第八讲质点角动量角动量守恒定律ppt课件.pptx

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1、1第五章 刚体的定轴转动rotation of rigid-body with a fixed axis 基本概念：角动基本概念：角动量量 角角冲冲量量 力力矩矩 刚刚体体 基本规律基本规律： 角角动动量定理量定理 角角动量守恒定动量守恒定律律 刚刚体定轴转动体定轴转动的的运动规律运动规律 作作业业: : 练练习习4 4 刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述 刚体定刚体定轴轴 转转动定律动定律5.25.2质点的角质点的角动动量定理与角量定理与角动量守恒定律动量守恒定律教学基本要求：教学基本要求： 1 1. .理理解角动解角动量、量、力力矩的概矩的概念，掌握质点在平面内念，掌握质点在平面内运动的

2、角动量守恒定律。运动的角动量守恒定律。 2.2.能能运用以上规律分析和解决有关质点的简单力运用以上规律分析和解决有关质点的简单力学问题学问题。 3.理理解描解描写刚体定轴转动的物理量，并掌握角写刚体定轴转动的物理量，并掌握角量与线量的关系量与线量的关系. . 思思考考（1 1）下下面两种情形，它们的动量各为多少？面两种情形，它们的动量各为多少？ 可见，可见，只用动量还不能准确只用动量还不能准确描述转动物体的运描述转动物体的运动动状态状态，为此引入一个新物理量为此引入一个新物理量角角动动量（动量矩）量（动量矩） 总动量为零总动量为零!力力的时间累积效应的时间累积效应冲量、动量、动量定理冲量、动量

3、、动量定理.力矩力矩的时间累积效应的时间累积效应角角冲量、冲量、角动量、角动量定理角动量、角动量定理.（2 2）改变改变转动转动物物体体的运动状态，的运动状态，与力与力和和力力的作用位的作用位置有关置有关力矩力矩pO大小：大小：方向：方向：右手螺旋定则右手螺旋定则判定。判定。力臂力臂:力矩是力与力臂的乘积。力矩是力与力臂的乘积。FrM定义：定义： 为作用在质点上的力为作用在质点上的力 对参考点对参考点O的力矩。的力矩。F 是参考点是参考点O到力的作到力的作用点用点P的的位矢。位矢。rr F sinrr rrFM力对定点力对定点O的力矩的力矩5.25.2质点的角质点的角动动量定理与角量定理与角动

4、量守恒定律动量守恒定律MrF sinrF 方方向的判定向的判定： 右右手螺旋定则手螺旋定则pOrrFMM右右手螺旋定手螺旋定则：则：弯曲的弯曲的四四指由指由 经小于经小于 的的角转到角转到 的方的方向，向，与与四指垂直的四指垂直的大大拇指的拇指的指指向为力矩向为力矩 的方向。的方向。F r 180M 垂垂直于直于 和和 所决定的平所决定的平面面. .rFM单位：单位：N Nm m（不能写成功的单位不能写成功的单位J J） FrM1）力矩与位矢有关力矩与位矢有关，不同的参考，不同的参考点点位位矢不相等，矢不相等，说说到力矩时必须指明是相对于哪一点而言的。到力矩时必须指明是相对于哪一点而言的。2）

5、当力当力F的作用线通过所选的参考点时，力的作用线通过所选的参考点时，力F对该对该点的力矩为零。点的力矩为零。3）在直角坐标系中，力矩可表示为行列式：在直角坐标系中，力矩可表示为行列式：zyxFFFzyxkjiFrM注意：注意：FrM ：zyxFFFzyxkjiFrM()()()zyxzyxyFzF izFxFjxFyF kkMjMiMzyx力矩沿某坐标轴的分量通常称作力矩沿某坐标轴的分量通常称作。 如：力对如：力对O点的力矩点的力矩 在通过在通过O点的任一轴线（点的任一轴线（如如 z 轴）轴）上的分量，叫做上的分量，叫做力对力对 z 轴的力矩轴的力矩，用，用 表示。表示。MzMxzyyxzzy

6、xMyFzFMzFxFMxFyF力矩在力矩在各坐标轴的分量为各坐标轴的分量为：vvmrprLvrLLrxyzom 质量为质量为 的质的质点在点在t时时刻刻以速度以速度 运动，运动，mvsinvrmL 大小：大小：mOrLm方向：方向：服服从从右右手手螺螺旋旋定定则则对定点对定点O的的r 是质点相对于原是质点相对于原点点 O 的位的位矢矢Lrp垂垂直直于于 和和 组组成成的的平平面面2）角动量与位矢有关，说到角动量时必须指明角动量与位矢有关，说到角动量时必须指明 是相对哪一是相对哪一参照点参照点而言而言；3）作作圆周运动圆周运动质点的角动量。质点的角动量。1）角动量是描述转动状态的物理量角动量是

7、描述转动状态的物理量；说明：说明：2mr 质点以角速度质点以角速度 沿半沿半径为径为 的的圆周运动，圆周运动，相相对圆心的角动量大小为：对圆心的角动量大小为：rLrpm movmrprLsinLrm rm 4）在在直角坐标系直角坐标系中，角动量的表达式为：中，角动量的表达式为：()zyxLxpyp()yxzLzpxp()xzyLypzpzyxpppzyxkjiprL kLjLiLzyx 5 5）角动量的角动量的单位单位为为: kg : kg m m2 2/s/s角动量在各坐标轴的分量为：角动量在各坐标轴的分量为：()()()zyxzyxypzpizpypjxpypk例例1：一质点一质点m，速度

8、为，速度为v，如图所示，如图所示，A、B、C 分别分别为三个参考点，此时为三个参考点，此时m 相对三个点的距离分别为相对三个点的距离分别为d1 、d2 、 d3 ，求：求： 此时刻质点对三个参考点的动量矩。此时刻质点对三个参考点的动量矩。md1d2 d3ABCv解：解：1d mv2sin()2d mv 0CL Lrprmv 1d mv2cosd mv 2sinBLd mv 1sin2ALd mv 解解：该该质点的位置矢量质点的位置矢量2 01 0( .)ij m质点的动量质点的动量12 0 1 03 0. ( .) ij kg m s212 06114. ()() kk kg msrxiyjx

9、yzijkm xyzvvv2 0 2 01 00 01 03 00 0. ijk例例2 2：（：（P80P80例例5-25-2）质量为质量为2.0kg2.0kg的质点位于的质点位于x=2.0m,y=1.0mx=2.0m,y=1.0m处时，处时，速度为速度为 ，作作用在质点上的力用在质点上的力为为 ，求质点对，求质点对原点原点O O角动角动量和力量和力 对原点的力矩。对原点的力矩。F11 03 0( .) vij m s2 03 0( .) Fij N pmv LrpxyzijkxyzpppLrpxyzijkxyzmvmvmv624()() kk N mxyzijkxyzFFF2 01 00 0

10、2 03 00 0. ijkMrF例题：（例题：（P80P80例例5-25-2）质量为质量为2.0kg2.0kg的质点位于的质点位于x=2.0m,y=1.0mx=2.0m,y=1.0m处时，处时，速度为速度为 ，作作用在质点上的力用在质点上的力为为 ，求质点对，求质点对原点原点O O角动角动量和力量和力 对原点的力矩。对原点的力矩。F11 03 0( .) vij m s2 03 0( .) Fij NMrF问题的提出地地球球上上的的单单摆摆大小会变大小会变变太太阳阳系系中中的的行行星星 大小大小不不变。引起角动量变。引起角动量变化的原因是什么呢变化的原因是什么呢? ?变变变问题的提出问题的提

11、出质质点角动量点角动量的变化率与哪些因素有关的变化率与哪些因素有关Lrmv（）dLdrmvdtdt()d mvdrrmvdtdtrFvmvdLMdt于是有于是有力力矩是矩是引起角动量变化引起角动量变化的原因的原因可见可见: :rF而而rFM力矩力矩思考思考,?dLdtdpFdt角动量定理的微分形式角动量定理的微分形式角动量定理的积分形式角动量定理的积分形式tLMdd 作用于质点的合力对作用于质点的合力对参考点参考点 O O 的的力矩力矩 ，等于质点，等于质点对对同一参考点同一参考点的的角动量角动量随时间的随时间的变化率变化率. . 对同一对同一参考点参考点 O ，质点所受，质点所受的的角角冲量

12、冲量等等于质点于质点角动量角动量的增量的增量. .12d21LLtMtt力力矩对时间的矩对时间的积累称积累称为为角角冲量（冲量（冲量冲量矩）矩）角冲量：角冲量：tMttd21MdtdL 角冲量：角冲量：Mdt12d21LLtMtt注意注意：（2）质）质点角动量的变化是点角动量的变化是力矩对时间的积累力矩对时间的积累结果结果-角角冲量冲量。角角动量定理动量定理（1）角动量角动量定定理中的理中的力矩力矩和和角动量角动量都必须是都必须是相相 对对于同于同 一一参考点参考点而言的。而言的。MdtdL 如果对于某一固定点，质点所受的合力矩为如果对于某一固定点，质点所受的合力矩为零，则质点对该点的角动量为

13、一恒矢量。零，则质点对该点的角动量为一恒矢量。 当当 时，时， 恒矢量。恒矢量。 LM,01）质点的角动量质点的角动量守恒的条件守恒的条件是是合力矩为零合力矩为零。2）有心力问题）有心力问题如果质点在运动中受到的力始终指向某个固如果质点在运动中受到的力始终指向某个固定的中心，这种力叫做定的中心，这种力叫做有心力有心力，该固定中心称为，该固定中心称为力心力心。有心力相对于力心的力矩恒为零。有心力相对于力心的力矩恒为零。3）角动量守恒定律是物理学中最基本的定律之一，）角动量守恒定律是物理学中最基本的定律之一，由：由：12d21LLtMtt例例题：题： 用用绳系一小球使它在光滑的水平面上做匀速绳系一

14、小球使它在光滑的水平面上做匀速率圆周运动，其半径为率圆周运动，其半径为 r r0 0 ，角速度为，角速度为0 0 。现通过。现通过圆心处的小孔缓慢地往下拉绳使半径逐渐减小。求当圆心处的小孔缓慢地往下拉绳使半径逐渐减小。求当半径缩为半径缩为 r r 时的角速度。时的角速度。解解：以小以小孔孔 O O 为为原点原点绳对小球的拉力为有心力，绳对小球的拉力为有心力，其力矩为零。其力矩为零。则小球则小球对对 O O 点点的角动量守恒。的角动量守恒。初态初态： 末态末态： 20 000mv rmr 2mvrmr 角动量守恒角动量守恒： 2200mrmr2002rrmr rv0r0解解：角动量守恒角动量守恒

15、近地点近地点11vr远地点远地点22vr则则2 21 1mv rmv r1212rvvr且且1r1v2r2v 分析分析：行：行星在太阳的引力作用下沿椭圆轨道运动，星在太阳的引力作用下沿椭圆轨道运动，由于该引力的方向在任何时刻总是指向太阳中心，由于该引力的方向在任何时刻总是指向太阳中心，因此行星受到的引力为有心力，故行星对太阳中心因此行星受到的引力为有心力，故行星对太阳中心的角动量守恒。的角动量守恒。例题 一颗地球卫星，近地一颗地球卫星，近地点距离为点距离为 ，速速率率 ，远地远地点距离为点距离为 ，求该点的卫星速率。求该点的卫星速率。1r2r1v 一、 刚体刚体（理想模型）（理想模型） ：在外

16、力作用下，：在外力作用下，形状形状和和大大小小都不发生变化的物都不发生变化的物体体。（或任意两质点间距离保持不。（或任意两质点间距离保持不变的变的特殊质点系特殊质点系）。）。 刚体平动 质点运动5.1 5.1 刚刚体定体定轴转动的描述轴转动的描述ABABAB刚刚体体平动平动可可以以作为一质点作为一质点特点：特点：各点位移、速度、各点位移、速度、加速度均相同。加速度均相同。 平动、转动平动、转动。刚体内任意两点间刚体内任意两点间连线的空间方向总是保持不连线的空间方向总是保持不变。变。转转动：动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动。刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动。转动又分转动又分定轴转动定

17、轴转动和和非定轴转动非定轴转动。 刚体的平面运动刚体的平面运动。 定轴转动的特点定轴转动的特点 1 1） 刚体上所有质刚体上所有质点都绕着定轴作圆周运点都绕着定轴作圆周运动，圆动，圆 面面垂直于转轴线垂直于转轴线，称，称为为转动平面转动平面； 所以，刚所以，刚体绕定轴转动体绕定轴转动时时不能用不能用线量描述，可用线量描述，可用角量来描述。角量来描述。 在在刚体转动中，如果转轴刚体转动中，如果转轴固定不动，称为固定不动，称为。2） 任一质点运动任一质点运动 均相同，但均相同，但 不同不同；, a, vxz转动平面)()(ttt角位移：角位移：)(t 角位置：角位置：约定：约定：r沿逆时针方向转动

18、沿逆时针方向转动 r沿顺时针方向转动沿顺时针方向转动 tttddlim0角速度矢量：角速度矢量： 方向方向: :右右手手螺旋方向螺旋方向参考轴参考轴（角速度方向在转轴上（角速度方向在转轴上 ）)(ttttddlim0 方方向向: : 刚刚体体定轴定轴转动转动角角速度方向沿转轴速度方向沿转轴，可，可以用角速度的正负来以用角速度的正负来表示其方向。表示其方向。00zz2121对于刚体定轴转动，用角加速度对于刚体定轴转动，用角加速度的正负就可表示角加速度的方向，不的正负就可表示角加速度的方向，不必用矢量表示。必用矢量表示。220ddddlimtttt tdd方向：方向：沿转轴，角沿转轴，角速度变化的

19、方向。速度变化的方向。 刚体刚体绕绕定轴作定轴作匀变速匀变速转动转动质点质点匀变速匀变速直线运动直线运动at0vv22100attxxv)(20202xxa vvt0)(2020222100tt 当刚体绕定轴转动的当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量角加速度为恒量时，时，刚体做匀变速转动。刚体做匀变速转动。 刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比初始条件初始条件：,0时时t,0 0 常量常量=29rv v2n rara2rrn t dd 22ddddtt artananaaa n 飞轮飞轮 30 s 内转过的角度：内转过的角度：2(5)752(6) r

20、ad1205rad srad s306 例例1 1 一飞轮半径为一飞轮半径为 0.2m0.2m、 转速为转速为150150转转/min/min， 因因 受受制动而均匀减速，经制动而均匀减速，经 30 s 30 s 停止转动。停止转动。试求试求：（1 1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2 2）制制动开始后动开始后 t t = 6 s= 6 s 时飞轮的角速度；时飞轮的角速度；（3 3）t t = 6 s = 6 s 时时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度。飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度。解解：（1）,srad51000 t

21、= 0 s t = 30 s 时，. 00t2202 例例1 1 一飞轮半径为一飞轮半径为 0.2m0.2m、 转速为转速为150150转转/min/min， 因因 受受制动而均匀减速，经制动而均匀减速，经 30 s 30 s 停止转动。停止转动。试求试求：（1 1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2 2）制制动开始后动开始后 t t = 6 s= 6 s 时飞轮的角速度；时飞轮的角速度；（3 3）t t = 6 s = 6 s 时时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度。飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度。（2）s6t时，飞轮的角

22、速度时，飞轮的角速度：11(56)rad s4 rad s6转过的圈数转过的圈数：7537.52r75rad05 6 0t2 N （3）s6t时，飞轮边缘上一点的线速度大小：时，飞轮边缘上一点的线速度大小：220.24m s2.5 m s该点的切向加速度和法向加速度：该点的切向加速度和法向加速度：220.2()m s0.105 m s6 2222n0.2 (4 ) m s31.6 m sar 例例1 1 一飞轮半径为一飞轮半径为 0.2m0.2m、 转速为转速为150150转转/min/min， 因因 受受制动而均匀减速，经制动而均匀减速，经 30 s 30 s 停止转动。停止转动。试求试求：

23、（1 1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2 2）制制动开始后动开始后 t t = 6 s= 6 s 时飞轮的角速度；时飞轮的角速度；（3 3）t t = 6 s = 6 s 时时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度。飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度。46 rvar34解： 由题意，角加速度为恒量。rad5621215102222020.)( 5 秒内转过的圈数：圈圈。1014. 325 .6220 Ns10 0 t例：一转动的轮子由于摩擦力矩的作用，在 5s 内角速度由15rad/s 匀减速地降到10rad/s 。求：1）角加

24、速度；2）在此5s内转过的圈数； 3）还需要多少时间轮子停止转动。0rad/s,100 2rad/s1515100t 35例：在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动。开始时，它的角速度 ，经 300s 后，其转速达到 18000 r min-1 。已知转子的角加速度与时间成正比。求：在这段时间内，转子转过多少转？00解：由题意，令 ，即 ，积分 ct cttddtttc00dd得221ct 当 t = 300s 时，11srad600minr18000所以3322srad75srad30060022tc36转子的角速度：232srad15021tct由角速度的定义：23srad150ddtt得：tttdsrad150d0230有：33srad450t在 300 s 内转子转过的转数：.rev103)300(45022N433srad)75(c