，并变量置换，通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题，并求出线性回归方程求出线性回归方程(4)分析拟合效果，通过计算相关指数或画残差图来判断拟合效果分析拟合效果，通过计算相关指数或画残差图来判断拟合效果(5)根据相应的变换，写出非线性回归方程根据相应的变换，写出非线性回归方程2022-7-3061v:pzyandong3某地区对本地的企业进行了一次抽样调查，表中是这次抽查中所得某地区对本地的企业进行了一次抽样调查，表中是这次抽查中所得到的各企业的人均资本到的各企业的人均资本x(单位单位 万元万元)与人均产值与人均产值y(单位单位 万元万元)的数

37、据的数据人均资本人均资本x/万元万元345.56.578910.511.514人均产值人均产值y/万元万元4.124.678.6811.0113.0414.4317.5025.4626.6645.20(1)设设y与与x之间具有近似关系之间具有近似关系yaxb (a，b为常数为常数)，试根据表中数据估计，试根据表中数据估计a和和b的值；的值；(2)估计企业人均资本为估计企业人均资本为16万元时的人均产值万元时的人均产值(精确到精确到0.01)解：解：(1)在在yaxb的两边取常用对数，可得的两边取常用对数，可得lg ylg ablg x，设，设lg yz，lg aA，lg xX，则，则zAbX.2022-7-3062v:pzyandong相关数据计算如下表所示相关数据计算如下表所示.人均资本人均资本x/万元万元345.56.57人均产出人均产出y/万元万元4.124.678.6811.0113.04Xlg x0.477 120.602 060.740 360.812 910.845 10 zlg y0.614 900.669 320.938 521.041 791.115 282022-7-3063v:pzyandong2022-7-3064v:pzyandong2022-7-3065v:pzyandong2022-7-3066v:pzyandong