向量的内积与向量组的正交化ppt课件.ppt

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1、定义定义1 1,2121 nnyyyyxxxx1、内积的定义及性质、内积的定义及性质 .,yxyxT 内积可用矩阵记号表示为：内积可用矩阵记号表示为：一、向量的内积与向量组的正交化一、向量的内积与向量组的正交化, yx如果如果内积是向量的一种运算内积是向量的一种运算 都是列向量，都是列向量， .,的内积的内积与与为向量为向量称称yxyx nnyxyxyxyx+ + + + L2211,令令维向量维向量设有设有 n内积的运算性质内积的运算性质 :,为实数为实数维向量维向量为为其中其中 nzyx ;,)1(xyyx ;,)2(yxyx ;,)3(zyzxzyx+ + + +. 0,0, 0,)4(

2、 xxxxx时有时有且当且当定义定义2 2 ,22221nxxxxxx+ + + + L令令向量的长度具有下述性质：向量的长度具有下述性质：2、向量的长度及性质、向量的长度及性质4).4).柯西柯西- -施瓦茨（施瓦茨（Cauchy-SchwarzCauchy-Schwarz）不等式不等式: : 的长度的长度 .或范数或范数维向量维向量为为称称xnx; 0,0; 0,0 xxxx时时当当时时当当非负性非负性.1);xx 齐次性齐次性.2).yxyx+ + + +三角不等式三角不等式.3)222,yxyx为单位向为单位向量量.,1称称时时当当xx .1 , 5 , 1 , 33 , 2 , 2

3、, 1的夹角的夹角与与求向量求向量 例例解解 cos2262318 .4 维向量间的夹角维向量间的夹角n正交的概念正交的概念. ,0,yxyx与与称称向向量量时时当当 正交正交., 0,与任何向量都正交与任何向量都正交则则若若由定义知由定义知 xx . 的的与与维维向向量量称称为为yxn夹角夹角 yxyxyx,arccos,0,0 时时当当正交向量组的概念正交向量组的概念若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组3、正交向量组的概念及求法、正交向量组的概念及求法, 0021111 T由由.01 从从而而有有. 02 r L同

4、理可得同理可得.,21线线性性无无关关故故r L使使设设有有r ,21L证明证明02211 + + + +r L得得左左乘乘上上式式两两端端以以,1aT0111 T正交向量组的性质正交向量组的性质线线性性无无关关. ., , , ,则则向向量量, ,是是一一组组两两两两正正交交的的非非零零, , , ,维维向向量量若若rrnLL2121 1定定理理向量空间的正交基向量空间的正交基.,且且的一个基的一个基是向量空间是向量空间若若VV ,21的正交基的正交基向量空间向量空间是是则称则称是两两正交的非零向量组是两两正交的非零向量组rL, 21rL, 21rL规范正交基（标准正交基）规范正交基（标准正

5、交基）.,)(,212121的一个规范正交基的一个规范正交基是是则称则称且都是单位向量,且都是单位向量,两两正交两两正交如果如果的一个基,的一个基,是向量空间是向量空间维向量维向量设设定义定义VeeeeeeRVVeeenrrnr 3 LLL.212100,212100,002121,0021214321 eeee例如例如.,44321的的一一个个规规范范正正交交基基为为所所以以Reeee求规范正交基的方法求规范正交基的方法。正正交交规规范范化化基基称称为为把把这这样样一一个个问问题题, ,等等价价, ,与与使使两两正正交交的的单单位位向向量量就就是是要要找找一一组组两两的的一一个个规规范范正正

6、交交基基, ,要要求求的的一一个个基基, ,是是向向量量空空间间设设rrrrreeeeeeVV,2121212121LLLLL （1）正交化正交化，取取 ，11ab ,1112122bbbabab ,21的一个基的一个基为向量空间为向量空间若若VaaarL222321113133,bbbabbbbabab LLLL111122221111, rrrrrrrrrbbbabbbbabbbbababL.,111等价等价与与且且两两正交两两正交那么那么rrraabbbbLLL.,11 称称为为的的过过程程, ,构构造造出出正正交交向向量量组组上上述述由由线线性性无无关关向向量量组组 rrbbaaLL施

7、密特正交化过程施密特正交化过程（2）单位化单位化，取，取,222111rrrbbebbebbe LL.,21的的一一个个规规范范正正交交基基为为那那么么VeeerL例例 用施密特正交化方法，将向量组用施密特正交化方法，将向量组)1, 1 , 5 , 3(),4 , 0 , 1, 1(),1 , 1 , 1 , 1(321 aaa正交规范化正交规范化.解解 先先正交化正交化， 1 , 1 , 1 , 111 ab 1112122,bbbabab 1 , 1 , 1 , 111114114 , 0 , 1, 1+ + + + + 3 , 1, 2, 0 取取222321113133,bbbabbb

8、babab 3 , 1, 2, 014141 , 1 , 1 , 1481, 1 , 5 , 3 0 , 2, 1 , 1 143,141,142, 03 , 1, 2, 0141222bbe 0 ,62,61,610 , 2, 1 , 161333bbe再再单位化单位化，得规范正交向量组如下得规范正交向量组如下 21,21,21,211 , 1 , 1 , 121111bbe例例.,014,131,121321把把这这组组向向量量规规范范正正交交化化试试用用施施密密特特正正交交化化过过程程设设aaa 解解;11ab 取取bbbaab1212221, 12164131;11135 bbbabb

9、baab222312133321, + + 1113512131014.1012 再把它们单位化，取再把它们单位化，取bbe111 ,12161 bbe222 ,11131 bbe333 .10121 .,321即合所求即合所求eee例例.,111321321两两正交两两正交使使求一组非零向量求一组非零向量已知已知aaaaaa 解解.110,10121 它它的的基基础础解解系系为为把基础解系正交化，即合所求亦即取把基础解系正交化，即合所求亦即取,12 a.,1112123 a于于是是得得其其中中, 2, , 1,1121 ,1012 a.12121101211103 a. 0,0,321132

10、+xxxaaaxT即即应满足方程应满足方程证明证明EAATE 定义定义4 4.,1 为正交矩阵为正交矩阵则称则称即即满足满足阶方阵阶方阵若若AAAEAAAnTTnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaLLLLLLLLLLLLLL2122221112112122212121114、正交矩阵与正交变换、正交矩阵与正交变换定理定理 为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是 的列向量都是单位向量且两两正交的列向量都是单位向量且两两正交AAnjijijiijjTi, 2 , 1, 0;, 1L当当例如，验证矩阵例如，验证矩阵 是正交矩阵。是正交矩阵。212100002121212

11、1212121212121P性质性质 正交变换保持向量的长度不变正交变换保持向量的长度不变证明证明,为正交变换为正交变换设设Pxy .xxxPxPxyyyTTTT 则有则有例例 判别下列矩阵是否为正交阵判别下列矩阵是否为正交阵 ,1213121121312111 .9794949491989498912 定义定义5 5 若若 为正交阵，则线性变换为正交阵，则线性变换 称为正交变换称为正交变换Pxy P解解, 02131121211 + + + + 所以它不是正交矩阵所以它不是正交矩阵（1）考察矩阵的第一列和第二列，）考察矩阵的第一列和第二列，由于由于 979494949198949891 97

12、9494949198949891T所以它是正交矩阵所以它是正交矩阵 100010001由于由于 97949494919894989121、相似矩阵与相似变换概念、相似矩阵与相似变换概念的相似变换矩阵的相似变换矩阵. .变成变成称为把称为把可逆矩阵可逆矩阵BAP., 相似相似与与或说矩阵或说矩阵的相似矩阵的相似矩阵是是则称则称使使若有可逆矩阵若有可逆矩阵阶矩阵阶矩阵都是都是设设定义定义1 1BAABBAPPPnA,B11 进行相似变换进行相似变换, ,称为对称为对行运算行运算进进对对AA,BAPP11 二二 矩阵对角化矩阵对角化.).1 (2111211PAPPAPPAAP., ).3(为正整数

13、相似与则相似与若mBABAmm2、相似矩阵的性质、相似矩阵的性质.,).2(2121211122111是任意常数其中kkPAPkPAPkPAkAkP+(4). .相似矩阵具有相同的秩和行列式相似矩阵具有相同的秩和行列式. .(5). .若两个相似矩阵可逆，则它们的逆也相似若两个相似矩阵可逆，则它们的逆也相似. .(6). .相似矩阵具有相同的特征多项式和特征值相似矩阵具有相同的特征多项式和特征值. .证明证明相相似似与与BA PEPAPPEB 11 PEAP 1PEAP 1.EA BAPPP 1,使使得得可可逆逆阵阵问题问题：是否任何一个方阵都相似于一个对角矩阵呢：是否任何一个方阵都相似于一个

14、对角矩阵呢? n 21.,21个个特特征征值值的的即即是是则则相相似似nAn L推论推论 若若 阶方阵阶方阵A与对角阵与对角阵 相似相似, ,n3、利用相似变换将方阵对角化、利用相似变换将方阵对角化对对n阶方阵阶方阵A, ,若可找到可逆矩阵若可找到可逆矩阵P, ,使使 为对角阵为对角阵, ,则称则称A可对角化可对角化. .APP 11 . .) )( ( 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量有有的充分必要条件是的充分必要条件是能对角化能对角化即即与对角矩阵相似与对角矩阵相似阶矩阵阶矩阵定理定理nAAAn证明证明,为对角阵为对角阵使使假设存在可逆阵假设存在可逆阵 PAPP 11 .,21np

15、ppPL P 用其列向量表示为用其列向量表示为把把, PAP得得 11APP由由 nnnppppppA LL212121,即即 .,2211nnppp L nnpppApApAp,),(21121LL命题得证命题得证. . PAP使使,Pn个特征向量即可构成矩阵个特征向量即可构成矩阵这这,nA个特征向量个特征向量恰好有恰好有假设假设反之反之说明说明推论推论: :如果如果n阶矩阵阶矩阵A的的n个特征值互不相等，则个特征值互不相等，则A与对角阵相似与对角阵相似 若若A的特征方程有重根的特征方程有重根, ,此时不一定有此时不一定有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量, ,从而矩从而矩阵阵A不一

16、定能对角化不一定能对角化, ,但如果能找到但如果能找到n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量, ,还是能对角化还是能对角化例例1 1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 242422221)1(A 201335212)2(A ., 2 , 1nipApiiiL 于是有于是有的特征向量的特征向量. .的对应于特征值的对应于特征值就是就是的列向量的列向量而而iiApP ,的特征值的特征值是是可见可见iA .,21线性无关线性无关所以所以可逆可逆又由于又由于npppPL解解EA 由由)1( 722+ + 0 242422221. 7, 2321 得得得方程组代入将, 0

17、2121xEA + + + + + + 04420442022321321321xxxxxxxxx解之得基础解系解之得基础解系.110,10221 同理同理, , ,0,73 xEA 由由对对求得基础解系求得基础解系 2 , 2 , 13T .,3 可对角化可对角化因而因而个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量有有即即AA,0211210102 由于由于.,321线性无关线性无关所以所以 201335212EA 31+ + 201335212)2(A.1321 的特征值为的特征值为所以所以 A解之得基础解系解之得基础解系,) 1, 1 , 1 ( T 故故A 不能化为对角矩阵不能化为对角矩阵

18、. ,01 xEA 代入代入把把 163053064A设设例例2 2解解 163053064EA 212+ + A能否对角化？能否对角化？若能对角化若能对角化,则求出可逆矩阵则求出可逆矩阵P,.1为对角阵为对角阵使使APP .2,1321 的全部特征值为的全部特征值为所以所以 A 得方程组得方程组代入代入将将0121 xEA + +063063063212121xxxxxx解之得基础解系解之得基础解系,0121 .1002 110101102, 321 P令令.200010001 1 APP则则有有所以所以A可对角化可对角化. .1 , 1 , 13 T 得方程组的基础解系得方程组的基础解系

19、代入代入将将,023 xEA ,321线性无关线性无关, ,由于由于 注意注意 , ,213 P若若令令111 012 100. 1 APP则则有有00 00002 11即矩阵即矩阵P 的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应小小 结结1 1相似矩阵相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好的性质相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好的性质相似变换与相似变换矩阵相似变换与相似变换矩阵这种变换的重要意义在于这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种运算简化对矩阵的各种运算，其方法是先通过其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对

20、角矩阵进行运算，相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算相似变换相似变换是对方阵进行的一种运算，它把是对方阵进行的一种运算，它把A变成，而可逆变成，而可逆矩阵矩阵P 称为进行这一变换称为进行这一变换的的相似变换矩阵相似变换矩阵APP1 ,111111111 LLLA.00100100 LLLnB思考题.,是否相似是否相似判断下列两矩阵判断下列两矩阵BA思考题解答. 0,)( )()det( 211 nnnAnEAL的特征值为的特征值为因因解解使得使得矩阵矩阵存在可逆存在可逆是实对称矩阵是实对称矩阵又又, 1PA),0 , 0 ,(111LndiagPAP ,)( )()det( 1 nnEB还可求得还可求得.有相同的特征值有相同的特征值与与即即AB,1, 02特征向量特征向量个线性无关的个线性无关的有有对应特征值对应特征值 nn L使得使得故存在可逆矩阵故存在可逆矩阵,2P, 212 PBP, 212111PBPPAP 从而从而, 121112BPPAPP 即即.相似相似与与故故BA