排列组合习题课(定稿)ppt课件.ppt

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1、2014-04-252.2.掌握解决排列组合问题的常用策略掌握解决排列组合问题的常用策略; ;能运能运 用解题策略解决简单的综合应用题。提高用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力学生解决问题分析问题的能力 3.3.学会应用数学思想和方法解决排列组学会应用数学思想和方法解决排列组合问题合问题. .教学目标教学目标1. .进一步理解和应用分步计数原理和分类进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。计数原理。: :一、一、特殊元素和特殊位置优先策略特殊元素和特殊位置优先策略(优限法优限法)例例1.1: 7位同学站位同学站成一排成一排甲、乙只能站在两端的排法共甲、乙只能站在两

2、端的排法共有多少种？有多少种？(特殊元素分析特殊元素分析)解：根据分步计数原理：第一步 甲、乙站在两端有A22种；第二步 余下的5名同学进行全排列有A55种 则共有A22 A55 =240种排列方法甲乙 abcdeA55A22例例1.2: 由由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字可以组成多少个没有重复数字 五位奇数五位奇数. (特殊位置分析特殊位置分析) 解解:由于末位和首位有特殊要求由于末位和首位有特殊要求,应该优先安应该优先安 排排,以免不合要求的元素占了这两个位置以免不合要求的元素占了这两个位置先排末位共有先排末位共有_ 然后排首位共有然后排首位共有_最后排其它位置共有最后排

3、其它位置共有_13C13C14C14C34A34A由分步计数原理得由分步计数原理得=28813C14C34A1、 四名男生和三名女生站成一排：四名男生和三名女生站成一排：练习题练习题(1)一共有多少种不同的排法？一共有多少种不同的排法？(2)甲站在中间的不同排法有多少种？甲站在中间的不同排法有多少种？(3)甲、乙二人必须站在两端的排法有多少种？甲、乙二人必须站在两端的排法有多少种？(4)甲不排头，也不排尾，有多少种排法？甲不排头，也不排尾，有多少种排法？带有限制的排列题，既可以从带有限制的排列题，既可以从元素出发分析元素出发分析，也可以从也可以从位置出发分析位置出发分析,还可以使用还可以使用排

4、除法排除法。解（1）因为男女生共7人，不受任何条件限制，故共有77A=!7= 5040 种不同的排法。(1)一共有多少种不同的排法？四名男生和三名女生站成一排：四名男生和三名女生站成一排：甲(2)因甲站在中间已确定，而其余6人可站在除中间位置之外的六个不同位置上，所以共有66A=!6= 720 种不同的排法。(2)甲站在中间的不同排法有多少种？四名男生和三名女生站成一排：四名男生和三名女生站成一排：乙甲甲、乙二人站在两端，这二人是特殊元素，先考虑元素，甲、乙二人站在两端的站法有22A种，再考虑其余5人在中间5个不同位置的站法有55A种，根据分步计数原理，甲、乙二人站在两端的不同站法有22A55

5、A.= 240(种) 。(3)甲、乙二人必须站在两端的排法有多少种？甲、乙二人必须站在两端的排法有多少种？四名男生和三名女生站成一排：四名男生和三名女生站成一排：(4)解法一直接法 （特殊元素分析）甲首先考虑特殊元素甲，甲在中间5个位置任选 一个有15A种排法，再考虑一般元素的排法有66A种， 由分布计数原理得共有15A66A.= 3600 种。四名男生和三名女生站成一排：四名男生和三名女生站成一排：(4)甲不排头，也不排尾，有多少种排法？甲不排头，也不排尾，有多少种排法？(4)解法二 直接法 （特殊位置分析）甲首先考虑特殊位置排头和排尾的排法，由于甲不能在两端，因此只能从其余6人中任选二人排

6、在两端有26A种排法，再考虑一般位置的排法有55A种， 所以共有排法26A55A.= 3600 种。四名男生和三名女生站成一排：四名男生和三名女生站成一排：(4)甲不排头，也不排尾，有多少种排法？甲不排头，也不排尾，有多少种排法？(4)解法三 间接法 （也称排除法）甲不考虑条件限制，男女生共7人的不同站法只有77A种， 如果甲站在排头有66A种不同站法，由排除法知，甲不排头，也不排尾的排法共有77A66A-2= 3600 种。四名男生和三名女生站成一排：四名男生和三名女生站成一排：(4)甲不排头，也不排尾，有多少种排法？甲不排头，也不排尾，有多少种排法？ 2 2、有、有7 7种不同的花种在排成

7、一列的花盆里种不同的花种在排成一列的花盆里, ,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？花盆里，问有多少不同的种法？25451440A A练习题例例2. 72. 7人站成一排人站成一排 , ,其中甲乙相邻且丙丁相其中甲乙相邻且丙丁相 邻邻, , 共有多少种不同的排法共有多少种不同的排法. .甲甲乙乙丙丙丁丁由分步计数原理可得共有由分步计数原理可得共有种不同的排法种不同的排法55A22A22A=480解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成 一个复合元素，同时丙丁也看成一个一个复合元素，同时丙丁也看成一个

8、 复合元素，再与其它元素进行排列，复合元素，再与其它元素进行排列， 同时对相邻元素内部进行自排。同时对相邻元素内部进行自排。 . .某人射击某人射击8 8枪，命中枪，命中4 4枪，枪，4 4枪命中恰好枪命中恰好有有3 3枪连在一起的情形的不同种数为枪连在一起的情形的不同种数为（ ）练习题20解：把有解：把有3枪连在一起命中的情况看成一个整体，枪连在一起命中的情况看成一个整体，则它与另一命中的一枪不能再相邻，故则它与另一命中的一枪不能再相邻，故可用可用“插空法插空法”，首先对没有命中的，首先对没有命中的4枪进行排序，枪进行排序，因其地位平等，只有一种排法，然后插入因其地位平等，只有一种排法，然后

9、插入命中的情况，有命中的情况，有A5220种种 55A第二步将第二步将4 4舞蹈插入第一步排舞蹈插入第一步排好的好的6 6个元素中间包含首尾两个空位共有个元素中间包含首尾两个空位共有种种 不同的方法不同的方法 46A由分步计数原理,节目的不同顺序共有 种55A46A相相相相独独独独独独2. 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（ ） 421.1.某班新年联欢会原定的某班新年联欢会原定的5个节目已排成个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目节目单，开演前又增加了两个新节目.如果如果将这两个新节目插入原节目单中

10、，且将这两个新节目插入原节目单中，且两个两个新节目不相邻新节目不相邻，那么不同插法的种数为，那么不同插法的种数为（ ）练习题30四四. .重排问题求幂策略重排问题求幂策略例例5.5.把把6 6名实习生分配到名实习生分配到7 7个车间实习个车间实习, ,共有共有 多少种不同的分法多少种不同的分法解解: :完成此事共分六步完成此事共分六步: :把第一名实习生分配把第一名实习生分配 到车间有到车间有 种分法种分法. .7 7把把第二第二名实习生分配名实习生分配 到车间也有到车间也有7 7种种分分法，法，依此类推依此类推, ,由分步计由分步计数原理共有数原理共有 种种不同不同的排法的排法67允许重复的

11、排列问题的特点是以元素为研究允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限不同的元素没有限制地安排在制地安排在m个位置上的排列数为个位置上的排列数为 种种n nm m 某某8 8层大楼一楼电梯上来层大楼一楼电梯上来8 8名乘客人名乘客人, ,他们他们 到各自的一层下电梯到各自的一层下电梯, ,下电梯的方法下电梯的方法（ ）87练习题例例7.87.8人排成前后两排人排成前后两排, ,每排每排4 4人人, ,其中甲乙在其中甲乙在 前排前排, ,丁在后排丁在后排, ,共有

12、多少排法共有多少排法解解:8人排前后两排人排前后两排,相当于相当于8人坐人坐8把椅子把椅子,可以可以 把椅子排成一排把椅子排成一排. 先在前先在前4个位置排甲乙两个位置排甲乙两个特殊元素有个特殊元素有_种种,再排后再排后4个位置上的个位置上的特殊元素有特殊元素有_种种,其余的其余的5人在人在5个位置个位置上任意排列有上任意排列有_种种,则共有则共有_种种.前排后排后排24A14A55A24A55A14A一般地一般地,元素分成多排的排列问题元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑可归结为一排考虑,再分段研究再分段研究.六六. .平均平均( (非平均非平均) )分组问题除法策略分组问题除法策略例6

13、. 6本不同的书平均分成本不同的书平均分成3堆堆,每堆每堆2本共有本共有 多少分法？多少分法？解解: 分三步取书得分三步取书得 种方法种方法,但这里出现但这里出现 重复计数的现象重复计数的现象,不妨记不妨记6本书为本书为ABCDEF 若第一步取若第一步取AB,第二步取第二步取CD,第三步取第三步取EF 该分法记为该分法记为(AB,CD,EF),则则 中还有中还有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB) (EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有共有 种取法种取法 ,而而 这些分法仅是这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法一种分法,故共故共 有有 种分法。种分法。

14、222642CCC222642CCC33A222642CCC33A平均平均(非平均非平均)分成的组分成的组,不管它们的顺序如何不管它们的顺序如何,都是一种情况都是一种情况,所以分组后一定要除以所以分组后一定要除以 (n为均分的组数为均分的组数)避免重复计数。避免重复计数。nnA练习题:1.将将13个球队分成个球队分成3组组,一组一组5个队个队,其它两组其它两组4 个队个队, 有多少分法？有多少分法？544138422C C CA2.2.某校高二年级共有六个班级，现从外地转某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入入4 4名学生，要安排到该年级的两个班级且每名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安

15、排班安排2 2名，则不同的安排方案种数为名，则不同的安排方案种数为_ 2226422290ACC A七七. .元素相同问题隔板策略元素相同问题隔板策略例七例七.有有1010个相同的球，分给个相同的球，分给7 7个不同的盒子，个不同的盒子，每个盒子至少一个球每个盒子至少一个球, ,有多少种分配方案？有多少种分配方案？ 解：因为解：因为10个球没有差别，把它们排成个球没有差别，把它们排成一排。相邻球之间形成个空隙。一排。相邻球之间形成个空隙。在个空档中选个位置插入在个空档中选个位置插入6个隔板，个隔板，可把球分成份，对应地分给个可把球分成份，对应地分给个不同的盒子，每一种插板方法对应一种不同的盒子

16、，每一种插板方法对应一种分法分法,共有共有_种分法。种分法。盒子一盒子二盒子三盒子四盒子五盒子六盒子七69C11mnC练习题1.1.1010个相同的球装个相同的球装5 5个盒中个盒中, ,每盒至少一个球每盒至少一个球, ,共有多少装法？共有多少装法？3.x+y+z+w=1003.x+y+z+w=100求这个方程的自然数解求这个方程的自然数解 的组数的组数3103C49C2. x+y+z+w+h=10,求这个方程的正整数解求这个方程的正整数解的组数的组数.49C解：解：x+y+z+w=100，求这个方程的自然数解的组数转化，求这个方程的自然数解的组数转化为（为（x+1）+（y+1）+（z+1）+

17、（w+1）=104这个方程这个方程的自然数解组数再转化为的自然数解组数再转化为a+b+c+d=104的正整数解组的正整数解组数。数。C(103,3) 八八. .实际操作穷举实际操作穷举( (着色着色) )策略策略例八例八. .设有编号设有编号1,2,3,4,51,2,3,4,5的五个球和编号的五个球和编号1,2,3,4,51,2,3,4,5的五个盒子的五个盒子, ,现现将将5 5个球投入这五个盒子内个球投入这五个盒子内, ,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同个球的编号与盒子的编号相同, ,有多少投法有多少投法? ? 解：从解：从5个球

18、中取出个球中取出2个与盒子对号有个与盒子对号有_种还剩下种还剩下3球球3盒序号不能盒序号不能对应，对应，利用实际操作法，如果剩下利用实际操作法，如果剩下3,4,53,4,5号球号球, 3,4,5, 3,4,5号盒号盒3 3号球装号球装4 4号盒时，则号盒时，则4,54,5号球只有号球只有1 1种装法种装法, ,3 3号盒号盒4 4号盒号盒5 5号盒号盒34525C同理同理3 3号球装号球装5 5号盒时号盒时,4,5,4,5号球有也只有号球有也只有1 1种装法种装法, ,由分步计数原理由分步计数原理有有 种种 .25C 21.1. 同一寝室同一寝室4 4人人, ,每人写一张贺年卡集中起来每人写一

19、张贺年卡集中起来, , 然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张 贺年卡不同的分配方式有贺年卡不同的分配方式有_ 种？种？92.2.给图中区域涂色给图中区域涂色, ,要求相邻区域不同色要求相邻区域不同色, ,现有现有4 4种种可选颜色可选颜色, ,则不同的着色方法有则不同的着色方法有_种种. .213457272设四人分别为设四人分别为a、b、c、d，写的卡片分别为，写的卡片分别为A、B、C、D，由于每个人都要拿别人写的，即不能拿自己写的，故由于每个人都要拿别人写的，即不能拿自己写的，故a有三种拿法，有三种拿法，不妨设不妨设a拿了拿了B，则，则b可以拿剩下三张中

20、的任一张，也有三种拿法，可以拿剩下三张中的任一张，也有三种拿法，c和和d只能有一种拿法，只能有一种拿法，所以共有所以共有3311=9种分配方式，种分配方式， 九九. .定序问题倍缩定序问题倍缩( (空位、插入）策略空位、插入）策略例例9.79.7人排队人排队, ,其中甲乙丙其中甲乙丙3 3人顺序一定共有多人顺序一定共有多 少种不同的排法少种不同的排法解:( (倍缩法倍缩法) )对于某几个元素顺序一定的排列对于某几个元素顺序一定的排列问题问题, ,可先把这几个元素与其他元素一起可先把这几个元素与其他元素一起进行排列进行排列, ,然后用总排列数除以然后用总排列数除以这几个元这几个元素之间的全排列数

21、素之间的全排列数, ,则共有不同排法种数则共有不同排法种数是：是： 7733AA（空位法空位法）设想有）设想有7 7把椅子让除甲乙丙以外把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有的四人就坐共有 种方法，其余的三个种方法，其余的三个位置甲乙丙共有位置甲乙丙共有 种坐法，则共有种坐法，则共有 种种 方法方法 47A147A思考思考: :可以先让甲乙丙就坐吗可以先让甲乙丙就坐吗? ?（插入法插入法) )先排甲乙丙三个人先排甲乙丙三个人, ,共有共有1 1种排法种排法, ,再再 把其余把其余4 4四人四人依次依次插入共有插入共有 方法方法4 4* *5 5* *6 6* *7 7定序问题可以用倍缩法，定序问题

22、可以用倍缩法，( (即即n n个不同的元素个不同的元素中有中有m m个元素已定好位置的排法有个元素已定好位置的排法有:n!/m:n!/m! !种种.).)还可转化为占位插空模型处理还可转化为占位插空模型处理练习题（导学P.67变式2)1010人身高各不相等人身高各不相等, ,排成前后两排，每排排成前后两排，每排5 5人人, ,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？510C十十. .环排问题线排策略环排问题线排策略例例10. 510. 5人围桌而坐人围桌而坐, ,共有多少种坐法共有多少种坐法? ? 解：解：围桌而坐与围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成坐

23、成一排的不同点在于，坐成 圆形没有首尾之分，所以固定一人圆形没有首尾之分，所以固定一人A A并从并从 此位置把圆形展成直线其余此位置把圆形展成直线其余4 4人共有人共有_ 种排法即种排法即 44AA AB BC CE ED DD DA AA AB BC CE E（5-1)5-1)！1mnmA练习题6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈120例例11.11.有有5 5个不同的小球个不同的小球, ,装入装入4 4个不同的盒内个不同的盒内, , 每盒至少装一个球每盒至少装一个球, ,共有多少不同的装共有多少不同的装 法法. .解解: :第一步从第一步从5 5个球中选出个球中选出2 2个组成复合元共个组

24、成复合元共 有有_种方法种方法. .再把再把4 4个个元素元素( (包含一个复合包含一个复合 元素元素) )装入装入4 4个不同的盒内有个不同的盒内有_种方法种方法. .25C44A根据分步计数原理装球的方法共有根据分步计数原理装球的方法共有_25C44A练习题一个班有一个班有6 6名战士名战士, ,其中正副班长各其中正副班长各1 1人人现从中选现从中选4 4人完成四种不同的任务人完成四种不同的任务, ,每人每人完成一种任务完成一种任务, ,且正副班长有且只有且正副班长有且只有1 1人人参加参加, ,则不同的选法有则不同的选法有_ _ 种种192192解解：先在正副班长里选一名，即：先在正副班

25、长里选一名，即C2(1)再在再在4名战士里选名战士里选3名，即名，即C4(3)然后然后4个人随机分配任务，即个人随机分配任务，即A4(4)故选法有故选法有C2(1)*C4(3)*A4(4)=2*4*24=192种种 例例9.9.用用1,2,3,4,51,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数组成没有重复数字的五位数 其中恰有两个偶数夹其中恰有两个偶数夹1,1,在两个奇数之在两个奇数之 间间, ,这样的五位数有多少个？这样的五位数有多少个？解：把解：把,当作一个小集团与排队当作一个小集团与排队共有共有_种排法，再排小集团内部共有种排法，再排小集团内部共有_种排法，由分步计数原理共有种排法，由分步

26、计数原理共有_种排法种排法.22A2222A A2222A A22A31524小集团小集团小集团排列问题中，先整体后局部，小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。再结合其它策略进行处理。.计划展出计划展出10幅不同的画幅不同的画,其中其中1幅水彩画幅水彩画,幅油画幅油画,幅国画幅国画, 排成一行陈列排成一行陈列,要求同一要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为端，那么共有陈列方式的种数为_2. 5男生和女生站成一排照像男生和女生站成一排照像,男生相邻男生相邻,女女生也相邻的排法有生也相邻的排法有_种种25525

27、5A A A254254A A A例例11.从从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三这十个数字中取出三 个数，使其和为不小于个数，使其和为不小于10的偶数的偶数,不同的不同的 取法有多少种？取法有多少种？解：这问题中如果直接求不小于解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很的偶数很 困难困难,可用总体淘汰法。可用总体淘汰法。 这十个数字中有这十个数字中有5 5个偶数个偶数5 5个奇数个奇数, ,所取的三个数含有所取的三个数含有3 3个偶个偶数的取法有数的取法有_,_,只含有只含有1 1个偶数的取法个偶数的取法有有_,_,和为偶数的取法共有和为偶数的取法共有_再淘汰和小于再淘汰

28、和小于10的偶数共的偶数共_符合条件的取法共有符合条件的取法共有_ 35C1255CC9 90130130150150170170230230250250270270410410450450430431255CC35C+- 9- 91255CC35C+我们班里有我们班里有4343位同学位同学, ,从中任抽从中任抽5 5人人, ,正、正、副班长、团支部书记至少有一人在内的副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种抽法有多少种? ?练习题十三. 合理分类与分步策略例例13.13.在一次演唱会上共在一次演唱会上共1010名演员名演员, ,其中其中8 8人能人能 能唱歌能唱歌,5,5人会跳舞人会跳

29、舞, ,现要演出一个现要演出一个2 2人人 唱歌唱歌2 2人伴舞的节目人伴舞的节目, ,有多少选派方法有多少选派方法? ?解：10演员中有演员中有5人只会唱歌，人只会唱歌，2人只会跳舞人只会跳舞 3人为全能演员。人为全能演员。以只会唱歌的以只会唱歌的5 5人是否人是否选上唱歌人员为标准进行研选上唱歌人员为标准进行研究究只会唱只会唱的的5 5人中没有人选上唱歌人员共有人中没有人选上唱歌人员共有_种种, ,只会唱的只会唱的5 5人中只有人中只有1 1人选上唱歌人人选上唱歌人员员_种种, ,只会唱的只会唱的5 5人中只有人中只有2 2人人选上唱歌人员有选上唱歌人员有_种，由分类计数种，由分类计数原理

30、共有原理共有_种。种。2233CC112534CCC2255C C2233CC112534CCC2255C C+ + +解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。1.1.从从4 4名男生和名男生和3 3名女生中选出名女生中选出4 4人参加某个座人参加某个座 谈会，若这谈会，若这4 4人中必须既有男生又有女生，则人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有不同的选法共有_ _ 练习题2. 3 3成人成人2 2小孩乘船游玩小孩乘船游玩,1,1号船最多乘号船最多乘3 3人人, 2, 2

31、号船最多乘号船最多乘2 2人人,3,3号船只能乘号船只能乘1 1人人, ,他们任选他们任选 2 2只船或只船或3 3只船只船, ,但小孩不能单独乘一只船但小孩不能单独乘一只船, , 这这3 3人共有多少乘船方法人共有多少乘船方法. .十四十四. .构造模型策略构造模型策略例例14. 14. 马路上有编号为马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,91,2,3,4,5,6,7,8,9的的 九只路灯九只路灯, ,现要关掉其中的现要关掉其中的3 3盏盏, ,但不能关但不能关 掉相邻的掉相邻的2 2盏或盏或3 3盏盏, ,也不能关掉两端的也不能关掉两端的2 2 盏盏, ,求满足条件的关灯方法有多少

32、种？求满足条件的关灯方法有多少种？解：把此问题当作一个排队模型在解：把此问题当作一个排队模型在6 6盏盏 亮灯的亮灯的5 5个空隙中插入个空隙中插入3 3个不亮的灯个不亮的灯 有有_ _ 种种35C一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决练习题某排共有某排共有1010个座位，若个座位，若4 4人就坐，每人左右人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？120解解：就是还剩：就是还剩6个空位，首尾必须是空位，有个空位，首尾必须是空位，有5个个空格，空格，4个人插空即个人插空即A54

33、十六十六. 分解与合成策略分解与合成策略例例16. 3003016. 30030能被多少个不同的偶数整除能被多少个不同的偶数整除分析：先把分析：先把3003030030分解成质因数的乘积形式分解成质因数的乘积形式 30030=230030=23 35 5 7 7 11111313依题依题 意可知偶因数必先取意可知偶因数必先取2,2,再从其余再从其余5 5个个 因数中任取若干个组成乘积，所有因数中任取若干个组成乘积，所有 的偶因数为：的偶因数为：012345555555C C C C C C例17.正方体的8个顶点可连成多少对异面 直线解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四 体共有体共_每个四

34、面体有_对异面直线,正方体中的8个顶点可连成_对异面直线481258C6 6658=174分解与合成策略是排列组合问题的一种最分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略基本的解题策略, ,把一个复杂问题分解成几把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决个小问题逐一解决, ,然后依据问题分解后的然后依据问题分解后的结构结构, ,用分类计数原理和分步计数原理将问用分类计数原理和分步计数原理将问题合成题合成, ,从而得到问题的答案从而得到问题的答案 , ,每个比较复每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略杂的问题都要用到这种解题策略例例18. 2518. 25人排成人排成5 55 5方队方队, ,

35、现从中选现从中选3 3人人, ,要要 求求3 3人不在同一行也不在同一列人不在同一行也不在同一列, ,不同的不同的 选法有多少种？选法有多少种？解： 将这个问题退化成将这个问题退化成9 9人排成人排成3 33 3方队方队, ,现现从中选从中选3 3人人, ,要求要求3 3人不在同一行也不在人不在同一行也不在同一列同一列, ,有多少选法有多少选法. .这样每行必有这样每行必有1 1人人从其中的一行中选取从其中的一行中选取1 1人后人后, ,把这人所在把这人所在的行列都划掉，的行列都划掉，从从5 55 5方队中选取方队中选取3 3行行3 3列有列有_选法选法所以从所以从5 55 5方队选不在同一行

36、也不在同方队选不在同一行也不在同一列的一列的3 3人有人有_选法。选法。3355C C3311155321600C C C C C处理复杂的排列组合问题时可以把一个问处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，从而进简要的问题的解决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题下一步解决原来的问题如此继续下去如此继续下去. .从从3 33 3方队中选方队中选3 3人的方法人的方法有有_种。再从种。再从5 55 5方队选出方队选出3 33 3方队便可解决问题方队便可解决问题111321C C C练习题B BA

37、 A3735C解决解决“允许重复排列问题允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作素看作“客客”，能重复的元素看作，能重复的元素看作“店店”，再利用乘，再利用乘法原理直接求解法原理直接求解. .例例19.19.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有获得，获得冠军的可能的种数有 . .分析：因同一学生可以同时夺得分析：因同一学生可以同时夺得n n项冠军，故学生可重项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作复排列，将七名学生看作7 7家家“店店”，五项冠军看作，五项冠军看作5 5名名“客客”，每个，每个“客客”有有7 7种住宿法，由乘法原理得种住宿法，由乘法原理得7 75 5种种. .小结