数学物理方法-第8章-分离变数法ppt课件.ppt

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1、第八章分离变数法第八章分离变数法分离变数法在数学物理方程中的地位分离变数法在数学物理方程中的地位: 分离变数法是求解数学物理定解问题的基分离变数法是求解数学物理定解问题的基本方法，是贯穿数学物理方程内容的主要本方法，是贯穿数学物理方程内容的主要线索，本章以分离变数法为主线，结合傅线索，本章以分离变数法为主线，结合傅里叶级数法研究求解一维自由波动方程、里叶级数法研究求解一维自由波动方程、一维无源输运方程、直角坐标系中二维无一维无源输运方程、直角坐标系中二维无源稳定场方程的方法。源稳定场方程的方法。引言引言8.1分离变数法详析分离变数法详析一、分离变数法介绍一、分离变数法介绍长为 、两端固定的均匀

2、弦的自由微小横振动的定解问题 l02xxttuaulx 00t00lxxuu0t)(0 xut)(0 xuttlx 0,即令： )()(),(tTxXtxu代入定解问题中试解0)()()()(2 xXtTaxXtT两边同除于 )()(2tTxXa)()()()(2tTatTxXxX 把偏微分方程转化为易以求解的常微分方程，从而找出满足边界条件与初始条件的解。 思路：2( )( )( )( )XxTtX xa T t为常数0)()()()0(tTlXtTX又由边界条件：2( )( )0TtaT tT(t)：0)()( xXxXX(x)：0)()0(lXX( )( )0(0)( )0XxX xXX

3、 lX(x)：2( )( )0TtaT tT(t)：讨论：讨论：（1）0 xxececxX21)(考虑边界条件得：021 cc0)(xX不存满足边界条件的、非零的可分离变数形式的特解 0(2)21)(cxcxX考虑边界条件得：021 cc0)(xX不存满足边界条件的、非零的可分离变数形式的特解 (3)0 xcxcxXcossin)(210)()0(lXX由02c0sin1lc要有非零解，必须：01c0sinl222ln, 3, 2, 1nlxncxXsin)(1latnBlatnAtTsincos)(lxnlatnBlatnAtxunnnsin)sincos(),(, 3, 2, 1n满足给定

4、边界条件的可分离变数形式的特解为： lxnlatnBlatnAtxunnnsin)sincos(),(1由于泛定方程是线性齐次方程，因此这些由于泛定方程是线性齐次方程，因此这些特解的线性叠加，仍然是泛定方程满足给特解的线性叠加，仍然是泛定方程满足给定的边界条件的解。定的边界条件的解。 一般解一般解nAnB取决于初始状态nAnB的确定：)(sin10 xlxnAunnt10)(sinnnttxlxnBlanulx 0lndxlxnxlA0sin)(2lndxlxnxanB0sin)(2综上，长为综上，长为 、两端固定、均匀弦的自、两端固定、均匀弦的自由微小横振动问题的解：由微小横振动问题的解：

5、llxnlatnBlatnAtxunnnsin)sincos(),(1lndxlxnxlA0sin)(2lndxlxnxanB0sin)(2二、两端固定的弦振动解的物理意义二、两端固定的弦振动解的物理意义1. 本征解、本征振动本征解、本征振动lxnlatnBlatnAtxunnnsin)sincos(),(, 3, 2, 1n本征解本征解本征振动：本征解描述两端固定的弦固本征振动：本征解描述两端固定的弦固有的振动方式。有的振动方式。 2 .行波的一般表示行波的一般表示 )(atxf)(atxf 时刻1t 时刻2tP1P2 x2x1x表示以速率表示以速率 沿沿 正向传播的行波正向传播的行波 ax

6、3 .本征解是驻波解本征解是驻波解lxnlatnBlatnAtxunnnsin)sincos(),(lxnlatnBAnnnsin)cos(222)(sin2)(sin222nnnnatxlnatxlnBAnnnAB1tan其中其中4 .驻波形成条件驻波形成条件驻波的波长只能取特定值 。nl 2nl 2驻波的波长只能取某些特定值a驻波的相位传播速率lanlna22驻波的角频率基波 1n高次谐波 1n三、分离变数法的适用范围三、分离变数法的适用范围分离变数法仅适用于求解具有齐次泛定分离变数法仅适用于求解具有齐次泛定方程和齐次边界条件的定解问题。方程和齐次边界条件的定解问题。 若定解问题的泛定方程

7、非齐次，或边界条若定解问题的泛定方程非齐次，或边界条件非齐次，必须用其它办法将边界条件和件非齐次，必须用其它办法将边界条件和泛定方程转换成齐次的，然后应用分离变泛定方程转换成齐次的，然后应用分离变数法求解。数法求解。四、分离变数法求解定解问题的基本步骤四、分离变数法求解定解问题的基本步骤线性齐次的偏微分方程分离变数常微分方程1常微分方程2齐次边界条件分离变数条件解1解2 本征解（解1解2）本征值本征解定解问题的解本征值本征函数初始条件确定叠加系数五、付里叶级数法五、付里叶级数法02xxttuau代入方程 1222120sin)(sin)(nnnnlxnlntTalxntT1sin)(),(nn

8、lxntTtxulx 0令0sin)()(22221 lxntTlantTnnnlx 00)()(2222 tTlantTnn1nlatnBlatnAtTnnnsincos)(1sinsincos),(nnnlxnlatnBlatnAtxulx 0与采用分离变数法所得结果一致。与采用分离变数法所得结果一致。 8.2直角坐标系中有界空间上直角坐标系中有界空间上的齐次泛定方程的齐次泛定方程例例1：两端自由的均匀杆的纵振动问题：两端自由的均匀杆的纵振动问题02xxttuaulx 00t00lxxxxuu0t)(0 xut)(0 xuttlx 000lxxxxuu),(txu解：解：由边界条件由边界条

9、件，把展开为傅里叶余弦级数可满足此条件，展开为傅里叶余弦级数可满足此条件，010cos)(cos)()(),(nnnnlxntTlxntTtTtxu代入代入 02xxttuaulx 00t 022220cos)()(nnnlxntTlantT得得lx 00)()(2222 tTlantTnn0n 0sincos0)(00nlatnBlatnAntBAtTnnn100cossincos),(nnnlxnlatnBlatnAtBAtxu由初始条件由初始条件 100)(cosnntxlxnAAulx 0100)(cosnnttxlxnlanBBulx 0ldxxlA00)(1lndxlxnxlA0c

10、os)(2ldxxlB00)(1lndxlxnxanB0cos)(2， 【讨论】本征解与泛定方程、边界条件类型的关系【讨论】本征解与泛定方程、边界条件类型的关系 的解本征值问题的解本征值问题 的微分方程分离变数边界条件泛定方程两端自由的杆的纵振动两端自由的杆的纵振动两端固定的弦的横振动两端固定的弦的横振动)(tT02xxttuau02xxttuau00lxxuu00lxxxxuu)()(),(tTxXtxu)(tT0)()(2 tTatT0)()(2 tTatT0)()( xXxX0)()0(lXX0)()( xXxX0)()0(lXXlxnxXsin)(222ln, 2, 1n1)(xXlx

11、ncos222ln, 2, 1 , 0nlatnBlatnAtTnnsincos)(tBAtT00)(latnBlatnAnnsincos0n1n例例2：研究细杆导热问题，初始时刻杆的一端：研究细杆导热问题，初始时刻杆的一端温度为零度，另一端温度为温度为零度，另一端温度为 ，杆上温度梯，杆上温度梯度均匀，零度的一端保持温度不变，另一端度均匀，零度的一端保持温度不变，另一端跟外界绝热。试求细杆上温度的变化。跟外界绝热。试求细杆上温度的变化。0u解解: 不妨设不妨设 端为温度保持零度的端，即端为温度保持零度的端，即 端与外界绝热，即端与外界绝热，即 0 x00 xu0lxxu本导热问题可表示为本导

12、热问题可表示为: xluut00lx 002xxtuaulx 00t00lxxxuu0t【解法一】分离变数法【解法一】分离变数法)()(),(tTxXtxu令令 )()()()(2xXxXtTatT0)()()()0(tTlXtTX0)()(2tTatT0)()( xXxX0)()0(lXX0当当 时时xxececxX21)(0)()0(lXX021cc021llecec齐次方程组只有零解齐次方程组只有零解 0)(xX12(0)cc无意义。无意义。 0当当 时时21)(cxcxX0)()0(lXX02c01c0)(xX无意义无意义 0当当 时时xcxcxXsincos)(210)()0(lXX

13、01c0cos2lc齐次方程组齐次方程组有非零解有非零解 02c0cos l22221)(ln, 2, 1, 0nlxncxX)(sin)(212222221)()(ltanAetT021)()(sin),(222221nltannlxneAtxuxluut00 xlulxnAunnt00210)(sin100222102()2( 1)2sin()nlnnxuuAxdxllln021)(22120)(sin)() 1(2),(222221nltannlxnenutxu【解法二】付里叶级数法【解法二】付里叶级数法把x), 0(l)(xf0)()0(lff限制在上得满足边界条件的傅里叶级数021)

14、(sin)(nnlxnbxflndxlxnxflb021)(sin)(2),(txu展开为傅里叶级数 021)(sin)(),(nnlxntTtxu代入一维无源热传导方程得： 021)(sin)(),(nnlxntTtxu0212222210)(sin)()()(nnnlxntTlantT222221)()(ltannneAtT解得021)()(sin),(222221nltannlxneAtxu则与分离变数法相同与分离变数法相同 【讨论【讨论】， 的解本征值问题的解本征值问题 的微分方程分离变数边界条件泛定方程本例（热传导问题）两端固定的弦的横振动02xxttuau02xxtuau00lxx

15、uu00lxxxuu)()(),(tTxXtxu0)()(2 tTatT)(tT)(tT0)()(2tTatTlxnxXsin)(0)()( xXxX0)()0(lXX0)()( xXxX0)()0(lXX222ln, 2, 1nlxnxX)(sin)(2122221)(ln, 2, 1 , 0nlatnBlatnAtTnnsincos)(tlanneAtT222221)()(例例3：细杆导热问题。杆的初始温度：细杆导热问题。杆的初始温度 是均是均匀的，保持杆的一端的温度为不的匀的，保持杆的一端的温度为不的 ，至于另一端则有强度恒定的热流至于另一端则有强度恒定的热流 流入。流入。0u0u0q解

16、：解： ， 0t00uuxkqulxx002xxtuaulx 00t00uutlx 0因边界条件非齐次，必须将其转换为齐次边界因边界条件非齐次，必须将其转换为齐次边界条件，才能应用分离变数法。条件，才能应用分离变数法。 ),(txv设是满足 02xxtvavlx 00t00uvxkqvlxx00t的特解 ),(),(),(txwtxvtxu令此时泛定方程是此时泛定方程是齐次的、边界条齐次的、边界条件也是齐次的件也是齐次的 ),(),(00txwxkqutxu令 的定解问题转换为 的定解问题),(txu),(txw02xxtwawlx 00t00 xw0lxxw0txkqwt00lx 0021)

17、()(sin),(222221nltannlxneAtxw00210)(sinnntxkqlxnAw100222102()2( 1)2()sin()nlnnxqq lAxdxlklk n021)(22120)(sin)() 1(2),(222221nltannlxnenklqtxw021)(2212000)(sin)() 1(2),(222221nltannlxnenklqxkqutxu例例4：如图所示，散热片的横截面为矩形，：如图所示，散热片的横截面为矩形，它的一边它的一边 处于较高温度处于较高温度 ，其他边，其他边 , 和和 则处于冷却介质中因而则处于冷却介质中因而保持较低的温度保持较低的

18、温度 。试求解这横截面上的。试求解这横截面上的稳定温度分布稳定温度分布 。 by U0y0 xax 0u),(yxuxyOaUbu0u0解：本问题是二维无源稳定温度分布，其定解：本问题是二维无源稳定温度分布，其定解问题可表为解问题可表为0yyxxuubyax0,0000,uuuuaxxby 0Uuuubyy,00ax 0【方法一】叠加法【方法一】叠加法 ),(),(),(yxwyxvyxu令令0yyxxvv0yyxxwwbyax0,0000,uvuvaxx00axxwwby 000byyvvUwuwbyy,00ax 0 和和 的定解问题均是齐次的泛的定解问题均是齐次的泛定方程，且一个变量的边界

19、条件是齐次边界定方程，且一个变量的边界条件是齐次边界条件，均可用分离变数法求解。条件，均可用分离变数法求解。),(yxv),(yxw【方法二】温标移动法【方法二】温标移动法),(),(0yxvuyxu令令（ 为新温标的零点） 0u0yyxxvvbyax0,000axxvvby 000, 0uUvvbyyax 0根据边界条件：根据边界条件： 00 xv0axv),(yxv把把 展开为傅里叶正弦级数，即展开为傅里叶正弦级数，即 1sin)(),(nnaxnyYtxv代入 1sin)(),(nnaxnyYtxv0yyxxvv得： 12220sin)()(nnnaxnyYyYanax 0aynBayn

20、AyYnnnsinhcosh)(1sinsinhcosh),(nnnaxnaynBaynAyxv求叠加系数 0nAabnnnnuUBsinh) 1(1)(2010sinsinhsinh) 1(1)(2),(nabnnaxnaynnuUyxvaxkaykkuUkabk) 12(sin) 12(sinhsinh) 12()(40)12(0因此散热片内的稳定温度分布为因此散热片内的稳定温度分布为axkaykkuUuyxukabk) 12(sin) 12(sinhsinh) 12()(4),(0)12(00【讨论】 的解本征值问题的解本征值问题 方程分离变数边界条件泛定方程本例（矩形域稳定场问题）两端

21、固定的弦的横振动02xxttuau0yyxxvv00lxxuu00axxvv)()(),(tTxXtxu)()(),(yYxXyxv)(tT)(yY0)()(2 tTatT0)()( yYyY0)()( xXxX0)()0(lXX0)()( xXxX0)()0(aXXlxnxXsin)(222ln, 2, 1naxnxXsin)(222an, 2, 1nlatnBlatnAtTnnsincos)()(tT)(yYaynBaynAyYnnnsinhcosh)(本章小结本章小结 本章研究当边界条件是齐次边界条件时，一本章研究当边界条件是齐次边界条件时，一维自由波动方程、一维无源输运方程、矩形维自由

22、波动方程、一维无源输运方程、矩形域无源稳定场方程的求解。分离变数法是基域无源稳定场方程的求解。分离变数法是基本方法，傅里叶级数法是辅助方法。本方法，傅里叶级数法是辅助方法。1. 直角坐标系中有限区间上（或矩形区域内）直角坐标系中有限区间上（或矩形区域内）分离变数法求解定解问题的基本步骤，本征分离变数法求解定解问题的基本步骤，本征值问题的求解方法。值问题的求解方法。2. 驻波解的物理意义。驻波解的物理意义。3. 直角坐标系中有限区间上（或矩形区直角坐标系中有限区间上（或矩形区域内）分离变数法适用的定解问题。域内）分离变数法适用的定解问题。4. 直角坐标系中有限区间上（或矩形区域内）一直角坐标系中

23、有限区间上（或矩形区域内）一些基本定解问题的解。有些基本定解问题的解。有12种基本类型如下表所种基本类型如下表所示。示。 表：直角坐标系中有限区间上(或矩形区域内)12种基本定解问题的解方程边界一维波动方程一维输运方程矩形域无源稳恒场方程000lxxuu000lxxxxuu000lxxxuu000lxxxuu02xxt tuau02xxtuau0yyxxuulxnlatnBlatnAunnnsinsincos11sin2222ntlannlxneAulxnlynBlynAunnnsinsinhcosh1lxnlatnBlatnAtBAunnncossincos10010cos2222ntlan

24、nlxneAAulxnlynBlynAyBAunnncossinhcosh100lxnlatnBlatnAunnn)(sin)(sin)(cos2121021lxneAuntlann)(sin210)(222221lxnlynBlynAunnn)(sin)(sinh)(cosh2121021lxnlatnBlatnAunnn)(cos)(sin)(cos2121021lxneAuntlann)(cos210)(222221lxnlynBlynAunnn)(cos)(sinh)(cosh2121021 本章习题本章习题梁昆淼编梁昆淼编.数学物理方法（第三版）数学物理方法（第三版）， P201: 1, 2, 4, 5, 7, 12。